洪湖市老湾回族乡中心学校数学学科导学案年级七课题5.1.2垂线上课时间
出示意大利比萨斜塔图片.
如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们
的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的
情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂
线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为
O.
如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于
()
A.30°
B.34°
C.45°
D.56°
1.垂线的概念:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.
(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.
1.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
2.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.
(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;
(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
O D C B A 课题：5.1.2 垂线（1） 陈发宝 【学习目标】 1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 培养学生用几何语言准确表达的能力。 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 【前置学习】 1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______ 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。 【学习探究】 1.阅读课本P 3的内容，回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。 2. 用语言概括垂直定义 两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。 3．垂直的表示方法： 垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。 4.垂直的推理应用： （1）∵∠AOD=90°（ ） ∴AB ⊥CD （ ） （2）∵ AB ⊥CD （ ） ∴ ∠AOD=90° （ ） 5．垂直的生活应用 观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象?找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例？ 【画图实践】 1．用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线. (1)已知直线L ，画出直线L 的垂线，能画几条? L 小组内交流,明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。 (2)怎样才能确定直线L 的垂线位置呢? 在直线L 上取一点A,过点A 画L 的垂线, 能画几条?再经过直线L 外一点B 画直线L 的 垂线,这样的垂线能画出几条?
中垂线的画法 1．画线段AB 的垂直平分线MN 取MN 上任意一点P ，连结PA 、PB 线段PA 、PB 在数量上有什么关系？你会证明吗？ 证明：∵MN ⊥AB(已知) ∴∠PCA=∠PCB=90°(垂直定义) 在△PCA 和△PCB 中 ∵AC=BC(已知) ∠PCA=∠PCB(已证) PC=PC(公共边) ∴△PCA ≌△PCB(S.A.S) ∴PA=PB(全等三角形对应边相等) 于是，我们得到 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 数学表达式： ∵点P 在线段AB 的垂直平分线MN 上 ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等) A B N A B
练习 1． 已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD 则AC ＝ 若线段AB,CD 互相垂直平分，则AC= 2．已知：如图，∠O=34°,BD 垂直平分AO ，求∠ABC 的度数 操作 1．画线段AB 2．找五个点使它们到点A 、B 的距离相等 可以发现这些点都在一条线上，这条线就是线段AB 的垂直平分线 证明：在△MAN 和△MBN 中 ∵MA=MB （已知） NA=NB(已知) MN=MN （公共边） ∴△MAN ≌△MBN(S.S.S) ∴∠AMN=∠BMN （全等三角形对应角相等） 又∵MA=MB ∴AC=BC MC ⊥AB （等腰三角形顶角平分线垂直平分底边） ∴直线MC 就是线段AB 的垂直平分线 ∴点M 、N 在线段AB 的垂直平分线上 这也就是说： B C O A B
