一.分式知识要点回顾
1. 因式分解几中常用方法
①提取公因式法。
②乘法公式法：()()b a -b a b -a 22+=；()2
22b a b ab 2a ±=+±。 ③分组分解法：()()()()n m b a b a n b a m nb na b ++=+++=+++m ma 。
④十字相乘法：()()()b x a x ab x b a x 2++=+++。
2. 分式的有关概念
（1）分式的基本性质：
C
B C A B A C B C A B A ÷÷=??=或（C≠0），其中A ，B ，C 均为整式。 （2）分式的约分
分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幂，约去分子和分母系数的最大公约数。
（3）分式的通分
把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。
（4）分式的运算 ①分式乘法法则：
bd
ac d c b a =?。 ②分式除法法则：bc ad c d b a d c b a =?=÷。 ③分式的加减法：（1）同分母分式相加减：b
c a b c b a ±=±；（2）异分母分式相加减：bd
bc ad bd bc bd ad d c b a ±=+=±。 3. 分式方程
（1） 定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）解分式方程。
温馨提示：（1）在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；
（2）验根是必要步骤。
二．巩固练习
1. 解下列分式方程
22122563
x x x x x x x --=--+- 21133x x x -=---
2. 因式分解
a
b b ab a 4912622-++- 222y yz xz xy x ++--
672+-x x
542-+x x
101132+-x x
24x 11-x 2+
2322+-xy y x 28-y 12-y 2
()222
416x x +-
()()m m n n n m -+-
22414y xy x +-- ()()x -y ab 4-y -x b a 122
3. 分式的混合运算
xy
y x y x y x 2211-????? ??+-- a a a a a a 112112÷+---+
x
x x x x x x --+?+÷+--36)3(446
222
444
)1225(22
2++-÷+++-a a a a a a
4. 化简求值
（1）232282x x x x x
+-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x=-45．
（2）
213(2)22
x x x x x -÷-+-++，其中x=12．
（3）4
3445-16652222+-÷-+?-+-a a a a a a a a ，其中a=1.
5. 计算x x x x x x x x 22222662
----÷+-+-的结果是 ； 6. 当m 为非负数时，求代数式1m 32m ++有最大值还是最小值，并求出此最值。
7. 已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有的符合条件的x 的值的和。
初中数学因式分解练习题(含答案)
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[] A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)
2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于[] A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是[] A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是[] A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是[] A．－12 B．±24 C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得[] A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为[] A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为[] A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得[] A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)
8.4 因式分解 一、知识梳理 1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2. 提公因式法 多项式ma ＋mb ＋mc ，各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式． 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc 可得ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）．这样就把ma ＋mb ＋mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3. 公式法 （1）分解因式的平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- （2）分解因式的完全平方公式法： 222)(2b a b ab a ±=+± 二、例题精讲 题型一：提公因式法 【例1】分解因式 （1）c ab b a 323128+-； （2）)()()(y x c x y b y x a -+---； 【变式1】分解因式 （1）y x xy x 2221239-+- （2）)2()2(x y y x x ---
题型二：公式法 【例2】下列各式：①22y xy x -+-；②222 121b ab a ++；③2244b a ab +--；④xy y x 129422-+； ⑤22363y xy x +-，能用完全平方公式分解的有 .（填序号） 【变式2】因式分解. （1） 224 1b ab a +- （2） 222y x xy --- （2） 9)(6)(2++++b a b a （4）22)(9)(25b a b a --+ （5）22)()(y x y x --+ （6）14-x 【例3】若多项式42++mx x 能用完全平方公式分解因式，则m 的值为 . 【变式3】若222)32(924y x y kxy x +=+-，则k 的值是 . 题型三：分组分解法 【例4】因式分解. （1）b a b a 24422-+- （2）1222-+-y xy x （3）22269y y x x -++ （4）by ax b a y x 222222++-+-
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++
初一数学因式分解专项训练 班级：__________ 姓名：__________ 学号：______ 一：用十字相乘法分解因式 (1) t 2-15t+36 （2） x 2-7x+6 (3) a 2-a-12 (4)m 2-8m-20 （5）x 2- 2x-3 （6）x 2-7x+6 （7）x 2-10x+24 (8) a 2+4a-21 (9) p 2-10p-11 (10)x 2-3x-28 (11)b 2+11b+28 (12)2x 2-6x-8 （13）2x 2+15x+7 (14)3a 2-8ab+4b 2 （15）4x 2y 2-5xy 2-9y 2 （16）4m 2+8mn+3n 2 （17）6x 2-11xy+3y 2 （18）a 4-13a 2+36 (19)2x 2-6x-8 (20)6x 2-13x+6 （21）2x 2+3x+1 （22）(x+y)2-5(x+y)-14 （23）ap 2-8ap+7a （24）a a a 12423+-- （25）24129x x -+ （26）24359a a -- （27）2 5()14()8x y x y -+-+ \
二：利用分组分解分解因式 (1) 3a-ax-3b+bx (2) 3ax+4by+4ay+3bx (3) xy-y2-yz+xz （4）20(x+y)+x+y (5)p-q+k(p-q) (6)ac+bc+2a+2b (7)a2+ab-ac-bc (8)x2-y2+ax+ay (9)4a2-b2+6a-3b (10) m2-n2+am+an （11）xy-xz+y-z(12) 4m2-4m+2n-n2 (13) 9y2+6y-4x-4x2(14) x2-6x+9-y2(15) 16a2+8a-b2+1 （16）x2-a2-2x-2a (17)4x2-y2+2x-y (18) x2y2-y2+1-x2(19)4x2-4xy+y2-a2 (20)x2-2xy-m2+y2 (21)1-a2+2ab-b2 （22）x2+2xy+y2-a2(23) 4xy-3xz+8y-6z (24) x2-4y2+x-2y (25)x2-y2-z2+2yz (26) 1-m2-n2+2mn (27)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2
初中数学因式分解难题汇编及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23 x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y)
