注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析
3.1 引言
在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。
在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。
工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。
关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。
工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。
研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。
工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
3.2 工业机器人速度雅可比与速度分析
3.2.1 工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一个多元函数的偏导矩阵。 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：
??????
?===)
,,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666
543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y (3-1)
可写成：
Y ＝F (X )
将其微分，得：
???
?????
??
???++??+??=??++??+??=??++??+??=66622611666622
2211226612211111d d d d d d d d d d d d x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y (3-2)
也可简写成：
X X
F
Y d d ??=
(3-3)
式(3-3)中的(6×6)矩阵
X
F
??叫做雅可比矩阵。 在工业机器人速度分析和以后的静力学分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为工业机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。一般用符号J 表示。
图3-1为二自由度平面关节型工业机器人（2R 工业机器人），其端点位置x ，y 与关节变量θ1、θ2的关系为：
??
?++=++=)in(sin )
cos(cos 2
121121211θθθθθθs l l y l l x (3-4) 即：
??
?==),()
,(2
121θθθθy y x x (3-5)
将其微分，得：
???
??????+??=??+??=22
112211d d d d d d θθθθθθθθy
y y x
x x
将其写成矩阵形式为：
(x ，y )T
???
????????
?
??
????????????=??????212121d d d d θθθθθθy y x x y x (3-6)
令：
????
?
?
??????????????=21
21
θθθθy y x x
J (3-7)
式(3-6)可简写为：
d X ＝J d θ
(3-8)
式中：??
?
???=y x X d d d ；?
?????=21d d d θθθ 我们将J 称为图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人的速度雅可比，它反映了关节
空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移d X 之间的关系。注意：d X 此时表示微小线位移。 若对式(3-7)进行运算，则2R 工业机器人的雅可比写为：
?
??
???++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122121121221211
θθθθθθθθθθl l l l l l J (3-9) 从J 中元素的组成可见，J 阵的值是θ1及θ2的函数。
对于n 个自由度的工业机器人，其关节变量可以用广义关节变量q 表示，q ＝[q 1 q 2 … q n ]T ，当关节为转动关节时，q i ＝θi ，当关节为移动关节时，q i ＝d i d q ＝[d q 1 d q 2 … d q n ]T 反映了关节空间的微小运动。工业机器人手部在操作空间的运动参数用X 表示，它是关节变量的函数，即X ＝X (q )，并且是一个6维列矢量（因为表达空间刚体的运动需要6个参数，即三个沿坐标轴的独立移动和三个绕坐标轴的独立转动）。因此，d X ＝[d x d y d z δφx δφy δφz ]T 反映了操作空间的微小运动，它由工业机器人手部微小线位移和微小角位移(微小转动)组成，d 和δ没差别，因为在数学上，d x =δx 。于是，参照(3-8)式可写出类似的方程式，即：
d X ＝J (q )d q (3-10)
式中J (q )是6×n 的偏导数矩阵，称为n 自由度工业机器人速度雅可比矩阵。它反映了关节空间微小运动d q 与手部作业空间微小运动d X 之间的关系。它的第i 行第j 列元素为：
qj q x q J i
ij ??=)
()(， i ＝1，2，…，6；j ＝1，2，…，n (3-11) 3.2.2 工业机器人速度分析
对式(3-10)左、右两边各除以d t ，得：
t
t d d )(d d q
q J X = (3-12) 即
q q J V )(= (3-13)
式中： V ——工业机器人手部在操作空间中的广义速度，V =X
； q
——工业机器人关节在关节空间中的关节速度； J (q )——确定关节空间速度q
与操作空间速度V 之间关系的雅可比矩阵。 对于图3-1所示2R 工业机器人来说，J (q )是式(3-9)所示的2×2矩阵。若令J 1、J 2分别
为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
2211θθ J J V +=
式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，工业机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人手部的速度为：
[][]?
?
?
?
??+++++-++-=??????????????++++-+--=??????=2212121211221212121121
2122121121221211)cos()c(cos )sin()sin(sin )cos()
c(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ l l l l l l l l l l l l v v y x V
假如θ1及θ2是时间的函数，θ1=f 1(t )，θ2=f 2(t )，则可求出该工业机器人手部在某一时刻的速度V ＝f (t )，即手部瞬时速度。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可由式(3-13)解出相应的关节速度，即：
V J q
1-= (3-14) 式中：J -1称为工业机器人逆速度雅可比。
式(3-14)是一个很重要的关系式。例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是，一般来说，求逆速度雅可比J -1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。 通常我们可以看到工业机器人逆速度雅可比J -1出现奇异解的情况有下面两种：
(1) 工作域边界上奇异。当工业机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于工业机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时工业机器人相应的形位叫做奇异形位。
(2) 工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当工业机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多自由度。这意味着在空间某个方向(或子域)上，不管工业机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。 [例3-1] 如图3-2所示二自由度平面关节型机械手。手部某瞬沿固定坐标系X 0轴正向以1.0m/s 速度移动，杆长为l 1＝l 2＝0.5m 。假设该瞬时θ1＝30?，θ1＝-60?。求相应瞬时的关节速度。
解 由式(3-9)知，二自由度机械手的速度雅可比为：
??????++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J 因此，逆速度雅可比为：
??????+--+--++=
-)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 12121121211
2122122
211
θθθθθθθθθθθl l l l l l l l J
(3-15)
图3-2 二自由度机械手手爪沿X 0方向运动
???
???=??????=01y x v v V ，因此，由式(3-14)可得：
????????????+--+--++==???