和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 数学表达式： ∵PA ＝PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上 （和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 观察这两个定理的题设和结论，分析它们的特点 会发现前一个定理的题设和结论正好是后一个定理的结论和题设 我们把这两个定理称为线段垂直平分线的性质定理和逆定理 性质定理的条件是已知了线段的垂直平分线 逆定理的条件是有公共端点的两条线段相等 例1 已知：如图，在△ABC 中 AB,AC 的垂直平分线相交于点O 求证：点O 在BC 的垂直平分线上 证明：连结OA 、OB 、OC ∵点O 在AB 的垂直平分线上（已知） ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等） 同理可得 OA=OC ∴OB=OC （等量代换） ∴点O 在BC 的垂直平分线上 （和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 练习 2． 已知：如图，AC=BC,AD=BD ， 求证：AE=BE 小结：本节课学习了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，它们的运用集 中在下面的基本图形中。因此当题目中出现线段的垂直平分线时， 应注意在较复杂的图形中找出基本图形，若基本图形不完整可以添 加辅助线构造出完整的基本图形以便于解决问题。这也是几何中常 用的思想方法。 A B
《垂线的画法》说课稿 一、说教材： 1、教学内容： 我说课的教学内容《垂线的画法》是现行人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第四单元《平行四边形和梯形》的第二节课，教学内容包括教材的第66页例2（练习十一第4（1）-6题。 教学，通过本节课的学习为后面学习三角形和平行四边形画高打基础。 3、教学目标： （1）结合具体的情境，探索并发现垂直线段最短，会使用所学的知识解决简单的实际问题。 （2）培养学生主动经历自主探索、合作交流的过程，培养观察、比较、分析、归纳、概括等思维水平。 （3）学生在自学的过程中，掌握过一点画直线垂线方法，增强学好数学的自信心。 4、教学重点、难点： 教学重点：垂线的画法。 教学难点：垂线段的性质。 二、说教学过程： （1）激发兴趣，让课堂“活”起来！ （2）自主探究，让学生“动”起来！ （3）体验成功，让学生“乐”起来!让学生说说本节课的收获，即时对本节课所学内容的回顾与整理，，又能够培养学生的语言概括与表达水平。 （4）教学准备：画垂线PPT课件 三、说策略。 １、学情分析：垂线的画法既建立在学生已经学过的垂直和平行的知识基础上，同时又要为进一步学好平行四边形和梯形等重要知识打下坚实的基础，在小学数学中的平面几何知识体系里，特别是作图形对应边上的高这部分知识，具
有重要地位。因为是几何知识的画法，自然具有了直观但抽象、易画但难规范的特点，加上教材只通过连续的三幅图，具体给出了过直线上一点作垂线的画法，没有出示文字说明，这无疑又为学生掌握这个知识点设下了障碍。 ２、设计理念：既然是画垂线，那么解决问题的最佳方法莫过于动手操作，我想只有学生亲自动手得来的才是真正掌握不易遗忘的。所以，我在画垂线的过程中主要体现的是“画一画——说一说——练一练”的教学理念，意图放缓坡度，层层递进，让学生在实际操作中，对垂线画法的两种情况做到既会画又可言传。而垂线段的性质是本节课的难点所在，对学生来说它是很抽象的。怎样将这个抽象的内涵具体化、形象化呢？我想能够将它放入到一个具体的情境中，使学生易于接受和理解。 ３、教法设计：针对以上设计思路，我在教学中主要设计了“画垂线”四个操作性学习环节，让学生通过动眼观察、动手操作、动笔描绘、、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。 ４、学法设计：在“画垂线”活动中，主要是利用知识迁移的学习方法，使学生能通过“过直线外一点作垂线”的方法学习，自主探索出“过直线外上一点作垂线”的画法，并能将画法拓展应用。“画长方形”这个环节，主要是体现开放性动手操作的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的体现出来，既检验学生对垂线画法的知识掌握情况，又体现出画垂线在生活中的应用。在“方案设计”活动中，主要是让学生有水平结合具体情境，准确地理解“点到直线的距离”这个特殊涵义；在学习概念性知识的时候，同时又能为我们的生活服务，让学生通过小组交流全面掌握所学的知识。 三、说困惑。 １、在选择本课时的教学内容时，我对是否教学平行线的画法产生过犹豫，经过研读教材，钻研备课之后，我决定只实行垂线画法的教学。原因主要有两点：首先，如果同时教学例2和例3，教材上就出现了六个方面的内容，这在一节课的时间内是很难完成的。其次，学数学归根到底是要用数学，这就要求教师必须在课堂上提供多方面的信息或习题，给学生留下更多的探索和生成空间，以克服学生的思维定势，使他们能感受到数学在生活中的价值。而这是教学两个例题很难做到的。 2、对教材中例2的编排内容，我稍微实行了调整和增补。其中，我将后一个例题中画长方形的部分，作为了画垂线的拓展应用，增加到本节课的教学内容中，检验学生是否会用画垂线的方法画出长方形。其次，教材中对“点到直线的距离”编排十分简单、抽象，而练习十一中第5题和第6题，却是相关知识的实际应用，如若平铺直叙的教学概念，学生难以将垂线段的性质使用到实际生活中来。所以，我将第6题的情境放到新授部分，使学生在解决问题的活动中，理解垂线段的性质。 以上两点仅仅我的困惑与思考，据此制定的教学方案，还请各位专家及同行批评指正。
5.1.2 垂线 【知识与技能】 1.能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线. 2.通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理. 3.理解点到直线的距离这一重要概念. 4.初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用. 【过程与方法】 通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用. 【情感态度】 进一步进行画图、探究、归纳等数学活动，特别强调动手画几何图形，体验数学的严密性、科学性、美观性. 【教学重点】 垂直定义、垂直公理的理解与运用. 【教学难点】 点到直线距离与垂线段的区别与联系. 一、情境导入，初步认识 问题1教具：在相交线模型中，固定木条a,转动木条b， 当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化.体验当α =90°时，a与b互相垂直的位置关系. 问题2已知点P和直线l,过点P画直线a⊥l. 问题3在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？
