学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有________种不同的选法．
【解析】从中选一人去领奖有6＋4＝10(种)方法．
从中选一名男生一名女生去领奖有6×4＝24(种)选法．
【答案】1024
2．一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需在北京停留．已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京每天有6列火车，该志愿者从沈阳到南京共有________种不同的方法. 【导学号：29440001】
【解析】根据分步计数原理，此人可选择的行车方式共有6×7＝42(种)．【答案】42
3．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有________种．
【解析】先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．
【答案】30
4．由1,2,3,4可以组________个自然数．(数字可以重复，最多只能是四位数字)
【解析】组成的自然数可以分为以下四类：
第一类：一位自然数，共有4个．
第二类：两位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)．
第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)．
第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字
中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．
由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．【答案】340
5．商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种．若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法．
【解析】3×(3＋2)＝15(种)．
【答案】15
6．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．
【解析】建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2×2×2＝8(个)．
【答案】8
7．用4种不同的颜色涂入如图1-1-1所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种．
【解析】按A，B，C，D顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．
【答案】72
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
【解析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．
【答案】20
二、解答题
9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈
M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个)．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．
由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．
结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
10．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．
[能力提升]
1.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图1-1-2是一种填法，则不同的填写方法共有___________________________________种．
【解析】假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余
的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．
故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．
【答案】12
2．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对. 【导学号：29440002】
【解析】与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有96
2＝48对．
【答案】48
3．将三种作物种在如图1-1-3所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．
【解析】分别用a，b，c代有3种作物，先安排第一块试验田有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块试验田有b或c两种方法，不防设放入b，第三块试验田也有a或c两种方法．
(1)若第三块田放c：，则第四、五块田分别有2种方法，共2×2种方法．
(2)若第三块田放a：，第四块田放b或c有2种方法．
①若第四块田放c：，第五块田仍有2种方法．
②若第四块田放b：，第五块田只能放c，有1种方法．
综上，共有3×2×(2×2＋3)＝42(种)方法．
【答案】42
4．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．