类题演练 已知函数y=y 1-y 2.，其中y 1与x 成正比例，y 2与x - 2成反比例，目当=x =1 时，Y=1；当x =3时，y=5求当x = -2时，y 的值
类题演练 按例5的方法进行计算，则在2009个函数值中y 1,y 2, y 3,…y 2009 中，值为2的 情况共出现 次
A 组
1．(1)下列函数中是反比例函数的是 ( ) A. Y=
x 1+2 B. y= k x (k ≠0) C. y=x
1 D. y=x 24 (2)矩形面积是40 cm 2,设它的一边长为x cm ，则矩形的另一边长y cm 与的x 函数是系是
( ) A. Y=20 -
2x B. y= 40x C. y=x 40 D. y=40
x 2．判断下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）
(1)直角一角形面积为20 cm 2，两条直角边长分别为z cm 和y cm ，变量y 是变量x 的反比例函数. ( )
(2)圆的面积公式S =πr 2中，S 与r 成正比例. (3)矩形的长为a ，宽为b,周长为C,当C 为常量时，a 是B 的反比例函数. ( ) (4)一个长方体的底面正方形的边长为x ，高为y ，当其体积V 为常数时，V 是x 的反比例函数. ( )
(5)当被除数（不为零）一定时，商和除数成反比例. ( )
(6)计划修建铁路1200 km ，则铺轨天数y,是每日铺轨量x 的反比例函数. ( )
3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x （米）成反比例已知400度近视眼镜镜片的焦距为 0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 .
4. 有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的3
1
.设梯形的下底长为x ，高为y ，则y 关于
x 的函数关系式为 . 5已知y-2与x 成反比例，当x =3时，y=1，则y 与x 之间的函数关系式为 .
6.y 是
x 的反比例函数，下表给出x 与y 的一些值;
(1)写出这个反比例函数的解析式 (2)根据函数解析式完成上表
B 组
7．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )
A. x (y-1) =1
B. y=
11 x C. y=x 1 D. y =x
31 8如果函数y= -x 2m-2为反此例函数，则m 的值是 ( ) A . -1 B. 0 C.
2
1
D. 1 9关于y=
x
k ，下列说法中正确的有 ( )
(l)一定层反比例函数
(2)k 为常数时，是反比例函数
(3)当k ≠0时，自变量x 可为切实数 (4)当k ≠0时，y 的取值范围足一切实数 A. 0个 B 1个 C 2个 D 3个
10如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的 ( ) A. 反比例函数 B.正比例函数
C. 一次函数
D.反比例或正比例函数 11如果y 与 -3x 成正比例,
x 与
z
4
成反比例，那么y 是z 的 ( ) A ．正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 不能确定
12.已知y 是x 的反比例函数，且比例系数k>0，当x 增加20%时，函数值y 将( ) A ．约减少17% B. 增加20% C ．增加80% D. 约减少83%
13(1)兄弟两人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表
①写出兄吃的饺子数y 与弟吃的饺子数x 之间的函数关系式.
②虽然当弟吃的饺子数增多时，兄吃的饺子数(y)在减少，但y 与x 成反比例吗?
(2)水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速度v 与全池水放光所用时间t 见下表
① 写出放光池中水用时t(h)与放水速度v (t/h)之间的函数关系式 ② 这是个反比例函数吗？
14. 已知a 与b 成反比例，当b=4时，a=5，求当a=
5
4
当时，a 的值
15. 如图，一个圆台形物体的上底面积是下底面积的
3
2
，将它放 在桌上，它对桌面的压强是200Pa ，如果将它翻过来放置，它对桌面
的压强是多少？
J6收音机通上电就能放m 优美的音乐，我们可以通过转动旋钮来调节声音的 大小，这样的效果就是通过改变电阻来制电流的变化实现的，电流越小，
声音越小；反之，电流越大，声音越大.我们知道．电流J 、电阻R 、电压U 满 足关系式U =IR..当U=220V 时，
(1)当用含R 的代数式来表示I 时，I 是R 的反比例函数吗?如果是，请写出关系式. (2)当电阻为22Ω 时，电流是多少？
17．假设x , y 都是正数并且成反比例关系.若x 增加了p%，求y 减少百分比
18．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了 8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y （千克）与销售价格x （元／千克）之间都满足这一关系 (l)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元／千克，并且每天部按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
11如图，点A ，B 是双曲线y=
x
上的点，分别经过A ，B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，刚S 1+S 2=____. （S 1，S 2指空白部分的面积）.