【教学说明】在问题1中，教师可只作演示，从而引出互相垂直的定义，同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法. 在问题2中，要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重要结论. 在问题3中，要提示学生把河中的水引到农田P处，有无数种挖渠方法，但只有一种方法挖渠最短，从而引出垂线段最短的重要结论.要完成问题3中的第2个问题，可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识. 二、思考探究，获取新知 思考 1.两条直线相交，所成的4个角中.如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？ ，A2， 2.连接直线l外一点P与直线l上各点O，A A3……,其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线 段PO，PA1,PA2,PA3……的长短，这些线段中，哪一条最 短？ 3.垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？ 【归纳结论】1.定义： 互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 2.两条重要公理： 垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短. 3.垂线段和点到直线的距离的区别与联系：
定义及概念 数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。 编辑本段示例 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 编辑本段关于圆的公式 体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 编辑本段三角函数 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式： sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*ta nA^6) 八倍角公式： sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
数学垂线的知识点总结 知识要领：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直。 垂线 垂线的定义 其中一条直线叫做另一直线的垂线(perpendicular line)，交点叫垂足(foot of a perpendicular)。 显然，垂线是指两条直线的特殊位置关系。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 垂线的性质 1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。简称垂线段最短。 2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识归纳：显然，垂线段是指以直线外一点与垂足为两端点的线段。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
条件综述： ?在订单中要订购SxS Pro软件获得一个注册码。 ?适用于： ? “瑞江”ADCP（WorkHorse Rio Grande）? 微型ADCP(StreamPro) ? “瑞智”相控阵ADCP(RiverRay)
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? Windows 7?, Windows Vista?, or Windows XP Pro? ? NET 2.0 SP1 or higher (latest version recommended). ? 2.0 or higher GHz PC ? 512 MB or more of RAM ? 50 MB Free Disk Space plus space for data files (A large, fast hard disk is rec-ommended) ? Minimum display resolution of 1024 x 768 (higher recommended) ? CD-ROM or DVD-ROM Drive (when installing from CD or DVD)? Mouse or other pointing device ? One Serial Port if using Rio Grande ADCP ? Bluetooth capability if using a RiverRay or StreamPro ADCP. 从光盘上安装或直接把程序拷贝到计算机运行安装程序即可。
