曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
政治高考备考：恩格尔系数、基尼系数、消费者价格指数、生产价格指数等解析 恩格尔系数 (1)含义:食品支出占家庭消费总支出的比重。 (2)计算公式:恩格尔系数=食品支出金额/家庭消费总支出金额×100％。 (3)从内涵看:恩格尔系数指食品支出占家庭消费总支出的比重。不能将投资支出(如购买股票、基金、债券、保险等)看作消费支出。 (4)从数值看:恩格尔系数是一个相对量，是一个比例数，不是绝对量。恩格尔系数的降低并不意味着食品支出金额的降低，相反，恩格尔系数的降低在一般情况下伴随着食品支出金额的增加，只是在社会生产、人们生活不断进步的趋势下，食品支出金额增加量小于家庭消费总支出的增加量。 (5)我国恩格尔系数变化的根本原因是经济的不断发展，直接原因是人们收入水平的不断提高。 (6)恩格尔系数是食品支出占家庭消费总支出的比例食品消费属于生存资料消费，食品支出占家庭消费总支出的比例越高，用于发展资料、享受资料消费的比例相对越低，生活水平越低，因此恩格尔系数过大，必然影响其他消费支出，限制消费层次和消费质量的提高，居民生活水平越低;恩格尔系数减小，通常表明人们生活水平提高，消费结构改善。 基尼系数 在衡量居民收入差距时，有一个国际通用的指标是基尼系数。 基尼系数是由意大利经济学家基尼在1912年提出的，是用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标。实际的基尼系数介于0和1之间。基尼系数越大，则收入分配越不平均；基尼系数越小，则收入分配越接近平均； 根据国家统计局公布的数据，我国居民收入的基尼系数2003年为0.479，2008年达到最高点0.491，这之后逐年下降，2014年的基尼系数是0.469。而在20世纪80年代初，基尼系数是0.3左右。经济学家李实分析说：“接近0.5的基尼系数可以说是一个比较高的水平，世界上超过0.5的国家只有10%左右；主要发达国家的基尼系数一般都
2019年厦门中公国考基尼系数与恩格尔系数解剖 一、知识点剖析 1.基尼系数 (1)含义 在全部居民收入中用于不平均分配的百分比。该系数是意大利经济学家基尼于1922年提出的测定收入分配差距程度的指标。 (2)基尼系数的数值 基尼系数的数值在0-1之间。等于0说明收入分配绝对平均;0-0.2收入高度平均;0.2-0.3收入比较平均;0.3-0.4相对合理;0.4-0.5收入差距较大;0.6-1收入差距悬殊;等于1说明收入分配绝对不平均。 2.恩格尔系数 恩格尔定律指出：在一个家庭或在一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。用弹性概念来表述恩格尔定律可以是：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小;反之，则越大。 恩格尔系数即是根据恩格尔定律得出，表示的是食品支出总额占个人消费支出总额的比重。联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活水平有一个划分标准，即一个国家平均家庭恩格尔系数大于60%为贫穷;50%-60%为温饱;40%-50%为小康;30%-40%属于相对富 裕;20%-30%为富裕;20%以下为极其富裕。 基尼系数是衡量收入分配的数值，而恩格系数是衡量家庭生活水平的数值。
二、典型例题： 1. 下列选项中收入分配从公平到不公平排序正确的是( )。 甲：0.3,;乙：0.5;丙：0.6;丁：0.8 A.丁乙丙甲 B.丙甲乙丁 C.甲乙丙丁 D.乙丙甲丁 【解析】C。本题考查的考点是基尼系数的数值。基尼系数的数值为0—1之间。基尼系数数值越接近于0收入分配越公平，越接近于1越不公平。故收入分配从公平到不公平应该从小到大进行排序。故本题答案为选C。 2.下面几个家庭中家庭生活水平最好的是( )。 A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.0.4 【解析】A。本题考查的是恩格尔系数与家庭生活水平的关系。恩格尔系数是衡量家庭生活水平的数值。恩格尔系数越高意味着家庭生活水平越低下，反之亦然。因此家庭生活水平最好的就是恩格尔系数最低的。故本题答案为选A。