?????=-01)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 12121121211212212221121θθθθθθθθθθθθθθl l l l l l l l V J 因此
rad/s)(22
35.02
3)(-60 sin 5.0)60-03( cos sin )( cos 21211
-=?-=????=+=θθθθl
rad/s 42
35.02
32)(-60 sin 5.0)60-03( cos )(-60 sin 5.003 cos sin )( cos sin cos 21212212=?=????-???-=+--
=θθθθθθl l
从以上可知，在该瞬时两关节的位置和速度分别为θ1＝30?，θ2＝-60?，1θ ＝-2rad/s ，2
θ
＝4rad/s ，手部瞬时速度为1m/s 。
奇异讨论：从式(3-15)知，当l 1l 2sin θ2＝0时，式(3-15)无解。因为l 1≠0，l 2≠0，所以，在θ2＝0或θ2＝180?时，二自由度工业机器人逆速度雅可比J -1奇异。这时，该工业机器人二臂完全伸直，或完全折回，即两杆重合，工业机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，该瞬时手部只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人，其速度雅可比J 是一个6×6矩阵，q
和V 分别是6×1列阵，即V (6?1)＝J (q )(6?6)q (6?1)。手部速度矢量V 是由3×1线速度矢量和3×1角速度矢量组合而成的6维列矢量。关节速度矢量q
是由6个关节速度组合而成的6维列矢量。雅可比矩阵J 的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速
度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J 的第i 列则代表第i 个关节速度i q 对手部线速度和角速度的传递比。
3.3 工业机器人力雅可比与静力学分析
工业机器人在作业过程中，当手部（或末端操作器）与环境接触时，会引起各个关节产生相应的作用力。工业机器人各关节的驱动装置提供关节力矩，通过连杆传递到手部，克服外界作用力。本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。我们假定各关节“锁住”，工业机器人成为一个结构体。关节的“锁定用”力与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力学平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力作用下手部的输出力就是对工业机器人操作臂进行静力学分析。 3.3.1 操作臂中的静力学
这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况，如图3-3所示，杆件i 通过关节i 和i +1分别与杆件i -1和杆件i +1相连接，两个坐标系{i -1}和{i }分别如图所示。
图中：
f i -1，i 及n i -1，i ——i -1杆通过关节i 作用在i 杆上的力和力矩； f i ，i +1及n i ，i +1——i 杆通过关节i +1作用在i +1杆上的力和力矩；
-f i ，i +1及-n i ，i +1——i +1杆通过关节i +1作用在i 杆上的反作用力和反作用力矩； f n ，n +1及n n ，n +1——工业机器人手部端点对外界环境的作用力和力矩； -f n ，n +1及-n n ，n +1——外界环境对工业机器人手部端点的作用力和力矩； f 0，1及n 0，1——工业机器人底座对杆1的作用力和力矩； m i g ——连杆i 的重量，作用在质心C i 上。
连杆i 的静力学平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：
f i -1，i +(-f i ，i +1)+ m i
g ＝0 (3-16)
n i -1，i + (-n i ，i +1) + (r i -1，i + r i ，ci )×f i -1，i +(r i ，ci )×(-f i ，i +1)＝0 (3-17)
式中： r i -1，i ——坐标系{i }的原点相对于坐标系{i -1}的位置矢量；
r i ，ci ——质心相对于坐标系{i }的位置矢量。
假如已知外界环境对工业机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向第零号连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于表示工业机器人手部端点对外界环境的作用力和力矩(简称为端点力F )，可将f n ，n +1和n n ，n +1合并写成一个6维矢量：
??
????=++1,1,n n n n n f F (3-18)
n i ，
i +1
图3-3 杆i 上的力和力矩
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n 维矢量的形式，即：
????
?
???????=n ττττ 21 (3-19)
式中： n ——关节的个数
τ——关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩，对于转动关节，τi 表示关节驱动力矩；对于移动关节，τi 表示关节驱动力。 3.3.2 工业机器人力雅可比
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与工业机器人手部端点力F 的关系可用下式描述：
τ＝J T F (3-20)
式中：J T 为n ×6阶工业机器人力雅可比矩阵或力雅可比。 上式可用下述虚功原理证明：
证明 考虑各个关节的虚位移为δq i ，手部的虚位移为δX ，如图3-4所示。
??
?
???=δδd X 及δq ＝[δq 1，δq 2…δq n ] T (3-21)
式中，d ＝[d x d y d z ] T 和δ＝[δφx δφy δφz ] T 分别对应于手部的线虚位移和角虚位移（作业空间）；δq 为由各关节虚位移δq i 组成的工业机器人关节虚位移矢量（关节空间）。
假设发生上述虚位移时，各关节力矩为τi (i ＝1，2，…，n )，环境作用在工业机器人手部端点上的力和力矩分别为-f n ，n +1和-n n ，n +1。由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出：
δW ＝τ1δq 1+τ2δq 2+…+τn δq n - f n ，n +1d - n n ，n +1δ 或写成：
δW ＝τT δq - F T δX (3-22)
根据虚位移原理，工业机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符合几何约束的虚位移，有： δW ＝0
注意到虚位移δq 和δX 并不是独立的，是符合
杆件的几何约束条件的。利用式(3-10)，d X ＝J d q ，将式(3-22)改写成：
δW ＝τT δq - F T J δq ＝(τ - J T F )T δq (3-23)
式中的δq 表示几何上允许位移的关节独立变量，对于任意的δq ，欲使δW ＝0，必有：
τ＝J T F
证毕。
式(3-23)表示在静力平衡状态下，手部端点力F 向广义关节力矩τ映射的线性关系。式中J T
与手部端点力F 和广义关节力矩τ之间的力传递有关，故叫作工业机器人力雅可比。很明显，力雅可比J T 正好是工业机器人速度雅可比J 的转置。
3.3.3 工业机器人静力学的两类问题
从操作臂手部端点力F 与广义关节力矩τ之间的关系式τ＝J T F 可知，操作臂静力学可
图3-4 手部及各关节的虚位移
分为两类问题：
(1) 已知外界环境对工业机器人手部作用力F '(即手部端点力F ＝-F ')，求相应的满足静力学平衡条件的关节驱动力矩τ。
(2) 已知关节驱动力矩τ，确定工业机器人手部对外界环境的作用力F 或负荷的质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。这时
F ＝(J T )-1τ
但是，由于工业机器人的自由度可能不是6，比如n ＞6，力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，则J T 就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果F 的维数比τ的维数低，且J 是满秩的话，则可利用最小二乘法求得F 的估值。
[例3-2] 图3-5所示的一个二自由度平面关节型机械手，已知手部端点力F ＝[F x ，F y ] T ，求相应于端点力F 的关节力矩(不考虑摩擦)。
解 已知该机械手的速度雅可比为：
???