12．函数y 1= x (x ≥0).y 2=
x
4
(x >0)的图像如图所示，则下列结论：①两函数图像的交点的坐标为(2，2)；②当x >2 时，y 2>y 1；③当x =1时，BC=3；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小.其中止确结论的序号是____.
13．如图，过原点的直线l 与反比例函数y=-
x
1
的图像交于M ，N 两点，根据图像猜想 线段MN 的长的最小值是____.
14如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴,y 轴 上，点B 的坐标为( 3
20
-
,5), D 是AB 边上的一点.将△ADO 沿 直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式
15当x =6时，反比例函数y=
x k 和一次函数y= 2
3x -7的
值相等
(l)求反比例函数的解析式
(2)若等腰梯形ABCD 的顶点A ，B 在这个一次函数的图像
上，顶点C ，D 在这个反比例函数的图像上，且BC ∥AD ∥y 轴，A ．B 两点的横坐标分别是a 和a +2(a>0)，求a 的值
16如图，已知A(-4．n)，B(2，4)是一次函数y=k x +b
的图像和反比例函数y =
m
x
的图像的两个交点 (l)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标丑△AOB 的面积； (3)求由程k x +b m
x
-
=0的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式k x +b m
x
=0的解集（请直接写出答案）. 课外拓展
17．两个反比例函数y =
x k 导和y= x 1在第一象限内的图像如图 所示，点P 在y =x k 的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=x
1
的图像于
点A .PD ⊥y 轴于点D ．交y=x 1的图像于点B ，当点P 在y =x
k
图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边
形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 星 PC 的中点时，点B 一定足PD 的中点
其中定正确的是____（把你认为正确结论的序号都填上）.
18如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原 点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =
x
k
(k>0, x >0) 的图像上,点P(m,n)为其双曲线上的任意一点，过点P
分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，并没矩形OFPE 和正方形OABC 不重合部分的面积为S (l)求B 点坐标和k 的值； (2)当S=
2
9
时，求P 点坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式.
降低，其数据如下表
(l)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定哪个函数能表
示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； (2)按照这种变化规律，若2007年已投入技改资金5万元 ①预计生产成本每件比2006年降低多少万元？
②如果打算7 2007年把每件产品成本降低到3. 2万元，则还需投入技改资金多少万元，
（结果精确到0.01万元）.
同步反馈
A 组
1．有x 个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y(个/人)与x （个）之间的函数是 ____.函数，其函数关系式是____. 当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合
函数y=
x
k
（k>0）．当x >0时，y 随x 的增大而____的性质. 2.收音机刻度盘的波长l 和频率f 分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位的，波长l 和频率f 满足关系式f =
l
300000
,这说明波长l 越小，频率f 就越____.
3.(1)已知力F 所做的功是15焦，则力F 与物体在力的方向上通过的距离S 的图像大 致是 ( )
(2)已知圆柱的侧面积是10πcm 2
，若圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，则h 与r 的函数图像大致是图中的
4. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂每月生产
x 只
（x 取正整数）．这个月的总成本为5000元，则y 与x 之间满足的关系式为 ( ) A. y =
5000
x
B. y =x 3 5000
C. y =x 5000
D. y =x 5000 3
5. 面积一定的梯形，其上底长是下底长的2
1
，设下底长x =10cm 时，高y=6 cm
(l)求y 与x 的函数关系式， (2)求当y=5cm 时，下底长多少?
6一定质量的二氧化碳．当它的体积V=6m 3时，它的密度ρ=1. 65 kg/m 3 (1)求ρ与V 的函数关系式
(2)当气体体积是1m 3时，密度是多少?
(3)当密度为1.98kg/m 3时，气体的体积是多少?
B 组
7如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y=
x
3
( x >0) 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会 ( )
A 逐渐增大
B ．不变
C 逐渐减小
D 先增大后减小
8. 如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5，过点A 1，A 2， A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =
x
2
（x ≠o ）的图像相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5,得直角三角形OP 1A 1 ,A 1P 2A 1 ，A 2P 3A 3 ,A 3P 4A 4, A 4P 5A 5,并设其面积分别为S1,S2,S3,S4,S5则S5的值为 .