20世纪初意大利经济学家基尼，根据洛伦茨曲线找出了判断分配平等程度的指标（如右图），设实际收入分配曲线和收入分配绝对平等曲线之间的面积为A，实际收入分配曲线右下方的面积为B。并以A除以A+B的商表示不平等程度。这个数值被称为基尼系数或称洛伦茨系数。如果A为零，基尼系数为零，表示收入分配完全平等；如果B为零则系数为1，收入分配绝对不平等。该系数可在零和1之间取任何值。收入分配越是趋向平等，洛伦茨曲线的弧度越小，基尼系数也越小，反之，收入分配越是趋向不平等，洛伦茨曲线的弧度越大，那么基尼系数也越大。如果个人所得税能使收入均等化，那么，基尼系数即会变小。联合国有关组织规定：若低于0.2表示收入绝对平均；0.2-0.3表示比较平均； 0.3-0.4表示相对合理；0.4-0.5表示收入差距较大；0.6以上表示收入差距悬殊。 基尼系数是一个用来描述收入整体差距程度的重要指标。国际上通常认为,当它处于0.3-0.4时表示收入分配比较合理,0.4-0.5表示收入差距过大,超过0.5则意味着出现两极分化。从现实来看,世界各国对基尼系数的运用并不完全一致。很多国家都是把它与其他因素结合起来,综合判断收入差距。在不少国家,基尼系数都有不同的标准和界线。总的来说,基尼系数只可参考,不能绝对化。 基尼系数 百科名片 相关漫画 基尼系数，或译坚尼系数，是20世纪初意大利经济学家基尼，根据劳伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之间，是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标。 目录 基尼系数概述 经济含义 基尼系数的计算 基尼系数的区段划分 中国目前基尼系数状况 中国基尼系数变动分析 专家对基尼系数现状的应对措施 各国基尼系数比较 展开
2018广东事业单位考试公共基础知识：考点分析之基 尼系数与恩格尔系数 下面我们一起来探讨一下事业单位考试中经济部分非常重要的两种系数—基尼系数与恩格系数。这两种系数是事业单位考试的高频考点。 一、知识点剖析 1.基尼系数 (1)含义 在全部居民收入中用于不平均分配的百分比。该系数是意大利经济学家基尼于1922年提出的测定收入分配差距程度的指标。 (2)基尼系数的数值 基尼系数的数值在0-1之间。等于0说明收入分配绝对平均;0-0.2收入高度平 均;0.2-0.3收入比较平均;0.3-0.4相对合理;0.4-0.5收入差距较大;0.6-1收入差距悬殊;等于1说明收入分配绝对不平均。 2.恩格尔系数 恩格尔定律指出：在一个家庭或在一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。用弹性概念来表述恩格尔定律可以是：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小;反之，则越大。 恩格尔系数即是根据恩格尔定律得出，表示的是食品支出总额占个人消费支出总额的比重。联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活水平有一个划分标准，即一个国家平均家庭恩格尔系数大于60%为贫穷;50%-60%为温饱;40%-50%为小康;30%-40%属于相对富裕;20%-30%为富裕;20%以下为极其富裕。 二、考点分析与例题展示 1.事业单位考试中直接考查基尼系数与恩格尔系数的含义。考查两种系数是衡量什么的数值。 【解析】基尼系数是衡量收入分配的数值，而恩格系数是衡量家庭生活水平的数值。
2. 下列选项中收入分配从公平到不公平排序正确的是( )。 甲：0.3,;乙：0.5;丙：0.6;丁：0.8 A.丁乙丙甲 B.丙甲乙丁 C.甲乙丙丁 D.乙丙甲丁 【解析】C。本题考查的考点是基尼系数的数值。基尼系数的数值为0—1之间。基尼系数数值越接近于0收入分配越公平，越接近于1越不公平。故收入分配从公平到不公平应该从小到大进行排序。故本题答案为选C。 3.下面几个家庭中家庭生活水平最好的是( )。 A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.0.4 【解析】A。本题考查的是恩格尔系数与家庭生活水平的关系。恩格尔系数是衡量家庭生活水平的数值。恩格尔系数越高意味着家庭生活水平越低下，反之亦然。因此家庭生活水平最好的就是恩格尔系数最低的。故本题答案为选A。