???++++-+--=)c()c(c )s()s(s 2122121121221
211θθθθθθθθθθl l l l l l J 则该机械手的力雅可比为：
???
???++-+++--=)c()
s()c(c )s(s 2122122121121
211θθθθθθθθθθl l l l l l T J 根据τ＝J T F ，得：
????????????++-+++--=??????=y x F F l l l l l l )c()
s()c(c )s(s 212212************θθθθθθθθθθτττ 所以
τ1 = -[l 1sin θ1+ l 2sin(θ1+θ2)]F x +[l 1cos θ1+ l 2cos(θ1+θ2)]F y τ2 = -l 2sin(θ1+θ2)F x + l 2 cos(θ1+θ2)F y
若如图3-5(b)所示，在某瞬时θ1＝0，θ2＝90?，则在该瞬时与手部端点力相对应的关节力矩为：
τ1=-l 2F x + l 1F y τ2=- l 2F x
(b)
图3-5 手部端点力F 与关节力矩τ (a)
3.4 工业机器人动力学分析
工业机器人动力学研究的是各杆件的运动和作用力之间的关系。工业机器人动力学分析是工业机器人设计、运动仿真和动态实时控制的基础。在本章开头说过，工业机器人动力学问题有两类：
1) 动力学正问题——已知关节的驱动力矩，求工业机器人系统相应的运动参数（包括关节位移、速度和加速度）。也就是说，给出关节力矩向量τ，求工业机器人所产生的运
动参数θ、θ 及θ
。 2) 动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节
力矩。即给出θ、θ 及θ
，求相应的关节力矩向量τ。 工业机器人是由多个连杆和多个关节组成的复杂的动力学系统，具有多个输入和多个输出。存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。因此，对于工业机器人动力学的研究，引起了十分广泛的重视，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿—欧拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法；旋量对偶数方法、罗伯逊—魏登堡(Roberson-WitTenburg)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解工业机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，而且用简单实例进行分析。
工业机器人动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 3.4.1 拉格朗日方程
1) 拉格朗日函数
拉格朗日函数L 的定义是一个机械系统的动能E k 和势能E q 之差，即：
L ＝E k - E q (3-24)
令q i (i ＝1，2，…，n )是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，i q
是相应的广义关节速度。由于系统动能E k 是q i 和i q
的函数，系统势能E q 是q i 的函数，因此拉格朗日函数也是q i 和i q
的函数。 2) 拉格朗日方程
系统的拉格朗日方程为：
i
i i q L
q L t F ??-
??= d d ， i ＝1，2，…，n (3-25) 式中，F i 称为关节i 的广义驱动力。如果是移动关节，则F i 为驱动力；如果是转动关节，则F i 为驱动力矩。
3) 用拉格朗日法建立工业机器人动力学方程的步骤：
(1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量q i (i ＝1，2，…，n )
(2) 选定相应的关节上的广义力F i ：当q i 是位移变量时，则F i 为力；当q i 是角度变量时，则F i 为力矩。
(3) 求出工业机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得工业机器人系统的动力学方程。
3.4.2 二自由度平面关节型工业机器人动力学方程（动力学分析实例）
1) 广义关节变量及广义力的选定
选取笛卡尔坐标系如图3-6所示。连杆l 和连杆2的关节变量分别为转角θ1和θ2，相应的关节1和关节2的力矩是τ1和τ2。连杆1和连杆2的质量分别是m l 和m 2，杆长分别为l l 和l 2，质心分别在C l 和C 2处，离相应关节中心的距离分别为p l 和p 2。因此，杆1质心C l 的位置坐标为：
x 1＝p 1sin θ1 y 1＝-p 1cos θ1
杆1质心C l 的速度平方为： ()
21
121
21
θ p y x
=+ 杆2质心C 2的位置坐标为：
x 2＝l l sin θl + p 2sin(θl +θ2) y 2＝-l l cos θl - p 2cos(θl +θ2)
杆2质心C 2的速度平方为：
(
)(
)
()()
2
2121212
2122212122222
1
2
1
2
1
11
2
212121112cos 2)sin(sin )cos(cos θθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθ ++++=++++=+++=p l p l y x p l y
p l x
2) 系统动能
()()
()()()
22121212221222212122112
1
22121212221222212122212111cos 2121cos 212121θθθθθθθθθθθθθθθ +++++==++++==∑=p l m p m l m p m E E p l m p m l m E p m E i ki k k k 3) 系统势能（以质心处于最低位置为势能零点）
()
()()[]
()()()[]
2122112112
1212211221111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1θθθθθθθ+-+-+==+-+-=-=∑=gp m g l m p m E E gp m gl m E gp m E i pi p p p
4) 拉格朗日函数
()()()
()()()[]
2122112112212121222122221212211cos 1cos 1cos 2
121θθθθθθθθθθ+---+-+++++=
-=gp m g l m p m p l m p m l m p m E E L p
k 5) 系统动力学方程 根据拉格朗日方程
i i i q L
q
L t F ??-
??= d d ， i ＝1，2，…，n 可计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程。 计算关节1上的力矩τ1：
图3-6 二自由度工业机器人动力学方程的建立
()()()
())sin(sin cos 22122112111
2212122122212122111
θθθθθθθθθθθ+-+-=??+++++=??gp m g l m p m L
p l m p m l m p m L
所以
()()
()()())
(sin sin sin sin 2cos cos 2d d 212211211222
2
1
22
12
2
1
22
2212222
1
2
2122122
222111
11θθθθθθθ
θθθθ
θθθτ++++-+-++++++=??-??=
gp m g l m p m p l m p l m p l m p m p l m l m p m p m L
L t
上式可简写为：
122122211122121111D D D D D ++++=θθθθθτ
(3-26)
由此可得
()????
