浅谈黄金分割和信息学的联系

美，无处不在

——浅谈“黄金分割”和信息学的联系

安徽芜湖一中杨思雨

摘要

本文主要介绍了“黄金分割”与信息学竞赛的联系及其在一些信息学问题中的应用，全文可以分为四个部分。

第一部分引言，主要介绍了“黄金分割”的由来及其和各领域的联系，进而提出探索黄金分割与信息学竞赛的联系。

第二部分中逐渐深入的分析了一个例题，最终揭示了问题本质上与黄金分割数的联系，说明了黄金分割数在一些数学性较强的题目中有着广泛的应用。

第三部分通过分析另一个例题，介绍了一种优选法——“黄金分割法”。

第四部分指出黄金分割与信息学竞赛联系密切，总结全文。

关键字

黄金分割信息学联系

目录

引言 (2)

例题一 (2)

例题二 (6)

总结 (9)

参考文献 (10)

附录 (10)

程序描述 (12)

引言

早在古希腊时期，人们就发现了“黄金分割”。两千多年前，数学家欧多克斯提出了这样的问题：如图1，线段AB 上有一点P ，将线段AB 分割为两段——AP 和PB ，若它们长度之比恰好等于整条线段AB 与较长一段AP 的长度之比，那么P 点应该在线段AB 什么位置呢？

图 1

我们不妨假设线段AP 的长度为1，设线段PB 的长度为x ，那么线段AB 的总长度就是1+x 。由

AP

AB PB

AP =，得到方程1

11

x x

+=

。解出2

15-=

x ，记为φ，它

的近似值为0.618。而相应的，线段AB 的长度就是2

151+=

+

x ，记为Φ。

在这之后，人们围绕这个比值开展了许多研究，意大利著名的艺术家、科学家达·芬奇还把ф命名为“黄金分割数（Golden Section Number ）”。有趣的是，人们发现黄金分割在自然界和其它各个领域中到处可见。例如，人的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖又是肚脐到脚跟的黄金分割点；在有些植物的茎上，相邻叶柄之间的夹角是137o28′,这恰好是把圆周分为1:0.618的两条半径的夹角。

此外，黄金分割也被看作是美的化身，人们认为符合黄金分割比例的事物都非常协调，富有美感。这就使得它在建筑、绘画、雕塑、摄影和音乐等艺术领域也有着很广泛的应用，例如：在古希腊帕忒农神庙的设计中就存在着许多组黄金分割比；而在荷兰画家梵高的作品《岸边的渔船》中，整幅画的宽和高分别被桅杆和地平线分成两部分，这样的分割也正好符合了黄金分割比例。

其实，在信息学也蕴含着这样的奥妙，本文就将通过两个例题，介绍信息学和黄金分割的一些联系。

例题一

取石子游戏

(STONE)

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有

两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

输入输出要求

输入文件由若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行中包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b均不大于 1,000,000,000。

输出文件对应也是若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜利者，则为1，反之，则为0。

样例输入和相应输出

样例一

样例二

问题描述

有两堆石子，游戏开始后，由两个人轮流取石子，每次有两种取法：一是在任意一堆中取走任意数目的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完的人是胜者。现在给出初始的两堆石子的数目a和b（0≤a,b≤109），假设双方都采取最好的策略，判断先手是否有必胜策略。

算法一

问题中，两堆石子的个数a和b决定了最后的胜负。因此，我们用(a,b)作为表示当前局面的“状态”。通过建立博弈树，判断给出的初始状态(a,b)是必胜还是必败。需要注意的是，由于规则中两个石子堆并没有差别，因此状态(a,b)和状态(b,a)实际上是等价的。

来看一个例子，游戏开始时，两堆石子的数目分别是1和2，那么初始状态为(1,2)，自顶向下构造出的博弈树如图2（其中，重复子状态可以只扩展一个）。

图2

接下来，就可以分三种情况，判断各个状态的胜负情况：

(1)如果一个状态没有子状态，根据规则判断胜负；

(2)如果一个状态至少有一个子状态先手败，那么该状态先手胜；

(3)如果一个状态的所有子状态都是先手胜，那么改状态先手败。

图3

这样，我们就可以得出初始状态的胜负情况（如图3）。具体实现时，可以采用动态规划或记忆化搜索解决。这个算法的空最坏情况下查询的次数约为2+[log1/ф108]

