2015年鞍山市第一次统一考试数学试题参考答案和评分参考
一、选择题：每小题5分，共60分.
（1）D （2）B （3）D
（4）C （5）B （6）D （7）A （8）B （9）B
（10）B （11）C （12）D
二、填空题：每小题5分，共20分. （13）[]6,2 （14）19 （15）
74 （16）-5 三、解答题
（17）．解：（I ）)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-
=x x x x f =)4sin()4cos(2)32cos(π
π
π
++--x x x
)6
2sin(2sin 232cos 212cos )32cos()22sin()32cos(ππ
π
π
-=+-=--=+--=x x x x
x x x 由Z k k x k x ∈+=?+=-,3
2262πππ
ππ
所以，该函数的最小正周期为π，图象的对称轴方程为Z k k x ∈+=
,32ππ……8分 （II ）因为]6
5,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x 所以，该函数的值域为]1,23[-
…………12分 （18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由题意得，BC DC ⊥，CF BC ⊥，
∵四边形CDEF 为正方形. CF CD ⊥，CD BC C = ∴FC ABCD ⊥平面 //DE CF DE ABCD ∴⊥平面∴DE DB ⊥
又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ，CD CB ⊥，1CD =，2AB = ∴2AD =，2BD = 则有222
AD BD AB += ∴BD AD ⊥
由AD DE D = ∴BD ⊥平面ADE ∴BD AE ⊥ …………………6分 （注：也可以先建立直角坐标系，用向量法证明线线垂直）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,,CD CB CF 所在直线相互垂直，故以C 为原点，,,CD CB CF 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得()()()()()()0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,A 2,1,0C F B E D ，
由（Ⅰ）知平面AED 的法向量为(1,1,0),BD =-
∴ (1,1,1),(2,0,0)BE BA =-=， ………………8分 设平面EBA 的法向量为(,,),n x y z =. 则有:000201,10n BE x y z x x y z n BA ??=-+==????????===?=???? x z F
C
D E
令z=1则(0,1,1),n = ………………10分 设二面角B AE D --的大小为θ
()111cos 222n BD n BD θ?-?=
==?? 0,23ππθθ??∈∴=????
………………12分 （19）解：
（Ⅰ）记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ， “甲、乙、丙中恰好有一名考核为优秀”为事件D . …………2分 则16()()()()45
P D P ABC P ABC P ABC =++=. …………6分 （Ⅱ）由题意，得X 的可能取值是3，4，5，6.
4(3)()()()()45
P X P ABC P A P B P C ====
， 16(4)()()()45
P X P ABC P ABC P ABC ==++=， 19(5)()()()45
P X P ABC P ABC P ABC ==++=， 6(6)()()()()45P X P ABC P A P B P C ====， 所以X 的分布列为： X
3 4 5 6 P 445 1645 1945 645 …………10分 ()E X ＝3×445＋4×1645＋5×1945＋6×645＝207 4.645
=. …………12分
（20）、
解：（1）2222
2,,,2a b c a b c b ===+∴=
∴椭圆方程为22
142
x y += ………………2分 （2）011(2,0),(2,0),(2,),(,),C D M y P x y -设
110(,),(2,)OP x y OM y ==则
直线CM ：0
001
(2),442y y y x y x y =+=+即
代入椭圆方程2224,x y += 得2
222
0011(1)40822y x y x y +++-=
2
012
020
112
2
004(8)
(2)8
2(8)
8,88
y x y y y x y y y --+-∴=-∴=++ 200
22002(8)8(,)
88
y y OP y y -∴=-++ 22
2
0002220004(8)843
24888y y y O P O M y y y -+∴?=-+==+++
（定值） …………8分
（3）设存在(,0),Q m MQ DP ⊥满足条件则
2
000220048(2,),(,)88
y y
MQ m y DP y y =--=-++
则由22
00
2200480(2)0,88
y y MQ DP m y y ?=---=++得
从而得m =0
∴存在Q （0，0）满足条件 ………………12分
（21）解（Ⅰ）/2ln (),k x f x x -=令/()0f x =得k
x e =．
当/(0,),()0,()k x e f x f x ∈>为增函数；
当/(,),()0,()k x e f x f x ∈+∞<为减函数，
可知()f x 有极大值为()k k f e e -=． ·················· 2分 （Ⅱ）若]2,1[),,0(21∈?+∞∈?x x ，使得212
211ln x ax x x x ->成立，
只需1
1
ln x x 最大值大于22
2ax x -最小值． ···············
4分 设)0(ln )(>=x x x
x g ,由（Ⅰ）知，1
()g x x e e =在处取最大值． ····
5分
设)21()(2≤≤-=x ax x x h ，
当2-a ）；
当42≤≤a 时，)(x h 最小值为4
2a -（1442
-≤-≤-a ）； 当4>a 时，)(x h 最小值为a 24-（424-<-a ）．7分 则只需a e ->11即可，解得e
a 11->． ················ 8分 （Ⅲ）由题0,021>>x x ，且e x x <+21，则,0,021e x e x <<<< 又21212x x x x ≥+，故212x x e >，又,4e >则214x x >，
212214)(x x x x <∴，e x x x x x x <+≤<∴2121212． ········
10分 又由（Ⅰ）知，函数x
x ln 在),0(e 上是单调增函数， 2
1212121)ln()ln(x x x x x x x x >++∴，)ln()()ln()(21212121x x x x x x x x +>+∴． 则12121212ln()ln()++>x x x x x x x x ，
12121212()()++>x x x x x x x x ． ·
········································································· 12分 （22）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
（Ⅰ）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，设DN 与圆O 相切于点N ，由切割线定理
2DN DT DM =2DN DB DA =，
，得DT DM DB DA =，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=2
r ，则233DB DA r r r ==，23232r DO DC r r =?=， 所以DO DC DT DM = MTCO ∴四点共圆；…………………………………………5分 （Ⅱ）证明：由（1）可知MTCO 四点共圆，
1,222DMC DOT DMB TOD DMB CMB MB CMD MD DB MD MC MC BC
∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∠∴==∴=又是的平分线， ……… 10分 （23）(本小题满分10分)选修4－4坐标系与参数方程． 解：
（I ）将cos sin x y ρθρθ
=??=?代入22(1)(1)2x y -+-=，化简得， 曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+ …………………5分
（II ）因为直线l 的倾斜角为45且经过点(1,0)P -， 所以直线l 的参数方程为21222
x t y t ?=-+????=??，代入22(1)(1)2x y -+-=，
化简得，23230t t -+=，所以1232t t +=，123t t =，
故22||||PA PB +=222121212()2t t t t t t +=+-12=…………………10分
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）原不等式可化为：
T C B O D
A M N
(22)||6||(0)0x x x x x x x x -++≥≠≤≥=解得-3或3或
所以，原不等式的解集为}{|330x x x x ≤-≥=或或 …………………………5分 （Ⅱ）证明：
法一：2()2,f x x x =-||1x a -<
22|()()||22|f x f a x x a a ∴-=--+
|||2|x a x a =-?+-
|2||()22||||22|12||22||3x a x a a x a a a a <+-=-+-≤-+-<++=+
∴ |()()|2||3f x f a a -<+ …………………………………10分 法二：111x a x a x a -<∴-<<+即
22|()()||22||||2||2|||2f x f a x x a a x a x a x a x a -=--+=-?+-<+-≤+- |()()|21223f x f a x a a a a ∴-≤++<+++=+ ……………………10分