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暑期华杯赛暑期赛前培训资料:(3)教师版

2010年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析(3)

姓名

指导教师:陟乃赋

联系方式:Email :zhinaifu@http://www.doczj.com/doc/c236c76c0975f46526d3e121.html 手机:135********

一、准确填空:

1.果品公司购进苹果5.2万千克,每千克进价是0.98元,付运费等开支1840元,预计损耗为1%.如果希望全部进货销售后能获利17%,问:每千克苹果零售价应当定为 元?

解:全部进货所需费用:0.98×52000+1840=50960+1840=52800(元)

能销售的总量:52000×(1-1%)=52000×99%=51480(千克)

设每千克苹果零售价应当定为x 元,则

52800×(1+17%)=x ×51480

x=52800×1.1751480

x=1.2

答:每千克苹果零售价应当定为1.2元.

2.计算:19+199+1999+…+ 个1999999991 =?

解:

19+199+1999+…+ 个1999999991

=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+( 个1999000002 -1)

=20+200+2000+…+ 个1999000002- 个

1999)111(+++ = 个

1999222220-1999 = 个

19962222220221 评注:像上例那样,加减运算时,常采用凑整的方法使运算简便,有时,加减运算还可采用其他方法,使运算简便.如:

计算:(2000-1)+(1999-2)+(1998-3)+…+(1002-999)+(1001-1000)=?

解法一:先把每个小括号内的结果算出来,所得的差分别是1999、1997、1995、…3、1,可按求连续奇数的和,求出算式的结果.

原式=1999+1997+1995+…+3+1

=(1999+1)×

2

1211999?+〈高斯求和公式〉 =2000×1000121?=1000000 或原式=1999+1997+1995+…+3+1 =2211999??? ?

?+ 〈从1开始若干个连续奇数和等于奇数个数的平方〉 =10002=1000000

解法二:先把所有的小括号去掉,然后利用加法交换律,减法的运算性质进行计算.

原式=2000-1+1999-2+1998-3+…+1002-999+1001-1000

=(2000+1999+1998+…+1002+1001)-(1+2+3+…+999+1000)

=(2000+1001)×212110012000?+--(1+1000)×2

12111001?+- =3001×500-1001×500〈高斯求和的方法〉

=(3001-1001)×500

=2000×500=1000000

当然,进行分数加减时,需考虑分母的特征,选择恰当的方法进行计算.

总之,进行加减计算,究竟采用什么办法,需要依据题目的特征,具体问题具体分析.

二、谨慎推理:

3.某商贸服务公司,为客户出售货物收取3%的服务费,代客户购置物品收取2%服务费.今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备.已知该公司共扣取了客户服务费264元,而客户恰好收支平衡,问:所购置的新设备花费了多少元?

解:为简洁一些,用字母m 代表出售货物的钱,用字母n 代表购置设备的钱,根据题意,该公司共扣取了客户服务费264元,列出关系式:

m ×3%+n ×2%=264(元).

又根据题意,“客户恰好收支平衡”,即

m×(1-3%)=n+n×2%,

m=n×(1+2%)1-3%,

所以

n×(1+2%)1-3%×3%+n×2%=264(元),

也就是

n×(1+2%)×3%+n×2%×(1-3%)

=264×(1-3%)(元),

n×[(1+2%)×3%+2%×(1-3%)]

=264×(1-3%)(元)

因此,

n=264×(1-3%)(1+2%)×3%+2%×(1-3%)

=264×97%1.02×3%+0.97×2%

=264×973.06+1.94

=256085=5121.6(元)

答:所购置的新设备花费了5121.6元.

4.一列数,前3个是1,9,9,以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数,求:这列数中的第1999个数是几?

解:根据题意,写出这列数的一部分,

1,9,9,1,1,2,1,1,1,0,2,0,2,1,0,0,1,1,2…….

可以看出,除了前3项1,9,9,这个数列每隔13项(1,1,2,1,1,1,0,2,0,2,1,0,0)循环一次,所以,这列数中的第1999个数是几,关键是看1999个数中除前3个以外,每13个数循环一次,循环若干次后的余数.

(1999-3)÷13=1996÷13=153 (7)

也就是说,这列数中的第1999个数,正好是按1,1,2,1,1,1,0,2,0,2,1,0,0这样的顺序每13个数循环一次,总共循环了第153次后,第154次循环开始的第7个数,正好是0.

答:这列数中的第1999个数是0.

三、急中生智:

5.将1~9这九个数字填入图7-7的9个圆圈中,使每

个三角形和每条直线上的3个数字之和相等(写出一

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个答案即可).

