三数列教师版
一、高考预测
数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.
数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难
度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制． 二、知识导学
要点1：有关等差数列的基本问题
1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；
2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d ＞0,递增；d ＜0，递减）；
3．证明数列{n a }为等差数列有如下方法：①定义法；证明1n n a a d +-=（与n 值无关的常数）；②等差中项法：证明
112(2,)n n n a a a n n N *-+=+≥∈。
要点2：有关等比数列的基本问题
1证明数列{n a }为等比数列有如下方法：①定义法：证明
1
()n n
a q n a +=与值无关的非零常数。 ②等比中项法：211(2,)n n n a a a n n N *-+=≥∈ 。
2求一般数列{n a }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。
要点向3：等差、等比数列综合问题
1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由n S 求通项，累加法、累乘法等
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。
4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略． 要点4：可转化为等差、等比数列的求和问题
某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1．凑配、消项变换——如将递推公式1n n a pa q +=+（p q 、为常数，q ≠0，p ≠1）。通过凑配变成1()11
n n q q
a p a p p ++=+--；或消常数转化为11()n n n n a a p a a +--=- 2．取倒数法—如将递推公式)
(11
b a k ma a n n n +=--递推式，考虑函数倒
数关系有
)1
1(11m
a k a n n +=- ?
m
k a k a n n +?=-111令n n a b 1
=
则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型。
3．对数变换——如将递推公式1p n n a ca +=(0,0,0,1)n a c p p >>>≠取
对数得1lg lg lg n n a c p a +=+
4．换元变换——n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，
)0)1)(1((≠--q p pq （或1n n n a pa rq +=+,其中
p ，q, r 均为常数）。
一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：1
1
1
n n n n a a p q
q q q
++=?+引入辅助数列{}n b （其中n
n n q a b =），得：q
b q p b n n 1
1+=+则转化为1n n b Aa B +=+的形式。
要点5：数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比1≠q 的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 三、易错点点睛
命题角度1 数列的概念
1．已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1,(n ≥2)，则｛a n ｝的通项a n =_________.
[考场错解] ∵a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1，∴a n-1=a 1+2a 2+3a 3+…+(n-2)a n-2，两式相减得a n -a n-1=(n-1)a n-1，∴a n =na n-1.由此类推： a n-1=(n-1)a n-2，…a 2=2a 1，由叠乘法可
得a n =2
!
n [专家把脉] 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n 的范围．当n=1时，a 1=2
1与已知a 1=1，矛盾． [对症下药] ∵n ≥2时，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1①
当n ≥3时，a n-1=a 1+2a 2+3a 3+…+(n-2)·a n-2② ①-②得 a n -a n-1=(n-1)·a n-1∴当n ≥3时，
1
-n n
a a =n ，∵
a n =1
-n n a a ·2
1--n n a a ·．．．·22
33
4a a
a a a ??=n·…·4·3×a 2=2!
n a 2，∵a 2=a 1=1 ∴当n ≥2时，a n =2
!
n . 当n=1时，a 1=1故a n =???
????≥=).
2(2!)1(1
n n n
2．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S n =
2
)
13(1-n a (对于所有n
≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是________. [考场错解]∵S n =
2
)
13(1-n a =
3
1)31(1--n a ,∴此数列是等比数列，首项
是a 1，公比是3，由a 4=a 1·34-1
， ∴a 1=2．
[专家把脉] 此题不知数列｛a n ｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是巧合．
[对症下药]∵a 4=S 4-S 3=21a (34
-1)-21a (33
-1)=54，解得a 1=2．
3.已知数列｛a n｝满足a1=1，a n=3n-1+a n-1(n≥2) (1)求a2，a3； (2)求通项a n的表达式．
[考场错解] (1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13．
(2)由已知a n=3n-1+a n-1，即a n-a n-1=3n-1即a n成等差数列，公差d=3n-1．故a n=1+(n-1)·3n-1．
[专家把脉] (2)问中a n-a n-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义．
[对症下药] (1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13．
(2)由已知a n-a n-1=3n-1，故a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…
+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=
21
3-
n.
