复变函数练习题 第五章 留数 系 专业 班 姓名 学号 §1 孤立奇点 孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法 f(z)在点a 处的洛朗展式中， 若无负幂项，则点a 为可去奇点； 若负幂项最高次数为m ，则点a 为m 阶极点； 若负幂项为无穷多个，则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a f z → 存在且有限，则点a 为可去奇点； 等于无穷，则 a 为极点（无法判断阶数）； 不存在且不等于无穷，则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法 1 ()()()m f z g z z a = -，g(z)在点a 解析且g(a)不等于零； 1()()lim ()lim()()() m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→= =--，存在且有限; 1 ()()() m z a h z f z =-， h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1．函数 cot 23 z z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 cot cos 3 (23)sin 0,()23(23)sin 2 z z z z z k k z z z ππππ=-=?=∈--Z ，
2．设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点，则z a =为()()f z g z +的 [ C ] （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和) 3．0z =为函数2 41sin z e z z -的m 级极点，那么m = [ C ] （A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 224 2 2455 32 01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →??++ ?--?=?=?++ ? ? ?++= ?? ? L L L 利用方法， 4．z =∞是函数3 2 32z z z ++的 [ B ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 32 22 32321=32=0z z z z z z ζζζζ??++++=++ ??? 以为一阶极点 5．1z =是函数1 (1)sin 1 z z --的 [ D ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）一级零点 （D ）本性奇点 （将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项） 二、填空题 1．设0z =为函数3 3 sin z z -的m 级零点，那么m = 9 。 () () 3 5 3391563 3 3 3 91sin ()()3!5!3!5!3!5! z z z z z z z z z z -=--++=-+=-+L L L 2．设0z =为函数3sin z z 的n 级极点，那么n = 2 。 三、解答题 1．下列函数在有限点处有些什么奇点如果是极点，指出它的级：
第五章 留数定理习题及其解答 5.1设有Λ ΛΛΛ++++++++=+-1212221111)(n n n n z z z z z z f ,能否说0=z 为) (z f 本性奇点?为什么? 答：这个级数由两部分组成：即∑∑∞ =∞ =+-+1 012n n n n n z z 。第一个级数当1 1
第五章留数(答案)
__________________________________________________ 复变函数练习题 第五章 留 数 系 专业 班 姓名 学号 §1 孤立奇点 孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法 f(z)在点a 处的洛朗展式中， 若无负幂项，则点a 为可去奇点； 若负幂项最高次数为m ，则点a 为m 阶极点； 若负幂项为无穷多个，则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a f z → 存在且有限，则点a 为可去奇点； 等于无穷，则 a 为极点（无法判断阶数）； 不存在且不等于无穷，则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法 3.11 ()()() m f z g z z a =-，g(z)在点a 解析且g(a)不等于零； 3.21 ()()lim ()lim()()() m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→==--，存在且有限; 3.3 1 ()()() m z a h z f z =-， h(z)在点a 解析且h(a)不等于零
__________________________________________________ 一、选择题 1．函数cot 23 z z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 cot cos 3 (23)sin 0,()23(23)sin 2 z z z z z k k z z z ππππ=-=?=∈--， 2．设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点，则z a =为 ()()f z g z +的 [ C ] （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和) 3．0z =为函数2 4 1sin z e z z -的m 级极点，那么m = [ C ] （A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 224 22 4 553 2 01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2! lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →?? ++ ?--?=?= ?++ ? ? ?++= ?? ? 利用方法，
第五章 留数 留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助． 本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理． 一．学习的基本要求 1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法： 洛朗展式法： 1Res ()z f z β-=∞ =-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数． 化为有限点处的留数：2011Res ()Res ()z z f z f z z =∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？ 4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
留数定理与几类积分的计算 中文摘要 本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。 关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数 …… 正文 （一）单值函数 类型1：形如20(sint,cost)dt I R π =?的实积分，其中(x,y)R 是有理函数，并且在圆 周22{(x,y):x y 1}+=上分母不为零。 解决技巧：令it z e =，将实积分转化为单位圆周上的复积分。 由sin ,cost ,22 it it it it it e e e e t dz ie dt i ---+= ==可得： 22221 111111 (,)2Re ((,),z )22222n k C k z z z z I R dz i s R iz z iz iz z i =-+-+==π∑?① 其中，12,,...,n z z z 是22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位圆周的所有孤立奇点，22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位闭圆盘除去12,,...,n z z z 外的其他点都解析。 例子： 类型2：形如(x)dx I R +∞ -∞ =? 的实反常积分，其中(x)R 是有理函数，在实轴上分 母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为 1 2Re (R(z),z )n k k I i s ==π∑（其中12,,...,n z z z 为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z ） 在上半平面除去这些点外的其他点解析）