9完成某项工程的时间x （天）与参加施工的人数y （人）成反比例关系如果参加这项工程施工人数为4人，10天能完成这项工程，现要求8天完成这项工程，需要多少人参加施工?
10学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定 直，它的一边y 与另一边x 之间的函数关系如右图所示 (1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m ．那 么它的宽应控制在什么范围内？
11.小华的爸爸开车送小华去外婆家，他们的速度是48krn/h ，用了20分钟赶到.
(1)小华家到外婆家的距离是多少?
(2)如果回来时，让小华坐汽车，汽车的速度为v km ／h(v>8)，那么回家的时间t 将如何 变化?
(3).写出t 与v 之间的关系式；
(4)如果准备0.5h 内赶到家，那么汽车的速度至少为多少？
1 2. 为了研究某合金材料的体积V( cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制 成的圆球测得相关数据如下：
能否据此求出V 和t 的函数关系式?
13．已知等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图所 示，点A 的坐标为(33 ，3)，点B 的坐标为（- 6，0） (1) 若△OAB 关于y 轴的轴对称图形是△0A'B ' ，请直接 写出A ，B 的对称点A'，B'的坐标，
(2)若将△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =x
3
6
图像上，求a 的值；
( 3)若△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转角度为α(00<α<900). ① 当α=300恰好落在反比例函数y =
x
k
的图像上，求k 的值 ② 问点A ，B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能 求α的值；若不能．请说明理由
14若一次函数y=2 x - 1和反比例函数y=
x
k
2的图像都经过点 (1，1)
(1)求反比例函数的解析式;
(Z)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图像上，求点A 的坐标，
(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A ，O ．B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标.
15如图，已知正比例函数y=a x 的图像与反比例函数y =
x
k
的图像交于点A(3.2)
(1)试确定上述正比例函数和反比例幽数的表达式；
(2)根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3)M(m ，n)是反比例函数图像上的一动点，其中0 延长线于点D.当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与 DM 的大小关系．并说明理由 16如图,帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练．O 为湖而上的一 个定点，教练船静候于O,点训练时要求A ，B 两船始终关于0 点对称, 以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正 方向分别表示正东、正北方向设A ，B 两船可近似看成在双曲 线y = x 4 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练一 船与A ．B 两船恰好在直线y= x 上时，三船同时发现湖面上有 一遇险的船C ，此时教练船测得C 船在东南4 50方向上，A 船 测得AC 与AB 的夹角为600，B 船也同时测得C 船的位置（假 设C 船位置不再改变，A ，B ，C 三船可分别用A ．B ．C 三点表 示） (l)发现C 船时．A ，B ．C 三船所在位置的坐标分别为A( ， )，B ( ， )和C( ， ); (2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A ，O, B 三点出发沿最短路线同时前往救援， 设A ．只两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由. 课外拓展 17如图，点A （m ，m-l ），B （m+3，m-l ）都在反比例函 数y= x k 的图像上 (1)求m ，k 的值， (2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ． M, N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表 达式 18阅读理解；对于任意正实数a ，b ，因为(a ,b ).所以 a 一2ab +b ≥0,所以a+ b ≥2ab 只有当a=b 时,等号成立 结论：在+b ≥2ab （a ，b 均为正实数）中，若ab 定值p ，则 a+ b ≥2 p ，只有当a=b 时，a+ b 有最小值2p 根据上述内容，回答下列问题：若m>0,只有当m = 时．m+ m 1 有最小值 . 探索应用:如图，已知A(-3，0)．B(0，-4) P 为双曲线y= x 12 (x >0)上的任意一点．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D 求四 边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状 (25) A 组 A 组 l.下列函数中，不是二次函数的是 （ ） A. y=1-2x 2 B. y=2(x -1)2+4 C. y= 2 3 (x -1)(x +4) D. y=(x -2)2-x 2 2.若y=m x m2+3m-2是二次函数，则m 的值为 ( ) A. 0，- 3 B 0，3 C . 0 D – 3 3．在边长为4m 的正方形中间挖去一个边长为x m 的小正方形，剩下的四方框形的面积 y ，则y 关于x 的函数解析式为 . 4．已知二次函数y=x 2+c ，当x =2时，y=0，则当x =一2时，y=________. 5．已知正方形的边长是10 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2. (l)写出 y 关于x 的函数解析式 2)当正方形的边长分别增加1 cm ， 2cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？ 6．已知二次函数y -=3x 2+b x +c ，当x = - 2时，函数值星0；当x =l 时．函数值是6，求这个二次函数的解析式 B 组 7.设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S(m 2)与窗宽x (m) 之间的函数关系式是 . 白变量x 的取值范围是 . 8如图，在一幅长 80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，制成一幅矩形挂画．设整个挂面总面积为y cm 2，金色纸边的宽为x cm ，则y 与x 的函数关系式是_____. 9对于二次函数y=a x 2已知当x 由1增加到2时，幽数 值减少4，则常数a 的值是 . 10如图，水渠的横断面是等腰梯形，底宽CD=2m ，坡角α=450，AB 表示水面线，求等腰梯形ABCD 的面积S 关于水深 h 的函数解析式 11. 某工厂计划给一批长方体形状的产品涂上油漆．已知长方体的长和宽相等，高比长多 0.5m (1)长方体的长和宽用x (m)表示，长方体需要涂漆的表面积为S(m 2)，求S 关于x 的函 数解析式； (2)如果每平方米所需涂漆的费用是5元，每个长方体所需涂漆的费用为y （元），求y 关 于x 的函数解析式 12已知y 与x 2成正比例，并且当x =1时，y=2求：(l)y 关于x 的函数解析式；(2)当 x = - 3时，y 的值；(3)当y=8时，x 的值 13. 