4．等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( )
A.160 B．180 C. 200 D．220
[考场错解]由通项公式a n=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差数列求和，选C．
[专家把脉]此方法同样可求得解．但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多．
[对症下药] B 由公式m+n=2P?a m+a n=2ap?(只适用等差数列)即可求解．由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又∵
S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=180
2．若｛a n ｝是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 ( ) A.4005 B ．4006 C.4007 D.4008
[考场错解] ∵a 2004+a 2003>0，即2a 1+2002d+2003d>0，(a 1+2002d)(a 1+2003d)<0，要使S n >0．即使na 1+2)1(-n n d ＞0．这样很难求出a 1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a 2003>0，a 2004<0，所以前2003项为正，从第2004项起为负，由等差数列的n 项和的对称性使S n ＞0．故而取n=4005使S n >0．
[专家把脉] 此题运用等差数列前n 项的性质及图象中应注意．a 2003>0，a 2004<0． 且忽视了这两项的大小． [对症下药] B ∵a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，且｛a n ｝为等差数列 ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2003是绝对值最小的正数，a 2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a 2003|＞|a 2004|∴在等差数列｛a n ｝中，a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0，S 4006=2)(400640061a a +＞0 ∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4006．
3．设无穷等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项a 1=23，公差d=1，求满足S k2=(S k )2
的正整数k;
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列｛a n ｝；使得对于一切正整数中k 都有S k2=(S k )2
成立．
[考场错解] (1)当a 1=23,d=1时，S n =2
1
n 2
+n ，由S k2=(S k )2
得2
1
k 4+k 2
=
2
221??
? ??+k k ，即k=0或k=4．
∴k ≠0．故k=4．
(Ⅱ)由对一切正整数k 都有S k2=(S k )2成立． 即k 2
a 1+
2
)1(22-k k d=(ka 1+d k k 2)1(-)
2
即(a 1-21a )k 2
-adk 2(k-1)+2
d k 2(k 2
-1)-42
d
k 2(k-1)2
=0对—切正整数k 恒成立故???
?
???===-0,0,
01211d d a a a 求得a 1=0或1，d=0 ∴等差数列a n =
｛0,0,0,…｝，或a n =｛1，1，1，…｝．
[专家把脉] (Ⅱ)中解法定对一切正整数k 都成立．而不是一切实数．故而考虑取k 的特值也均成立． [对症下药] (Ⅰ)当
a 1=
2
3
,d=1
时，
S n =na 1+.212)1(232)1(2n n n n n d n n +=-+=-由Sk 2=(S k )2
,得21k 4
+k 2
=(2
1
k 2
+k)2
，即k
3)
14
1
(-k =0.又k ≠0，所以k=4．
(Ⅱ)设数列｛a n ｝的公差为d ，则在S k2=(S k )2
中分别取k=1,2,得
??
????+=??=?????==)2.()2122(2344)1(,.)(,)(211211224
21
1d a d a a a S S S S 即
由（1）得a 1=0或a 1=1. 当a 1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a 1=0,d=0,则a n =0,s n =0,从而S k2=(S k )2
成立；若a 1=0,d=6,则a n =6(n-1),由S 3=18，（S 3）2
=324,S 9=216知S 9≠(S 3)2
，故所得数列不符合题意.当a 1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2
解得d=0或d=2.若a 1=1,d=0,则a n =1,S n =n,从而S k2=(S k )2
成立；若a 1=1,d=2,则a n =2n-1,S n =1+3+…+（2n-1）
=n 2,从而S k2=(S k )2
成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:①{a n }：a n =0,即0，0，0，…；②{a n }:a n =1,即1，1，1，…；③{a n }:a n =2n-1,即1，3，5，….
4.已知数列{a n }的各项都是正数,且满足:a 0=1,a n+1=21a n ·(4-a n ),n N.(1)证明a n ＜a n+1＜2,n ∈N.(2)求数列{a n }的通项公式a n
.
[考场错解] 用数学归纳法证明：（1）1°当n=1时，
a 0=1,a 1=21a 0（4-a 0）=2
3
,∴a 0＜a 1＜2,命题正确. 2°假设n=k 时有a k-1＜a k ＜2.则n=k+1时，
a k -a k+1=21a k-1(4-a k-1)-2
1a k (4-a k ) =2(a k-1-a k )-
2
1
(a k-1-a k )(a k-1+a k )=
2
1(a k-1-a k )(4-a k-1-a k ).而
a k-1-a k ＜0. 4-a k-1-a k ＞0,∴a k -a k-1＜0.又
a k-1=21a k (4-a k )=2
1
[4-(a k -2)2
]＜2.∴n=k+1时命题正确.由1°、2°知对一切n ∈N 时有a n ＜a n+1＜2.