数学应用软件大型实验实验报告 实验序号：日期：2012 年 6 月 20日 班级信计100班姓名学号201020310216 中心极限定理的理论证明 实验 名称 问题背景描述： 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 图一： 中心极限定律揭示了正态分布的意义：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同
时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。 实验目的： 中心极限定理的核心内容是只要n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。本次试验就是用具体的实验来进行验证大量随机变量的和近似服从正态分布，用100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布进行比较，作图来验证中心极限定理。又再1000个数来比较两个图来验证中心极限定理。 实验原理与数学模型： 实验原理： 中心极限定律，其内容是：当N 足够大的时候，N 个具有方差和均值的独立随机变量的代数和服从正态分布率。也就是说不管这N 个随机变量原来服从什么分布率，只要他们具有方差和均值，他们的代数和总是近似服从正态分布，N 越大，近似程度越高。 中心定理之一是林德贝格-勒维中心极限定理，它的内容是： 设{}n ξ是一列独立同分布的随机变量，记 n S =1n k k ξ=∑，1E a ξ=，2 1Var ξσ=， 则中心极限定理成立，即 (0,1)d n S na N n σ-??→ 所以由定理的条件知，它也被称为同分布的中心极限定理，同时可知德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是它的一种特殊情形。 中心极限定理的第二个就是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是历史上最早得 到的中心极限问题的研究成果。它的内容是： 设()x Φ为标准正态分布的分布函数，对x -∞<<+∞，有 lim ()()n n S np P x x npq →+∞-≤=Φ
基尼系数与洛伦兹曲线的应用与推广 ————在人均GDP方面的应用 摘要：如何在经济分配上保持一定差异以促进竞争和经济效率，同时又要将经济分配差异控制在一定限度之内，以保证社会分配的公平性，这是经济社会发展的重要课题。在一个人口总体中，不同居民住户在收入、消费、财产水平上总是存在差异的，那么如何通过一个统计量来描述收入、消费、财产分布的差异，显示社会分配的状况？我们通过绘制洛伦兹曲线并计算基尼系数，并利用基尼系数对2011年全国各省市人均GDP的分布问题进行了推广。 关键词：基尼系数；洛伦兹曲线 一、基尼系数与洛伦兹曲线 测定不同国家，或同一国家不同阶段的社会收入不平等程度，主要方法是描绘洛伦茨曲线（Lorenz Curve）和计算基尼系数（Gini Coefficient）。 洛伦茨曲线（Lorenz Curve） 洛伦茨曲线是用来描述一国财富或收入分配状况的统计工
具，它表示各阶层人民（从最贫困的开始）收入的累积部分占整个国民收入中的百分比。在国民收入分配完全均等情况下，它是一条45度角直线；在国民收入分配绝对不平等情况下，则构成正方形的底边和右边。由于任何国家实际收入分配状况都介于上述两种极端情况之间，故洛伦茨曲线一般为一条向下弯曲的曲线，其偏离45度角直线越小，表明该社会收入分配状况的平等化程度越高，其偏离45度角直线越大，表明该社会收入分配状况的平等化程度越低。 上图即为洛伦兹曲线，其横坐标是相对人口累计百分比，纵坐标是收入累计百分比。 如果收入是绝对均等的（当然这只是一种理想化的状态），
每1%的人口都得到1%的收入，累计99%的人口就得到累计99%的收入，则收入分配是完全平等的，累计收入曲线就是上图中的对角线OL，图中标明是“绝对均等线”。 假如收入分配绝对不均等（当然这也是一种设想的状态），几乎所有的人口均一无所有，即99%的人完全没有收入，而所有的收入都在1% 的人手中，即1%的人拥有100%的收入，累计分配曲线是由横轴和右边垂线组成的折线OAL。图中标明是“绝对不均等线” 一般来说，一个国家、一个地区的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于两者之间，那么相应的洛仑兹曲线既不是折线OAL，也不是对角线OL，而是介于两者之间的就是中间那条向横轴突出的OCL曲线。洛仑兹曲线的弯曲程度具有重要意义。一般来说它的弯曲程度反映了收入的不平等程度，弯曲程度越大，收入分配程度越不公平。 洛伦兹曲线和对角线之间的那块月牙形区域（图中斜线区域）可以看成是贫富之间的那条沟坎。这块月牙形区域面积S大小，可以用来表征实际收入分配与理想境界的差距：这块月牙形区域面积S越大，洛伦兹曲线弯曲度越大，月牙弯得越大，它和对角线离开得越远，说明收入差距越大，贫富两极分化越严重。反之，这块月牙形区域面积S越小，洛伦兹曲线越平缓，月牙弯得越小，它和对角线靠得越近，说明社会收入差距越小，贫富两极分化越不明显。