间复杂度为O(N2)，时间复杂度为O(N 3)。附程序stone_1.pas。

算法二

显然上面的算法并不能有效的解决本题。我们需要进一步挖掘游戏规则的特点。根据两种取石子的方法，可以发现如果状态(a,b)是先手败，就能得到下面几种状态必为先手胜：

(1)状态(a,i)（其中，i≠b）或状态(i,b)（其中，i≠a）；

(2)状态(a+i,b+i)（其中，i≠0）。

也就是说，每个正整数在所有先手败状态中将出现且只出现一次，同时任何两个必败状态中两堆石子的差值各不相同。根据这个特点，我们可以构造出所有的先手败状态。首先，最小的先手败状态是(0,0)，根据上面的规律，之后的先手败状态中就不再存在某一堆为0个石子的情况，同时也不会出现两堆石子个数相等的情况。因此，第二种先手败的状态中较小的一堆石子个数将是尚未出现的最小的整数1，而这种状态中两堆石子个数的差也是尚未出现的差值中最小的一个。这样，第二种先手必败的状态就是(1,2)。

由此，我们得到了构造所有先手败状态的方法：开始时只有(0,0)一个先手败状态；第i次构造时，先找出在已知的先手败状态中没有出现的最小的整数a，则新产生的先手败状态就是(a,a+i)。这个算法的时间复杂度和空复杂度均为O(N)。附程序stone_2.pas。

算法三

虽然算法二的时空复杂度相对算法一有了巨大的进步，但由于本题数据规模巨大，仍然没有办法彻底解决。而这时，我们的分析也陷入如了僵局。那么就让我们先从小规模的情况开始分析。

表1中列出了一些构造出来的必败状态（表中小数保留四位精度，下同）。可以发现，后面构造出来的状态中，较小一堆的石子数a 与状态序号i 的比值十分接近Φ！这提示我们，也许a 的值与Φ?i 有一定的关系。所以，我们反过来观察Φ?i 与a 之间的关系。

在表2列出的小规模情况中，第i 个必败状态中较小一堆的石子数a 都恰好等于Φ?i 的整数部分。于是我们提出了这样的猜想：

第i 个必败状态是 ([Φ?i ] , [(Φ+1)?i ])1。

可以证明，这个猜想是正确的[1]。因此，我们得出结论，对于状态(a,b)（其

中，a ≤b ），如果a a =???

? ??+????

??

Φ?Φ1且b a a =+???

???Φ+1，则先手必败，否则先手必胜。

这样算法的时空复杂度均为常数级的，问题得到了圆满的解决。附程序

stone_3.pas 。

解题小结

表3将上述三个算法进行了比较。算法一是解决博弈问题的常规方法，同时定义了状态；算法二，深入挖掘了游戏规则，找出了其中的特性；算法三则通过分析一些小规模的数据，找到了常数级的算法。通过这样不断的分析和挖掘，终

表 3

1

本文中[x ]表示x 的整数部分，{x }表示x 的小数部分。

例题二

登山问题

(EXPLORER)

【问题描述】

一些OIer准备去翻越OI Mountain，一条雄伟的山脉。但是开始登山之前，OIers希望先知道这条山脉的最高点的位置。

山脉的横截面都是相同的，而且最高点两侧，山的高度也依次递减。OIer 们可以使用卫星探测系统来测量某一具体位置上山的高度。每次，他们发出指令Explorer(x)，这时卫星就会返回山脉横截面中，坐标为x的位置上，山的海拔高度。

但是由于和卫星通信总是很慢?，OIers希望能够在40次内找出那个最高点。你能做到么？

【如何调用交互库】

测试库提供三个函数：Start，Ask，Answer，它们的作用和用法如下：

Start()必须首先调用，用它来获得实数L的值。

Ask(X)的作用是询问，用它来获得函数f(x)的值。

Answer(Ans)用来告诉测试库你得到的答案。[]L

∈，表示你的程序判断

Ans,0

函数f(x)在Ans处取到最大值。

你的程序不得自行终止且不得访问任何文件。

【对Pascal程序员的提示】

你的程序应当使用下列语句引用测试库：

uses tools_p;

测试库提供的函数/过程原型为：

function Start:double;

function Ask(x:double):double;

procedure Answer(ans:double);

【对C++程序员的提示】

你程序头加上一行：

#include “tools_c.h”

并且在RHIDE中设置Option->Linker为tools_c.o

测试库提供的函数原型为：

double Start();

double Ask(double x);

double Answer(double ans);

【数据说明】

如果问题中区间范围为[0,2]，f(x)=-(x-1)2+10，那么一种可能满分的调用方

这里L最大为104，要求最后返回的答案与最高点横坐标误差不超过10-3。山的高度在[0, 8848.13]这个区间内。

【如何测试你的程序】

在当前目录下建立文件explorer.in，其中包含一个实数L，表示为函数f(x)的定义域为0—L,我们的交互库将会自动生成[]L

(∈的值。

|)

x

x

f,0

运行你的程序

运行结束后，交互库将会把整个对话记录在文件explorer.log中

【如何了解错误信息】

如果对话文件explorer.log中包行一行或多行以Error:开头的信息，则表示你的程序在运行过程中发生了错误。具体的错误信息如下所示。

Error: Input file explorer.in not found

交互库在当前目录下没有发现输入文件explorer.in。

Error: Start must call first!