《垂线的画法》教案 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书》小学数学四年级上册第68例2。 教学目标：1、掌握垂线的画法，能灵活运用绘图方法来画图。 2、通过学生动手操作，培养学生的作图能力。 3、认识垂线的性质。 4、注重培养学生的探究思维，激发学习兴趣。 教学难点：掌握线的画法。 教学准备： 教具：课件，教学用三角尺、量角器一套 学具：学生用三角尺一套。 教学过程： 一、创设情景，导入新知。 1、创设情景：今天，大家有没有信心和我一道把我们四（4）班的风貌展现给领导和老师们？ 2、导入新知： 教师出示用三角尺验门框邻边是否互相垂直和用铅垂线检验墙壁与地面是否垂直的生活实景图。 师：首先，请观察下图，你看到了什么？ 生1：左图在用三角尺的直角来检验门框的上边与右边是否互相垂直。
生2：右图在用铅垂线检验墙壁与地面是否垂直。 师：我们可以用工具来验证两条相交直线之间是否互相垂直，那我们又能不能利用工具来给一条直线画垂线呢？好，我们今天就来学习画垂线。 出示课题：垂线的画法。（课件演示） 二、明确目标 师：在这节课里，究竟需要我们掌握些什么呢？ 出示学习目标，请学生朗读。 我们这节课要学习： （1）过直线上一点，给这条直线画垂线。 （2）过直线外一点，给这条直线画垂线。 （3）垂线的性质。 三、动手操作，探索方法。 1、画垂线 （1）过直线上一点，给这条直线画垂线。 师：请同学们看探究发现（一）里试一试。不用老师指导你能过直线上一点给这条直线画垂线吗？并说说你是怎么画的？ 此处先让学生自主探究，然后请一学生板演且讲述操作步骤，要求条理清晰。同时，老师温馨提示。 生述步骤：
如何画垂线【画垂线1】 《垂线的画法》教学设计教学内容：人教版四年级上册第58页及相关内容教学设计理念： 1、本节课内容不仅仅是让学生会画垂线，体会垂线在生活中的应用，还要培养学生观察能力、动手操作能力和学以致用的习惯。 2、引出点到直线的距离的概念，为以后学习平行四边形、梯形和三角形的高做准备。 教学目标： 1、知识与技能：使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。学会用三角板准确地画垂线。 2、过程与方法：能灵活运用绘图方法来画图，通过学生动手操作，培养学生的作图能力 3、情感与态度：培养学生良好的画图习惯，初步培养学生空间想象能力，进一步感受数学与我们生活联系紧密。 教学重点：掌握垂线的画法教学难点：垂线的重要性质即直线外一点到这条直线间的距离垂线段最短教法与学法：引导、示范、讲解、合作探究、动手操作教具准备：三角板、两条线、小黑板学法准备：两条线教学过程： 一、回顾复习 1、什么是两条直线互相平行？ 2、什么是两条直
线互相垂直？二、导入新知： 教师用两条不同的长线表示两条直线，粘在黑板上，使它们相交。 提问：这两条线是平行的还是垂直的？教师转动其中一条线，使其中一个角变为直角。 师：现在发现他们和刚才相比有什么变化? 教师在图上直接标出垂直符号说到这垂线，那你们知道怎样画出一条直线的垂线吗？今天我们就来一起学习这个内容。 板书课题：垂线的画法三、动手操作，探索方法 1、画垂线（1）过直线上一点，给这条直线画垂线。 师一边示范一边讲述步骤： ①使三角尺的一条直角边与直线重合。 ②沿直线平移三角尺，使另一条直角边靠近出示点。 ③沿着另一条直角边画一条直线。 谁能用简单的语言复述一下老师的操作步骤。 学生边口述教师边板书。 三步：边线重合平移到点画线师：现在哪位同学像老师一样用你那巧手给我们画出最美丽的垂线？学生活动：指两名生板演，其他同学练习本上画图。 集体评价（2）过直线外一点给这条直线画垂线师：大家看这个图和刚才有什么不同，这点不在直线上，而在线外，这个点就像刚刚从地平线冉冉升起的太阳，你是怎么给这个最美丽的太阳画出到地平线的垂线呢？它们的作图步骤是基本一致的，只是最后还
5、1、2 垂线 江西省南昌市进贤县罗溪镇初级中学七年级陶柱源 教学目标 【知识与技能】 1、能结合具体图形理解垂直的概念,能经过一点画已知直线的垂线、 2、通过画图,理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理、 3、理解点到直线的距离这一重要概念、 4、初步锻炼作图能力,能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用、 【过程与方法】 通过画图探究出两个公理,在不同的情况下过一点作已知直线的垂线,通过瞧图会找出点到直线的距离,在此基础上深入理解本节的两个公理,进而运用它们进行简单的说理或应用、 【情感态度】 进一步进行画图、探究、归纳等数学活动,特别强调动手画几何图形,体验数学的严密性、科学性、美观性、 【教学重点】 垂直定义、垂直公理的理解与运用、 【教学难点】 点到直线距离与垂线段的区别与联系、 教学过程 一、情境导入,初步认识 问题1教具:在相交线模型中,固定木条a,转动木条b,当b 的位置变化时,a、b所成的角也会发生变化、体验当α=90°时,a 与b互相垂直的位置关系、 问题2已知点P与直线l,过点P画直线a⊥l、 问题3在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短？若比
例尺为1∶100000,水渠大约要挖多长？ 【教学说明】在问题1中,教师可只作演示,从而引出互相垂直的定义,同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法、 在问题2中,要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重要结论、 在问题3中,要提示学生把河中的水引到农田P处,有无数种挖渠方法,但只有一种方法挖渠最短,从而引出垂线段最短的重要结论、要完成问题3中的第2个问题,可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识、二、思考探究,获取新知 思考1、两条直线相交,所成的4个角中、如果有一个角就是90°,那么其余各角分别就是多少度？ 2、连接直线l外一点P与直线l上各点O,A 1,A2,A3……, 其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段),比较线段 PO,PA1,PA2,PA3……的长短,这些线段中,哪一条最短？ 3、垂线段与点到直线的距离有哪些区别与联系？ 【归纳结论】1、定义: 互相垂直:两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角就是90°,那么这两条直线互相垂直、其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离、 2、两条重要公理: 垂直公理:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、 垂线段公理:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,可简单说成:垂线段最短、 3、垂线段与点到直线的距离的区别与联系: 区别联系
