第1讲统计与统计案例
1．(2014·重庆高考)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()
A．100B．150
C．200 D．250
2．(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是()
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
3．(2015·安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()
A．8 B．15
C．16 D．32
4．(2015·广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
考什么怎么考题型与难度
1.抽样方法主要考查三种简单的抽样方法及
适用条件，常与概率结合考查
题型：选择题或填空题
难度：基础题
2.样本频率分布与数学①主要考查直方图、茎叶图等用样题型：三种题型都可能出现
是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A ．抽签法
B ．系统抽样法
C ．分层抽样法
D ．随机数法
2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
( )
A.90 B ．100
C ．180
D ．300
3．(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2
B ．p 2＝p 3
C ．p 1＝p 3
D ．p 1＝p 2＝p 3
【规律感悟】 1.进行系统抽样的关键及关注点
(1)关键：根据总体和样本的容量确定分段间隔，根据第一段确定编号．
(2)关注点：当总体不能被样本整除时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获取整数间题．
2．分层抽样的适用条件及注意点
(1)适用条件：适用于总体由差异明显的几部分组成时的情况．
(2)注意点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中的每个个体被抽到的可能性相同；
【典例1】 (2014·课标Ⅰ高考
(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
[一题多变]
本例已知条件不变，试求这种产品质量指标值的众数和中位数．
【规律感悟】 1.用样本估计总体的两种方法
(1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计总体的频率分布．
(2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总体的数字特征．
2．方差的计算与含义
计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．
3．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[针对训练]
(2014·广东高考)
(1)求这20
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
命题角度一线性回归直线方程的应用
【典例2】(2015·重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^
中，
b ^
＝
∑i ＝1n t i y i －n t y
∑i ＝1n t 2i －n t 2
，a ^＝y －b
^t . 命题角度二 独立性检验思想的应用
【典例3】 (2014·辽宁高考)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学
(1)习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2
n 1＋n 2＋n ＋， 【规律感悟】 1.(1)关键：正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算．
(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
2．独立性检验的关键
(1)根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．
(2)K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大．
[针对训练]
1．(2014·全国新课标Ⅱ高考)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^＝∑i ＝1n (t i －t －)(y i －y －)
∑i ＝1
n (t i －t －)2，a ^＝y －－b ^t －.
2．(2015·广西玉林、贵港联考)某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个
(1)“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分体是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
参考数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b k 3.841 6.635
数形结合思想求解与频率分布直方图、
茎叶图有关的问题
[思想诠释]
求解与频率分布直方图、茎叶图有关的问题用到数形结合思想的常见类型：
1．求三数、两差：由频率分布直方图或茎叶图估计其数字特征(众数、中位数、平均数、方差、极差)，可依据图形或茎叶图观察或求出各个量的值，进而估计总体的数字特征．
2．估计各段的概率：由频率分布直方图各段上矩形的面积可求出各段的频率，由频率来估计各段上的概率．
3．估计各段上的数量值：由频率分布直方图各段上的频率来估计各段上的数量值．
[典例剖析]
【典例】 (2015·哈尔滨模拟)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史
资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒：100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数；
(2)将y 表示为x 的函数；
(3)根据直方图估计利润不少于4 800元的概率．
【审题策略】 知道频率分布直方图，可联想到数形结合思想，从直方图中得到有关的数据信息．
[针对训练]
(2015·陕西考前质检)某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a .若某住户某月用电量不超过a 度，则按平价计费；若某月用电量超过a 度，则超出部分按议价计费，未超出部分按平价计费．为确定a 的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人员已将90户的月用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(
正正正正
正正正正正
正正正正
(2)根据已有信息，试估计全市住户的平均月用电量(同一组数据用该区间的中点值作代
表)；
(3)若该市计划让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a .
1．重要公式
(1)数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的数字特征公式
①平均数：x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n
. ②方差：s 2＝1n
[(x 2－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] ③标准差：s ＝1n
(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2.
