数学建模报告
——降落伞的选择
指导老师：窦老师彭老师
报告人：刘原20031090118
朱业帅20031090122
马占奎20031090123
一、问题重述
降落伞的选择为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长1共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：
每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；
绳索费用c2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用c3为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表 1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。
二、模型的假设
1、设每个降落伞的绳长、伞面积均相等；
2、降落伞投放立即打开，承受能力符合要求；
3、降落伞的降落排除质量等不利因素的影响；
4、降落伞和降落合乎所需的要求，且落地的速度不超过20 m/s。
三、符号说明
c1: 伞面费用;
c2: 绳索费用;
c3: 固定费用(200元)；
C : 总费用；
t：时刻（用S表示）；
S: 伞面面积；
r: 伞的半径；
K: 阻力系数。
四、问题和分析
问题要求使总费用C最小，由于受c1、c2 、c3的影响，c3固定，c2,c1均受伞的半径r的影响，同时降落伞要受下降阻力的影响，我们考虑以下3个问题：（一）确定c1、c2 [通过数据拟合确定c1]
（二）确定阻力系数K[通过t及h ,运用数据拟合确定K]
（三）确定n 和总费用C[运用动能守恒定律、建立非线性规划方程]
解决此3个问题即解决了此题目。
五、模型的建立与求解
我们在考虑（一）问题时，只要通过图表一的数据来拟合
c1 的方程：c1=4.3055r^3.9776；
c2 的方程：c2=4*16*2^0.5*r；
对于（二）确定一组关于速度和加速度的数据进行求解k值。
具体：mg-f(阻力)=ma
f=kvr^2; 则
k=[m(g-a)]/(vr^2)
即可由数据拟合出一个k值。
而在下降的过程中速度达最大时，阻力f与重力mg可以看作相等；
从而后面的一段路程几乎是匀速运动。
（三）、建立模型
min=n*(c1+c2+c3);
s.t
c1=4.3*r^4;(r=3)
c2=4*16*2^0.5*r;
c3=200;
(18*r^2*n)500-2000*9.8*t+4000*9.8*(1-exp (-2000*t/(18*r^2*n)))/18 =0。
由动能定理（合力做的功等于动能的变化）得
[(M/n)g-f]*h=1/2(M/n)v*2
由a（加速度）=(dv/dt)=g-(fn)/M(1)
v=gt-exp(-(n*r^2*kt)/M)(2)
f=k*r^2*v(3)
(2),(3)分别代入上式；
可得式:
(18*r^2*n)500-2000*9.8*t+4000*9.8*(1-exp (-2000*t/(18*r^2*n)))/18 =0。
得：总费用C= 4958.687
n=7。
六．结果分析
通过对问题的分析，找出各关系量之间的关系，运用物理学和非线性规则的方法来建立数学模型，用数据拟合的方法运用MATLAB软件，求出阻力系数和一阶函数的系数。
问题的求解有点粗略，但对实际问题的却有指导意义。
对于降落伞的最佳选购是使伞的总费用最低。我们通过C1、c2、c3来确定总费用。其中c1由半径r决定，c2由绳索长度及其价格决定，即可通过数据拟合出c1=4.3055r^3.9776;确定阻力系数k=18,利用非线性规划求得总费用C=4958.687，且需7个降落伞。
缺点：求解粗略，在实际中影响因素复杂，而只能作个参考。
实际意义：降落伞的选择空投共M千克，需选购一些降落伞，已知空投高度为h米，限制一定的速度时可以通过上述题解法；
在水中下沉的情况也可类似的分析，求解；
这种方法的应用范围很广，可以把很多有阻碍力或其他的阻碍物情况的问题推广和应用。
降落伞的选择 学院：电气工程学院 专业：电气工程及其自动化 姓名：徐永干学号：20124003 姓名：李聪学号：20123997 指导老师：黄光辉
降落伞的选择 摘要 本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合，找出了最 适合 投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。 首先，我们要确定阻力系数。通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运 动，通 过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s. 其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予
选 购。 最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。 关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合 问题重述 为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3米，载重300千克的降落伞从500米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。 为了确保救灾物资顺利的到达地面，我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素，因此我们对已知数据进行拟合，得到风速，偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数，在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下，选择最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。
历年数学建模赛题题目 1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年
降落伞的选择问题 摘要 本文主要讨论了在物资救援中使用空投救援时降落伞的选择问题。降落伞的正确选择可以大大的减少在满足空投要求的条件下所需的费用，避免造成资金浪费。本文就给出的5种不同半径的降落伞，提出了在满足空投要求下的优化模型。此问题的模型比较简单，是一个线性的整数规划的最优值问题。但是此问题的关键在于求空气阻力系数k 和各种降落伞的最大载重质量，这个两量解出则所有的问题即可迎刃而解。本文在求k 的过程中，用到了Origin 的非线性拟合功能，利用此方法拟合求得k=2.945。再通过分析可求得每种降落伞的最大载重质量与其对应的半径的关系为：237.744m r =，进而可求得每种降落伞的最大载重质量。最 后 通 过 lingo 求 得 了 目 标 函 数 : min z=12345736.529909.4111157.2941535.1761943.058x x x x x ++++再约束条件下的最优解，求得选取半径为3m ，3.5m 的降落伞各一个，半径为4m 的降落伞2个，既能满足空投需要，又能使总费用最小，为6578.586元。 在本文的最后还进行了模型的评价、改进，和并作出了具有比较实际意义的推广应用，提出了在不同高度投下，不同的落地速度要求下的结决方法，并且也提出了当降落伞的半径连续时的解决办法。 关键词：空气阻力系数 最大载重质量 非线性拟合 整数规划 一， 问题的提出与重述 1.1问题提出 在物资救援中,空投已经成为一种十分重要且便利的方式,由于降落伞难以多次