现有铝合金窗框材料8m ．准备用它做一个如图所示的长方形窗架 （窗架宽度AB 必须小于窗户的高度BC ）已知窗台距离房屋天花板2 .2m 设AB 为x m ．窗户的总面积为S m 2 (l)试写出S 关于x 的函数解析式； (2)求自变量x 的取值范同 14．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价小变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克 （1)设每千克涨价x 元，商场获得的利润为y 元，试写y 与x 的函数关系式： (2)现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ （31） 15如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度 沿直线l 向正方形移动，直到AB 与DC 重合，设x s 时三 角形与正方形重叠部分的面积为y m 2求： (I)y 关于x 的函数解析式； (2)当x =2，3 .5时，y 分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间? 16如图，在△ABC 中，∠B=900，AB=l. 2 cm ，BC=2 4cm ，动点P 从电A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动，动点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以4 mm ／s 的速度移动，如果P ．Q 分别从 A ， B 两点同时出发，设△PBQ 的面积为S(c m 2)，出发时间为t ， (1) 求S 关于t 的函数解析式和t 的取值范围； （2）填写下表 课外拓展 17．已知直角三角形的两条直角边之和为2，设其中一条直角边长为x ，斜边长为y ，则y 关于x 的函数关系式是 当x = 时，斜边最小，最小值是 18已知二次函数y=a x 2+b x +c 的系数a, b, c 都是整数，目当x =19或x =99时y=999,|c|<1000 求c 的值 2.2二次函数的图象和性质 类题演练 某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成， 如图2-7所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0. 2 m 用5根立柱加固，拱高OC 为0. 6rn (1)以O 为原点，OC 所在的直线为Y 轴建立平面直角坐标 系，请根据以上的数据，求出抛物线y=a x 2的解析式； (2)计算这段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1m) 同步反馈 A 组 I 二次函数y=x 2+4x +5图象的顶点坐标是 ( ) A (1， 2) B(一2，- 1) C(2.1) D （一2，1） 2小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x 2-4x +5的值的情况他们作了如下分 工：小明负责找其值为l 时的x 的值，小亮负责找其值为0时的x 的值，小梅负责找最小值小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是 （ ） A 小明认为只有当x =2时，x 2-4x +5的值为1 B 小亮认为找不到实数x ，使x 2-4x +5的值为0 C 小梅发现丁x 2-4x +5的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值 D 小花发现当x 取大于2的实数时，x 2-4x +5的值随x 的增大而增大，因此认为没有 最大值 3如图，?O 的半径为2，C1是函数y=2 1x 2, C2是 函数y= - 2 1 图象．则阴影部分的面积是 4在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x -2关于x ， 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 ( ) A. y= -x 2-x +2 B. y= -x 2+x -2 C. y= -x 2+x -2 D. y=x 2+x +2 5．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若在图中任意画一条抛物线，则所画的抛物线最多能经过81个格点中的 （ ） A. 6个 B. 7个 C 8个 D 9个 38 6如图是用长为18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的 苗圃 (1)设矩形的一边为x m ．面积为ym 2．求y 关于x 的函数解析式， 并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少? 7.已知二次函数y=x 2-b x +1（一1≤b A 先往左上方移动，再往左下方移动 R 先往左下方移动，再往左上方移动 c 先往右下方移动，再往右上方移动 D 先往右上方移动，再往右下方移动 8 一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当x =0时，函数值最大； ②当0 9 如果3点P 1（一l ，y 1），P 2(1，y 2)，P 3(2，y 3)在二次函 数y=x 2+4x +2的图象上，那么 （ ） A. y 1 则当x =x 1+x 时，二次函数的值是 （ ） A a b 22 +5 B - a b 42 +5 C. 2010 D. 5 11.二次函数，y= 3 2x 2，的图象如图所示，点A0位于坐 标原点，点A 1，A 2,，A 3，…，A 2010在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2010。在二次函数y= 3 2x 2，位于第一象限的图象上，若 △A 0B 1A 1,△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2009B 2010C 2010。都为等 边三角形，则△A 2009B 2010C 2010的边长= 12二次函数y=a x 2+b x +c 的图象向左平移2个单 位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=x 2-2x +1，求 b ，c 的值 13已知抛物线y=a x 2+b x +c 经过A ，B ．C 三点，当x ≥0时， 其图象如图所示 (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出当x <0时抛物线y=a x 2+b x +c 的图象； （3）利用抛物线y=a x 2+b x +c 写出x 为何值时，y>0 14抛物线y=a x 2+2a x + a 2+2的一部分如图所示，求该抛物 线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标 15已知关于 x 的二次函数 y=a x 2- m x + 2 1 2 +m 与y= x 2- m x 2 2 2 +- m 丛茅，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ．B 两个不 同的点 (l)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点。 (2)若A 点坐标为（- 1,0）,求B 点坐标 （3)在(2)的条件下，对于过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小? 16如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长1 20米，下 底长1 80米．