?
????+++=-=-=+=+++=)(sin sin sin sin 2cin cos 221221121112
212122
2
21211222122
2212221221222221111θθθθ
θθθgp m g l m p m D p l m D p l m D p l m p m D p l m l m p m p m D (3-27)
关节2上的力矩τ2：
()
)(sin sin )(cos 2122221212122
21212212222
θθθθθθθθθθθθ+-+-=??++=??gp m p l m L p l m p m L 所以
()
()[]())(sin sin sin cos d d 2
1
2
2
21
2
2
1
221221221222221221222222
2θθθ
θθθθθθθθθτ++++-+++=??-??=
gp m p l m p l m p l m p m p l m p m L
L t
上式可简写为：
221211212122221212D D D D D ++++=θθθθθτ
(3-28)
由此可得：
()????
?
????+===+-==+=)(sin sin 0sin con 212222
212211
22122122122222222122
2221θθθ
θθgp m D p l m D p l m p l m D p m D p l m p m D
(3-29) 式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系，称为图3-6所示二自由度工业机器人的动力学方程。对其进行分析可知：
(1) 含有1θ 或2
θ 的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有D 11和D 22的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项； 含有D 12的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项； 含有D 21的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
(2) 含有21θ 和22
θ 的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 含有D 122的项表示关节2速度引起的向心力对关节1的耦合力矩项； 含有D 211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。
(3) 含有21θθ 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项，其中：
含有D 112的项表示哥氏力对关节1的耦合力矩项； 含有D 212的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
(4) 只含关节变量θ1、θ2的项表示重力引起的关节力矩项。其中： 含有D 1的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项； 含有D 2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型工业机器人其动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，这些因素都在影响工业机器人的动力学特性。对于复杂一些的多自由度工业机器人，动力学方程更庞杂了，推导过程也更为复杂。不仅如此，对工业机器人实时控制也带来不小的麻烦。通常，有一些简化问题的方法：
(1) 当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；
(2) 当关节速度不很大，工业机器人不是高速工业机器人时，含有21θ 、22θ 、21θθ 等项可
以省略；
(3) 当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含1θ 、2
θ 的项有可能给予省略。当然，关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了工业机器人作业循环的时间。
3.4.3 关节空间和操作空间动力学
1) 关节空间和操作空间
n 个自由度操作臂的手部位姿X 由n 个关节变量所决定，这n 个关节变量也叫做n 维关节矢量q ，所有关节矢量q 构成了关节空间。而手部的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂手部位姿又是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程X ＝X (q )就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。
2) 关节空间动力学方程
将式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)写成矩阵形式，则
)(),()(q G q q H q q D τ++= (3-30)
式中：??????=21τττ；???
???=21θθq ；????????=21θθ q
；???????
?=21θθ q 所以
(
)()
(
)
??
?
???+++++=2
222212222212
2222122212211cos cos cos 2)(p m p l p m p l p m p l p l m p m θθθq D (3-31)
??
????+=2
12
12222122sin ),(θθθθθ p l m q q H (3-32) ()??
?