留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有
石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论
及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1. 引言············································· 2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························ 3. 用留数定理计算实积分 3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π 0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞ ?∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x ) Q (X )+∞?∞e imx dx 的积分················ 3.4 计算形如∫P (x )Q (x ) +∞?∞ cos mxdx 和∫P (x ) Q (x ) +∞?∞sin mxdx 的积分 3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献 1. 引言
第五章 留数定理习题及其解答 5、1设有,能否说为本性奇点?为什么? 答:这个级数由两部分组成:即。第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。于就是所给级数在环域内收敛(成立),且与函数。显然就是得解析点。可见此级数并非在得去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定得性质。 注: 此例说明,判断孤立奇点类型虽可从得Laurent 展开式含有负幂项得情况入手,但切不可忘掉必须就是在去心领域内得Laurent 展式,否则与就是什么性质得点没有关系。 5、2 设在全平面解析,证明:若为得可去奇点,则必有(常数);若为得级极点,则必为次多项式:;除此之外,在处得Taylor 展式必有无限多项系数。 证: 因为在全平面解析,所以在邻域内Taylor 展式为且。注意到这Taylor 级数也就是在去心邻域内得Taylor 级数。 所以,当在得可去奇点<═>在去心邻域内Laurent 展示无得正幂项,即。 故(常数); 当为得级极点在去心邻域内Laurent 展示中只含有限个得正幂项,且最高正幂为次()。 1011() (0),0,()m m m m m n f z a a z a z a z a a n m --=++++≠=>L 即为次多项式; 除去上述两种情况, 为得本性奇点在去心邻域内Laurent 展开式中含有无限多个正幂项, 因此在中,有无限多个项得系数不为0。 注 (1)、 对本题得结论,一定要注意成立得条件为在全面解析,否则结论不成立。例:在内解析(与全平面解析仅差一个点!),且以为可去奇点,但又在内解析,且以=为一级极点,但它并不就是一次多项式,也不可能与任何一次多项式等价(它以=0为本性奇点)。同样地, 在内解析,以为本性奇点,但它不就是超越整函数,(它不就是整函数); (2)、 本题证明完全依赖于无穷远点性态得分类定义,同时注意,全平面解析得函数在邻域内Taylor 展示得收敛半径R= +,从而此Taylor 展示成立得区域恰就是得去心领域,即同一展示对而言即就是其去心领域内得Laurent 展式。 5、3 证明:如果为解析函数得阶零点,则必为得阶零点。(>1) 证 因为在点解析,且为其阶零点。故在得邻域内Taylor 展式为 其中 由Taylor 级数在收敛圆内可逐项微分性质有 右端即为在内得Taylor 展开式,由解析函数零点定义知,以为阶零点。 注 本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导得性质、 5、4 判断下列函数在无穷远点得性态 1) 2) 3) 4) 解 1) 因为在内解析,且所给形式即为它在该环域内得Laurent 展式,所以为得一级极点(为一级极点)、 2) 因为在内解析,且在此环域内有 21111(1)3521sin 23!5!(21)!n n z z z z Z n z z -++=+-++++L L 即在得去心邻域里得Laurent 展式中含有无限多个得正幂项,故为得本性奇点(0为二级极点)。 3) 因为 在处解析,以为本性奇点。 在中令,得。为得本性奇点,即为得本性奇点。 4) 令,得,即。 ∴ 为得零点,且
江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日
留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理
Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem
论文留数定理及其应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1.引 言············································· 2.留 数············································· 2.1留数的定义及留数定 理························ 2.2留数的求 法···························· ······ 2.3函数在无穷远处的留
留数定理及应用
留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数， 因此我们只关心该奇点处罗朗 留数理论是复积分和复级数 理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.
11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1 ()()() ， ∞ ∞ -===+-∑∑-n n n n n n f z c z a c z a 称()n=1 ∞ -∑-n n c z a 为()f z 在点a 的主要部分，称 () ∞ =-∑n n n z a c 为()f z 在点a 的正则部分， 当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为 (1)11 (0)()()------+++≠---L m m m m m c c c c z a z a z a 称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点. 二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域 0z a R
第五章 留数定理习题及其解答 5.1设有 ++++++++=+-1212221111)(n n n n z z z z z z f ,能否说0=z 为) (z f 本性奇点?为什么? 答：这个级数由两部分组成：即 ∑∑∞ =∞ =+-+1 012n n n n n z z 。第一个级数当1 1
第五章 留数定理习题及其解答 设有 ++++++++=+-1212221111)(n n n n z z z z z z f ,能否说0=z 为)(z f 本 性奇点为什么 答：这个级数由两部分组成：即∑∑∞ =∞ =+-+1 012n n n n n z z 。第一个级数当1 1