5.1.2 垂线(第一课时) 垂线(一) 1.理解垂线、垂线段的意义; 2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线; 3.掌握垂线的性质1. 【教学重点】 1.区分垂线和垂线段; 2.用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线; 3.垂线的性质1. 【教学难点】 怎样画一条线段或射线的垂线. 教学目标 1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力. 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重点 两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学过程 一、创设问题情境,研究垂直等有关概念 1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象? 在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容. 2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系? b b a 教师在组织学生交流中,应学生明白:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a 是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a 、b 所成的四个角都是直角,都相等. 3.师生共同给出垂直定义. 师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。 4.垂直的表示法. 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
长治县三中（2018-2019学年）第一学期组集体备课导学案 主备人：复备人：审批人：学生姓名： 年级 班组 [来源:Z,xx,https://www.doczj.com/doc/ce3894982.html,]课题： 5.1.2垂线课时：年月日 学习目标： 1、我能掌握垂直概念，能说出垂线的性质，会画一条直线的垂线； 2、我能掌握垂线段的概念，理解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度 量点到直线的距离。 任务与问题方法与要求暴露区(二次备课）一、课前准备： 1、如果∠α和∠β互为余角，∠α=37°，则∠β= 2、如果∠1和∠2互为余角，∠1和∠3互为余角，那么∠2和∠3的关系是。 二、新知探究： 【自学板块】 1、垂直、垂线定义 两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。 2、垂直的符号表示：(垂直用符号“⊥”来表示) 若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，。 3、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，.简单说成: 。 4、点到直线的距离： 【合作板块】 1、垂直的性质 （1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线. 这样的垂线能画几条?
E (3) O D C B A (1) O D C B A L 小组内交流,明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。 （2）在直线L 上取一点A,过点A 画L 的垂线, 能画几条?再经过直线L 外一点B 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条? B ． L A L 从中你能得出什么结论? ____________________________________________ 【练习板块】 1、判断题. （1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( ) （2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( ) （3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( ) （4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 2、填空题. （1）如图（1）,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________. （2）如图（3）,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________. 来源学_科_网 来源学科网 来源学科网ZXXK] 3、已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上. ①画直线DE ⊥OB ②画直线DF ⊥OA,垂足为F 4、已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系. E O D C B A