(2)线性回归
①回归直线方程：一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其过样本点中心(x ，y )．
②相关系数：
r ＝
∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )
∑i ＝1n (x i －x )2∑i ＝1n
(y i －y )2
，通常认为r ＞0.75时相关性较强． (3)独立性检验
K 2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)(或χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2(n ＝n 11＋n 12＋n 21＋n 22))．
2．易错提醒
(1)图表中的数量关系出错：频率分布直方图中的纵轴为频率与组距之比，而不是频率；茎叶图中的茎与叶上的数字表示的数不同．
(2)混淆众数、中位数、平均数：混淆众数、中位数、平均数的概念，导致问题结果出错；众数是样本数据，其他不一定．
(3)K 2的观测值k 的使用出错：k 的值越大，出错概率越小，而分类变量有关系的概率越大，学生易在此处出现问题．
限时训练(文17)
一、选择题
1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A ．总体
B ．个体
C ．样本的容量
D ．从总体中抽取的一个样本
2．(2015·重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A ．19
B ．20
C ．21.5
D ．23
.
3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成
绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．(2014·山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．上图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A ．6
B ．8
C ．12
D ．18
5．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5
根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
二、填空题
6．(2015·广东高考)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．
7．(2015·忻州联考)
从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________．
8．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a ＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
三、解答题
9．(2015·云南第一次检测)某校1 200
名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100
分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘
成绩分组频数频率平均分
[0,20)30.01516
[20,40) a b 32.1
[40,60)250.12555
[60,80) c 0.574
[80,100]620.3188
(1)求a、b、c
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
10．(2015·新课标Ⅰ高考)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i＝x i，w＝1
8
∑
i＝1
8
w i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β^＝∑
i＝1
n
(u i－u)(v i－v)
∑
i＝1
n
(u i－u)2
，α
^
＝v－β
^
u.
1．必记公式
(1)古典概型的概率公式
P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
. (2)几何概型的概率公式
P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
(3)互斥事件，对立事件的概率公式
P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；P (A )＝1－P (A )．
2．易错提醒
(1)漏古典概型的事件数：求古典概型的概率时，计算基本事件总数与事件A 所包含的基本事件数，易忽视部分情况而失误．
(2)忽视几何概型中的区域特征：在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确．
(3)混淆事件“互斥”与“对立”的关系：两个事件互斥，不一定对立；但两个事件对立，则它们一定互斥．
限时训练(文18)
一、选择题
1．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
2．(2014·湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )
A ．p 1＜p 2＜p 3
B ．p 2＜p 1＜p 3
C ．p 1＜p 3＜p 2
D ．p 3＜p 1＜p 2
3．(2015·广东中山二模)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③
4．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12
”的概率，p 2为事件“xy ≤12
”的概率，则( ) A ．p 1
3x ＋y ＝|a －2|，y ＝9－x 2，
则不等式2|1－a |－1＞a (a －2)成立的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.34
二、填空题
6．(2013·湖北高考)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56
，则m ＝________.
7．(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．
三、解答题
9．(2014·山东高考)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6
(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
10．(2015·河北衡水中学三模)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm ，求污损处的数据；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
解题策略七：中档大题规范练——概率与统计解答题的解法
概率解答题为每年高考的必考内容，主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和几何概型．要求学生能准确理解题意，迅速确定是古典概型还是几何概型，然后用概率公式求解．对于古典概型，要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数．对于几何概型，一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系．对于较复杂的问题，可以借助于图形和表格帮助分析．
[典例剖析]
【典例】 (12分)(2015·河南郑州第二次质量检测)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生
z ＝2y .
(1)现从500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，求应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少人；
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．
[解题流程] (1)已知条件结合分层抽样?“不赞成改革”的教师和学生人数
(2)列出基本事件?
运用古典概型的概率计算公式求解 [规范解答] (1)由题意知x 500
＝0.3，所以x ＝150，所以y ＋z ＝60，因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数分别为50500×20＝2，50500
×40＝4.(6分)
(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种．(8分)
至少有1名教师被选出的选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，(10分)
故至少有1名教师被选出的概率P ＝1620＝45
.(12分) [解题模板]
运用古典概型的概率计算公式求概率的步骤：
第1步：设出所求基本事件；
↓
第2步：求出基本事件总数和设出的基本事件的个数；
↓
第3步：运用古典概型的概率计算公式求解；
↓
第4步：明确规范地表述结论．
[反思感悟]
1．①有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常使用列举法；②对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏．
2．①当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；②利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[针对训练]
1．(2014·山东潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
【解】 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR 2(R 为圆盘的
半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.∴在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16
. 如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．
摸到的2球都是红球的情况有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3种．
∴在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15
. ∴P 1
∴顾客在乙商场中奖的可能性大．
2．(2015·新课标Ⅱ高考)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)【解】 (1) 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均
值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．
(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．
由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，
P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
专题检测(七)
(时间60分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分)
1．(2015·新课标Ⅱ高考)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】 从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误．故选D.
【答案】 D
2．(2015·陕西质检二)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，则样本中在[40,60)内的数据个数为( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．19
【解析】 由题意知，样本中在[40,60)内的数据个数为30×0.8－4－5＝15，故选A.
【答案】 A
3．(2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A.118
B.19
C.16
D.112
【解析】 点数之和为5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4种，∴P ＝436＝19
. 【答案】 B
4．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【解析】 甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，
其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315
＝29； 方差为s 2甲＝15
[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.
乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，
其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325
＝30； 方差为s 2乙＝15
[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2.
∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．
【答案】 B
5．(2015·辽宁大连双基测试)
如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝b x ＋132
，则b ^的值为( ) A ．－12 B.12
C ．－110 D.110 【解析】 将x ＝3，y ＝5代入到y ＝b ^x ＋132中，得b ^＝－12
.故选A. 【答案】 A
6．(2015·吉林长春质量检测(二))在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈[0，12
]的概率为( )
A.1π
B.2π
C.13
D.23
【解析】 在区间[0，π]上，当x ∈[0，π6]∪[56π，π]时，sin x ∈[0，12
]，所以所求概率为π6－0＋π－56ππ－0
＝13.故选C.
【答案】 C
7．(2015·河北石家庄一模)某单位计划在3月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为
( )
A.12
B.13
C.14
D.16
【解析】 在1日至7日选连续两天，有基本事件：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，共6个．
符合条件的基本事件：(1,2)，(2,3)，共2个．
∴所求概率P ＝26＝13
.故选B. 【答案】 B
8．(2015·湖北八校联考二)设不等式组??? x ＋y ≤2，
x －y ≥－2，y ≥0所表示的区域为M ，函数y ＝
1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为
( )
A.2π
B.π4
C.π8
D.π16
【解析】 如图，不等式组??? x ＋y ≤2，
x －y ≥－2，y ≥0表示的区域为△ABC 及其内部，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为阴影部分，易知区域M 的面积为2，区域N 的面积
为π2，由几何概型的概率公式知所求概率为π22＝π4
.
【答案】 B
9．(2015·云南毕业检测)某公司员工对户外运动特别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A ．36人
B ．30人
C ．24人
D ．18人
【解析】 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6，∴持“喜欢”态度的有6x ＝36人．
【答案】 A
10．(2015·泰安一模)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了
由χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
算得， χ2＝500×(40×270－30×160)2
200×300×70×430
≈9.967. 附表：
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”
【解析】 由于K 2＝9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．故选C. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
11．(2015·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
【解析】 由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中
男生应抽取人数：45×500900
＝25. 【答案】 25
12．(2015·北京高考)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
【解析】 ①由散点图可知：越靠近坐标原点O 名次越好，乙同学语文成绩好，而总成绩年级名次靠后；而甲同学语文成绩名次比总成绩名次差，所以应是乙同学语文成绩名次比总成绩名次靠前．②丙同学总成绩年级名次比数学成绩年级名次差，所以丙同学成绩名次更靠前的是数学．
【答案】 乙 数学
13．(2015·山东日照3月模拟)在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．
【解析】 设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是p ，则有5×0.01＋p ＋5×0.07＋5×0.06
＋5×0.02＝1，解得p ＝0.2，故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.
【答案】 160
14．(2015·江西南昌一模)若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．
【解析】 由1＋2＋3＋4＋m 5＝3得m ＝5，所以这五个数的方差为15
[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共2小题，每小题15分)
15．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1、b 2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
【解】 (1)所有可能结果为：(A 1，a 1)，(A 1，a 2)，(A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，a 1)，(A 2，a 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)；(B ，a 1)，(B ，a 2)，(B ，b 1)，(B ，b 2)共计12种结果．
(2)设“中奖”为事件A ，则P (A )＝412＝13，P (A )＝1－13＝23
，P (A )＜P (A )，故此种说法不正确．
16．(2015·江西八所重点中学联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，
[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率．
【解】 (1)众数的估计值为77.5.
设中位数的估计值为x ，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x －75)＝0.5，解得x ＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60,65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，
车速在[65,70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，
记车速在[60,65)内的两辆车为a ，b ，车速在[65,70)内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则所有基
本事件有：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．
其中车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的事件有：
(a，c)，(a，d)，(a，e)．(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．所以车速在
[65,70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝8
15.
高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-
高三数学第二轮专题复习系列(4) 三角函数 一、本章知识结构： 二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议 应用 同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用 应用 应用 应用
高三年级数学概率训练题（含答案） 数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。小编准备了高三年级数学概率训练题，希望你喜欢。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件： ①取出2只红球和1只白球与取出1只红球和2只白球 ②取出2只红球和1只白球与取出3只红球 ③取出3只红球与取出3只球中至少有1只白球 ④取出3只红球与取出3只白球. 其中是对立事件的有() A.①② B.②③ C.③④ D.③ D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：3只红球，2只红球1只白球，1只红球，2只白球，3只白球，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件.对于③，取出3只球中至少有一只白球包含2只红球1只白球，1只红球2只白球，3只白球三种情况，与取出3只红球是对立事件. 2.取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是() A.14 B.13
C.12 D.23 C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P=24=12. 3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是() A.甲获胜 B.乙获胜 C.甲、乙下成和棋 D.无法得出 C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是下成和棋. 4.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是() A.1- B.4 C.1- D.与a的取值有关 A 解析：几何概型，P=a2-a22a2=1-4，故选A. 5.从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是() A.16 B.25 C.13 D.23 D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，
数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .。（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （II ）求证：C A '//平面BDE ； (Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =， 2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 3、如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm 。（I ）在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（II ）证明：CD ⊥平面ABD ；（III ）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P 5、（11-3泉质） 6、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O 。 （1）求证：平面OMN//平面PAD ； （2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求三棱锥 P —BCD 的体积。 8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F 【新高考】2021届高三特前班精准提升数学专项测试题 19 条件概率与全概率公式 例1：一个袋中装有大小相同的个白球和个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件 为 “第一次取出白球”，事件 为“第二次取出黑球”，则概率 （ ） A ． B ． C ． D ． 例2：有台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第，台加工的次品 率为 ，加工出来的零件混放在一起．已知1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， ． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率． 一、选择题 1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又 下雨的概率为 ．则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续天有客人入 住的概率为 ，在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知正方形 ，其内切圆与各边分别切于点 ， ， 、 ，连接 ， ，， ．现向正方形 内随机抛掷一枚豆子，记事件 ：豆子落在圆内，事件 ：豆 子落在四边形 外，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 ，“第二次出现正面”为事件 ， 则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知 ， ， 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 6．从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件 为“第一次取到的是 此卷 只装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页） 第10章 第3节 一、选择题 1．(文)(2010·重庆文，5)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A ．7 B ．15 C ．25 D ．35 [答案] B [解析] 抽取比例为 ＝ ，因为青年职工抽取7人，所以中年职工抽取 5人，老年职工抽取3人，所以样本容量为7＋5＋3＝15人，故选B. (理)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)和D(ξ)的值依次为( ) A ．1,6 B.12，12 C.13，29 D.14，516 [答案] C [解析] 由题意，设ξ的分布列为 即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功， 由p ＋2p ＝1，得p ＝1 3， ∴P(ξ＝0)＝1 3， 又E(ξ)＝0×13＋1×23＝2 3， ∴D(ξ)＝????0－232×13＋??? ?1－232×23＝2 9， 故选C. 2．(2010·安徽江南十校联考)最小二乘法的原理是( ) A ．使得∑i ＝1 n [yi －(a ＋bxi)]最小 B ．使得∑i ＝1n [yi －(a ＋bxi)2]最小 C ．使得∑i ＝1n [yi2－(a ＋bxi)2]最小 D ．使得∑i ＝1n [yi －(a ＋bxi)]2最小 [答案] D [解析] 根据回归方程表示到各点距离最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即∑i ＝1n [yi －(a ＋ bxi)]2最小． 3．(2010·银川模拟)下列四个命题正确的是( ) ①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； ③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0. A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ [答案] B [解析] 线性相关系数r 满足|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，故①错误；相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，R2越大，残差平方和就越小，故残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故②对③错．故选B. 4．若两个分类变量x 、y 的列联表为 则变量y 与x 有关系的可能性为( ) A ．99%以上 B ．95%以上 C ．99.5%以上 D ．95%以下 《统计与概率》 专题练习（一） 一．选择题 1．小敏打开计算机时， 忘记了开机密码的前两位， 只记得第一位是 M ， I , N 中的一个字母， 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 （A ） 8 （ B ） 1 （C ） 1 （D ） 1 15 8 15 30 2．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 （A ） 1 （B ） 2 （ C ） 8 （D ） 9 5 5 25 25 3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 ，甲获胜的概率是 1 ，则甲不输的概率为 2 3 （A ） 5 （ B ） 2 （ C ） 1 （ D ） 1 6 5 6 3 4．【 2015 高考新课标 1，文 4】如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称 这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的 概率为（ ） （A ） 3 （ B ） 1 （ C ） 1 （D ） 1 10 5 10 20 二．填空题 5．从 1 ，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的 概率是 ． 6. 在三张奖劵中有一、二等各一张， 另有 1 张无奖，甲乙两人各抽取一张， 两人都中奖的概 率为 . 7. 某校早上 8： 00 上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:30 —7:50 之间到校，且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的， 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _____ （用数字作答） 三．解答题 8．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A 1 , A 2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a 1 , a 2 和 2 个白球 b 1 , b 2 的乙箱中， 各随 机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。 （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果； 数学思想三（等价转化） 1．设M={y|y=x+1, x ∈R}, N={ y|y=x 2+1, x ∈R},则集合M ∩N 等于 ( ) A.{(0,1),(1,2)} B.{x|x ≥1} C.{y|y ∈R} D.{0,1} 2．三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为M,N,Q ，则体积为 ( ) A.32MNQ B.42MNQ C.62MNQ D.8 2MNQ 3．若3sin 2 +2sin 2 =2sin ，则y= sin 2 +sin 2 的最大值为 ( ) A. 21 B.32 C.94 D.9 2 4．对一切实数x ∈R ，不等式x 4+(a-1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范 围为 ( ) A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 5．(1-x 3)(1+x)10的展开式中，x 5的系数是 ( ) A.-297 B.-252 C.297 D.207 6．方程|2|)1(3)1(32 ++=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7．AB 是抛物线y=x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 长度的最大值 ( ) A. 45 B.2 5 C.2 D.4 8．马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9只路灯，为节约用电，可以把其中的3只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的2只或3只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___________________种。 9．正三棱锥A BCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，过B 点作与侧棱AC,AD 都相交的截面BEF ，则截面⊿BEF 的周长的最小值为_______________ 10．已知方程x 2+mx+m+1=0的两个根为一个三角形两内角的正切值，则 m ∈________________________________________ 11．等差数列{a n }的前项和为S n , a 1=6,若S 1,S 2,S 3,···S n ,···中S 8最大，问数列{a n -4}的前多少项之和最大？ 高三数学单元练习题：概率与统计（Ⅲ） 一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是 （ ） A ．M N + B ．M N ? C ． M N M N ?+? D ．M N ? 2. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为 ( ） A..15，10，20 ，15，15 C.10，5，30 D15，5，25 3.设一随机试验的结果只有A 和B ，且P(A)=m,令随机变量ξ=1 ?????Ａ发生 B 发生，则ξ的方差为（ ） B.2m(1-m) (m-1) (1-m) 4. 设ξ是离散型随机变量，η=2ξ+3，则有 （ ） A ．E η=2E ξ，D η=4D ξ B ．E η=2E ξ+3，D η=4D ξ C ．E η=2E ξ+3，D η=2D ξ+3 D ．E η=2E ξ，D η=4D ξ+3 5.观察2000名新生婴儿的体重，得到频率分布直方图如图，则其中 体 重 [2700，3000]的婴儿有（ ） 名 名 名 名 6. 将一组数据x 1,x 2,…,x n 改变为x 1－c ,x 2－c ,…，x n －c (c ≠0),下面结论正 确的是 A.平均数和方差都不变 B.平均数不变，方差变了 C.平均数变了，方差不变 D.平均数和方差都变了 7. 船队若出海后天气好，可获利5000元，若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元，根据预测天气好的概率为，则出海效益的期望是（ ） A 、2600 B 、2400 C 、 2200 D 、2000 8.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记()()x P x ξΦ=<.给出下列结论：①1 (0)2 Φ= ;②()1()x x Φ=-Φ-;③(||)2()1P a a ξ=Φ-<;④(||)1()P a a ξ=-Φ>.其中正确命题的个数为（ ） .2 C 9. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在到之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 ( ) A ．, 78 B ．, 83 C ．, 78 D ．, 83 10. 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是 ( ) A.3 10 B.9 55 C. 9 50 D. 9 80 11.如果随机变量ξ～N (1,0),标准正态分布表中相应0x 的值为)(0x Φ则 ( ) A.)()(00x x P Φ==ξ B.)()(00x x P Φ=>ξ C.)()|(|00x x P Φ=<ξ D. )()(00x x P Φ=<ξ 12.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l .已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ,对变量y 的观测数 【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题11 概 率与统计 文 一．基础题 1.【安徽省2013届高三开年第一考文】右图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎 叶图，用x 甲，x 乙分别表示甲乙得分的平均数，则下列说法正确的是（ ） A ．x 甲>x 乙且甲得分比乙稳定 B ．x 甲=x 乙且乙得分比甲稳定 C ．x 甲=x 乙且甲得分比乙稳定 D ．x 甲 4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 【解析】 13 【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】某校有4000名学生，各年级男、女生 人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2， 二．能力题 1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 6万元时销售额为( )． (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B 【解析】由题，计算得：5.3=x ，42=y ，代入回归方程a bx y +=1.9=?a 。 所以，当5.651.964.96=+?=?=y x ，选B. 2.【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一古典概型 例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）. A. 1 5B. 2 5 C. 8 25 D. 9 25 【答案】B 【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为42 105 =.故选B. 例2 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】2 3 【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6 种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42 63 p==． 【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数. 题型二几何概型 1 / 18 例 1 如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A. 14 B. π8 C. 12 D. π 4 【答案】B 【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 8 22122 ππ=??? ????a a .故选B. 例2 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p 有两个负根的概率为________. 【答案】3 2 【解析】方程2 2320x px p 有两个负根的充要条件是2121244(32)0 20320 p p x x p x x p ??=--≥? +=-? 即 2 1,3 p <≤或2p ≥，又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p 有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3，故所求的概率2(1)(52)23503 -+-=-，故填：32. 【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化. 【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点.从而得到参数p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. D 概率统计专题复习 一、设关于x 的一元二次方程2 2 20x ax b ++=． （1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2，三个数中任取的一 个数，求上述方程有实根的概率； （2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有 实根的概率． 二、一条直线型街道的A 、B 两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B. 问A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率是多少？ 三、甲、乙两个盒子，甲盒子里有2个白球2个黑球，乙盒子里有2个白球1个黑球， 现分别从两个盒子各取出2个球交换，求交换后甲盒子里白球的期望． 四、抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功. （1）求一次试验中成功的概率； （2）求在4次试验中至少成功两次的概率； （3）求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差. 五、一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数12 10A a a a =，其中A 的 各位数字中11,(2,3,,10)k a a k ==出现0的概率为13，出现1的概率为2 3 ，记 1210a a a ξ=+++．当启动仪器一次时，(1)求3ξ=的概率；(2)求ξ的数学期望． 六、已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验． 若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 2020年高三数学解答题专题训练题精选25 1.已知集合，，． Ⅰ若，求实数a的取值范围； Ⅱ设函数，若实数满足，求实数取值的集合． 2.甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是， 乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选； （Ⅰ）求甲恰有2个题目答对的概率； （Ⅱ）求乙答对的题目数X的分布列； （Ⅲ）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由． 3.设f（x）=log2-x为奇函数，a为常数． （1）求a的值； （2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性； （3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m 取值范围． 4.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面积 （1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值； （2）求边BC，AB的长度． 5.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设，求b1+b2+b3+…+b10的值． 6.设，函数. 当时，求函数的单调区间； 若函数在区间上有唯一零点，试求a的值． 7.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝2，， PD＝4，∠PDA＝60°，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：AD⊥PB； (2)在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由． 8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°， PA=，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值； （Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为． 9.已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+ln x，a∈R （1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程； 高三数学第二轮复习的学法 1.继续强化对基础知识的理解，掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷，全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习。（备考指南与知识点总结）中学数学的重点知识包括：1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。 （7）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 2、对基础知识的复习应突出抓好两点： （1）深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。 （2）对数学公式、法则、定理、定律务必弄清其来龙去脉，掌握它们的推导过程，使用范围，使用方法（正用逆用、变用）熟练运用它们进行推理，证明和运算。 3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系，形成纵向、横向知识链，构造知识网络，从知识的联系和整体上把握基础知识。例如以函数为主线的知识链。又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链。 4、认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题。 数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，在平时的做题中必须提炼出其中的数学思想方法，并以之指导自己的解题。 数学思想数学在高考中涉及的数学思想有以下四种: （1）分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整”。科学分类的基本原则是高三数学文科第二轮专题复习
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