(2)a n+1=21a n (4-a n )=21[-(a n -2)2
+4].∴2(a n+1-2)=-(a n -2)2
∴a n+1-2=21(a n -2)2
令b n =a n -2,∴b n =-(21)1+2+…+2n-1
·n b 21又∵
b 1=a 1-2=-21.∴b n =-(2
1)2n+2n-1
.即a n =2-(2
1)2n+2n-1
.
[专家把脉] 在（Ⅱ）问中求b n 的通项时，运用叠代法.最后到b 0而不是b 1.
[对症下药]（Ⅰ）同上，方法二：用数学归纳法证明：1°
当n=1时，a 0=1,a 1=21a 0(4-a 0)=2
3,∴0＜a 0＜a 1＜2;2°假设n=k 时有a k-1＜a k ＜2成立，令f(x)= 2
1x(4-x),f(x)在[0，
2]上单调递增，所以由假设有：f(a k-1)＜f(a k )＜f(2),即
2
1a k-1(4-a k-1)＜21a k (4-a k ) 2
1
×2(4-2),也即当x=k+1时 a k
＜a k+1＜2成立，所以对一切n ∈N,有a k ＜a k+1＜2
(2)下面来求数列的通项：a n+1=21a n (4-a n )=2
1
[-(a n -2)2
+4],所以2（a n+1-2）=-(a n -2)
2
令b n =a n -2,则
b n =-212
1-n b =-21(-2122-n b )2
=-21·(2
1)22
2
1
-n b …=-（2
1）1+2+…+2n-1b 2n
，又
b n =-1,所以b n
=-(21)2n-1
,即a n =2+b n =2-(2
1)2n-1
专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ”；等差数列前n 项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 命题角度3 等比数列 1．数列{a n }的前
n
项和记为
S n ,已知
a 1=1,a a+1=n S n n 2+(n=1,2,3…).证明:(Ⅰ)数列{n
Sn }是等比数列；(Ⅱ)S n+1=4a n .
[考场错解] (Ⅰ)已知a 1=1,a n+1=n S n
n 2+,∴a 2=3S 1=3,∴S 2=4 a 3=2
4·S 2=2×4=8.∴S 3=1+3+8=12. 即43,22,11321===S S S .故{n
Sn }是公比为2的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知11++n S n =4·,11--n S n 于是S n+1=4(n+1)·,1
1--n S n =4a n .又a 2=3.S 2=a 1+a 2=4,因此对于任意正整数n ≥1,都有S n+1=4a n . [专家把脉] (Ⅰ)中利用有限项判断数列类型是运用不完
全归纳法,应给予证明. (Ⅱ)中运用前推一项必须使 n ≥2.
[对症下药] (Ⅰ) ∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=
n
n 2+S n ,∴
(n+2)S n =n(S n+1-S n ),整理得nS n+1=2(n+1)=S n ,所以11++n S n =2n
Sn
故{n
Sn }是以2为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知11++n S n =4·,11--n S n (n2).于是S n+1=4(n+1)·,1
1--n S n =4a n (n ≥2).又a 2=3S 1=3, 故S 1=a 1+a 2=4.因此对于任意整数n ≥1,都有S n+1=4a n .
2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =31(a n -1)(n ∈N *
).(Ⅰ) 求a 1,a 2;(Ⅱ)求证数列{a n }是等比数列.
[考场错解] (Ⅰ)S 1=31(a 1-1),得a 1=-21,S 2=31(a 2-1),即a 1+a 2=31(a 2-1),得a 2=4
1. (Ⅱ)a n =S n -S n-1=31(a n -1)-31(a n-1-1),得2
1
1
-
=-n n a a ,所以{a n }是首
项为-21，公比为-2
1的等比数列. [专家把脉] 在利用a n =S n -S n-1公式时,应考虑n ≥2时才能成立.
[对症下药] (Ⅰ)由S 1=31(a 1-1), 得a 1=31(a 1-1),∴a 1=-21
.又S 2=31(a 2-1),即a 1+a 2=31(a 2-1),得a 2=4
1. (Ⅱ)当 n ＞1时,a n =S n S n-1=31(a n -1)-31(a n-1-1),得1
-n n a
a =-21,所以{a n }是首项为-21,公比为-2
1的等比数列. 3.等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q 的取值为 ( )
A. 41 或4
B. 41
或8
33415- C. 4或-8
41
5
33+ D. 4或4
1或8
33
415
-或8
41
533+
[考场错解] 设这四个数为
q
a q a ,3,aq,aq 3
.由题意得
?????=+=),2(5),1(164 aq q
a
a 由①得a=±21,代入②得q=±21或q 2
=±2.q 2
=4
1
或q 2
=4,故所求的公比为4
1或4.故应选A. [专家把脉] 上述解答设等比数列的公比为q 2
是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象.