利用,所以如何减少空投的成本,让人们有更多的资金购买救援物资已经成为了一个不可忽视的课题。 1.2问题重述 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度过500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如下图： 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，；绳索费用C2由绳索总长度及单价6元/米决定；固定费用C3为400元。降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度x。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。 二，问题分析 本文主要解决的是在满足空投要求下的降落伞的选择问题，是典型的优化问题，通过对题目的分析可以进一步确定是整数线性规划问题。本题所建的模型的目标函数比较简单，主要是约束条件，而在约束条件中每种降落伞的最大载重质量又与空气阻力系数是有一定的量化关系的，因此此模型的关键在于求空气阻力系数。 三，模型假设 1．降落伞和绳索的质量均不计; 2．救灾物资的大小不计,可以看作质点处理; 3．降落伞下落的初速度为0; 4．救灾物资可以任意分割. 四，变量及符号说明
数学建模实验报告
一、实验目的 1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握 数学建模分析和解决的基本过程。 2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新 能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。 二、实验题目 （一）题目一 1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个 乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直 到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 2、问题分析 （1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的 方法，求得近似结果。 （2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。 3、模型建立 建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每 个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数 代表在该楼层下的乘客的人数。 再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。 例如： 给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为： m = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 c = 1 1 0 1 0 1 1 1 4、解决方法（MATLAB程序代码）：
n=10;r=10;d=1000; a=0; for l=1:d m=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r)); c=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:r if m(i,j)==1 c(j)=1; break; end continue; end end s=0; for x=1:n if c(x)==1 s=s+1; end continue; end a=a+s; end a/d 5、实验结果 ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。 （二）题目二 1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6 千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千 克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人 150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何 安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨 论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2、问题分析 （1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。 （2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
降落伞优化选择的整数线性规划模型 摘要 本文讨论了降落伞合理选择使费用最低的问题。通过对问题的分析，最大化载重量，最小化选购降落伞费用。以牛顿定律建立微分模型，以空投物资重量2000千克，每种降落伞最大载重量为约束条件建立整数线性规划模型。通过分步优化，最后以整数规划来解决这一问题。 首先，找出数据之间的关系，运用物理学和整数线性规划建立模型，并运用MATLABR软件描点作图进行数据拟合的方法,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期趋于做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，求出空气阻力系数为2.959,落地速度为17.5794.在求出每种降落伞最大载重量，并通过隔离载重物体并进行受力分析，求出相应半径降落伞绳索长度,进而算出每种半径的降落伞的绳索费。 最后，根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用LINGO解得到要购买半径为3m的降落伞数量为6把时总费用最少，总费用为4932元。 本文主要研究了降落伞优化选择问题。主要优点是：本文通过建立优化选择的整数线性规划模型求解，思路清晰，并大量运用计算机运算使计算误差减少，最终使得降落伞的选择最优;另一方面,本文所建的模型简单合理,具有较强的推广意义。主要缺点：在建立模型时，忽略了降落伞在实际应用中，会受到天气、风等一些自然因素的影响，使得模型与实际有些误差；本模型未考虑降落伞打开时间，将其假设成在下降时伞就已经打开；虽然大量运用计算机运算，但其中还是有不可避免的误差。 关键词: 数据拟合；单目标优化；微分方程；整数线性规划.