上下底相距80米，在两腰巾点连线（虚线）处有一条横 向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，备甬道的宽度相等设甬道的 宽为x 米 (1)用含x 的式子表示横向甬道的面积； (2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米如果修建币道的 总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5. 7。花坛其 余部分的绿化费用为每平方米0 02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少，最少费用是多少万元？ 课外拓展 17如图．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0 )．直线y=x +m 与该二次函数的图象交于A ，B 两点．其中A 点的坐标为(3，4)，B 点在y 轴上 (i)求m 的值及这个二次函数的解析式； (2)P 为线段AB 上的一个动点(P 与A,B 不重合）．过P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E ，设线段PE 的长为h ， 点P 的横坐标为x ，求h 关于x 的函数解析式，并写出自变最x 的取 值范围； (3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ．使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由 18已知平行x 轴的直线，y=a(a ≠0）与函数y=x 和函数y=x 1 的图象分别相交于点 A 和点 B ，又肯定点P(2，0) (1)若已知a>0，且点B 到x 轴与y 轴的距离之比为1：9，求线段AB 的长 (2)在过A,B 两点且顶点在直线y=x 的抛物线中，已知线段AB=3 8 ，且在它的对称 轴左边时．y 随着x 的增大而增大，试求满足条件的抛物线的解析式 (3)已知经过A,B ，P 三点的抛物线，平移后能得到y=x 2 59的图象，求点P 到直线AB 的距离 2.3二次函数的应用 47 类题演练 如同2 14．某公路隧道横截面为抛物 线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为1 2米现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系 (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“立撑架”AD –DC - CB ， 使 C ， D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支 撑架”总长的最大值是多少? A 组 1向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度关系为y=a x 2 +b x 若此 炮弹存第7秒与第1 4秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的 ( ) A 等8秒 B 第1 0秒 C 第12秒 D 第15秒 2. 图(1)是-个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ．水面宽4m 如图(2)建立平面'直角坐标系，则抛物线的关系式是 ( ) A. y= -2 x 2 B.y=2 x 2 C. y= - 2 1x 2 D y= 2 1x 2 3若二次函数y=x 2+2 1 与y= - x 2+k 的图象的顶点重合．刚下列结论中不正确的是 A 这两个函数图象有相同的对称轴 B 这两个函数图象的开口方向相反 C 方程- x 2+k=0没有实数根 D 二次函数y= - x 2+k 的最大值为 2 1 4 一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数中：那么在下列四个函数中：①y=2x ②y= -3x -l ；③y= x 6 ；④y= x 2+1，偶函数是 （填出所有偶函 数的序号） 5 在距离地，面2m 高的某处把一物体以初速度v 0m /s 竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下．其上升高度s(m)与抛出时间t (s)满足s=v 0t- 2 1 gt （其中g 是常数，通常取g=10m ／s 。)若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面 m 6已知抛物线y= - x 2+4x +1与x 轴相交于A ，B 两点（A 点 在B 点的左侧）．顶点为P (1)求A ．B ，P 点坐标； (2)布右面的直角角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写 出当x 取何值时，函数值y 大于零； （3）确定此抛物线与直线y= - 2x +6公共电的个数，并说明 理由 B 组 7如图对称轴是x =1的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，若B 点坐标是（3,0），则A 点的坐标是 8对于每个非零自然数n ，抛物线2y= -x 2 x n n n )1(12++- +) 1(1 +n n 与x 轴交于An ， Bn 两点，以A n B n 表是这两点间的距离，则A 1B l +A 2B 2+... + A 2009B 2009的值是 ( ) A ． 20082009 B. 20092008 C. 20092010 D. 2010 2009 9 如图，抛物线y= a x 2+b x +c 与x 轴的一个交点A 在点( - 2，0)和( - 1，0)之间（包括 这两点）．顶点C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则(1)abc____ O （填 “>”或“<”）：(2)a 的取值范围是 10甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示 初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！ 坚持就是胜利！ 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏析 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） A. B A B E D A M N 九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式2x-3有意义，x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图，在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°，∠D=50°，则∠AOD 的度数是（ ） A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图，已知AB 为⊙O 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM ：OB=3：5，则CD 的长为（ ） A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a 个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为（ ） A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上一点，将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ，若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1 九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式越有意义，x的取值范围为（） 