21．2.1配方法
第1课时直接开平方法
1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．
3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．
一、情境导入
一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
二、合作探究
探究点：直接开平方法
【类型一】用直接开平方法解一元二次方程
运用开平方法解下列方程：
(1)4x2＝9；
(2)(x＋3)2－2＝0.
解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方
程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可
以运用开平方法求解．
解：(1)由4x2＝9，得x2＝
9
4，两边直接开平方，得x
＝±
3
2，∴原方程的解是x1＝
3
2，x2＝－
3
2.
(2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝
±2.∴x＋3＝2或x＋3＝－ 2.∴原方程的解是x1＝2
－3，x2＝－2－3.
方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程
是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解
的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形
如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝
a，x2＝－a.
【类型二】直接开平方法的应用
若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是
m＋1与2m－4，则
b
a＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±
b
a，∴方程的两个根互为
相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方
程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴
b
a＝2，∴
b
a
＝4，故答案为4.
【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用
若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一
个根为0，则a＝________．
解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的
一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.
【类型四】直接开平方法的实际应用
有一个边长为11cm的正方形和一个长为
13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的
面积之和的正方形，边长应为多少厘米？
分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和
矩形的面积之和，然后再用开平方计算．
解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.
方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．
三、板书设计
教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.
配方法 第1课时 直接开平方法 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣． 一、情境导入 一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究 探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9； (2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3 是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为 一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的 方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a . 【类型二】直接开平方法的应用 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a ＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a ，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解 得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ b a ＝4，故 答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用 有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？ 分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算． 解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去． 三、板书设计 教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.
配方法 (教案) 教学目标： 1.掌握用配方法解一元二次方程． 2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤． 3.熟练运用配方法解一元二次方程. 教学重难点： 1.凑配成完全平方的方法与技巧． 2.如何用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. 3.用配方法解一元二次方程的步骤. 教学过程： 1.一元二次方程的几种形式： （1）完全的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx=0(a≠0) （2）不完全一元二次方程是：ax2=0，ax2+c=0（a≠0） 2.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0)，我们已经学会了它们的解法．特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．下面我们来看一道例题. 例：解方程：(x-3)2=4(让学生说出过程)． 解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得x=3±2． 所以 x1=5，x2=1．(并代回原方程检验，是方程的根) 3.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程. (x-3)2=4，① x2-6x+9=4，② x2-6x+5=0．③ 4.逆向思维： 我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式．这个转化的关键是在方程左端构造出一个含未知数的一次式的完全平方式(x+m)2． 5.配方： 思考：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+？)2 添加一项+1，即(x2+2x+1)=(x+1)2
又如：∵x2+4x= x2+2x?2 ∴添加2的平方，即x2+4x+22=(x+2)2 ∵x2+6x= x2+2x?3 ∴添加3的平方，即x2+6x+32=(x+3)2 所以，总结以上规律：对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未 知数的一次式的完全平方式. 6. 用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±m)2形式) 例：解方程：x2-8x-9=0. 解：移项，得 x2-8x=9, 两边都加一次项系数一半的平方，x2-8x+42=9+42， 配方，得 (x-4)2=25， 解这个方程，得 x-4=±5， 移项，得x=4±5． 即x1=9，x2=-1．(检验，是原方程的根) 根据例题我们可以得出配方法的定义： 先把方程中的常数项移到方程右边，再把左边配成完全平方式，然后用直接开方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法. 例题解析： 例1：解方程：x2-8x-8=0． 分析：把方程左边配方成(x+m)2形式． 解：原方程移项，得x2-8x=8 方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添加一次项系数一半的平方得 所以， 例2：解方程：x2-8x+18=0 解：移项，得x2-8x=-18 方程两边都加(-4)2，得 x2-8x+(-4)2=-18+(-4)2 (x-4)2=-2． 因为平方不能是负数，x-4不存在 所以x不存在，即原方程无解． 例3：解方程：x2+2mx+2=0,并指出m2取什么值时，这个方程有解．
2019-2020年九年级数学上册 2.2配方法(第1课时)教案北师大版 配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程. 本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法． 配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征． 教学方法主要是学生自主探索、发现的方法． 2.2配方法(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． (二)能力训练要求 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法． 2．体会转化的数学思想方法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． (三)情感与价值观要求 通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力． 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式． 教学方法 讲练结合法 教具准备
投影片六张： 第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A) 第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B) —第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D) 第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E) 第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F) 教学过程 Ⅰ．创设现实情景，引入新课 [师]前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? [生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根． [生乙]平方根有下列性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的． (2)零的平方根是零． (3)负数没有平方根． [师]很好，那你能求出适合等式x2=4的x的值吗? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2． [师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1 A) 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? [师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x2+12x-15＝0．上节课我们已求出了x 的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗?