???++++=)sin()sin(sin )(212221221121
θθθθθg p m g p m g l m mp q G (3-33) 式(3-30)就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、加速度之间的函数关系。对于n 个关节的操作臂，D (q )是n ×n 的正定对称矩阵，
是q 的函数，称为操作臂的惯性矩阵；H (q ，q
)是n ×1的离心力和哥氏力矢量；G (q )是n ×1的重力矢量，与操作臂的形位n 有关。 3) 操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即手部位姿
的矢量X 来表示工业机器人动力学方程。因此，操作力量与手部加速度X
之间的关系可表示为：
)(),()(q G q q U X q M F x x
x ++= (3-34) 式中，M x (q )、U x (q ，q
)和G x (q )分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的；F 是广义操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F 与广义关节力矩τ之间的关系
τ＝J T (q )F (3-35)
和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系
?????+==q q J q
q J X q q J X
)()()( (3-36) 求出。
习 题
1. 图3-7所示二自由度机械手，杆长为l 1＝l 2＝0.5m ，试求下面三种情况时的关节瞬时速
度
和 。 ??????+---=1221221112212
211c c c s s
s l l l l l l J 若忽略重力，当手部端点力F ＝[1 0]T 时，求与此力相应的关节力矩。
3. 图3-7所示二自由度机械手，杆长为l 1＝l 2＝0.5m ，手部中心受到外界环境的作用力F 'x 及F 'y ，试求在下面三种情况下，机械手取得静力学平衡
一质量m ＝10kg 的重物，l 1＝l 2＝0.8m ，l 3＝0.4m ，θ1＝60?，θ2＝-60?，θ3＝-90?。若不计机械手的重量，求机械手处于平衡状态时各关节力矩。
5. 图2-9所示二自由度机械手，关节1为转动关节θ1；关节2为移动关节d 2。
(1) 按下表参数计算手部中心的线速度v x 及v y 。表中1θ 和v 2分别为关节1的角速度和关
1的力矩τ1和关节2的驱动力P 2。表中
握有焊接工具。已知： θ1＝30?， 1θ ＝0.04rad/s
θ2＝
45?， 2
θ
＝0 θ3＝15?， 3
θ ＝0.1rad/s 求焊接工具手部A 点的线速度v x 及v y 。
图3-7 二自由度机械手
τ3 图3-8 三自由度机械手 A
7. 工业机器人力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵有何关系?
8. 什么是拉格朗日函数和拉格朗日方程?
9. 简述二自由度平面关节型机械手动力学方程主要包含哪些项?有何物理意义?
10. 什么叫机械臂连杆之间的耦合作用?
11. 在什么情况下可以简化动力学方程计算?
如何简单的区分ANSYS Workbench 有限元分析中的静力学与动力 学问题 四川 曹文强 “力”是一个很神秘的字，是个象形字，形体极像古代的犁形，上部为犁把，下部为耕地的犁头，也形象的解释“力”含义 ，将无形不可见，不可描述的现象充分的表达了出来。 从初中物理我们就学习过，力是物体之间的相互作用，是使物体获得加速度和发生形变的外因，单独就力而言，有三个要素力的大小、方向和作用点。力学是研究物体的机械运动和平衡规律及其应用的，力学可分为静力学、运动学和动力学三部分。而今天主要是简单介绍一个静力学与动力学。 首先，静力学与动力学区别是什么？ 答案很简单，一个是“静”，一个是“动”，动静的含义就是时间的问题。故，静力学实际是在研究工程结构在静载荷作用下的弹塑性变形和应力状态，以及结构优化问题，其中的静载荷是指不随时间变化的外加载荷，变化较慢的载荷，也可近似地看作静载荷。当然 “静”动力学 静力学
实际上只是相对而言，严格地说，物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速直线运动的状态，即加速度为零的状态，也就是平衡的状态。 对于平衡的状态阐述，牛顿第一运动定律（牛顿第一定律，又称惯性定律、惰性定律）就有一个完整表述：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。 此外，静力学的有五大公理 公理一 力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可合成一个合力，合力的作用点仍在该点，其大小和方向由以此两力为边构成的平行四边形的对角线确定，即合力等于分力的矢量和。 公理二 二力平衡公理：作用在物体上的两个力，使物体平衡的必要和充分条件是：两个力的大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。 公理三 加减平衡力系公理：在已知力系上加或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 公理四 牛顿第三定律：两物体间的相互作用力，大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。 此公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力与反作用力成对出现，并分别作用在不同的物体上。 公理五 刚化公理：变形体在某一力系作用下处于平衡时，如将其刚化为刚体，其平衡状态保持不变。 在有限元结构仿真里面，可简化为下流程图。 静荷载 大小、方向、作用点 输入 刚度、约束、尺寸、材料输出 位移、内力、应力
一、平面二连杆机器人手臂运动学 平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l 。建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 为连体坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。 图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程 连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标： ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （1） 2、用D-H 方法建立运动学方程 假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向里。从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ?? ??? ???????-=100 010000cos sin 00sin cos 1 111 01θθ θθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ?? ??? ???????-=100 010000cos sin 0sin cos 2 212212 θθ θθl T （3） 从),,(000z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：