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是（） A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（） A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图，在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是（） A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图，已知AB 为（DO 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM： 0B=3：5, 则CD的长为（） A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是（） A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 2 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为（） A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图，正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点，将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的（DO相切，则折痕CE=（） A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图，MN是00的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30° , B为弧AN的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是（） A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形，AB是的直径，E是00 ±一点，过点E作EF丄DC于 第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值． 2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题) 5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 初三数学 图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。 （1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？ （2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？ （3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。 y B 0, 3 P A 4, 0 x O Q L 图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。 （1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）； （2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。） （3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。 y b C P(1，1) O A D B x a 图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。 （1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。 2 y 4 D B 2 P C A x O 2 4 如图， 二次函数 y = ax + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交 于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点. （1） ）求二次函数的表达式； （2） ）求圆心 P 的坐标； （3） ）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。 y C ·P 2 3 2 3 O 2 B A x 2 6 图，以△ ABC 的边 AB 为直径的⊙ O 经过 BC 的中点 D ，过 D 作 DE ⊥AC 于 E 。（ 1）求证：AB=AC （ 2 分） A E O （2） 求证： DE 是⊙ O 的切线（ 3 分） （3） 若⊙ O 的半径为 3，切线长 DE= 2 B D C 2 ，求 cos ∠C 的值。（4 分） 图，在平面直角坐标系中有矩形 OABC ，O 是坐标系的原点， A 在 x 轴上，C 在 y 轴上，OA=6， 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏板 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） 次根式是（） A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④ 【例２】(黔东南)方程 x-=，当y＞0 480 时，m的取值范围是（） A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x、y 2 y-=，则xy (0 的值是__________. 3．（荆门）若 2 =+，则x－y的值为 x y () （） A．－ 1 B．1C．2 D．3 有意义的x的取值范围是4．（鄂州）使代数式 4 x- （） A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠4 5.（怀化） 2 --=，则a－b－c＝ a c 2(4)0 ________. 【例３】下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A ． =； B ．不能化简； C.=；D = =.故本题应选 D. 【变式题组】 6 ．如果最简二次根式 与是同类二次根式，则a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A ． 8 ．已知最简二次根式b 和 是同类二次根 式，则a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（ ） A = 4= C = D ．(11+= 【解法指导】正确运用二次根式的性质 ①2(0)a a =≥； ②(0)0(0) (0)a a a a a a ??===??-?＞＜；③ 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 2016年初二升初三 暑 期 培 优 教 材 （数学） 第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、 c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数 是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二 次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①04 2 =-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 九年级数学培优计划 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 培优目标： 1、在学期初找他们谈话，要他们戒骄戒躁，要更加努力学习，使成绩更上一层楼，从思想上积极起来。 2、平时在课堂上提问他们比较深的问题，从而锻炼他们的思维能力。 3、在作业上对他们要求更严格。 4、培养他们良好的学习习惯，以及有效的学习方法。 