第2课时配方法 【知识与技能】 掌握用配方法解一元二次方程. 【过程与方法】 理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 【情感态度】 在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 【教学重点】 用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 用配方法解一元二次方程的方法和技巧. 一、情境导入，初步认识 问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？ 思考如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？ 【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 二、思考探究，获取新知 【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”. 想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法. （1）x2+10x+( )=(x+ )2; (2)x2-3x+( )=(x- )2;
(3)x2-2 3 x+( )=(x- )2; (4)x2+1 2 x+( )=(x+ )2. 2.利用上述想法，试试解下列方程：(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0; (3)x2-2 3 x=4; (4)x2+ 1 2 x-7=0. 1.依次填入：（1）25；5；（2）9 4 ， 3 2 ；（3） 1 9 ； 1 3 ；（4） 1 16 ， 1 4 . 2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=±22,即x1=-5+22,x2=-5-22; 试一试1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流. 2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方
数学方法篇一：配方法 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 【范例讲析】 1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2．配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。 例2、化简526-的结果是___________________. 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2 )(（其中? ??==+b xy a y x ）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。 例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。 点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。 4．配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。 例4、解方程052422=+-++y x y x 。 点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组???=-=+010 2y x 问题，把生疏问题转化为熟悉 问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。 5．配方法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们求出所要求的最值。 例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________. 点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。 6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。 例6、证明：对于任何实数m ，关于x 的方程()22231470x m x m m +-+--=都有两个不相等的实数根。 点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。 7．配方法在恒等变形中的应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。 例7、已知ac bc ab c b a ++=++222又知a 、b 、c 为三角形的三条边， 求证：该三角形是等边三角形。 点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。
用直接开平法解一元二次方程 学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。 重点：用用直接开平方法解一元二次方程； 难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解； 教学过程： 一、 检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。 （1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。 （2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 。 三、 新课讲解 例1：解下列方程（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程 （1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程： （1）12y 2－25＝0； （2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习
1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程 （1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。 直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言） 六、小测 解下列方程 （1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。
解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2(1)9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； （3）26(2)1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ．
6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+= 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （3）23(1)12x +=； （4）2 410y y ++=； （5）2884x x -=； （6）2310y y ++=．
第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2） 主备人备课时间 集体修订时间课型新授课 授课人许大精授课时间 教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方 程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。 知识与能力： 通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生 观察、类比、转化的思维能力． 情感态度价值观： 通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知 与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生 形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了 解“未知”可以转化为“已知”的思想． 教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 教学难点： 通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。 教学课时：1课时 教学方法：自主、合作、探究 教学媒体：多媒体 教学过程： （一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。 答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。 答案：平方根，±，±2，±。 （二）创设情境 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知 让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题 展示课本P．7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
（1）x 2=4 (2)x 2=16 (3)2x 2=32 (4)2x 2=82. (5)(x +1)2=0 (6)2(x －1)2=0 (7)(2x +1)2=0 (8)(2x －1)2=1 一、1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________. 2.若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________. 3.若x 2－2x =0，则x 1=__________,x 2=__________. 4.若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________. 5.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________. 6.若－2x 2+8=0，则x 1=__________,x 2=__________. 7.若x 2+4=0，则此方程解的情况是____________. 8.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是__________. 9.若5x 2=0，则方程解为____________. 10.由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________. 二、选择题 1.方程5x 2+75=0的根是 A.5 B.－5 C.±5 D.无实根 2.方程3x 2－1=0的解是 A.x =± 3 1 B.x =±3 C.x =± 3 3 D.x =±3 3.方程4x 2－0.3=0的解是 A.075.0=x B.30201 - =x C.27.01=x 27.02-=x D.302011=x 3020 1 2-=x 4.方程2 7 252-x =0的解是 A.x = 57 B.x =± 5 7 C.x =± 5 35 D.x =± 5 7
配方法练习 1 .若方程能化成x2= p(p> 0)或(mx + n)2= p(p > 0)的形 式， 贝U x= __ 或mx + n = _____ 2 .方程（x + n）2= m有解的条件是_______ . 知识点1用直接开平方法解形如x2= p（p >0的一元二次方程 1 . （3 分）一」元二次方程X2—4= 0的根为（） A. x = 2 B. x = —2 C. x i= 2, X2=—2 D . x= 4 2. （3分）方程5y2—3= y2+ 3的实数根的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个D . 3个 3 . （3 分）一」元二次方程x2= 7的根是__________ 4 . （3分）若代数式3x2—6的值为21,则x的值是— 5 . （8分）解方程：
x +（1）2y2—100= 0 ； ⑵(x + 6)(x —6) = 64.