? ???? ???????+++-+=?? ??? ? ? ?? ???-?????????????-=?=10000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos( 1000010 000cos sin 0sin cos 1000 010000cos sin 00sin cos 1121211121212212 2111 1120102θθθθθθθθθθθθθθθθ θθl l l T T T （4） 那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为： ? ?? ? ? ???????=????????????++++=? ? ? ?? ? ?????????????? ?? ???+++-+=?=110)sin(sin )cos( cos 10010000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos( 212112121121121211121212 020p p p z y x l l l l l l l P T P θθθθθθθθθθθθθθθθ （5） 即， ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （6） 与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。 建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角21θθ、，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。 3、平面二连杆机器人手臂逆运动学 建立以上运动学方程后，若已知个机械臂的末端位置，可以用运动学方程求出机械手臂二连杆的关节角21θθ、，这叫机械臂的逆运动学。逆运动学可以用于对机械臂关节角和末端位置的控制。对于本例中平面二连杆机械臂，其逆运动学方程的建立就是已知末端位置 ),(p p y x 求相应关节角21θθ、的过程。推倒如下。 （1）问题 ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p 已知末端位置坐标),(p p y x ，求关节角21θθ、。 （2）求1θ
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析 3.1 引言 在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。 在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。 工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。 关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。 工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。 研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。 工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比 3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章 工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即： ??? ???? ===),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y ，可写成Y=F(X)，
二自由度机械臂动力 学分析
平面二自由度机械臂动力学分析 姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学 摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程 相关介绍 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日 (Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。 欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。 在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类： 1)给出已知轨迹点上? ??θθθ、及、 ，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动? ??θθθ、及、 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程 1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： 1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ???=θ。 2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。 3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 2、下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
机器人动力学研究的典型方法和应用 （燕山大学 机械工程学院） 摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。 前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。 报告正文： （1）机器人动力学研究的方法 1）牛顿—欧拉法 应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。 若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F = 为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ， 则按欧拉方程有：εωI I M += 式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚
国防科学技术大学 硕士学位论文 仿人机器人运动学和动力学分析 姓名：王建文 申请学位级别：硕士 专业：模式识别与智能系统 指导教师：马宏绪 20031101
能力；目前，ＡＳＩＭＯ代表着仿人机器人研究的最高水平，见图卜２。２０００年，索尼公司也推出了自己研制的仿人机器人ＳＤＲ一３Ｘ，２００２年又研制出了ＳＤＲ一４Ｘ，见图卜３。日本东京大学也一直在进行仿人机器人的研究，与Ｋａｗａｄａ工学院合作相继研制成功了Ｈ５、Ｈ６和Ｈ７仿人机器人，其中Ｈ６机器人高１．３７米，体重５５公斤，具有３５个自由度，目前正在开发名为Ｉｓａｍｕ的新一代仿人机器人，其身高１．５米，体重５５公斤，具有３２个自由度。日本科学技术振兴机构也在从事ＰＩＮＯ机器人的研究，ＰＩＮＯ高０．７５米，采用２９个电机驱动，见图卜４。日本Ｗａｓｅｄａ大学一直在从事仿人机器人研究计划，研制的ｗＬ系列仿人机器人和ＷＥＮＤＹ机器人在机器人界有很大的影响，至今已投入１００多万美元，仍在研究之中。Ｔｏｈｏｋｕ大学研制的Ｓａｉｋａ３机器人高１．２７米，重４７公斤，具有３０个自由度。美国的ＭＩＴ和剑桥马萨诸塞技术学院等单位也一直在从事仿人机器人研究。德国、英国和韩国等也有很多单位在进行类似的研究。 图卜１Ｐ２机器人图卜２ＡＳＩＭＯ机器人图１．３ＳＤＲ－４Ｘ机器人图１－４ＰＩＮＯ机器人 图卜５第一代机器人图ｌ－６第二代机器人图１．７第三代机器人图１—８第四代机器人 在国家“８６３”高技术计划和自然科学基金的资助下，国内也开展了仿人机器人的研究工作。目前，国内主要有国防科技大学、哈尔滨工业大学和北京理工大学等单位从事仿人机器人的研究。国防科技大学机器人实验室研制机器人已有１０余年的历史，该实验室在这期间分四阶段推出了四代机器人，其中，２０００年底推出的仿人机器入一“先行者”一是国内第一台仿人机器人。２００３年６月，又成功研制了一台具有新型机械结构和运动特性的仿人机器人，这台机器人身高１．５５米，体重６３．５公斤，共有３６个自由度，脚踝有力 第２页
精心整理 一、平面二连杆机器人手臂运动学 平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l ，连杆3长度为3l 。建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 、33(,)x y 为连体坐标系，分别固结在连杆1、连杆2、连杆3上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。 1 θ 图11112123123p p x y 2、用D-H 方法建立运动学方程 假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向外。从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ?? ??? ???????-=100 010000cos sin 00sin cos 1 11101 θθ θθT （2）