你的程序没有初始化交互库。

Error: You have called Start twice

你的程序尝试多次调用Start函数。

Error: Parameter is out of range

你的程序调用Ask函数的参数不再[]L,0内。

Error: You have called Ask more than 60 times

你的程序过多的调用了Ask函数（超过60次）。

问题描述

单峰函数[2]f(x)在区间[0,L]上有极大值，要求通过一系列查询，找到这个极大值的横坐标x0。每次查询中，向交互库[3]提供一个查询点t，交互库将返回f(t)。

数据范围：0

算法分析

对于区间内的两个不同的查询点，我们将函数值较大的称为好点，将函数值较小的称为差点。下面，我们将说明，最优点和好点必在差点的同侧。

证明首先需要明确，最优点显然不会与差点重合。

如果最优点与好点重合，那么命题显然成立。

图4

如果最优点并不在好点的位置，那么将存在下面两种情况：

(1)如图4(a)，好点与差点分别位于最优点的两侧，此时命题显然成立；

(2)如图4(b)，好点与差点位于最优点同侧；此时，由于f(x)是单峰函数，离

最优点较近的查询点必然是好点，因而最优点与好点仍在差点同侧。

证毕。

上面的结论，提示我们，可以通过比较目标区间内的两个查询点位置上的函数值，删去一部分目标区间。这样逐步缩小目标范围，不断逼近最优点，直到达到允许的误差范围内为止。

原题中，允许的误差范围是原区间长度的千万分之一，为了保证精度，我们需要将区间范围缩小为原来的1/108。如何尽快的缩小目标范围，就成了我们需要研究的问题。而解决这个问题的关键，就是合理的选择查询点的位置。

下面我们就来分析一下具体应该如何选取查询点的位置。

设当前目标范围为[a,b]，两个查询点为x1与x2，x1

在查询之前，我们无法预先知道两个查询点孰好孰差，也就是说两个查询点成为差点的可能性是相同的。因此我们无法确定究竟会去掉哪一段区间范围。所以，我们在安排查询点时应该使它们关于当前目标范围的中点对称，即应使x1–a = b-x2。这是我们在查询过程中应遵循的第一个原则——对称原则。

“对称原则”是十分常用的，例如我们经常在一些查找中使用的“二分法”，就完全符合这个原则。我们也就很容易想到使用二分法来解决本题：每次在当前目标范围中点附近，选择两个非常接近的查询点，并且根据这两个查询点的函数值，确定最优点的范围，缩小目标区间。这样每次可以舍去接近原区间一半长度的部分，为了保证精度，我们需要进行的查询次数就在2log2108左右，约为54次，达不到题目中的要求。

通过分析，我们可以发现造成查询次数较多的原因是，每次为了去掉区间的一半，都需要重新进行两次查询；而实际上，原来的好点仍然处在当前的区间中，二分法却并没有利用到它的函数值信息。由此，我们想到，每次可以只在当前区间中进行一次查询，并与原来的好点进行比较，得出新的好点和差点，进而继续缩小目标范围。

由于我们每次选择的查询点要满足对称原则，因此，最开始选择的两个查询

点的位置就决定了后面每次可以舍取得区间长度。我们发现，如果像二分法中一样，让x 1与x 2都尽量靠近，这样一次可以舍去整个因素范围[a,b]的将近50%，但是接下来每次只能舍去很小的一部分了，反而不利于较快地逼近最优点。这个情况又提示我们：最好每次舍去的区间都在全区间中占同样的比例（我们不妨称之为"成比例的舍去"原则）。

图 5

按照上述两个原则，如图5所示，设第一次和第二次查询分别在x 1点和x 2点，x 1

a

x x x a

b x b --=--2122

经过变形、化简可得

1

212x x a x a

b a x --=--

这个等式和引言中关于线段分割的方程十分类似，这表明，x 2正处于区间[a,b]的黄金分割点上。也就是说，查询点安排在区间的黄金分割点处较为妥当。因此，我们也将这种逼近最优值的方法称为“黄金分割法”。