解答:根据题意,将1~9这九个数字填入9个圆

圈中,正好将1~9这九个数字的和平均分成三组,

因此可以求得每个三角形和每条直线上的3个数字

之和:

(1+2+3+…+8+9)÷3=45÷3=15

按题目要求,图7-7共有六祖数,用了18个数字,每个数字使用了2次。相当于

将1-9这九个数字分为3组,每组数字和是

15,有两种不同的分法。

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现在分配如下:

第一种:(1,6,8),(2,4,9),(3,5, 7)

第二种:(1,5,9),(2, 6, 7), (3, 4, 8)

将第一种分法的三组数放在三条线段

上,第二种的三组数自然就被确定在三个三角

形上(见图7-7a ).类似,将第二种分法的三

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组数放在三条线段上,第一种的三组数自然就

被确定在三个三角形上(见图7-7b )

所以,如果不计较三个三角形和三条直线

的相互位置,那么图7-7a 和图7-7b 则是仅有

的两种填法. 评注:解答填数问题,除了首先找出平均数外,有时还需要在不止一个的答案中,选择符合题目要求的答案.如:

在一个由六个圆圈组成的三角形里,把10到15这6个数分别填入图7-8的圆圈中,要求三角形的每条边上的三个数的和S 都相等,那么S 的最大值是多少?.

解答:根据题意,10到15这6个数的和是75,而其

中有三个数被加了两次,为使三角形的每条边上的

7-7

图7-7b 图7-8

7-7a

三个数的和S 不仅相等,且S 的值最大,那么被加

了两次的3个数应是13、14、15,所以,三角形的

每条边上的三个数的和是:

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(75+13+14+15)÷3=117÷3=39

这就是说,三个较大的数(被加了两次的数)应分别填

入三角形的三个顶点上(图7-8a). 6.如图7-9,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体棱长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求图示立体的表面积和体积.(取π=3.14)

解:根据题意,所求图形的表面积和体积,都和被

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挖去的部分有关。

根据题意,所求图形表面积由两部分组成:外

侧表面积和内侧表面积.

外侧表面积,实际上是原来大正方体的表面积,

除去四个边长为4厘米的正方形的面积,再除去两

个直径为4厘米的圆的面积(见图7-9).即

10×10×6-4×4×4-22×π×2

=600-64-25.12

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=510.88(平方厘米)

而内侧表面积是被挖去部

分的表面积,除去两个直径为4

厘米的圆面积,再除去四个边长

为4厘米的正方形面积(见图

7-9a).即 ()()()224104224416241042?÷-+??-?+?÷-?ππ

=192+6.88+75.36=274.24(平方厘米)

因此,所求图形的表面积:274.24+510.88=785.12(平方厘米)

7-8a

图7-9a 图

7-9

结合图示,所求图形的体积等于原来大正方体的体积减去被挖去部分的体积. 原正方体的体积是10×10×10=1000(立方厘米),

被挖去部分的体积(见图7-9b ):

(4×4×3)×4+4×4×4+

2

1×π×(10-4)÷2×2=192+64+75.36 =331.36(立方厘米).

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因此,所求图形的体积: 1000-331.36=668.64(立方厘米).

答:所求立体的表面积是785.12平方厘米,体积是668.64立方厘米.

四、规律探求:

7.a 是自然数,且 1

11111117个n a =,求a 的最小值.

解答:问题相当于求最小的n ,使 1

111111个n 能被17整除。由于9与17是互质的,

问题又转化为相当于求最小的n ,使得 9

999999个n 能被17整除。

7176458823529410.0)110(17

1)110(17110 ?-=?-=-=n n n b 大家知道:一个小数被10乘过之后,就等于将原小数的小数点向右移一位.将上面那个循环小数记作x ,于是x x b n -=10,其中n 10将x 中的小数点向右移n 位.由此可见,如果b 是正整数,必须而且只须n 是x 的循环节中所含数字的个数的倍数,即n =16k ,k =1,2,….当k =1时,有最小的n =16,因此, 1

1611111117个=a ,于是

41836535947712

171111111

16=÷= 个a . 8.对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2;如果是奇数则加1,如此进行直到为1,操作停止.求经过9次操作变为1的数有多少个?

解:设给出一个自然数0x ,按照题目中指定的操作,可以经过9次操作,作出以下

图7-9b

10个自然数:98210x x x x x →→→→→ .

已知19=x ,有多少个自然数8x 按题目的操作得到

1?8x 只能是2;,这时有多少个自然数7x 按题目的

操作得到2,显然,两种可能47=x 和1;再倒推一次,6x 有三种可能:2,3,8,依次计算,画出树形

图(图7-12)。 做过第k 步之后,设k a 是k x 为的偶数的个数,k b 是奇数的个数(k =0,1,2,…,

9),如由图7-12所示,:由操作方法可知:对于偶数m ,有m 2和1-m 依照题目操作可以得到这个偶数m ;对于奇数m ,就仅有一个数m 2依照题目操作可以得到这个奇数m 。所以:

111,k k k k k a a b b a +++=+=

依上述规律,列出下表:

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答:经过9次操作后变为1的数有55个.

五、小试牛刀:

9.已知k n m ,,为自然数,k n m ≥≥,k n m 222-+是100的倍数,求k n m -+的最小值.

解:因为100整除k n m 222-+,100=4×25, k n m 222-+=()1222-+--k n k m k . k n ≠,否则,k n m 222-+=m 2就不能被25整除,可见2≥>k n 。这时候,若有最小的()()k n k m -+-使122-+--k n k m 被25整除,则有最小的()()k k n k m +-+-=k n m -++使k n m 222-+是100的倍数。可以取k 尽可能的小,所以,2=k .

为表达简洁一些,下面的式子评注:

)5(2

2Mod ≡ 表示2被5除的余数是2;

……………………………………… 1 4 1

2 2 8 3

1 6 16 7 4 图7-12

)5(4

22Mod ≡ 表示22被5除的余数是4; )5(3

23Mod ≡ 表示32被5除的余数是3; )5(124Mod ≡ 表示42被5除的余数是1;

这时候若 ① 422≡-m 并且222≡-n ;② 322≡-m 并且322≡-n 时,则有2222--+n m 被5整除余1,12222-+--n m 应当被5整除。所以可以计算:(注意n m ≥)

① 当422≡-m 并且222≡-n 时,

当4,3==m n ,12222-+--n m =50,不是25的倍数;

当8,3==m n ,12222-+--n m =65,不是25的倍数;

当12,3==m n ,12222-+--n m =1025,是25的倍数;此时.13=-+k n m

其余的情况,13>-+k n m

② 322≡-m 并且322≡-n 时,

5,5==m n ,12222-+--n m =15,不是25的倍数;

其余的情况,13>-+k n m .

答:使得100整除k n m 222-+的最小的k n m -+的值是13.

评注:解题过程应用了同余的性质,请参考“华罗庚金杯”少年数学邀请赛培训教材中第三篇。

10.若1998个小朋友围成一圈,从某人开始,逆时针方向报数,从1报到64,再依次从1报到64,一直报下去,直到每个报过10次为止,问:

(1)有没有报过5,又报过10的人?有多少?说明理由;

(2)有没有报过5,又报过11的人?有多少?说明理由.

解答:

① 做带余除法:1464311998+?=,余数是14。这个余数表明,如果某个小朋友在

第k 轮报数中报的数是k a ,那么,在第1+k 轮中报的数是则141+=+k k a a 或者

64141-+=+k k a a (如果6414>+k a )

,1+k a 和k a 有相同的奇偶性,说明同某个小朋友所报的数或者都是偶数,或者都是奇数。所以没有一个小朋友既报过5,又报过10;

② 某个小朋友第一次报5后,经过第k 轮所报的数是:()5141+?-k 被64除的余

数。例如:第2次报数时,这名小朋友报的数是()1951412=+?-,不难计算出,当6=k 时, ()11647551416+==+?-,这名小朋友报的数是11;

③ 前面第②说明第1轮报数为5,则在第6轮报11,……, 第5轮报数为5则在第

10轮报11。所以在10轮报数中只有前5轮报5的小朋友,才有机会报数11。所以:

66415619985+?=?,

上式说明在前5轮报数中共有157名小朋友报5,即在10论报数中共有197名小朋友报过5又报过11.

六、大题小做:

11.在三角形ABC 中,D ,E 是BC 边上的点,BD =AB ,CE =AC ,又∠DAE =13∠BAC ,求∠BAC 的度数(图7-13).

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解:△ABD ,△AEC 是两个等腰三角形,

∠ADB =∠BAD ,∠AEC =∠CAE ,

在△AED 中,∠DAE+∠AED+∠ADE =180°, 所以,∠CAE+∠BAD+∠EAD =∠BAC+2∠EAD =53∠BAC =180°,即∠BAC =108°. 答:∠BAC 的度数是1080

.

12.若152个球,放入若干个同样的箱子中,一个箱子最少放10个,最多放20个,且各个箱子的球数均不相同,问:有多少种放法?(不计箱子的排列,即两种放法,经过箱子的重新排列后,是一样的,就算一种放法)

解答:如果放11个箱子,则

10+11+...+20=165>152. (1)

因此,不可能放11个箱子.如果放9个箱子,则

12+13+…+20=144<152

也不可能.所以只能放在10个箱子中.考虑11个数和为165,见(1)式.165-152=13.所以,只有一种放方法:即将152个球放在10个箱子里,每个分别装球数分别是10、11、12、14、15、16、17、18、19、20. 图

7-13