[对症下药]设这四个数为a,aq,aq 2,aq 3
,则
833415414,
5,
16232-=?????=+=???或或解之得q aq aq aq aq qa a 或-8
41
5
33+.因此,应选D. 4.设数列{a n }的首项a 1=a ≠
4
1,且
a n+1=
,3,2,1,4
1
,412112=-=???
???
?+-n a b n a n a n n n n 记为奇数
为偶数
(Ⅰ)求a 2,a 3;(Ⅱ)判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)求∞
→n lim (b 1+b 2+b 3+…+b n ). [考场错解] (Ⅰ)a 2=a 1+41=a+41,a 3=21a 2=21a 8
1
; (Ⅱ)b n+1=a 2n+1-414
1.412221241
121==-
=
---++n n n n n
n a a a a
b b .
(
Ⅲ
)
求
∞
→n lim (b 1+b 2+b 3+…
+b n )=
∞
→n lim 4
11)411(1--
n
b =
3134)41(344
1141
4111-=-=--
=-a a a b .
[专家把脉]在求证b n 是等比数列是时，2
22-n n a a 式子中，an
中n 为偶数时，211=+n
n a a 是连续两项，并不能得出4
12=+n
n a a . [对症下药]
(Ⅰ)a 2=a 1+41=a+41,a 3=21a 2=21a+81
; (Ⅱ)∵a 4=a 3+41=21a+83,所以a 5=21a 4=4
1
a+16
3
,所以
b 1=a 1-41=a-41,b 2=a 3-41=21(a-41),b 3=a 5-41=41(a-4
1
),猜想:{b n }是公比为2
1的等比数列. 证明如下:因为b n+1=a 2n+1-41=21a 2n -41=21(a 2n-1-41)=2
1
b n ,(n ∈N *
)所以{b n }是首项为a-41,公比为2
1
的等比数列. (Ⅲ)求∞→n lim
(b 1+b 2+b 3+…+b n )= ∞
→n lim
).41(22
11211)
21
1(11-=-=--
a b b n
专家会诊1.证明等比数列时应运用定义证n
n a
a 1+为非0常数,而不能1
-n n a a (此时n ≥2).2.等比数列中q 可以取负值.不能
设公比为q 2
.3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则a m ·a n =a p ·a k ”.
命题角度 4 等差与等比数列的综合
1.(典型例题)已知数列{a n }的前n 项和
S n =a[2-(21)n-1
]-b[2-(n+1)(2
1
)n-1
](n=1,2,…),其中a,b 是非零常数,则存在数列{x n }、{y n }使得（ ）
A.a n =x n +y n ,其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列 B ．a n =x n +y n ,其中{x n }和{y n }都为等差数列
C ．a n =x n ·y n ,其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列
D ．a n =x n ·y n ,其中{x n }和{y n }都为等比数列
[考场错解]∵a[2-(21)n-1
]=x n ，b[2-(n-1)(2
1
)n-1
]=y n ,又∵x n ,y n 成等比数列，故选D.
[专家把脉]应从数列{a n }的前n 项和S n 的表达式入手，而不能从形式上主观判断.
[
对
症
下药]
C. a 1=S 1=3a
a n =S n -S n-1=a[2+(21)n-1
]-b[2-(n+1)·(2
1
)n+1
] -a[2+(21)n-2]+b[2-n(21)n-2]=(b n -b-a)·(2
1
)n-1
∵{(2
1)n-1
}为等比数列,{b n -a-b}为等差数列.
2.已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列.(Ⅰ) 证明12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列; (Ⅱ)求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+na 3n-2.
[考场错解] (Ⅰ)由a 1,2a 7,3a 4 成等差数列.得
4a 7=a 1+3a 4,4aq 6
=a+3aq 3
.从而可求q 3
=-41,或q 3
=1.当q 3
=-4
1
时，3
612S S =161，6
612S S S -=q 6=161.故12S 3，S 6，S 12-S 6成等比数列.当q 3
=1
时,3
612S S =61，6
612S
S S -=q 6
=1.故12S 3,S 6,S 12-S 6不成等比数列. [专家把脉]本题条件中已规定q ≠1.故应将q=1时舍去. [对症下药](Ⅰ)证明:由a 1,2a 7,3a 4成等差数列.得4a 7=a 1+3a 4,即4aq 6
=a+3aq 3
.变形得(4q 3
+1)(q 3
-1)=0,所以q 3
=-4
1或q 3
=1(舍去)由3
612S S =
,1611211)1(121)1(33161=+=
----q q
q a q q a 6
6
12S S S -==
-----=
-11)1(1)
1(1611216
12q
q a q q a S S 1+q 6-1=q 6
=161
,得
3
6
12S S =6
612S S S -.所以12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列.