知识点2用直接开平方法解形如（mx+ n）2= p（p > 0的一元二次方程 6. （3分）一元二次方程（x+ 6）2= 36可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 6 = 6，则另一个一元一次方程是（） A. x—6= 6 B. x—6 =—6 C.x+ 6= 6 D. x+ 6=—6 7. (3 分)若3(x + 1)- -48= 0,贝U x的值等于（) A. ± 4 B. 3 或—5 C.—3或5 D. 3 或5 8. （3分）卜列方程 中，不能用直接开平方法的是( ) A. x2—3 = 0 B.(x—1)2— 4 = 0 C.x2+ 2x= 0 D. 2 2 (x—1)2= (2x+ 1)2 二、填空题（每小题4分，共8分） 14.若（X2+ y2—1）2= 4,贝y x2+ y2 = ______ . 15?在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b = a2—b2.根据这个规则，方程 =0的根为 _____________________ . (x + 2)*5
21.2 解一元二次方程 21．2.1配方法 第1课时直接开平方法基础题 知识点用直接开平方法解一元二次方程 1．下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A．9x2＝25 B．4x2－4x－3＝0 C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9 2．方程100x2－1＝0的解为( ) A．x1＝1 10，x2＝－1 10B．x1＝10，x2＝－10 C．x1＝x2＝1 10D．x1＝x2＝－1 10 3．方程2x2＋8＝0的根为( ) A．2 B．－2 C．±2 D．没有实数根 4．(丽水中考)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程 是( ) A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 5．(鞍山中考)已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 6．一元二次方程ax2－b＝0(a≠0)有解，则必须满足( ) A．a、b同号B．b是a的整数倍 C．b＝0 D．a、b同号或b＝0 7．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是( ) A．用直接开平方得x＝－m±n B．用直接开平方得x＝－n±m C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m±n D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n±m 8．对于方程x2＝p.(1)当p>0时，方程有__________的实数根，x1＝________，x2＝________；(2)当p＝0时，方程有________的实数根，x1＝x2＝________；(3)当p<0时，方程__________． 9．(镇江中考)关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是________． 10．完成下面的解题过程： (1)解方程：2x2－8＝0； 解：原方程化成________． 开平方，得________． 则x1＝________，x2＝________；
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
22.2解一元二次方程 第一课时 直接开平方法 教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数． 引入新课 我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？ 新课 例1 解方程 x2-4=0． 解：先移项，得x2=4． 即x1=2，x2=-2． 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 例2 解方程 (x+3)2=2． 练习：P28 1、2 归纳总结 1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题 达标测试 1.方程x 2-0.36=0的解是 A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x 2+8=0的解为 A.x 1=2 x 2=-2 B.2,221-==x x C.x 1=4 x 2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x 4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是 A.不论c 为何值,方程均有实数根 B.方程的根是a b c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+= +或 D.当c=0时,a b x = 5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2 -9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
“直接开平方法解一元二次方程” 教学设计 姓名：袁文婷 单位：高平镇马落中学 学科：初中数学 邮政编码：422211 手机号码：
“直接开平方法解一元二次方程”教学设计 隆回县高平镇马落中学袁文婷 一、教材分析： 本节是九年级上册第二章《一元二次方程》内容，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。 二、本节课的指导思想： 新课标指出：数学教学应该实现人人学必需的数学，人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展。同时数学教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣 和问题解决能力。 三、教学目标设计 知识与技能目标： 1、使学生知道形如x2=a (a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2、使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方； 3、使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。过程与方法目标： 在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。 情感、态度、价值观： 使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。 重点: 使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。 难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,培养分类讨论的意识。 四、教学方法和教学手段的选择 教学方法：