从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ?? ??? ???????-=100 010000cos sin 0sin cos 2 212212θθ θθl T （3） 从222(,,)x y z 到333(,,)x y z 的齐次旋转变换矩阵为： 33212cos sin 0l T θθ-????=从(003T =003P =结论：（6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。 补充：正解用于仿真，逆解用于控制 建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角123θθθ、、，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。 3、平面二连杆机器人手臂逆运动学 二、平面二连杆机器人手臂的速度雅可比矩阵 速度雅可比矩阵的定义：从关节速度向末端操作速度的线性变换。现已二连杆平面机器人为例推导速度雅可比矩阵。 上面的运动学方程两边对时间求导，得到下面的速度表达式：
总评成绩：《机器人应用技术》实验报告 专业：机电一体化 班级：机电141班 学号：140212107 姓名：刘宗成 河南工学院 机电工程系
实验一工业机器人机械结构 实验目的：1、认识机器人的基本结构和组成 2、熟悉工业机器人基本工作原理 3、了解工业机器人技术参数 实验原理： 六自由度机械手本体结构图 实验器材：1、FANUC M-6i六自由度机械手二台 2、FANUC M-6iB六自由度机械手一台 3、ABB IRB-2400六自由度机械手一台 4、实验设备使用说明书各一本 实验步骤：1、学习ABB和FANUC六自由度机械手基本构成控制柜与机械本体 2、学习六自由度机械手本体各关节的作用 3、学习六自由度机械手本体中定位关节与姿态关节 4、学习六自由度机械手本体各关节驱动机构与传动机构 5、学习典型工业机器人机械本体质量分布，以及各关节中质量平衡和力矩平衡 6、学习六自由度机械手各关节运动范围及运动速度控制 7、学习工业机器人重复定位精度的定义，并且了解相应机器人的重复定位精度 8、学习工业机器人最大负载 9、学习工业机器人最大运动范围 实验报告：课后每位同学按照要求完成实验报告。 思考题：1、画出六自由度机械手的结构简图 2、分析各关节机械手臂的运动范围 注意事项：1、实验开始之前认真学习工业机器人机械本体结构。 2、实验过程认真阅读实验设备说明书。
实验报告
实验二 机器人运动学实验 实验目的：1、了解四自由机械臂的开链结构 2、掌握机械臂运动关节之间的坐标变换原理 3、学会机器人运动方程的正反解方法 实验原理： 机器人运动学只涉及到物体的运动规律，不考虑产生运动的力和力矩。机器人正运动学所研究的内容是：给定机器人各关节的角度或位移，求解计算机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态问题。 各连杆变换矩阵相乘，可得到机器人末端执行器的位姿方程（正运动学方程）为 ： 432140 A A A A T ==????? ???????10 00 z z z z y y y y x x x x p a o n p a o n p a o n 其中：z 向矢量处于手爪入物体的方向上，称之为接近矢量a ，y 向矢量的方向从一个 指尖指向另一个指尖，处于规定手爪方向上，称为方向矢量o ；最后一个矢量叫法线矢量n ， 它与矢量o 和矢量a 一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的叉乘所规定：a o n ?=。 上式表示了机器人变换矩阵40T ，它描述了末端连杆坐标系{4}相对基坐标系{0}的位姿，是机械手运动分析和综合的基础。 实验器材： 1、RBT-4T03S 机器人一台； 2、RBT-4T03S 机器人控制柜一台； 3、装有运动控制卡和控制软件的计算机一台。 实验步骤： 1、 根据机器人坐标系的建立中得出的A 矩阵，相乘后得到T 矩阵，根据一一对应的关系，写出机器人正解的运算公式，并填入表6-1中； 表6-1机器人的正运动学的参数
平面二自由度机械臂动力学分析 [摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 [关键字] 平面二自由度 一、介绍 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 机器人动力学问题有两类： (1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程 机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： (1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。 (2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时， F r为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
静力学问题和动力学问题 几个互相平衡的力对物体的作用，因它们的合力等于零，物体没有加速度，所以物体处于静止或匀速直线运动平衡状态。上节中列举过的4个例子，就是根据力的平衡条件来分析物体的受力情况的，一般我们称为静力学问题。高中力学所涉及的静力学问题都很简单，大家也比较习惯于解决这类问题。但是，当物体受到几个不平衡的力的作用下，它们的合力将引起物体作变速运动；分析物体作变速运动的物体受力情况和运动情况时，必须应用动力学定律，这跟应用平衡的概念解 决静力学问题有所不同，这类问 题我们叫它为动力学问题。常常 有同学用静力学观念来对待动力 学问题，结果导出了错误的结论。 譬如对如下的一个问题：图一中 m 1=110g ，m 2=20g ，如果不计 算摩擦力，那么，物体m 1和m 2各受哪几个力的作用？物体沿m 1沿桌面移动的加速度是多少？ 有的同学这样考虑：对m 1来说，在竖直方向上所受的重力P 和支承力N 互相平衡；在水平方向上，如果不考虑摩擦，那末它只受到一个绳子的拉力(也即是m 2, 对它的拉力)，这个拉力就等于物体m 2的重量20克，所以m 1的加速度222110.02102/0.1 P m g a m s m m ?====。对m 2来说，它只受到竖直向上两个力的作用：一个是地球对它的引力0.2N ，另一个是绳子对它的拉力（即m 1对它的拉力），因m 1对m 2的拉力是m 2对m 1拉力的反作用力，所以m 1对m 2的拉力在数值上也等于0.2N 。这样，m 2所受到的两个力应该是璴平衡的力，合力为零，因此，m 2应该保持静止或匀速直线运动。 图一
显然，这样得出的结论是不符合实际情况的，因为m 2并不是处于不稳状态，而是跟m 1一样，以同样大小的加速度作加速运动的。 那么问题到底出在什么地方呢？ 稍经思考，同学们不难想到：既然m 2是向下作加速运动，这说明它受到的两个力—重力和绳子对它的拉力并不互相平衡，而重力P 2必大于绳子对它的拉力，因为只有这样才能使我合力方向向下而使m 2作向下的加速运动。可见物体m 1所受绳子的拉力（即m 2对它的拉力）在数值上并不等于m 2的重量，它必然比m 2的重量小些。 这个拉力到底多大呢？这必须应用动力学定律来解决。 设拉力为T ，加速度为a ，对m 1来说，应有11T m a =。对2m 来说，因所受的合外力为2m g T -，所以应有21m g T m a -=。解联立方程式： 122T m a m g T m a =-= 得：22120.0210 1.63/0.10.02 m g a m s m m ?===++ 210.1 1.63/0.163T m a kg m s N ==?= 应该注意：这里是假定绳子本身没有质量的。如果考虑到它有质量，问题就要复杂得多。 如果m 1又受到桌面摩擦力作用而使它处于静止状态或匀速直线运动的平衡状态，那末m 2当然也是静止或匀速下降，在这种情况下，就可应用力的平衡概念求得绳子的拉力（m 1对m 2的拉力或m 2对m 1的拉力）在数值上刚好等于m 2的重量。因为这时它已变为一个静力学问题了。 为了防止在分析动力学问题时被静力学观念混淆起来，下面我们讨论几个问题。 例一：一条绳子跨过定滑轮，在绳子的两端各挂上一个质量为10克的小盘。现在两个盘中分别放上质量为200克和150克的砝码（图二）。 求两个盘所受砝码对它们的压力各是