5、对优等生，多提问一些有针对性、启发性的问题 我打算制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，指定他们对其他学生进行辅导，使他们的知识扩大到更大的领域，技能、技巧达到更高的水平，使他们永远好学上进，聪明才智得到更好地发挥。 6、课堂教学中，鼓励优等学生自主探索、自我尝试，使他们的创造思维能力得到不断增强。 培优措施：在平时多设计有梯度，形式多样的练习。在课堂上培养学生积极探索、认真思考、刻苦钻研的精神，提高观察、想象、理解、分析、判断、推理、概括、记忆、创造等各种数学能力。在应用题教学中，教给学生思考的方法，进行科学训练，提高解题能力，适当加强对比和变式练习。重视思考题教学，引导学生多角度思考问题，展开思维过程，培养创新精神和创新能力，全面开发各个层次学生的智力。 1、要对的优秀生进行思想教育，培养学生热爱科学，渴求知识的兴趣和愿望。 2、首先抓住课堂教学，调动积极思维，既发挥他们的榜样作用，带动其他同学，又在面向全体的同时给他们吃偏饭，要有详实的辅导记录。 3、一学期对培训的学生进行一次考试和问卷，及时了解培训情况及学生的反映。 4、培优期间，要把对优秀生的辅导与学科竞赛结合起来，注意培养优秀生的自学意识和探究能力。 1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1 2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2 3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3 4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 4 5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5 培优班数学试卷 一．选择题 1．下列四个数中最小的是（） A．3.3 B．C．﹣2 D．0 2．如图所示的几何体的主视图是（） A．B．C．D． 3．下列运算正确的是（） A．m3?m3=2m3B．5m2n﹣4mn2=mn C．（m+1）（m﹣1）=m2﹣1 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2 4．已知一直角三角形的周长是斜边上的中线长是2,则这个三角形的面积是（） A．5 B． C．D．1 5．点P（3，﹣4）关于y轴对称点P′的坐标是（） A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3） 6．下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表： 星期一二三四五跳绳个数160 160 180 200 170 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（） A．180，160 B．170，160 C．170，180 D．160，200 7．一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是（） A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2 8．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（） A．30°B．35°C．45°D．70° 9．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（） A．B．4 C．4.5 D．5 二．填空题（） 10．因式分解：m2n﹣4mn+4n=． 11. 正八边形的每个外角的度数为． 12．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是． 最新九年级数学培优教程整理篇(全) 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 【例２】(黔东南)方程480x -，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x 、y 2 (0y =，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（怀化）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 【例３是同类二次根式的是（ ） A B C D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是 否一样. A =； B 不能化简；=；D ==.故本 题应选D. 【变式题组】 6a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A B C D 8．已知最简二次根式b a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（ ） A = B 4= C = D ．(11+= 1 人教版九年级（上册）数学培优资料（一） 第二十二章 一元二次方程 一、一元二次方程根判别式的应用 已知关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax （1）⊿=b 2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根； （2）⊿=b 2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数； （3）⊿=b 2-4ac<0?一元二次方程没有实根． 练习： 1、不解方程，试判定下列方程根的情况：2+5x=3x 2 2、k 的何值时？关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-5=0有实数根 3、不解方程，判别关于x 的方程x 2-2kx+（2k-1）=0的根的情况． 4、求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 二、一元二次方程根与系数的关系的应用（韦达定理） 已知关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是x 1和x 2，那么 21x x += ；21x x = 练习： 1、已知方程x 2 074-=-x 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x = 2、已知方程x 2 +3x －5=0的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x = 3、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ； x 1·x 2= ；211 1 x x + ；x 21+x 22= (x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。 4、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。 2 A C 三、一元二次方程的应用 1、如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3条小路， 使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2 ，问小路应为多宽？ 2、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、 B 同时出发．几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 ？ 3、某商店经销一批季节性小家电，每个成本40元．经市场预测，定价为50元时，可销售200 个，定价如果每个增加1元，销售量将减少10个．如果商店进货后全部销售完，赚了2000元，问该商店进了多少个小家电？定价是多少？ 4、在一块长为32m 、宽为24m 的矩形绿地上，要围出一个花圃，使花圃面积为矩形面积的一 半．你能给出设计方案吗？ 5、如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿直 线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号 ) 第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏板 【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. A ．①,② B ．③,④ C ．①,③ D ．①,④ 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x 、y 2 (0y =，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（怀化）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 【例３是同类二次根式的是（ ） A B C D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一 样. A = B 不能化简；=D ==.故本题应选D. （6） 数学符号 【知识精读】 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。 2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号：略 5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数 部份记作Z （ ），而它的余数记作R （）， 那么b a b a Z （）＝3，R （）＝1；又如设表示不大于x 的最大整数，那么＝5，310310[]x []2.5[]2.5-＝－6，＝0，＝－3。?? ????3 2[]3-正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 【分类解析】 例1设表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算：[]Z ①〔4.07〕＋〔－〕－〈13;〉＋〈2004〉7 32 ②〈〔14.7〕〉＋〔〕。234><解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔〕＝2＋0＝22 1例2①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ①N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1 ②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3） ＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 例3.定义一种符号★的运算规则为：a ★b=2a+b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 九年级上册上册数学压轴题培优测试卷 一、压轴题 1．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠． （1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立 的理由． （2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？ 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒） （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形. （2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作 Rt ABQ △，使90BAQ ∠=?，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右 侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点 E ．在射线CD 上取点 F ，使3 2 DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x = （1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ． （2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形． 一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 . 初三数学培优补差计划 一、本班情况分析结合上学期年级期末成绩，大部分学生能独立的学习，认真地完成作业，还有少数学生学习积极性不高，不能按时完成作业。在平时的课堂教学中，让优秀生带动中等生，另外，教师要对待优生加强辅导，使中等生转化为优秀生，提高学生的及格率和优秀率。 二、存在问题分析 差生在学习上总的特点是智力一般，学习依赖思想严重，没有独立思考勇于创新的意识，遇到较难的题便等老师的答案等。具体表现如下： 1、上课精神不集中。 2、练习、作业书写不规范，连简单的符号和数字也写不好。 3、平时不认真审题，读不懂题目的要求。 4、缴交作业不按时或作业没完成。 5、基础知识不扎实。 6、答题速度缓慢。 三、思想方面的培优补差。 1、做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。 2、定期与学生家长、班主任联系，进一步了解学生的家庭、生活、思想、课堂等各方面的情况。 四、培优补差措施。 利用课余时间，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上差生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、安排座位时坚持“好差同桌”结为学习对子。即“兵教兵”。 3、课堂练习分成三个层次：第一层“必做题”—基础题，第二层：“选做题”—中等题，第三层“思考题” --拓广题。满足不同层次学生的需要。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每周进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。 五、在培优补差中注意几点： 1、不歧视学习有困难的学生，不纵容优秀的学生，一视同仁。 2、根据优差生的实际情况制定学习方案，比如优秀生可以给他们一定难度的题目让他们进行练习，学困生则根据他们的程度给与相应的题目进行练习和讲解，已达到循序渐进的目的。 3、对于学生的作业完成情况要及时地检查，并做出评价。 4、要讲究教法。做到师生互动，生生互动，极大的调动学生学习积极性。提高优生率。 总之，我不但要在学习上关心后进生，还要在生活上关心每一个后进生的成长，使每个后进生真正感到班集体的温暖，激发他们的求知欲，使每位同学在德、智、体、美等方面均能得到全面发展。【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)
九年级数学培优材料10
九年级数学培优材料10.docx
人教版九年级上册数学培优体系讲义
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
八年级数学培优教程含答案
寒假培优班初三数学
九年级数学培优教程整理篇(全)之欧阳学创编
九年级数学培优专题
初三数学培优教材(培训学校专用)
九年级数学培优计划
最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练
培优班数学试题
最新九年级数学培优教程整理篇(全)
人教版九年级(上册)数学培优资料(一)
九年级数学培优教程整理篇全
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(6)数学符号
九年级上册上册数学压轴题培优测试卷
九年级上下册数学培优讲义
(完整版)初三数学培优补差计划
相关主题
文本预览