第五章 留数定理习题及其解答 注:此例说明，判断孤立奇点 z 类型虽可从f (z)的Laurent 展开式含有负幕项的情 况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的 Laurent 展式，否则与 z 0是什么性质的点没有 关系。 5.2设 f(z) 在全平面解析，证明：若 ：：为f(z) 的可去奇点，则必有 f(z) 二a 。(常 数)；若：：为 f (z)的 m 级极点，则f (z)必为m 次多项式： f (z)二a ° ? a1z ? III ? a k Z , a k = 0 ；除此之外， f (z) 在Z o = 0 处的Taylor 展式必有无限多 项系数=0。 证： 因为 f (z) 在全平面解析，所以 f (z) 在勺=0邻域内Taylor 展式为 f (z) 二 a 0 a 1z 丨 11 a k z J11且| z " o 注意到这Taylor 级数也是 f (z) 在：：去心邻域 内的Taylor 级数。 所以，当二在 f (z) 的可去奇点<—> f (z) 在：：去心邻域内Laurent 展示无z 的正幕项， 即厲 =a ?=丨1( =0。 故 f (z) =逐(常数)； 当：：为 f(z)的m 级极点u f (z) 在：：去心邻域内Laurent 展示中只含有限个z 的正幕 项,且最 高正幕为m 次(a m = 0 )o f(z) = a ° az 川 a m_z m ‘ a m Z m a m 严 a0 n 0m( ) 即 f (z) 为m 次多项式； 除去上述两种情况，：：为f(z) 的本性奇点=f(z) 在：：去心邻域内Laurent 展开式中 含有无限多 个正幕项， CO f (z)=送 a n z n z ￡邑 因此在 n￡ 中，有无限多个项的系数不为 0。 注(1).对本题的结论，一定要注意成立的条件为 f(z) 在全面解析，否则结论不成 1 f(z)=— 立。例： z 在0 < z V -内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以°°为可去奇点， 1 f (z)=??? +— + 5.1设有 z 本性奇点？为什么？ z nj n z z _ ++ ________ ，能否说z = 0为f (z ) 答：这个级数由两部分组成: od - n ' z n 4 □0 n 二命。第一个级数当 即 z 1 时收 敛,第二个级数当 1 z -<1 2 即 z ::: 2 时收敛。于是所给级数在环域 1 ::: z ::: 2 内收敛(成立)，且和 - 2 1 1 -1 -— 厂 1 z z-1 2-z z -3z 2 函数 z 2 。显然z = 0是 f (z) 的解析点。可见 此级数并非在z = 0的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幕项断定 z = 0的性质。 f(z)二七 1-- z
第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式：
. §2.用留数定理计算实积分 一.型积分→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：上 则 2.（定理6.7）设为有理分式，其中 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周，充分大 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理6.8）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：
（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成： 及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 6.3 小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理6.4）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且（2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理6.9 对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
第五章留数定理习题及其解答 设有,能否说为本性奇点?为什么? 答：这个级数由两部分组成：即。第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。于是所给级数在环域内收敛(成立),且和函数。显然是的解析点。可见此级数并非在的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定的性质。 注：此例说明，判断孤立奇点类型虽可从的Laurent展开式含有负幂项的情况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent展式，否则与是什么性质的点没有关系。 设在全平面解析，证明：若为的可去奇点，则必有（常数）；若为的级极点，则必为次多项式：；除此之外，在处的Taylor展式必有无限多项系数。 证：因为在全平面解析，所以在邻域内Taylor展式为且。注意到这Taylor级数也是在去心邻域内的Taylor级数。 所以，当在的可去奇点<═>在去心邻域内Laurent展示无的正幂项,即。 故(常数)； 当为的级极点在去心邻域内Laurent展示中只含有限个的正幂项,且最高正幂为次（）。 即为次多项式； 除去上述两种情况, 为的本性奇点在去心邻域内Laurent展开式中含有无限多个正幂项, 因此在中，有无限多个项的系数不为0。 注 (1). 对本题的结论,一定要注意成立的条件为在全面解析，否则结论不成立。例：在内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以为可去奇点，但又在内解析,且以=为一级极点，但它并不是一次多项式，也不可能与任何一次多项式等价(它以=0为本性奇点)。同样地，在内解析，以为本性奇点，但它不是超越整函数，(它不是整函数)； (2). 本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义，同时注意，全平面解析的函数在邻域内Taylor展示的收敛半径R= +，从而此Taylor展示成立的区域恰是的去心领域，即同一展示对而言即是其去心领域内的Laurent展式。 证明：如果为解析函数的阶零点，则必为的阶零点。(>1) 证因为在点解析，且为其阶零点。故在的邻域内Taylor展式为 其中 由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有 右端即为在内的Taylor展开式，由解析函数零点定义知，以为阶零点。 注本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导的性质. 判断下列函数在无穷远点的性态 1) 2） 3） 4） 解 1) 因为在内解析，且所给形式即为它在该环域内的Laurent展式，所以为的一级极点(为一级极点). 2) 因为在内解析，且在此环域内有 即在的去心邻域里的Laurent展式中含有无限多个的正幂项，故为的本性奇点（0为二级极点）。 3) 因为 在处解析，以为本性奇点。 在中令，得。为的本性奇点，即为的本性奇点。 4) 令，得，即。 ∴为的零点，且 ∵
第四章 留数定理及其应用 重点难点 第一节 留数定理 1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫C dz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f C π=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。 2．留数计算公式： 在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a ??项的系数1?c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。但是，在某些情况下，有更简便的方法。例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则 111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz ?=?=?? 又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。 3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。 第二节 留数定理的应用 1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。 2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内 部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫C dz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f C π=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。 3. 应用级数分析留数定理。在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(??k a z 项的系数1?c 就是留数)(Re k a sf 。当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。 4. 对于函数在无限远点的留数要注意，留数定义中围线的方向是顺时针转向的。