=(xy)3(2x-y) =23×1 3 =8 3 ， 故选C． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．6x2y3＝2x2?3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】 解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意； C、6x2y3＝2x2?3y3，不符合因式分解的定义，不合题意； D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别． 5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( ) A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y) C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3) 【答案】B 【解析】 A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算； B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算； C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算； D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算. 故选B. 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
1 因式分解练习 1、分解因式 (1) bc ac ab a -+-2 (2) 1+--y x xy (3) y y x x 3922--- (4) yz z y x 2222--- 2、分解因式 1) 3223y xy y x x --+ 2) b a ax bx bx ax -+-+-22 3) 181696222-+-++a a y xy x 4) a b b ab a 4912622-++- 5) 92234-+-a a a 6) y b x b y a x a 222244+-- 7) 222y yz xz xy x ++-- 8) 122222++-+-ab b b a a 9) )1)(1()2(+---m m y y 10) )2())((a b b c a c a -+-+ 3、分解因式 1) 24142 ++x x 2) 36152+-a a 3) 542-+x x 4) 22-+x x 5) 1522--y y 6) 24 102--x x 4、分解因式： 1) 6752-+x x 2) 2732+-x x 3) 317102 +-x x 4) 10 1162++-y y 5、应用因式分解计算 （1）2 998998016++ （2）987987987987 1232644565251368136813681368 ? +?+?+? 6、已知2 (1)()1a a a b ---=-，求 22 2 a b ab +-的值。 思考题： 1、设n 为整数，用因式分解说明2 (21)25n +-能被4整除。 2、在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。
最新初中数学因式分解难题汇编附答案 一、选择题 1．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ） A ．（x+y ）2 B ．（x+y ﹣1）2 C ．（x+y+1）2 D ．（x ﹣y ﹣1）2 【答案】B 【解析】 【分析】 此式是6项式，所以采用分组分解法． 【详解】 解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2． 故选：B 2．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 【答案】D 【解析】 此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 解答：解：322363x x y xy -+， =3x （x 2-2xy+y 2）， =3x （x-y ）2． 故选D ． 3．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 2-x+2=x （x-1）+2 B ．x 2-x=x （x-1） C ．x-1=x （1-1x ） D ．（x-1）2=x 2-2x+1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 A 、x 2-x+2=x （x-1）+2，不是分解因式，故选项错误； B 、x 2-x=x （x-1），故选项正确； C 、x-1=x （1-1x ），不是分解因式，故选项错误；
初二数学因式分解精选100题
提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2 b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 （ ） (A) 412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D) 13292+-n n
6.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（） (A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x4 7.下列分解因式错误的是（） (A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2+a=a(a-1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（） (A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2 9.下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（） A a(a＋b－1)=a2＋ab－a B a2 –a－2=a(a－1)－2C－ 4 a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D．2x＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（）
《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
最新初中数学因式分解难题汇编及答案 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A ．2x B ．﹣4x C ．4x 4 D ．4x 【答案】A 【解析】 【分析】 分别将四个选项中的式子与多项式4x 2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案. 【详解】 A 、4x 2+1+2x ，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； B 、4x 2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C 、4x 2+1+4x 4=(2x 2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； D 、4x 2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意， 故选A. 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键. 3．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )
七年级下册数学因式分解专题练习 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2． 因式分解专题过关
1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
人教版初中数学因式分解真题汇编含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状． 【详解】 已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0， ∵a+b-c ≠0， ∴a-b=0，即a=b ， 则△ABC 为等腰三角形． 故选C ． 【点睛】 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ）
3．1 多项式的因式分解 1．理解因式分解的概念；(重点) 2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点) 一、情境导入 学校有一个长方形植物园，面积为a2－b2，如果长为a＋b，那么宽是多少？ 二、合作探究 探究点一：因式分解定义的理解 下列从左到右的变形中是因式分解的有() ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；②④是因式分解；故选B. 方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 【类型一】检验因式分解是否正确 检验下列因式分解是否正确． (1)x3＋x2＝x2(x＋1)； (2)a2－2a－3＝(a－1)(a－3)； (3)9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2. 解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积，再与左边的多项式相比较看是否相等． 解：(1)因为x2(x＋1)＝x3＋x2，所以因式分解x3＋x2＝x2(x＋1)正确； (2)因为(a－1)(a－3)＝a2－4a＋3≠a2－2a－3，所以因式分解不正确； (3)因为(3a－2b)2＝9a2－12ab＋4b2，所以因式分解9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2正确．