第六章 机器人运动学及动力学 6.1 引论 到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。 机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。 有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。向前的动力学问题是计算在施加一 组关节扭矩时机构将怎样运动。也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ 和Θ 。这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ 和Θ ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。 6.2 刚体的加速度 现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。即 B B Q Q B B Q Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t ?→+?-==? （6-1） 和 A A Q Q A A Q Q 0()()d lim dt t t t t t ?→Ω+?-ΩΩ=Ω=? （6-2） 正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号 U A AORG V V = （6-3） 和 U A A ω=Ω （6-4）
6.2.1 线加速度 我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量B Q 的速度 A A B A A Q B Q B B V V B R R Q =+Ω? （6-5） 这个方程的左手边描述A Q 如何随时间而变化。所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为 A A B A A B B Q B B d ()V dt B B R Q R R Q =+Ω? （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。 通过对（6-5）求导，我们可以推出当{}A 与{}B 的原点重合时从{}A 中看到的B Q 的 加速度表达式 A A B A A A A Q B Q B B B B d d V (V )()dt dt B B R R Q R Q =+Ω?+Ω? （6-7） 现在用（6-6）两次── 一次对第一项，一次对最后一项。（6-7）式的右侧成为： A B A A A A B Q B B Q B B A A A A B B Q B B V () +Ω?+Ω?+Ω?+Ω? B B B B R R V R Q R V R Q （6-8） 把相同两项合起来 A B A A A A B Q B B Q B B A A A B B B V 2 () +Ω?+Ω?+Ω?Ω? B B B R R V R Q R Q （6-9） 最后，为了推广到原点不重合的情况，我们加上一项给出{}B 的原点的线加速度的项，得到下面的最后的一般公式 A B A A A A BORG B Q B B Q B B A A A B B B V 2 () ++Ω?+Ω?+Ω?Ω? A B B B V R R V R Q R Q （6-10） 对于我们将在本章上考虑的情况，我们总是有B Q 为不变，或 B Q Q V 0== B V （6-11） 所以，（6-10）简化为 A A A A A A Q BORG B B B B B V ()=+Ω?Ω?+Ω? A B B V R Q R Q （6-12） 我们将用这一结果来计算操作机杆件的线加速度。 6.2.2 角加速度 考虑{}B 以A B Ω相对于{}A 转动的情况，而{}C 以B C Ω相对于{}B 转动。为了计算 A C Ω我们把矢量在坐标架{}A 中相加
运动学、静力学、动力学概念 运动学 运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。 用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。 运动学主要研究点和刚体的运动规律。点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。 在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。 运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。 运动学的发展历史 运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。
第3章工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比
3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：，可写成 Y=F(X，将其微分，得：，也可简写成 。该式中（6×6）矩阵叫做雅可比矩阵。 在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。 二自由度平面关节机器人，端点位置x，y与关节θ1、θ2的关系为：
机器人运动学知识介绍 收藏 21:53|发布者: dynamics|查看数: 1125|评论数: 2| 来自: 东方早报 摘要: 现在你可能正拿着一本书，边看边翻页，并时不时回头，越过肩膀察看后面是否有红眼的恶意机器人。随着书页的翻动，你也许会在无意识里考虑这个问题。作为人类，在物理世界移动是如此自然，只需要一丁点的意识即可。而 ... 丹尼尔·威尔逊 现在你可能正拿着一本书，边看边翻页，并时不时回头，越过肩膀察看后面是否有红眼的恶意机器人。随着书页的翻动，你也许会在无意识里考虑这个问题。作为人类，在物理世界移动是如此自然，只需要一丁点的意识即可。而另一方面，机器人———就像最后一个选择踢球的孩子———为了避免伤到自己和别人，每一个动作都必须经过仔细考虑。机器 人专家管这个过程叫做“操作研究”。 前进和逆转 如果你醒来发现自己处在一具新的躯体中，拥有金属手臂，每只手只有三根手指，你会怎么样呢？如果不知道手臂的长度，拿东西会很困难；如果只有三根手指，那么你必须找到一个全新的抓取和握东西的方法；由于弯曲的金属手臂，你可能再也没有约会的机会。这些就是身处各地的孤独的机器人们所面临的重大问题。 运动学研究旨在解决机器人的手臂转向何方(动力学则为了解决移动的速度和劲道)。机器人运动学可分两类：前进和逆转。前进运动学的问题是机器人运用它对自身的了解(关节角度和手臂长度)来判断自己在三维空间中到底身处何方。这算是简单的部分，逆转运动学正好相反，它解决机器人如何移动才能达到合适的姿势(改变关节位置)这一问题。机器人在握你手之前，需要知道你手的大概方位，以及从这里移向那里的最优顺序。有时候，可能没有最好的解决方案(试试用你的右手碰你的右肘)。 对逆转运动学来说，大多数方案运用传感器(通常是视觉和力)来估计机器人身体的当前位置。只要有了这个，机器人就能够计划下一步行动(握手、问好或绞断你的脖子)。机器人的反应很敏捷，日本ATR实验室的类人机器人能够更新视觉，估计世界形势，并且在一秒钟里能够做60个动作。这些类人机器人已经能够跳舞，耍弄彩球，玩篮球和曲棍球。 扫描环境和选择动作的过程叫做反馈环路。新的信息被经常性地用于更新当前的决定。如果缺乏经常性更新，机器人的操作技能会变得糟糕。传感器的损伤(或非常不可信赖的传感器)会干扰这一重要的环路。比如以视觉为基础的跟踪遇到混乱的场景会大受干扰，或者浪费资源去跟踪一些无意义的目标(比如落叶等)。震动可以扰乱力传感器，即使它们位于机器人手臂的内部。虽然机器人能够反应得更快更精确，但它们总是依赖于不断更新的信息和持续改进的计划。