效率分析

由于每次查询点都在当前目标区间的黄金分割点处，每次保留下来的区间和原来区间的长度比都是ф:1。因此，最坏情况下查询的次数约为2+[log 1/ф108]，恰好在40次之内，可以圆满的解决问题。附程序explorer.pas 。

解题小结

在这个问题中，我们摆脱了“二分法”思想的束缚，充分利用每次查询的信息，提出了两个选择查询点时需要遵循的原则。而由于黄金分割所特有的神奇的比例性质，恰好符合了“成比例的舍去”原则，为解决本题提供了出路。

总结

上文中两个例题的解决，都与“黄金分割数”有着密切的联系。

例一构造的数对中，蕴藏着黄金分割数的规律。其实信息学竞赛中，常常会出现一些数学性较强的题目。而黄金分割数，恰恰和构造数列、矩阵等密切相关，

也就往往会成为解决这类题目的钥匙。

例二中的解决中，黄金分割所特有的比例性质使得它成为解决问题的关键。而在一些类似的查询问题中，黄金分割都有着广泛的应用，理论上可以证明，上面介绍的黄金分割法，查询的次数是各种优选法中最优的2。

当然，黄金分割与信息学竞赛的联系远不止这些，也还有很多奥妙需要我们去探索和发现。法国雕塑家罗丹曾说过：“美，是无处不在的，对于我们的眼睛，缺少的不是美，而是发现。”其实，只要勤于思考、勇于探索，每个人都可以拥有一双善于发现美的慧眼。

参考文献

[1] 姜璐主编，《中国少年儿童百科全书——科学·技术》，第2版，浙江教育出版社，1994.12.

[2] <美>Tobias Dantzig 著，苏仲湘译，《数：科学的语言》，第1版，上海教育出版社，2000.12

[3] 《数学手册》编写组，《数学手册》，第1版，人民教育出版社，1979.05 [4] 张维勇主编，《青少年信息学奥林匹克竞赛试题与解析（安徽省1994～2004年）》，第1版，合肥工业大学出版社，2004.08 [5] 骆骥，《浅析解“对策问题”的两种思路——从〈取石子〉问题谈起》，2002年国家集训队论文，2002.02 [6] 华罗庚，《优选学》，第1版，科学出版社，1981.04

附录

[1] 例题一，算法三，猜想的证明。

定义1.1 根据算法二构造列数为2的矩阵A ，使得必败状态依次为(A 1,1,A 1,2)，(A 2,1,A 2,2)，(A 3,1,A 3,2),……。

定义1.2 根据猜想构造列数为2的矩阵B ，其中，B i,1=[Φ?i ]，B i,2=[(Φ+1)?i ]。

引理1.1(Betty 定理) 如果a 和b 是两个正无理数，且满足

111=+b a

且P = {x | x = [at ], t ∈Z +}，Q = {x | x = [bt ], t ∈Z +}，则P 和Q 是正整数集Z +的一个划分，即

?,=?=?+

Q P Z Q P

证明 对于任意正整数n ，设P 集合中小于n 的元素的个数为x ，同样Q 集合中小于n 的个数为y 。

那么显然有

b

n y a n x <

<

,

2

具体证明参见“参考文献[6]”。

由于a , b 都是无理数，因此b

n

a n ,

都不可能是整数，所以有

][],[b

n y a n x ==

那么考察x + y

x + y = ][][b

n

a

n

+ < }{][}{][b

n

b

n

a

n

a

n

+++ =

b

n a

n +

= n

而

n – (x + y ) = }{}{b n

a

n

+ < 2

综上，有

n – 2 < x + y < n ? x + y = n – 1

那么可以知道，对于任意n ，在P 和Q 集合中小于n 的元素共有(n - 1)个；而小于(n + 1)的元素共有n 个。

所以，P , Q 两个集合中等于n 的元素有且仅有1个！ 因此Z +中的每一个元素不是在P 集合中，就是在Q 集合中，不可能既不在P 中也不在Q 中，也不可能既在P 中又在Q 中。所以说

?,=?=?+

Q P Z Q P

推论1.1 如果a 和b 是两个正无理数，且满足：

111=+b a

那么任意正整数x ，可以且只可以表示为[at ]和[bt ]中的一种形式。（t ∈Z +）

推论1.2 任意正整数x 都在矩阵B 中出现且只出现一次。 证明 由于有等式：

11

11=+Φ+

Φ

根据推论1.1和定义1.2，推论1.2成立。

引理1.2 对于任意的i >1，都有B i ,1是除矩阵B 的前i -1行中数字外最小的正整数。

证明 根据定义1.2，比B i ,1小的整数都应出现在矩阵的前i-1行中。

在矩阵第一列中，所有数字都可以表示成为[Φ?t ]的形式。其中，比[Φ?i ]小的数字个数为[]????