常用经济分析术语解释解读-指数、相对数、不变价、同比与环比、恩格尔系数、基尼系数、对外依存度、循环经济 53．什么是发展速度、增长速度和平均速度？ 发展速度是表示某一时期内某一指标发展程度的相对数。它是报告期水平与基期水平之比，一般用百分数表示。计算公式为:发展速度=（指标报告期数值÷指标基期数值）×100%。 增长速度是表示某一时期内某一指标增长程度的相对数。它是报告期增长量与基期水平之比，又称增长率。增长速度指标反映国民经济和社会发展变动的情况与趋势，应用比较广泛。计算公式为：增长速度=（指标报告期数值÷指标基期数值-1）×100% 平均速度可以用平均增长速度和平均发展速度来计算。平均速度是各个时期环比速度(即报告期水平与前一期水平对比计算的速度)的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。平均发展速度表示现象逐期发展的平均速度，平均增长速度则是反映现象逐年递增的平均速度。 54．指数和相对数、发展速度的区别是什么？ 指数是综合反映由多种因素组成的社会经济现象在某一时间内平均变动程度的相对数，一般以基期为100表示。 运用指数可以测定不能直接相加和不能直接对比的社会经济现象的总动态；可以分析社会经济现象总变动中各因素变动的影响程
度；可以研究总平均指标变动中各组标志水平和总体结构变动的作用。 指数按其反映的对象和范围不同，可分为个体指数（如个别商品的价格指数）、综合指数（如消费品价格指数）；按其对比期不同，可分为定基指数、环比指数。如：在居民消费价格中，2007年11月份以上年同月为基期的定基指数为107.8，10月份以上年同月为基期的定基指数为107.4，那么11月份对10月份的环比价格指数为（107.8/107.4）×100=103.3。 而一般的相对数，是两个有联系的指标的比值，它可以从数量上反映两个相互联系的现象之间的对比关系。相对数根据相互对比的指标的性质和所能发挥的作用不同，又可分为动态相对数、结构相对数、比较相对数、强度相对数、计划完成程度相对数等五种。 因此，指数和一般的相对数的区别在于：一般的相对数是两个有联系的现象数值之比，而指数却是说明复杂社会现象经济的发展情况，并可分析各种构成因素的影响程度。 指数与发展速度也是两个不同的概念。发展速度是反映某种社会经济现象发展程度的相对指标，它是报告期发展水平与基期发展水平之比。指数和发展速度的区别在于： 一是从广义上说，凡说明社会经济现象发展变动的动态相对数都是指数，因此发展速度也是一种指数；相反，并非所有的指数都是发展速度，如居民消费价格指数。
计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】
5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include
恩格尔系数基尼系数洛伦兹曲线 什么是恩格尔系数? 1857年，世界著名的德国统计学家恩思特(恩格尔阐明了一个定律：随着家庭和个人收入增加，收入中用于食品方面的支出比例将逐渐减小，这一定律被称为恩格尔定律，反映这一定律的系数被称为恩格尔系数。其公式表示为： 恩格尔系数（%）= 食品支出总额 /家庭或个人消费支出总额×100% 恩格尔定律主要表述的是食品支出占总消费支出的比例随收入变化而变化的一定趋势。揭示了居民收入和食品支出之间的相关关系，用食品支出占消费总支出的比例来说明经济发展、收入增加对生活消费的影响程度。众所周知，吃是人类生存的第一需要，在收入水平较低时，其在消费支出中必然占有重要地位。随着收入的增加，在食物需求基本满足的情况下，消费的重心才会开始向穿、用等其他方面转移。因此，一个国家或家庭生活越贫困，恩格尔系数就越大；反之，生活越富裕，恩格尔系数就越小。 国际上常常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50-59%为温饱，40-50%为小康，30-40%为富裕，低于30%为最富裕。