垂线的画法 梁山镇一中孙恩玺 根据垂线的定义我们知道，当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线相互垂直。那么能根据垂线的定义，可以得到几种垂线的画法呢？ 一、利用圆规和直尺作垂线 1、过直线上一点P作b⊥a， 作法：⑴、用直尺任意画一条直线a，并在上面任取一点P。 ⑵、以P点为圆心，以任意长为半径画圆，与直线a交与A、B两点（PA=PB） ⑶、分别以A、B为圆心，以大于PA而小于AB的长度为半径画圆，相交于 一点C， ⑷、过P、C作直线b，则b⊥a 2、过直线外一点P作B⊥A， 作法：⑴、用直尺任意画一条直线a，并在直线外任取一点P。 ⑵、以P为圆心，以任意长为半径画圆，交于A、B两点（半径长度必需保 证所画的圆与直线有两个交点）。 ⑶、分别以A、B为圆心，以大于AB的一半为半径画圆，交于C点。 ⑷、过P、C作直线B，则B⊥A。 二、利用三角板作垂线 1、利用45°的直角三角板 作法：⑴、任意作一条直线A，并在上面取一点P。 ⑵、把三角板直角所对的边的长度的中点与P点重合。 ⑶、让三角板的直角顶点落在所画的直线上。 ⑷、沿三角板直角所对的边作直线B，则B⊥A。 2、利用直角三角板的边 作法：⑴、任意作一条直线A，并在上面任取一点P。 ⑵、让三角板中的直角顶点与点P重合。 ⑶、旋转三角板，使一条直角边与所画直线重合。 ⑷、沿另外一条直角边作直线B，则B⊥A。 3、利用直角三角板的特殊角度 作法：⑴、任意作一条直线A，并在上面任取一点P。 ⑵、把三角板中45°角的顶点与P点重合，所在的直角边与所画直线重合。 ⑶、沿45°角的另一边画射线PB。 ⑷、顶点不动，旋转三角板，使45°角所在的直角边与所画的射线重合。 ⑸、再沿另一边作直线B，则B⊥A。 三、利用量角器 作法：⑴、任意作一条直线A，并在上面任取一点P。 ⑵、使量角器的0°所在直线与所画直线重合，中点与P点重合。 ⑶、找到90°所在的点C ⑷、过P、C作直线B，则B⊥A。 四、利用折纸的方法 作法：⑴、任意拿出一张纸，并且任意对折一下，沿折痕A展开 ⑵、再把这张纸对折一次，并且使刚才的折痕完全重合，又得到一条折痕B。
垂线的画法 各位老师： 我今天说课的内容是小学数学四年级上册第五单元第58页的《垂线的画法》。我将从说教材、说学情、说过程三个方面进行说课。 说教材： 本节课内容是《数学课程标准》“图形”领域图形的认识中的内容，是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，垂直是同一平面内两条直线相交的特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。 因此，根据教材编排意图，根据课程标准要求，我确定了本节课的教学目标。 教学目标： 1、知识技能目标：知道平面上两条直线相交确定一个点；了解平面上两条直线的垂直关系，认识垂线和点到直线的距离。 2、过程与方法目标：在观察、测量、画图等数学活动中，经历认识垂线的过程 3、情感态度与价值观目标：鼓励学生积极参与数学活动，感受数学知识与生活的联系。 教学重点：在观察、测量、画图等数学活动中，经历画垂线的过程 教学难点：认识垂线和画垂线。 为了使学生更好地达成以上学习目标，我进一步分析了学生的“已有知识水平”。 说学情： 学生已经掌握了直线、角的基础知识，并且学生在日常生活中也能看到一些垂直的现象，学生具备一些简单的分类思想，能够从实际的操作活动中进行分析、思考，这也为学生进行自主探究学习提供了可能。 教学过程： 为了让学生更好地完成“学习目标”，我安排了4个环节：课前准备——口算；活动一——创设情景；活动二——构建模型；活动三——拓展交流；活动四——解释应用。下面，我将详细讲解每个环节。 （一）创设情景： 1.投影出示交叉的小棒、竹篱笆、十字路口。提问：这些现象可以看做什么？学生经过观察，指出这些现象都可以近似地看做两条直线相交。（设计意图：突出了数学知识与生活的联系，选择学生熟悉的生活事例，通过生活中的一些现象，让学生在生活经验的基础上认
A B C D O P O A B C 数学：5.1.2 垂线教案（人教版七年级下） [教学目标] 1． 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 2． 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 3． 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. [教学重点与难点] 1．教学重点：垂线的定义及性质. 2．教学难点：垂线的画法. [教学过程设计] 一. 复习提问： 1.叙述邻补角及对顶角的定义. 2.对顶角有怎样的性质. 二．新课： 引言： 前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题. （一）垂线的定义: 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥，垂足为O.请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例. 注意：1.如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直. 2、掌握如下的推理过程：（如上图） .(90(垂直定义）已知）， ?=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB 反之， （二）垂线的画法 探究： 1、用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 2、经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 3、经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线. 注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上. （三）垂线的性质 经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即： 性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 练习：教材第7页 探究： 如图，连接直线l 外一点P 与直线l 上各点O ，A,B,C ,……, 其中l PO ⊥（我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）.比较线段PO 、 PA 、PB 、P C ……的长短，这些线段中，哪一条最短？ 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段垂直定义）已知） ((90CD AB AOC ⊥∴?=∠