1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 2 20x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2m - B.2m - C.22 m -± D.2m -± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（ ） A ．k ≥o B ．h ≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 7、方程22) 1(=-x 的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 8、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41 (D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 9.当x =________时，分式293 x x -+无意义； 当x =________时，分式293 x x -+的值为零。 10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________ 12.方程()412 =-x 的解是______________。
§23.2一元二次方程的解法练习题（一） （第1课时） 授课班级____ 上课时间：______ 第____ 节 典例分析 用直接开平方法解下列一元二次方程： 2249(3)16(6)x x -=+ 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+ 7(3)4(6)x x -=+由115.x =得 7(3)4(6)x x -=-+由得23 .11 x =- 点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是：通过等式变形变出2 x n =或2 ()x m n -=的形式， 再直接开平方；另外注意方程解得书写格式1x 、 2x . 课下作业 一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2 (1)40x --= C. 2 20x x += D. 2 2 (1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程2 9x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程22 2 9160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2- C.2± D.2 ± 5. 若2 (1)10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式29 3x x -+无意义；当 x =________时，分式 29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=_________ 3.一元二次方程2 2 (21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程()412 =-x 的解是______________。 三、用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）2 2 ((1x =+ （4）2 2 69(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2)9x +=的两个根，求 αβ+的值。
九年级（上册）数学配方法及公式法姓名： ◆回顾归纳 1．通过配方，把方程的一边化为______，另一边化为_____，然后利用开平方法解方程，这种方法叫配方法，如 ax2+bx+c=0（a≠0），配方得a（x+_____）2= 24 4 b ac a ． 2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），运用公式法求解的方法叫做公式法，?求根公式x=_______．◆课堂测控 测试点1 配方法 1．（1）x2－2x+_____=（x－1）2；（2）x2+3 2 x+ 9 16 =（x+_______）2． 2．（1）x2+4x+_____=（x+_____）2；（2）y2－_______+9=（y－_____）2． 3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（） A．3 B．9 C．±3 D．±9 4．已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2?可以配方成下列的（） A．（x－p）2=5 B．（x－p）2=9 C．（x－p+2）2=9 D．（x－p+2）2=5 5．用配方法解下列方程: （1）x2+6x+7=0；（2）2x2－4x=－5； （3）3x2+2x－3=0；（4）1 2 x2－3x+3=0． 6．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．用配方法解方程2x2－5x－8=0． 解：2x2－5x－8=0． ∴x2－5x－8=0．①
∴x2－5x+（－5 2 ）2=8+（－ 5 2 ）2．② ∴（x－5 2 ）2= 57 4 ．③ ∴x1，x2④ （1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有错在第______步，原因是_________． （3）写出正确的解答过程． 测试点2 公式法 7．方程（x+2）（x+3）=20的解是______． 8．方程3x2+2x+4=0中，b2－4ac=_______，则该一元二次方程_______实数根．9．方程x2+4x=2的正根为（） A．2．．－2．－ 10．用求根公式解下列方程． （1）3x2－x－2=0；（2）1 2 x2+ 1 8 =－ 1 2 x； （3）（x+2）（x－2）；（4）3x2+2x=2． 11．用公式法解方程1 2 x2+ 1 2 x+ 1 8 =0． 解：4x2+4x+1=0 ① ∵a=4，b=4，c=1，② ∴b2－4ac=42－4×4×1=0．③
一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2 . 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2 ＝…… 这是由a 2+b 2 配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2 ，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-. 我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2 )3( ＝（2－3）2 . 这是由2 ab 配上a 2+b 2 . ③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值. 即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需 要配方. 例如:：求方程x 2+y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2+y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+020 1y x . 解得 ?? ?=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧. 二、例题 例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2 +1.