在我国运用这一标准进行国际和城乡对比时，要考虑到那些不可比因素，如消费品价格比价不同、居民生活习惯的差异、以及由社会经济制度不同所产生的特殊因素。对于这些横截面比较中的不可比问题，在分析和比较时应做相应的剔除。另外，在观察历史情况的变化时要注意，恩格尔系数反映的是一种长期的趋势，而不是逐年下降的绝对倾向。它是在熨平短期的波动中求得长期的趋势。 什么是基尼系数? 说到贫富悬殊，就不可避免地要遇到一个概念，这就是“基尼系数”。 什么是基尼系数？基尼系数是意大利经济学家基尼,根据洛伦茨曲线,于1922年提出的定量测定收入分配差异程度的指标。它的经济含义是：在全部居民收入中用于不平均分配的百分比。 基尼系数最小等于0，表示收入分配绝对平均； 最大等于1，表示收入分配绝对不平均； 实际的基尼系数介于0和1之间。 基尼系数越大，则收入分配越不平均； 基尼系数越小，则收入分配越接近平均； 联合国有关组织规定： 若低于0.2表示收入绝对平均； 0.2-0.3表示比较平均； 0.3-0.4表示相对合理；
洛伦兹曲线与基尼系数的区别和联系 图中横轴0H表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分 比，纵轴0M表示收入的累积百分比，弧线0L为洛伦兹曲线。 洛伦兹曲线的弯曲程度有重要意义。一般来讲，它反映了收入分配的不平等程度。弯曲程度越大，收入分配越不平等，反之亦然。特别是，如果所有收入都集中在一人手中，而其余人口均一无所获时，收入分配达到完全不平等，洛伦兹曲线成为折线OHL.另一方面，若任一人口百分比均等于其收入百分比，从而人口累计百分比等于收入累计百分比，则收入分配是完全平等的，洛伦兹曲线成为通过原点的45度线0L。 一般来说，一个国家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于两者之间。相应的洛伦兹曲线，既不是折线OHL，也不是45度线0L,而是像图中这样向横轴突出的弧线0L，尽管突出的程度有所不同 将洛伦兹曲线与45度线之间的部分A 叫做“不平等面积” ，当
收入分配达到完全不平等时，洛伦兹曲线成为折线OHL ，OHL 与45 度线之间的面积A+B 叫做“完全不平等面积” 。不平等面积与完全不平等面积之比，成为基尼系数，是衡量一国贫富差距的标准。基尼系数G=A/（A+B）. 显然，基尼系数不会大于1，也不会小于零。通过络伦兹曲线，可以直观地看到一个国家收入分配平等或不平等的状况。整个的洛伦兹曲线是一个正方形，正方形的底边即横轴代表收入获得者在总人口中的百分比，正方形的左边即纵轴显示的是各个百分比人口所获得的收入的百分比。从坐标原点到正方形相应另一个顶点的对角线为均等线，即收入分配绝对平等线，这一般是不存在的。实际收入分配曲线即洛伦兹曲线都在均等线的右下方（如吉尼系数解释中的图）。洛伦兹曲线就是，在一个总体（国家、地区）内，以“最贫穷的人口计算起一直到最富有人口”的人口百分比对应各个人口百分比的收入百分比的点组成的曲线。
第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：
曲线拟合的数值计算方 法实验 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按原理求出变换后变量的，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近的一种方法。在或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m ），其中各X i 是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x ，c ）来反映量x 与y 之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x ，c)常称作拟合模型 ，式中c=(c 1，c 2，…c n )是一些待定参数。当c 在f 中出现时，称为线性模型，否则称为。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c 使得拟合模型与实际在各点的(或)，c）-f （f y e k k k 的平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解来确定参数，从而求得拟合曲线。至于，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性。 曲线拟合：与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。 2.最小二乘法拟合：
