第二十八章 锐角三角函数
测试1 锐角三角函数定义
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥
AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而
AC
B A B
C C B )
()(=
'=''，又可得 ①
='
'
'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值；
②
='
'
B A
C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______；
③
='
'
'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
第2题图
①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；
②斜边
)
(cos =A ＝______，
斜边)
(
cos =
B ＝______；
③的邻边
A A ∠=
)
(tan ＝______，
)
(tan 的对边
B B ∠=＝______．
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它
______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
9．已知Rt △ABC 中，,12,4
3
tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=
∠4
3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5
3
sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=
3
1sin A
(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1),sin c
a A =
∴=?=c A c a ,sin ______； (2),cos c
b A =
∴b ＝______，c ＝______； (3),tan b
a A =
∴a ＝______，b ＝______；
(4),23
sin =
B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),5
3
cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；
(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．
16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐
标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ． 求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)
17．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．
(1)当BP ∶P A ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶P A ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．
测试2 锐角三角函数
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求
一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)o 45cos 230sin 2-?
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)?+?+?
+?-
?45sin 30cos 30tan 1
30sin 145cos 222
3．求适合下列条件的锐角α ． (1)2
1cos =α (2)3
3tan =
α
(3)2
22sin =
α
(4)33)16cos(6=- α
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角α (精确到1″)．
(1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；
(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=13
12sin A 求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．
8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1
tan =
∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是
上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，
求证：
(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．
(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：
(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)?=A
A
A cos sin tan
14．化简：ααcos sin 21?-(其中0°＜α ＜90°)
15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜α ≤45°，则sin2α ______2sin α cos α ．
(2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H
点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．
测试3 解直角三角形(一)
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________． ②两锐角之间的关系：
__________________________________． ③边与角之间的关系：
==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；
==
B A tan 1
tan _____； ==B A
tan tan 1
______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．