方法总结：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等． 变式【类型二】 求字母的值 已知三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3，试求k 的值及另一个因式． 解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3 )，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值． 解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3，∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－mx 2－k 3 x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，∴m ＋6＝5，k 3 －3m ＝6，解得m ＝－1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2＋x －3. 方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式． 三、板书设计 多项式的因式分解?????因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系 本节课从生活中的实例出发，引导出因式分解这一课题，让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习，激发学生的学习兴趣，为本章后继学习奠定坚实的基础
数学因式分解习题： 1、提公因式法因式分解 （） 2226m n mn -＝ (4)9123y 23--y =___________________ (6)x n x m 221624-- 2、利用平方差公式因式分解 29a - ＝ (6)22814y x -=____________________ 3、利用完全平方公式因式分解 （4）24129m m -+＝ （5） ________________102522=+-n mn m 4、利用十字相乘法因式分解 （8）256x x -+= （9）2412x x +-= 5、将下列多项式因式分解 （1）2510a b abc - （2）81182+-a a （5）245a a -- （6）2441a a -+ （7）220m m -- （三）把下列各式分解因式: 3、2244y xy x -+- 4、212x x -- 7、-x x 253+ 8、 322344x y x y xy ++
9、2()10()25x y x y +-++ 10、22(2)(2)x y x y +-+ (四)用适当的方法计算： （3）22300600297297-?+ （4）22231019923?-? （五）把下列各式因式分解 2、 ()()224a b a b +-- 解：原式= 3、 323412x x x +-- 解：原式=
分式练习题 7.若关于x 的方程01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6526322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程：2 211-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余
实用标准文档 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需 的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍 了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式： （ 4）立方差公式： 例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1
专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019 m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、4 4411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???-- 题训练二：利用完全平方公式分解因式
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
初中数学因式分解技巧及练习题含答案 一、选择题 1．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A ．22a b -+ B ．22249x y m - C ．22x y -- D ．421625m n - 【答案】C 【解析】 A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）； B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）； C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式； D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ）， 故选C ． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征. 2．把32a 4ab －因式分解，结果正确的是（ ） A ．()()a a 4b a 4b ?+- B ．()22a a 4b ?- C ．()()a a 2b a 2b +- D ．()2a a 2b - 【答案】C 【解析】 【分析】 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a ，再对余下的多项式继续分解． 【详解】 a 3-4a b 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）． 故选C ． 【点睛】 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 3．已知2021201920102010201020092011x -=??，那么x 的值为（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021． 【答案】B 【解析】 【分析】 将2021201920102010-进行因式分解为2019201020092011??，因为左右两边相等，故可以求出x 得值． 【详解】 解：2021201920102010-
单乘单 1、计算 (－3x 2y)3·(－2xy 3z)2 [2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)] 3 4233 32435?? ? ??-???? ??-?c ab b a ab ·c b a c ab 532243—= 2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( ) A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若9 92 21 3 y x y x y x n n m m =?++-,则 n m 43-的值为（ ） （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 多乘多 1、(x+5)(x-7)= 2、计算 ()()514+-y y (3x 2－2x －5)(－2x ＋3) (x －1)(2x －3)(3x ＋1) ()()()()4321----x x x x 3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则 m k +的值为（ ） （A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2
完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)2 4、(2x ＋3y －z)2 5、下列式子中一定相等的是（ ） A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2 B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2 C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 6、已知2 2 49x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ； 7、若二项式4m 2 +1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式： +12xy+ = （ ）2 多项式：+12xy+ = （ ）2 完全平方公式的关系 1、x 2＋y 2=（x+y ）2－ ＝（x －y ）2＋ . 2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2 a b -= ； 已知（a+b ）2 =144 (a-b)2 =36, 求ab 与a 2 + b 2 的值 3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（ ） A ．72 B ．－72 C ．0 D ．6 4、若a ＋ 35 1=a ，则221a a +＝______若,41=+ x x 求 44 1x x + = *5、已知a 2 －3a ＋1＝0．求a a 1 + 、22 1a a +和2 1??? ? ? -a a 的值；