垂线（一） 教材：人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书《数学》 七年级下册第五章5.1.2垂线（第6页～7页） 授课教师：山西省大同市第十四中学赵丽华 教学目标： 1、理解垂线的概念，知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 2、通过画、折等直观感知和操作确认等实践活动，初步体验变换思想，建立符号感，培养语言归纳和表达的能力。 3、学生在充分经历观察、操作、推理、验证、交流等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣。在操作活动中，培养学生的合作精神、探索精神，在独立思考的同时能够认同他人。 教学重点、难点： 重点是通过动手画垂直的两条直线，探索有关垂线的一些性质。 难点是过直线上（外）的一点作已知直线的垂线。 教学过程： 一、创设情境引入课题 （用多媒体）播放奥运会十米跳台比赛 的一段录像，最后把画面定格在三位跳水运 动员入水前的精彩瞬间，学生在欣赏的同时， 教师提出问题：如果用一条水平直线a表示 水面，你能用另一条直线b画出不同选手入 水的示意图吗？ 如图（1），直线a与直线b的位置关系就 是我们今天要学习的内容——垂线。 【借助于多媒体，使学生先得到直观的感性 认识，培养学生从感性到理性的认知方式。】 小学学段我们接触过垂线，在日常生活 中，两条直线互相垂直的情形很常见，请同学举出例子。如国旗的长边与宽边，十字路口的两条道路，作文本的横线与竖线，铅垂线和水平线等，都是互相垂直的。 【体现教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，同时注重所学知识与现实生活的联系。】 二、师生互动，课堂探究 （一）提出问题，导入新知 垂直是相交的一种特殊情况。两条直线互相垂直有什么特点 呢？我们来看模型。（出示相交模型）这两根木条钉上钉子后，就 可看成是两条直线AB、CD相交于O点，固定AB不动，绕O点 逆时针旋转CD，观察∠α是如何变化的(教师提示注意观察：当∠α 成直角时，其余各角的情况)？发现∠α由锐角逐渐变为钝角，当转
《垂线的画法》教学案例 学情分析： 《垂线的画法》是人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第四单元《平行四边形和梯形》的第二节课。垂线的画法既建立在学生已经学过的垂直和平行的知识基础上，同时又要为进一步学好平行四边形和梯形等重要知识打下坚实的基础，在小学数学中的平面几何知识体系里，特别是作图形对应边上的高这部分知识，具有重要地位。因为是几何知识的画法，自然具有了直观但抽象、易画但难规范的特点，加上教材只通过连续的三幅图，具体给出了过直线上一点作垂线的画法，没有出示文字说明，这无疑又为学生掌握这个知识点设下了障碍。 设计理念： 既然是画垂线，那么解决问题的最佳方法莫过于动手操作，我想只有学生亲自动手得来的才是真正掌握不易遗忘的。因此，我在画垂线的过程中主要体现的是“画一画——说一说——练一练”的教学理念，意图放缓坡度，层层递进，让学生在实际操作中，对垂线画法的两种情况做到既会画又可言传。而垂线段的性质是本节课的难点所在，对学生而言它是很抽象的。我想可以将它放入到一个具体的情境中，使学生易于接受和理解。 教法设计： 针对以上设计思路，我在教学中主要设计了“画垂线”、“画长方形”和“方案设计”三个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。 学法设计： 在“画垂线”活动中，主要是利用知识迁移的学习方法，使学生能通过“过直线上一点作垂线”的方法学习，自主探索出“过直线外一点作垂线”的画法，并能将画法拓展应用。“画长方形”这一环节，主要是体现开放性动手操作的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的展现出来，既检验学生对垂线画法
如一些基本公式 (1)抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0） 就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c 置于平面直角坐标系中 a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 （当然a=0且b≠0时该函数为一次函数） 还有顶点式y = a（x+h）* 2+ k (h,k)=(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py (2)圆：体积=4/3π(r^3) 面积=π(r^2) 周长=2πr =πd 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭球物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*π*高 （3）三角函数： 和差角公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA ；