知识要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象及变换的图像。
1、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、单调区间、最大值和最小值；
知识点一：周期性 例题分析
例1.函数sin()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 例2.函数cos()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 例3.函数tan()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 针对练习
1、
12sin
2y x
=的最小正周期为____________；
2、f (x )＝cos ?
???2x ＋π
6的最小正周期为________． 3、2cos()32
y x π
=-
+的最小正周期为____________； 4、tan(
)23
y x π
π
=-的最小正周期为___________； 5、函数2
tan 3
4y x π??=-
+ ???的最小正周期是 ； 6、函数)sin(π+=ax y 的周期为
知识点二：单调性
求sin()y A x ωφ=+的单调区间的方法 求cos()y A x ωφ=+的单调区间的方法 增区间求法：令t x ω?=+，原函数变形为
sin y A t =。当22
k t π
π-
+≤22
k π
π≤
+ 时单调递增，即22
k x π
πω?-
+≤+
22
k π
π≤
+，求出x 的范围。
增区间求法：令t x ω?=+，原函数变形为
cos y A t =。当2k t ππ-+≤2k π≤
时单调递增，即2k x ππω?-+≤+
2k π≤，求出x 的范围。
减区间求法：令t x ω?=+，原函数变形为
sin y A t =。当
22
k t π
π+≤322
k π
π≤
+ 时单调递增，即
22
k x π
πω?+≤+
322
k π
π≤
+，求出x 的范围。 减区间求法：令t x ω?=+，原函数变形为
cos y A t =。当2k t π≤2k ππ≤+
时单调递增，即2k x πω?≤+
2k ππ≤+，求出x 的范围。
例题：求)43sin(2π
+
=x y 的单调增区间和单调减区间。 解：(1)增区间： 由2322
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，得
Z k k x k ∈+≤≤+-
，ππππ
32
12324
所以原函数的增区间为
Z k k k ∈++-
]32
12324[ππππ
， (2)减区间：
由Z k k x k ∈+≤
+
≤+,2234
322
πππ
ππ
，得Z k k x k ∈+≤≤+，ππππ
32
1253212
所以原函数的减区间为
Z k k k ∈++]32
1253212[ππππ，
例题：求
)
43cos(2π
+
-=x y 的单调增区间；
解：(1)增区间：
由2322,4
k x k k Z
π
ππππ+≤-+
≤+∈，
得
37232,44k x k k Z ππ
ππ+≤-≤+∈272,43123k x k k Z ππππ--≤≤--∈272,43123
k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈ 或Z k k x k ∈+≤≤+，ππππ32
12932125
所以原函数的单调增区间为
Z k k k ∈++]32
12932125[
ππππ，
针对练习
1、函数))(2
sin(R x x y ∈+
=π
在 （ ）
A ???
??
?-
2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数 2、 函数x y 2sin 2=的单调递增区间为_____________________； 3、函数y=sin （
23
x π
-）的单调增区间为_______________________；
4、函数)32cos(2π
-=x y 的单调增区间是________________________； 5、函数2tan()33
x y π
=+的单调减区间是________________________；
6、求函数)4
3cos(log 2
1π
+
=x y 的单调递增区间
知识点三：单调性的应用
例1.比较sin 250?和sin 260?的大小；
例2.已知]23
,2[ππ-
∈x ，解不等式2
3
sin -≥x ；
针对练习 1、 比较大小
tan100? tan 200?； 15cos
8π 14cos 9π ③sin 18π??- ??? sin 10π??
- ???
④17cos()4π-
23cos()5π- ⑤7cos 5π 16cos 5π ⑥11tan()4π- 13
tan()5
π-
2．在［0，2π］上满足sin x ≥2
1
的x 的取值范围是（ ）
A ．［0，6π］
B ．［6π，65π］
C ．［6π，32π
］ D ．［6
5π，π］
3、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）
A )45,()2,4(
πππ
π B ),4(ππ C )45,4(ππ D )2
3,45(),4(π
πππ
知识点四：奇偶性
1、判断函数的奇偶性。(1))2
5
2sin(2)(π+=x x f (2) )sin 1lg(sin )(2x x x f ++=
知识点五：定义域
例1、求函数的定义域(1)x x y sin 2
3
sin -+
= (2)21cos )21lg(sin -+-=x x y
(3)求函数216sin lg )(x x x f -+=的定义域。
针对练习 1、函数11
cos 2
y x =
+
的定义域是 ．
2、函数1tan y x =-的定义域是 ．
3、求函数)ln(tan )(x x f =的定义域
4、函数225cos 1x x
y --=
的定义域为
5、函数225lgsin y x x =
-+的定义域是
知识点六：值域和最值
例1、 求函数13cos 2--=x y 的值域，并指出函数取得最大值、最小值时x 的取值。
例2.求3sin(2),[,]3
66
y x x π
ππ
=+∈-
的最大值、最小值及对应的x 的取值。
针对练习
1、)3
2cos(23π
++=x y 的值域是_____________________；
2、]6
,6[),3
2sin(2π
ππ
-
∈+
=x x y 的值域是_____________________； 3．函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值为 ．
4、求函数12sin +=x y 的值域，并指出函数取得最大值、最小值时x 的取值集合。
5、若x b a y sin +=的值域是]2
3
,21[-
，求b a ,的值； 三、课堂小结
1、掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性；
2、理解单调区间的求解过程，并会求函数的值域和最值；
3、掌握三角函数的定义域的求解方法。 四、布置作业
1．在下列函数中，同时满足①在(0，2
π
)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的( )
A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝tan 2
1
x D ．y ＝－tan x
2、3sin(2)4
y x π
=+的最小正周期是 、单调递增区间是 、单调递减区
间是 ； 3、若2sin(2),[0,]32
y a x b x π
π
=-
+∈的最大值是1，最小值是5-，求a b ，的值。
( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
一、填空题 1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1 、若f (a )＝23、则f (－a )＝________. 解析：根据题意、f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1、而h (x )＝x x 2＋1 是奇函数、 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 答案：43 2．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R)是偶函数、值域为(－∞、4]、则该函数的解析式为f (x )＝________. 解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数、可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞、4]、∴b <0、且2a 2＝4、从而b ＝－2、∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4 3．若f (x )＝12x －1 ＋a 是奇函数、则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数、∴f (－x )＝－f (x )、 则12－x －1＋a ＝－(12x －1 ＋a )、∴a ＝12. 答案：12 4．定义在R 上的偶函数f (x )、对任意x 1、x 2∈[0、＋∞)(x 1≠x 2)、有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 <0、则f (3)、f (－2)与f (1)的大小关系是________． 解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 <0、得f (x )在[0、＋∞)上单调递减、由偶函数性质得f (3) 函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-. 换种说法： )(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 1、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 2、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。 3、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2 b a x +=对称。 4、 函数的轴对称： 定理1：如果函数 ()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数 ()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 5、 函数的点对称： 定理2：如果函数 ()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对 称. 