一、问题的提出： 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接着载重m，示意图如图1。 图 1 每个降落伞的价格由3部分组成。伞面价格由半径r决定（见表1）；绳索每米为4元，其他费用200元。 降落伞在降落过程中受到空气的阻力，可以认为与降落伞速度和伞面积的乘积成正比.为了确定阻力的大小，用半径3m、载重300kg的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻的高度（表2）。 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。 表二
数学建模实验报告 实验一计算课本251页A矩阵的最大特征根和最大特征向量 1 实验目的 通过Wolfram Mathematica软件计算下列A矩阵的最大特征根和最大特征向量。 2 实验过程 本实验运用了Wolfram Mathematica软件计算，计算的代码如下：
3 实验结果分析 从代码的运行结果，可以得到最大特征根为5.07293，最大特征向量为 {{0.262281},{0.474395},{0.0544921},{0.0985336},{0.110298}},实验结果 与标准答案符合。
实验二求解食饵-捕食者模型方程的数值解 1实验目的 通过Wolfram Mathematica或MATLAB软件求解下列习题。 一个生物系统中有食饵和捕食者两种种群，设食饵的数量为x（t），捕食者为y（t），它们满足的方程组为x’(t)=(r-ay)x,y’(t)=-(d-bx)y,称该系统为食饵-捕食者模型。当r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02时，求满足初始条件x（0）=25，y（0）=2的方程的数值解。 2 实验过程 实验的代码如下 Wolfram Mathematica源代码： Clear[x,y] sol=NDSolve[{x'[t] (1-0.1y[t])x[t],y'[t] 0.02x[t]y[t]-0.5y[t],x[0 ] 25,y[0] 2},{x[t],y[t]},{t,0,100}] x[t_]=x[t]/.sol y[t_]=y[t]/.sol g1=Plot[x[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotRange->{0,11 0}] g2=Plot[y[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],PlotRange->{0,40 }] g3=Plot[{x[t],y[t]},{t,0,20},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0],RGBColor[ 0,1,0]},PlotRange->{0,110}] matlab源代码 function [ t,x ]=f ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45('shier',ts,x0); End function xdot=shier(t,x)
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
课程设计报告名称: 数学模型题目：降落伞的选择院系： 班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 设计周数： 2 成绩： 日期：2012 年12 月30日
降落伞的选择 摘要 本题模型是讨论，在费用最小的前提下，选购降落伞的问题。为了简化问题的研究，我们把物体和降落伞看作一个整体，并假设物体只受竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力。对于物体下落时进行受力分析，可以根据牛顿第二定律，可得出加速度的表达式。利用lingo软件优化求解，可以求出降落伞的最优解。又因为，物体质量是速度的增函数，即速度最大，物体的质量最大。因此，得出重力就等于阻力，也就可以求出每个三的最大载重量。从而，可以求出最少选购的费用。 关键字：整数规划载重量 lingo
目录1. 问题提出 2. 模型假设 3. 符号说明 4.问题分析 5. 模型建立 6. 模型求解 7. 参考文献 8. 附录
1.问题提出 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如右图。 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C 1 由伞的半径r决定，见表1； 绳索费用C 2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C 3 为200元。 降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度，见表2。 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。如果救灾物资以每袋100kg或200kg等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开)，降落伞的选购方案如何？ 表1 (m) 2 2.5 3 3.5 4 C 1 (元) 65 170 350 660 1000 表2 t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 (m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 2.模型假设 1.假设，物体下落的过程中，只受竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力。 2.假设，不考虑降落伞及绳索的质量，且重力加速度为常数。 3.假设，空气阻力与下落速度和伞面积成正比，比例系数恒定 4.假设，空气情况良好，降落伞垂直下落且瞬间打开。 5.假设，物体救灾物资的2000kg质量可以任意分割。
数学建模与数学实验报告 指导教师__郑克龙___ 成绩____________ 组员1：班级______________ 姓名______________ 学号_____________ 组员2：班级______________ 姓名______________ 学号______________ 实验1.(1)绘制函数cos(tan())y x π=的图像，将其程序及图形粘贴在此。 >> x=-pi:0.01:pi; >> y=cos(tan(pi*x)); >> plot(x,y) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 1 （2）用surf,mesh 命令绘制曲面2 2 2z x y =+，将其程序及图形粘贴在此。（注：图形注意拖放，不要太大）（20分） >> [x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]); >> z=2*x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z)