科学解读基尼系数 在借鉴和应用基尼系数指标体系时，要注意基尼系数经验数据产生的社会背景。基尼系数产生于市场经济发育比较充分，人口比较少，地区经济差异比较小，城乡二元结构基本消除的西方社会。当将基尼系数运用于中国尤其需要谨慎对待； 应用基尼系数时还要认识到经济发展水平影响基尼系数水平。基尼系数的高低同人均国内生产总值(GDP)密切相关。这提示我们，应注意运用基尼系数分析的社会条件、发展水平的差距，而不能照搬，在应用基尼系数分析时，我们特别要防止在不科学地运用基尼系数基础上，将中国当前的社会差距放大，进而推断出现在的社会分配不公是由改革造成的、是实行市场经济造成的。如果得出这样的结论，那就不免成了“食洋不化”又一个例子。一段时间以来，基尼系数已被广泛引用来反映说明社会的财富差距与收入不公。人们甚至将基尼系数的社会差异指示性无限放大。但事实上，我们在引用基尼系数的同时，要科学认识基尼系数本身的局限性。 基尼系数是由意大利统计学、社会学教授雷维索莫塔·基尼(1884-1965)在1912年引导出的一种度量收入分配平均与否的尺度。简单讲，基尼系数为0，反映社会收入分配绝对平等；基尼系数为1，反映社会收入分配绝对不平等。一个基于西方社会状况的经验认识是：基尼系数在0.3以下为社会收入分配平均性“好”，0.3-0.4之间为“正常”，超过0.4为“警戒”。一旦基尼系数超过0.6，表明收入分配过于悬殊，可能导致仇富等社会严重对立，甚至进入发生动乱的“危险”状态。我们应当怎么借鉴和应用这一指标体系呢？ 其一，注意基尼系数经验数据产生的社会背景。 首先要有正确的背景分析，基尼系数的评价指标体系，是产生于市场经济发育比较充分，人口比较少，地区经济差异比较小，城乡二元结构基本消除的西方社会。当将基尼系数运用于中国这样一个市场发育仍不完善、人口众多、地域广大且历史差异大、存在广大农村和农民的发展中大国时，尤其需要谨慎对待。 其二，认识到经济发展水平影响基尼系数水平。 值得注意的是，国际劳工组织的研究(New Approaches to Poverty Analysis andPolicy1995)反映：基尼系数的高低同人均国内生产总值(GDP)密切相关。即经济发展水平越低(人均GDP低)的地域，其社会的收入分配也普遍趋于不平均(基尼系数高)。这提示我们，应注意运用基尼系数分析的社会条件、发展水平的差距，而不能照搬，如果不考虑发展水平的差异，不加分析将基于发达社会的基尼系数经验数据运用于仍处发展中的中国，就会把原本科学的方法变成有悖科学的。 其三，在二元结构经济中运用基尼系数可靠性更差。 再进一步说，当我们针对类似于中国这样的一个庞大的地域来测算和比较基尼系数时，更要谨慎、要讲求科学运用。因为地域辽阔，经济是呈现城乡二元结构，各地区的基本物价水准和生活费用指数也呈现较大差异。比如在兰州市郊区拥有一套二房一厅的家庭，同在广
“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期
浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无 法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程，可能在 计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777
一、表示贫困程度的恩格尔系数 恩格尔系数：经济学中的恩格尔系数是指人们的食物支出金额在消费总支出金额中占的比例。一般来讲，该系数越高，表示人们生活的贫困程度越高；反之，则表示人们生活的富裕程度提高。 判断标准：联合国粮农组织规定如下： 恩格尔系数60%以上表示绝对贫困； 恩格尔系数50%——59%表示勉强度日（或温饱）； 恩格尔系数40%——49%表示小康； 恩格尔系数30%——39%表示富裕； 恩格尔系数29%以下表示最富裕。 二、表示贫富差异程度的基尼系数 洛伦兹曲线和基尼系数：洛伦兹曲线就是把人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系描绘在图形上的曲线。一般说来，曲线的弯曲程度越大，收入分配程度越不平等；反之亦然。特别是，当收入分配达到完全不平等时，洛伦兹曲线成为折线OXL；当收入分配处于平等状态时，洛伦兹曲线成为直线OL。见下图，图中横轴OX表示人口累计百分比，纵轴OY表示收入的累计百分比，曲线ODL为该图的洛伦兹曲线，ODL 曲线与对角线OL 的面积就是我们通常所说的"不平等面积"，OXL与OL的面积就是"完全不平等面积"。