(Ⅱ)解
法:T n =a 1+2a 4+3a 7+…+na3a-2=a+2aq 3
+3aq 6
+…+naq
3(n-2)
,
即T n =a+2·(-41)a+3·(-41)2a+…+n·(-4
1
)n-1
a. ① ①×
(-4
1
)3
a
得:-41T n =-41a+2·(-41)2
a+3·(-41)3
a+…+n·(-4
1
)n
a ② ①
-②
有
：
4
5T n =a+(-41)a+(-41)2
a+(-41)3
a+…(-41)n-1
a-n·(-4
1
)n
a =
??
? ??--??
??
??????? ??--411411n a -n·(-4
1)n
a=
5
4a-(
5
4+n)·(-
4
1)n
a.所以
T n =??
?
?
?+-n a 5
425162516·(-41)n
a. 3.如图，△OBC 的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n,P n+3为线段
P n P n+1的中点，令
P n 的坐标为
（x n ,y n ）,a n =2
1y n +y n+1+y n+2. (Ⅰ)求a 1,a 2,a 3及a n ;(Ⅱ)证明y n+4=1-4n y ,n ∈N *
,(Ⅲ)若记b n =y 4n+4-y 4n ,n ∈N *
,证明{b n }是等比数列.
[考场错解]（1）∵y 1=y 2=y 4=1,y 3=21,y 5=4
3,可求得a 1=a 2=a 3=2,由此类推可求得a n =2
(Ⅱ)将21y n +y n+1+y n+2=2同除以2，得y n+4=,221+++n n y y ∴y n+4=1-4
4y . (Ⅲ)b n+1=y 4n+8-y 4n+4=-4
1(y 4n+4-y 4n )=- 4
1b n .∴n
n b b 1+=-4
1.
故{b n }
是等比数列
.
[专家把脉]第(Ⅰ)问题运用不完全归纳法求出a n 的通
项.理由不充分,第(Ⅲ)问中n
n b b 1+=-4
1.要考虑b 1
是否为0.即n
n b
b 1+有意义才更完整.
[对症下药] (Ⅰ)因为y 1=y 2=y 4=1,y 3=21 ,y 5=4
3
,所以a 1=a 2=a 3=2.又由题意可知
y n+3=
2
1
++n n y y .∴
a n+1=21y n+1+y n+2+y n+3=2
1
y n+1+y n+2+2
1
++n n y y =2
1y n +y n+1+y n+2=a n ,∴{a n }为常数列.∴a n =a 1=2,n ∈N *
.
(Ⅱ)将等式21y n +y n+1+y n+2=2两边除以2,得4
1
y n +2
21+++n n y y =1,又∵y n+4=221+++n n y y ,∴y n+4=1-4
n
y . (Ⅲ)∵b n+1=y 4n+8-y 4n+4=??
? ?
?-+4144n y -??
? ?
?-4
14n y =-4
1(y 4n+4-y 4n )=- 4
1
b n ,又∵b 1=y 8-y 4=-4
1≠0,∴{b n }是公比为-4
1 的等比数列.
4.在等差数列{a n }中,公差d ≠0,a 2是a 1与a 4的等比中项.已知数列a 1,a 3,2
1
,k k a a ,…,akn,…成等比数列,求数列{k n }的通
项k n .
[考场错解]∵a n =a 1+(n-1)d,22a =a 1·a 4
∴(a 1+d)2
=a 1(a 1+3d ).∴d=a 1,∴a n =nd.a 1=d.a 3=3d.∴
1
3
d a =3=q.∴d
k a n k
n
=..
11
d k a n k
n +=+
∴
n
n k k k k a a n
n 11+=
+=q=3.∴{k n }是公比为3的等比数列.∴
k n =1·3n-1
=3n-1
.
[专家把脉]错因在把k 1当作数列{a n }的首项.k 1=1.而实际上k 1=9.
[对症下药]依题设得a n =a 1+(n-1)d,
22
a =a 1a 4,∴
(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),整理得d 2
=a 1d, ∵d ≠0,∴d=a 1,得a n =nd,所以,由已知得d,3d,k 1d,k 2d,…k n d n …是等比数列.由d ≠0,所以数列1,3,k 1,k 2,…k n ,… 也是等比数列,首项为1,公比
为q=13
=3,由此得k 1=9.等比数列{k n }的首项k 1=9,公比q=3,
所以k n =9×q n-1=3n+1
(n=1,2,3,…),即得到数列{k n }的通项k n =3n+1
.
专家会诊1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.
命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 1．已知定义在R 上的函数f(x)和数列{a n }满足下列条件
：
a 1=a,a n =f(a a-1)(n=2,3,4,…),a2
≠
a1,f(a n )-f(a n-1)=k(a n -a n-1)(n=2,3,4,…),其中a 为常数，k 为非零常数.(Ⅰ)令b n =a a+1-a n (n ∈N *
),证明数列{b n }是等比数列；(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)当|k|＜1时，求∞
→n a n .lim
[考场错解](Ⅰ)证明:由b 1=a 2-a 1≠0,可得：b 2=a 3-a 2=f(a 2)-f(a 1)=k(a 2-a 1)≠0.由数学归纳法可证b n =a n+1-a n ≠0(n ∈N *
).由题设条件，当n ≥2时
1
111111)
()()(-----+---=--=--=n n n n n n n n n n n n n n a a a a k a a a f a f a a a a b b =k
故数列{b n }是公比为k 的等比数列. (
Ⅱ)由(Ⅰ
)知b n =k n-1
(a 2-a 1)(n
∈
N *
)b 1+b 2+…+b n-1=(a 2-a 1)k
k
n ---111
. (n ≥2) 而b 1+b 2+…+b n-1=a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n -a n-1=a n -a 1(n ≥2)∴a n -a 1=(a 2-a 1)
k
k n ---111
(n ≥2)
故a n =a[f(a)-a] k
k
n ---111
(n ∈N *
)∴a n =a+(n-1)[f(a)-a](n ∈N *
)
(Ⅲ)当|k|＜1时
∞
→n a n lim =
∞→n lim
??
?
?
????---+-k k a a f a n 11)][(1=a+k a
a f --1)(
2.如图，直线l 1:y=kx+1-k(k ≠0，k ≠
2
1±)与l 2相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1,过点P 1作x 轴的垂线交于直线l 2于点Q 1,过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂
线交直线l 2于点Q 2，…这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，…点P n (n=1,2,…)的横坐标构成数列{x n }.
(Ⅰ)证明x n+1-1=k 21(x n -1)，(n ∈N *
);（Ⅱ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅲ）比较2|PP n |2
与4k 2
|PP 1|2
+5的大小.
[考场错解]证明：设点P n 的坐标是（x n ,y n ）,由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：
?
?? ??+??? ?
?
++2121,,2121,1n n n n x a x x .由P n+1在直线
l 1上，得
2
1
21+n x = kx n+1+1-k.所以2
1（x n -1）=k(x n+1-1). 即x n+1-1=k 21（x n -1）,n ∈N *
. (Ⅱ)由（Ⅰ）知=
--+111n
n x x k
21
，故{x n -1}是等比数列，且首项
x 1-1=-k 1，公比为k 21.从而求得x n =1-2×(k
21
)n
,n ∈N *
. [专家把脉] （Ⅱ）问中对于x n+1-1=k 21(x n -1)先应考虑x n -1能否为0，继而可求.
[对症下药]（Ⅰ）同错解中（Ⅰ）.
（Ⅱ）解法：由题设知x 1=1-k 1,x 1-1=-k
1≠0,又由（Ⅰ）知x n+1-1=k 21(x n -1), 所以数列{x n -1}
是首项为x 1-1,公比为k 21的等比数列.从而x n -1=-k 1×(k
21)n-1
,即x n =1-2×(k 21)n ,n ∈N *
. （Ⅲ）解法：由
??
?
?
?+=-+=,2121,
1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以
2|PP n |2
=2(x n -1)2
+2(kx n +1-k-1)2
=8×
(
k
21)2n
+2(2
k
21)
2n-2
,4k 2
|PP 1|2
＋5＝
4k 2
[(1-k
1-1)2
(0-1)2
]+5=4k 2
+9. （i ）当|k|＞21，即k ＜-21或k ＞2
1
时，4k 2
|PP 1|2
+5＞1+9=10.D 而此时0＜|k 21|＜1，所以2|PP n |2
＜8×1+2=10,故2|PP n |2
＜4k 2
|PP 1|2
+5.