推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、总规律：定义在Ｒ上的函数 ()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 四、试题 1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）. A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负. 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2 222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++- =与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。 ③0))(2,)(2(0),(2 222=+++-+++-=B A C By Ax B y B A C By Ax A x F y x F 与关于直线 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 1 / 9 函数的奇偶性与周期性精选习题 一、选择题 1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2 g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函 数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9 C ．-11 D ．-13 2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121 x f x x x π? ? =-++ ? +? ?，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1x x e f x ?? =- ?+?? 的图象大致形状为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且 (2)()f x f x +=-，则有（ ） A ．13 ()()(1)3 2f f f << B ．3 1(1)()()2 3 f f f << C ．13 (1)()()32 f f f << D ．31()(1)()23 f f f << 5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当 [0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ） A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-2 6．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与 2 / 9 (1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019 x f x - =的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019 C ．1010 D ．1009 7．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有 ()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x f x ??=- ??? ，若关于x 的方程()()log 20(1) a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． ) 2 C ． 2?? D ． 2?? 二、填空题 8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2 3f x x x =-，则不等式 ()22f x -≤的解集为___． 9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞?+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()2 2 424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____． 10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________． 函数奇偶性对称性与周期性有关结论 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -= 对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称 （三）函数的周期性 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 3= 8、) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 函数对称性、周期性和奇偶性规律总结 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y -- 三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路： 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性） “定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3 x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质： 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意 且 ① 总有 则称 在区间M 上单调递增 ② 总有则称在区间M 上单调递减 应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论 （1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） §2.3 函数的奇偶性与周期性 知识梳理： 1．奇、偶函数的概念 2．奇、偶函数的图象特征 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 (2)最小正周期 5．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f (x )为奇函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ． 6．奇、偶函数和与积的奇偶性的判定 基础自测： (2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3， y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 (2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当 x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 (2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 (2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝ ? ????－4x 2 ＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1， 则f ????32＝________ . (2014·湖南)若f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 例题分析： 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ????－x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x ； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg （4－x 2） |x －2|＋|x ＋4|； (2)f (x )＝? ????x 2＋x ，x ＜0， －x 2＋x ，x ＞0. 已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值； (3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式． 已知函数f (x )，x ∈R 的图象关于y 轴对称， 且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，同时f (x ＋2)＝ f (x )，求f (x )． 设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间 [0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________． 已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )，在 (－1，1)上又是减函数，且满足f (2x －1)＋f ???? 13＜0，则x 的取值范围为______________． (2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝?? ???x （1－x ），0≤x ≤1， sinπx ，1＜x ≤2， 则f ????294＋f ????416＝________. (2014·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3 a ＋1， 则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 作业： 1．(2014·广东)下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －1 2 x B ．x 3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x 2＋2x 2．(2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结 §2.3函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (4)若函数f (x )＝x (x －2)(x ＋a ) 为奇函数，则a ＝2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( √ ) 2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A ．－13B.13C.12D ．－12 答案 B 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13 . 4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数， 函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.
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