洛伦兹曲线只可以排列曲线不相交的分布，当两条曲线交叉时，我们不能够判断哪条曲线代表的收入分配更加平等。洛伦兹曲线只提供了收入分布的部分排序。 基尼系数是衡量收入分配"不平等程度"的指标。 判断标准：基尼系数值越大，收入分配越不平等。基尼系数值介于0、1之间，0表示绝对平等，1表示绝对不平等。一般认为： 基尼系数0.2时,表示收入绝对平均; 基尼系数0.2——0.29时,表示收入比较平均; 基尼系数0.3——0.39时,表示收入相对合理; 基尼系数0.4——0.59时,表示收入差距过大(0.4为警戒线)。
第三章 数据拟合 知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。 1．背景 已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数 曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数（曲线）能“最好”靠近这些离散点就好。 2．曲线拟合概念 实践活动中，若能观测到函数y=f(x )的一组离散的实验数据(样点):(x i ,y i )， i =1，2…,n 。就可以采用插值的方法构造一个插值函数?(x)，用?(x)逼近f(x )。插值方法要求满足插值原则 ?(x i )=y i ，蕴涵插值函数必须通过所有样点。另外一个解决
逼近问题的方法是考虑构造一个函数?(x )最优靠近样点，而不必通过所有样点。如图。 即向量T=（?(x 1）， ?(x 2)，…?(x n )）与Y=（y 1，y 2，。。。，y n ）的某种误差达到最小。按T 和Y 之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。 曲线拟合问题:如何为f(x )找到一个既简单又合理的逼近函数?(x)。 曲线拟合：构造近似函数?(x)，在包含全部基节点x i (i =1，2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x )（不必满足插值原则）。 逼近/近似函数y =?(x)称经验公式或拟合函数/曲线。 拟合法则：根据数据点或样点(x i ,y i )，i =1，2…,n ，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y =?(x)，不要求曲线?(x ）经过所有样点，但要求曲线?(x)尽可能靠近这些样点，即各点误差δi =?(x i )-y i 按某种标准达到最小。 均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方： 常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。 3．多项式拟合 2 4 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? -4 -2 样点 y =?(x) ?(x i ) y i =f(x i ) ∑==n i i 122 2 ||||δδ
如何认识恩格尔系数与基尼系数 恩格尔系数和基尼系数都是用于分析居民家庭富裕程度或收入水平差距的统计指标，是具有很高国际认可度的经济分析工具。鉴于民间经济与公共经济在一定意义上的可比性，而且目前国内外经济学界对地区间公共经济水平差异分析似乎缺少普遍认可的分析工具，在进行必要的改造和衡量标准的研究与选择之后，借用恩格尔系数和基尼系数来分析一个国家不同地区之间的财力状况及其水平差异，或许是一种相对便捷的选择。 恩格尔定律表明，一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出将会下降。据此，恩格尔系数既可以用来衡量每个家庭的富足程度，也可以用来分析对比不同家庭之间的收入水平和富裕程度差别，还可以用于分析一个国家整体收入水平和富裕程度的发展变化，甚至可以用此指标分析国别的富裕程度差距。国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，一个国家居民生活越贫困，恩格尔系数越大；居民生活越富裕，恩格尔系数越小。 “国”与“家”密切相连，且在很多方面同理。所以，分析居民之家（庭）的一些原理或指标在一定程度上也可以用以分析人民之国（包括国中的地区）。对于公共经济而言，财政是保障整个肌体的血液和心脏系统，其中用以维持公共经济机构存续和运转的基本经费支出就像居民家庭的食物支出一样重要。依此逻辑推理，可以将一个地区财政总支出中用于维持公共经济机构存在和正常运转的基本经费支出所占比率定义为公共经济或财政的恩格尔系数。 在区域财政的横向比较研究中，通过引入或借用恩格尔系数，不仅可以揭示各个地区（包括县级，下同）的财政充裕程度（与恩格尔系数值成反比），还可进而分析各个地区财政的负债能力、偿债能力以及基于政府债务的财政风险水平。这是因为，一个地区的财政总支出中用于维持公共经济机构存续和运行的基本支出部分是最难转用于偿还政府债务的，而其他部分转用于还债的机动性则相对比较大。因此，总体上可以说，一个地区政府的偿债能力与其财政的恩格尔系数成反比例关系。如果这种函数关系成立，那么，在经过认真分析研究确定出适当衡量标准并且合理剔除客观成本差异的情况下，财政的恩格尔系数指标将能够较好地由高层级政府及其财政部门应用于对所属各地区财政状况单体分析和横向对比分析、各地区提供基本公共服务能力分析、负债（偿债）能力分析以及政府债务预警指标设定和发债审批管理等。 再说说借用基尼系数。基尼系数是国际上用来综合考察居民收入分配差异状况的重要分析指标。它是一个比值，数值在0和1之间。基尼系数值越低，表明财富在社会成员之间的分配越均匀。将基尼系数应用于财政理论研究和财政管理实践，国内已经有人做过相关尝试。具体而言，基尼系数在财政领域最适宜的应用方向，在于借此分析省区、设区市、县（市）、乡镇等不同层次区域间财力分配的均衡状态，并据此提高财政转移支付制度和转移支付资金分配的科学化水平。现在的主要问题是，通过深入认真的理论论证和数据测算给差距悬殊、差距偏大、
一、恩格尔系数 基本资料 是根据恩格尔定律而得出的比例数。十九世纪中叶，德国统计学家和经济学家恩格尔对比利时不同收入的家庭消费情况进行了调查，研究了收入增加对消费需求支出构成的影响，提出了带有规律性的原理，由此被命名为恩格尔定律。其主要内容是指一个家庭收入越少，用于购买食物的支出在家庭收入中所占的比重就越大。对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中，用来购买食物的费用所占比例就越大。恩格尔系数则由食物支出金额在总支出金额中所占的比重来决定。 计算公式 恩格尔定律的公式：食物支出变动百分÷比总支出变动百分比x100%＝食物支出对总支出的比率(R1) 或食物支出变动百分比÷收入变动百分比x100%＝食物支出对收入的比率(R2) 注意：R2又称为食物支出的收入弹性。恩格尔定律是根据经验数据提出的，它是在假定其他一切变量都是常数的前提下才适用的，因此在考察食物支出在收入中所占比例的变动问题时，还应当考虑城市化程度、食品加工、饮食业和食物本身结构变化等因素都会影响家庭的食物支出增加。只有达到相当高的平均食物消费水平时，收入的进一步增加才不对食物支出发生重要的影响。恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，是表示生活水平高低的一个指标。其计算公式如下：恩格尔曲线食物支出金额÷总支出金额x100%＝恩格尔系数除食物支出外，衣着、住房、日用必需品等的支出，也同样在不断增长的家庭收入或总支出中，所占比重上升一段时期后，呈递减趋势。恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降。改革开放以来，我国城镇和农村居民家庭恩格尔系数已由1978年的57.5%和67.7%分别下降到2005年的36.7%和45.5%。 含义分析 可以看出，在总支出金额不变的条件下，恩格尔系数越大，说明用于食物支出的金额越多；恩格尔系数越小，说明用于食用支出的金额越少，二者成正比。反过来，当食物支出金额不变的条件下，总支出金额与恩格尔系数成反比。因此，恩格尔系数是衡量一个家庭或一个国家富裕程度的主要标准之一。 恩格尔系数统计数据 一般来说，在其他条件相同的情况下，恩格尔系数较高，作为家庭来说则表明收入较低，作为国家来说则表明该国较穷。反之，恩格尔系数较低，作为家庭来说则表明收入较高，作为国家来说则表明该国较富裕。恩格尔定律主要表述的是食品支出占总消费支出的比例随收入变化而变化的一定趋势。揭示了居民收入和食品支出之间的相关关系，用食品支出占