(ii)当0＜|k|＜21，即k ∈（-21，0）∪（0，2
1
）时，4k 2
|PP 1|2
+5＜1+9=10.而此时|k 21|＞1，所以2|PP N |2
＞8×1+2=10.故2|PP n |2
＞4k 2
|PP 1|2
+5.
3.已知函数f(x)=).1(1
3
-≠++x x x 设数列{a n }满足a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足b n =|a n -3|，S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N *
).（Ⅰ）用数学归纳法证明b n ≤
1
2)13(--n n ；（Ⅱ）证明S n ＜332.
[考场错解](Ⅰ)b n =|a n -3|,又∵a n =1+1
2
1
+-n a ，a n +1=1
2
1+-n a
(n ≥
2),
∴
a 2=2,a 3=
3
5,a 4=2.…∴
a n ≥
1.b n =3
231
22321
2
21
-+++=
-++--n n a a
=…由叠代法.b n ≤
1
2)13(--n n .
（Ⅱ）S n =b 1+b 2+…+b n ＜(3-1)+2
131)213(
1)13(2)
13(22)13(1
2--
--?
-=-++--n
n n
＜332.
[专家把脉]运用叠代法时并不能化简成
1
2)13(--n n .
[对症下药](Ⅰ)证明：当x ≥0时,f(x)=1+1
2+x ≥1.因为a 1=1,所以a n ≥1(n ∈N *
).下面用数学归纳法证明不等式b n ≤
1
2
)13(--n n .
(1)当n=1时，b 1=3-1,不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即
b k ≤
1
2
)13(--k k .那么
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连
高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A
【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -
高考数列专题练习精选 文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
1..等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 9 20 53= +a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ； （2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ． 2．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112 1 ,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式； (3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 3．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-． （I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ． 4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。 5，已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S 6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。 （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 1 2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且 （1）求证：{1}n a -为等比数列；
数列专题复习专练 3．设a 1=1,a 2= 35,a n +2=35a n +1-3 2 a n (n =1,2,---),令 b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。 6．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3，…。 (1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式 7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，1 1 3 n n a S ，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式． 8．已知数列n a 满足*111,21().n n a a a n N 求数列n a 的通项公式； 9．已知数列42n a n 和1 2 4n n b ，设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 10．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且1 11a b ，35 21a b ， 5313a b （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b 的前n 项和n S ． 11．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝ 1 2 n ，设1324 2 111 n n n T a a a a a a ，求n T ． 12．n S 设是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434 13 1S S 与的等比中项为55 1S ，434 13 1S S 与的等差中项为1，求数列{}n a 的通项． 15. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为b a S n n +⊕=2，且31=a ． （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设n n a n b = ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 17. 设数列}{n a 是等差数列，65=a ． （Ⅰ）当33=a 时，请在数列}{n a 中找一项m a ，使得m a a a ,,53成等比数列； （Ⅱ）当23=a 时，若)(,,,* 21N n k k k n ∈ 满足 <<<<
高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数
列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q)； (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解； (2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”.
1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( ) A.12×37－16 B ．310 C.318 D ．320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4＝a 23＝9.设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝3a 3 q ＋a 3q ，整理得q 2－4q ＋3＝0，由公比 不为1，解得q ＝3.所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝(a 81q 16 )·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝a 83· q 12＝94×312＝320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5 ＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一：由S 9＝27?9(a 1＋a 9) 2＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6 且a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2d ＝16. 解法二：同解法一得a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 2 3＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2 d ＝16.
第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .
(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，
一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实 数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 2．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 3．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足11 2n n n S a a ?? = + ??? ，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++ +=（ ） A ．135 B ．141 C ．149 D ．155 4．数列{}n a 满足()1 1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ） A ．1006 B ．1176 C ．1228 D ．2368 5．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（ ） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 7．若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n - C ．1 (1)1 n n +-+ D ．(1)1 n n -+ 8．在数列{}n a 中，114a =-，1 11(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ． 4 5 B ．14 - C ．5 D ．以上都不对 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
高考数列专题练习 数列综合题 １．已知等差数列{}n a 满足：3 7a =，5726a a +=,{}n a 的前n 项 和为n S . ?（Ⅰ）求n a 及n S ； ?（Ⅱ）令b n = 21 1 n a -(*n ∈N ）,求数列{}n b 的前n 项和n T 。 2.已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是2 4 ,a a 的 等差中项。 ?(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; ?（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和,求.n S 3.等比数列}{n a 为递增数列，且, 3 24=a 9 2053= +a a ,数列 2 log 3n n a b =（n ∈N ※ ) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ； （2）12 22 21-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n . 4.已知数列{ n a ｝、{ n b ｝满足：112 1,1,4 1n n n n n b a a b b a +=+== -. (１）求1,2 3 4 ,,b b b b ; （2)求数列{ n b ｝的通项公式； (３）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <
恒成立 5．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,满足 2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-。 (I)若1k =，求数列{}n a 的通项公式； （II)若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ,求n S . 6.已知数列{}n a 中，1 4a =，12(1)n n a a n +=-+,(1）求证：数列 {}2n a n -为等比数列。 （２)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22n n S a n ≥+，求正整数列 n 的最小值。? 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1 12,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且 ?（1)求证:{1}n a -为等比数列； (2)求数列{}n b 的前n 项和. 8．已知数列{}n a 中，113 a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足 2 221 n n n S a S = -. （1）求n S 的表达； （2）求数列{}n a 的通项公式； 9．已知数列{}n a 的首项135 a =，1 231+= +n n n a a a ,其中*∈N n . （1）求证:数列11n a ?? -???? 为等比数列; （2)记12111n n S a a a = ++，若100n S <，求最大的正整数n .
1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 专题数列知识网络 专题训练 一．选择题 1.设数列{}n a的前n项和 2 n S n =，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 2.设等差数列 {} n a 的前n项和为n S,若111 a=-, 46 6 a a +=-,则当 n S取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如果等差数列 {} n a 中，34512 a a a ++=，那么 127 ... a a a +++= （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 4.已知等比数列{m a}中，各项都是正数，且1a，32 1 ,2 2 a a 成等差数列，则 910 78 a a a a + = + A.12 + B. 12 - C. 322 +D322 - 5.在等比数列 {} n a 中，11 a=，公比1 q≠ .若12345 m a a a a a a =，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 6.等比数列 {} n a 中，15252||1,8,, a a a a a ==->则 n a = A ．1 (2)n -- B ．1 (2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n -- 7.设{n a }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知24a a =1, 37 S =, 则 5S = （A ）152 (B)314 (C)33 4 (D)172 8.设 n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332 S a =-，则公比q = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9.（文）设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （理）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12 a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.已知{ n a }是首项为1的等比数列，n S 是{n a }的前n 项和，且36 9S S =。则数列 n 1a ?? ?? ??的前5项和为 （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5 2S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 12.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S 5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 高三文科数学数列测试题 ） 1．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 3.在等差数列{}n a 中,已知1 1253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 4．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 6,已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 7.等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ，求下列问题: (1)求前n 的和n s （2）当n 是什么值时, n s 有最小值，最小值是多少？ 8. 已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …). 9、（本小题满分14分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； 高考中的数列—最后一讲 （内部资料勿外传）1．已知数列 {a n} 、 {b n} 、 {c n} 足． （ 1） c n=3n+6， {a n} 是公差 3 的等差数列．当b1 =1 ，求 b2、 b3的； （ 2），．求正整数 k，使得一切 * n∈N，均有 b n≥b；k （ 3），．当b1=1，求数列{b n}的通公式．2． {a } 是公比正数的等比数列 a =2， a =a +4． n 13 2 （Ⅰ）求 {a n} 的通公式； （Ⅱ） {b n } 是首 1，公差 2 的等差数列，求数列 n n n {a +b } 的前 n 和 S ． 3．已知公差不0 的等差数列 {a n} 的首 a1a（ a∈R）数列的前n 和 S n，且，，成等比数列． 矚 慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 （Ⅰ）求数列 {a n} 的通公式及S n； （Ⅱ） A n=+++?+，B n=++?+，当a≥2，比 A n与 B n的大小． 4．已知等差数列 {a } 足 a =0， a +a = 10 n 2 6 8 （ I）求数列 {a n} 的通公式； （ II ）求数列 { } 的前 n 和． 5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且三个数分加上2、5、 13 后成等比数列{b n} 中的 b3、 b4、 b5． 聞 創沟燴鐺險爱氇谴净。 （I）求数列 {b n} 的通公式； （II ）数列 {b n} 的前 n 和 S n，求：数列 {S n+ } 是等比数列． 6．在数 1 和 100 之插入 n 个数，使得 n+2 个数构成增的等比数列，将n+2个数的乘作T n，再令 a n=lgT n， 一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21< 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．q a （D ）7.08.0,01-<<-
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