-2 2 >> mesh(x,y,z) -2 2 实验2. 1、某校60名学生的一次考试成绩如下:
93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. （20分） 1） >> a=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; >> pjz=mean(a) pjz = 80.1000 >> bzhc=std(a) bzhc = 9.7106 >> jc=max(a)-min(a) jc = 44 >> bar(a)
降落伞的选择问题 组长：张瑜 组员：杨璐 组员：胡潇
摘要 本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。该问题是一个优化问题，以购买降落伞的费用最小构造目标函数，以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，进行线性规划，建立优化模型。通过LinDo软件对模型进行求解，最终得出最佳方案为３m的降落伞数量为６个，其他半径的降落伞不予选购，以及最小费用为4793元。 首先，我们需要计算各规格降落伞的价格，可知其价格由伞面费，绳索费，固定使用费三部分构成，以此进行计算。其次，我们需要计算出阻力系数，我们利用了两种方法确定出阻力系数为2.95747；之后，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量，通过之前计算出的速度与时间的关系式，推出速度与质量的关系，再确定质量与速度的关系，从而通过计算得出不同半径降落伞的最大载重量；最后列出目标函数和约束条件，进行线性规划，利用LinDo软件得出最终结果。 总之，我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化，为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。 关键字：优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO
问题重述 为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞用长为1m的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。（具体数据见附录中表格1，表格2） 问题的提出 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/ m s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为1m的16根绳索连着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图1所示。 图1 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。 降落伞在降落的过程中受到了空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重为300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。 确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，使费用最低。
matlab 试验报告 姓名 学号 班级 问题：.（插值） 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。 问题的分析和假设： 分析:本题利用插值法求出水深小于5英尺的区域，利用题中所给的数据，可以求出通过空间各点的三维曲面。随后，求出水深小于5英尺的范围。 基本假设：1表中的统计数据均真实可靠。 2矩形区域外的海域不对矩形海域造成影响。 符号规定：x ―――表示海域的横向位置 y ―――表示海域的纵向位置 z ―――表示海域的深度 建模： 1.输入插值基点数据。 2．在矩形区域（75,200）×（－50,150）作二维插值，运用三次插值法。 3．作海底曲面图。 4．作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。 x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 x y z 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9
求解的Matlab程序代码： x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9]; cx=75:0.5:200; cy=-50:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic'); meshz(cx,cy,cz),rotate3d xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') %pause figure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);grid hold on plot(x,y,'+') xlabel('X'),ylabel('Y') 计算结果与问题分析讨论： 运行结果： Figure1:海底曲面图：
中国研究生数学建模竞赛历届竞赛题目 第一届2004年题目 A题发现黄球并定位 B题实用下料问题 C题售后服务数据的运用 D题研究生录取问题 第二届2005年题目 A题HighwayTravelingtimeEstimateandOptimalRouting B题空中加油 C题城市交通管理中的出租车规划 D题仓库容量有限条件下的随机存贮管理 第三届2006年题目 A题AdHoc网络中的区域划分和资源分配问题 B题确定高精度参数问题 C题维修线性流量阀时的内筒设计问题 D题学生面试问题 第四届2007年题目 A题建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题 B题械臂运动路径设计问题 C题探讨提高高速公路路面质量的改进方案 D题邮政运输网络中的邮路规划和邮车调运 第五届2008年题目 A题汶川地震中唐家山堪塞湖泄洪问题 B题城市道路交通信号实时控制问题 C题货运列车的编组调度问题 D题中央空调系统节能设计问题 第六届2009年题目 A题我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模 B题枪弹头痕迹自动比对方法的研究 C题多传感器数据融合与航迹预测 D题110警车配置及巡逻方案 第七届2010年题目 A题确定肿瘤的重要基因信息 B题与封堵渍口有关的重物落水后运动过程的数学建模 C题神经元的形态分类和识别 D题特殊工件磨削加工的数学建模 第八届2011年题目 A题基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真 B题吸波材料与微波暗室问题的数学建模 C题小麦发育后期茎轩抗倒性的数学模型 D题房地产行业的数学建模
第九届2012年题目 A题基因识别问题及其算法实现 B题基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析C题有杆抽油系统的数学建模及诊断 D题基于卫星云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨 第十届2013年题目 A题变循环发动机部件法建模及优化 B题功率放大器非线性特性及预失真建模 C题微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析 D题空气中PM2.5问题的研究attachment E题中等收入定位与人口度量模型研究 F题可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究 第十一届2014年题目 A题小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究B题机动目标的跟踪与反跟踪 C题无线通信中的快时变信道建模 D题人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 E题乘用车物流运输计划问题 第十二届2015年题目 A题水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型 B题数据的多流形结构分析 C题移动通信中的无线信道“指纹”特征建模 D题面向节能的单/多列车优化决策问题 E题数控加工刀具运动的优化控制 F题旅游路线规划问题 第十三届2016年题目 A题多无人机协同任务规划 B题具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析 C题基于无线通信基站的室内三维定位问题 D题军事行动避空侦察的时机和路线选择 E题粮食最低收购价政策问题研究 数据来源：
数学与信息科学学院 数学建模实训论文 实训题目：降落伞的选购模型学生姓名、学号、专业班级 指导教师： 2014年12月
降落伞的选购模型 摘要 近几年自然灾害频繁发生，因此得进行大规模的抢险救灾活动，例如汶川大地震。所以降落伞的选购是一个最大问题。选择合理的降落伞并使投资费用最少是值得我们考虑的问题。 本题目就是关于降落伞的选购方案的最优化问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少，从而达到节约支出的目的。 为了方便研究我们先进行受受力分析: 把降落伞和物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、加速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。 为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体。可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。则物体A 在竖直方向上受到的合外力为： kSv mg F -=合 通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k 的值k=2.9377。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s ，所以当速度为20m/s 时，伞的承载量最大。 建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s ，高度500m,伞的 半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径）。伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r L 2=，则绳索费用为24*2*16C r = ；固定费用为定值3200C =，总费用321C C C C ++=最后运用LINGO 软件进行线性规划求解得一共需要四个n 2=0，n 2.5=0 ，n 3=1， n 3.5=1，n 4=2最少总费用为3682.34元。 关键字：最大承载量、线性规划、Matlab 、数据拟合
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建
赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综 合评价 2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据
数学建模大赛 论文题目：降落伞在下降过程中安全性问题 姓名1：马颖涛学号20100006专业：土木工程 姓名2：刘雷学号：20100209专业：土木工程 姓名3：崔磊学号：20100241专业：土木工程 2012 年5月3日
目录 一.摘要： (3) 二.问题的提出 (4) 三．问题的分析 (4) 四.建模过程 (5) 1模型假设： (5) 2.定义符号说明： (5) 3.模型建立 (5) 4模型求解： (8) 五.模型的评价与改进 (9) 六.参考文献以及附录代码 (10)
摘要： “降落伞在下降过程中的安全问题”数学模型是通过研究人体的重力、伞 的空气阻力(与受力面积成正比)、弹性绳的拉力之间的关系，建立人在竖直方向上的运动模型，进而给出运动方程。通过查阅资料我们可得一般人落地速度不得大于5m/s ，空气阻力系数为2.9378，重力加速度9.82/m s 。因此通过数据模拟拟合最终的外出最优值。首先考虑最简单的情况，即不考虑绳子的强度，忽略水平方向的风速影响，忽略绳子和伞衣的重量，把人和伞衣看成整体，运用物理学中力与运动的关系和微分方程给出速度和下落时间的微分关系，用matlab 软件给出解析关系。然后用该软件求出人体质量m 和伞衣面积的对应关系，并用表格表示。使不同的人可以根据自己的体重选择降落伞，也可以统计人的平均体重，确定降落伞的一般尺寸。使人们根据自己的体重可以选择适合自己的降落伞。计算过程中，把伞衣视为半圆柱面，并且设定半圆柱面的长度和直径的关系。伞衣面积234 S d π=。但是，这种情 况只能粗略估计体重与伞衣面积的关系，实际中应考虑绳子的强度，即人和伞衣的运动不同步。由图4可知，十秒之后速度趋向恒定，加速度近似为零。此时绳子拉力最大。 关键词：安全问题 运动方程 拟合 Matlab
降落伞的选择问题 组长：瑜 组员：璐 组员：胡潇
摘要 本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。该问题是一个优化问题，以购买降落伞的费用最小构造目标函数，以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，进行线性规划，建立优化模型。通过LinDo软件对模型进行求解，最终得出最佳方案为３m的降落伞数量为６个，其他半径的降落伞不予选购，以及最小费用为4793元。 首先，我们需要计算各规格降落伞的价格，可知其价格由伞面费，绳索费，固定使用费三部分构成，以此进行计算。其次，我们需要计算出阻力系数，我们利用了两种方法确定出阻力系数为2.95747；之后，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量，通过之前计算出的速度与时间的关系式，推出速度与质量的关系，再确定质量与速度的关系，从而通过计算得出不同半径降落伞的最大载重量；最后列出目标函数和约束条件，进行线性规划，利用LinDo软件得出最终结果。 总之，我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化，为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。 关键字：优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO
问题重述 为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞用长为1m的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。（具体数据见附录中表格1，表格2） 问题的提出 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/ m s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为1m的16根绳索连着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图1所示。 图1 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。 降落伞在降落的过程中受到了空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重为300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。 确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，使费用最低。
降落伞选择优化模型 摘 要 本文针对灾区空投物资时选取降落伞的问题，建立了降落伞选择优化模型。在保证空投任务完成的前提下，选择不同大小的降落伞个数需满足费用最小。（结尾这句不好） 首先，确定伞降落时的阻力系数k 。根据降落伞降落的情形进行受力分析，由牛顿定律得出关系，建立微分方程，利用拟合，运用数学软件Matlab 求出阻力系数k=3.0035。 其次，计算出不同半径的最大载重量分别为150.0726、235.8947、235.8947、462.3535、603.8903及每把伞的总费用分别为446.0193、596.2742、821.529、1176.7838、1562.0837。 然后，满足使用费最小的情况下，采用线性规划建立优化模型，并运用Lingo 软件求解出只需用半径为3的降落伞。 最后，运通limgo 2 2.53 3.540,0,6,0,0x x x x x =====，得出需要半径为3的降落伞为6个，满足使用费最小，且最小费用为4929.2。 1、利用拟合，运用数学软件Matlab 求出阻力系数k=3.0035。这句话不好！ 2．为150.0726、235.8947、235.8947、462.3535、603.8903及每把伞的总费用分别为446.0193、596.274 2、821.529、1176.7838、1562.0837最好用表格描述 关键词： 阻力系数 拟合 优化模型 MATLAB LINGO
1 问题重述（OK ） 为向灾区空投救灾物资，需选购一些降落伞。 1.1 题目给出的条件 1 空投物资重2000kg ，空投高度500m 。 2 降落伞落地速度不能超过20/m s 。 3 降落伞面为半径r 的半球面，用每根长L 共16 根绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处。 4 降落伞价格（下面这个有问题！） =+c c 123降落伞价格伞面费（,由r 决定）伞绳费（ ,由绳索总长度及单价4m/元决定）+固定费用(=200元)c 5 降落伞在降落过程中受到空气阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比。然后用 半径r=3m,载重m=300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻t 的高度x （见 附录A ），从而确定阻力系数。 1.2 所求问题 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个降落伞，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。 2 模型假设及符号说明（OK ） 2.1 模型假设 1 空投物资的2000kg 可以任意分割； 2 假设空投物资的瞬间伞打开； 3 降落伞和绳的质量可以忽略不计； 4 降落伞的落地速度不会超过20m/s ； 5 空气的阻力系数只与空气有关与其它因素无关； 6 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。 7 偶然情况忽略不计，空投情况正常。 8 g=10 2.2 符号说明 f 空气阻力 k 阻力系数 Mr 半径为r 的降落伞的最大载重 r s 半径为r 的降落伞的伞面积 ()x t t 时刻降落伞的下降高度 r x 径为r 的降落伞数目 1C 伞面费 2C 绳索费 3C 固定费用 L 根绳索的长度 a 降落伞的加速度 g 重力加速度 F 合 物体受的合外力 3 问题分析 根据题目所给出的条件进行分析 （下面有些字母没有用公式编辑器，而且字线并未做符号说明，其他还好） 首先，由条件4分析得出降落伞所受的阻力与降落速度和伞面积的关系，伞在降落