??Φ?Φi 。同理，矩阵B 的第二列中，比[Φ?i ]小的数共有[]?

?

?

???+Φ?Φ1i 个。 因此，在整个矩阵的前i -1行中出现的比[Φ?i ]小的整数个数为

[][][][][]i i i i i ?Φ=+Φ?Φ+Φ?Φ

????+Φ?Φ+??????Φ?Φ11 同时，有

[][][][][][][]2111-?Φ>?

??

???+Φ?Φ-??????Φ?Φ-+Φ?Φ+Φ?Φ=??????+Φ?Φ+??????Φ?Φi i i i i i i

因此，在整个矩阵的前i-1行中出现的比[Φ?i]小的整数个数为[Φ?i]-1，综合推论1.2可以得出，B i,1是除矩阵B中前i-1行中的数以外最小的正整数。

定理1矩阵A和矩阵B等价，即对任意的i均有A i,1=B i,1且A i,2=B i,2。

对行数i进行归纳：当i=1时，显然有

A1,1=B1,1，A1,2=B1,2。

假设i

A k,1=

B k,1

根据算法二的构造方法，有A k,2=A k,1+k。而根据定义1.2有

B k,2=[(Φ+1)?k]= [Φ?k]+k=B k,1k

因此，可以得出

A k,2=

B k,2

综上，定理成立，算法三中关于必败状态的猜想也成立。

[2] 例题二，单峰函数的定义

根据题目，这里只给出存在极大值的单峰函数f(x)定义：

设x0是区间[a,b]上的函数最大点，则有

(1)对于任意的x1

(2)对于任意的x0f(x1)>f(x2)。

[3] 例题二，交互库

C++程序员使用的交互库：tools_c.h

Pascal程序员使用的交互库：tools_p.ppu

特别感谢，安徽省芜湖市第一中学的周冬同学为本题编写交互库。

程序描述

[1] Stone_1.pas

Program Stone_Algorithm1;

Const

inf='stone.in'; //输入文件

outf='stone.out'; //输出文件

maxn=100;

Var

a,b:longint; //石子个数

ans:array[0..maxn,0..maxn]of longint; //各个状态的胜负情况

function dfs(a,b:longint):longint; //深度搜索

var i,t:longint;

begin

if ans[a,b]<>0 then begin //状态(a,b)已经计算过 ans[b,a]:=ans[a,b];

dfs:=ans[a,b]; exit;

end;

if ans[b,a]<>0 then begin //状态(b,a)已经计算过 ans[a,b]:=ans[b,a];

dfs:=ans[a,b]; exit;

end;

for i:=1 to a do //在第一堆中取i个石子 begin

t:=dfs(a-i,b);

if t=1 then begin //有一个子状态先手败 ans[a,b]:=2; ans[b,a]:=2; //先手胜

dfs:=2;

exit;

end;

end;

for i:=1 to b do //在第二堆中取i个石子 begin

t:=dfs(a,b-i);

if t=1 then begin //有一个子状态先手败 ans[a,b]:=2; ans[b,a]:=2; //先手胜

dfs:=2;

exit;

end;

end;

for i:=1 to a do //在两堆石子中同时取走i个 if i<=b then begin

t:=dfs(a-i,b-i);

if t=1 then begin //有一个子状态先手败 ans[a,b]:=2; ans[b,a]:=2; //先手胜

dfs:=2;

exit;

end;

end

else break;

dfs:=1; //所有子状态都先手胜，该状态先手败end;

Begin

assign(input,inf); reset(input);

assign(output,outf); rewrite(output);

fillchar(ans,sizeof(ans),0); //初始化

ans[0,0]:=1; //状态(0,0)，先手败

while not(seekeof) do //多组数据

begin

read(a,b); //读入a,b

ans[a,b]:=dfs(a,b); //进行搜索

writeln(ans[a,b]-1); //输出结果

end;

close(input); close(output);

End.

[2] Stone_2.pas

Program Stone_Algorithm2;

Const

inf='stone.in'; //输入文件

outf='stone.out'; //输出文件

maxn=1000000;

Var

a,b:longint; //石子个数

f:array[0..maxn]of boolean; //各整数是否出现

procedure swap; //交换a和b

var t:longint;

begin

t:=a; a:=b; b:=t;

end;

procedure work; //计算过程

var i,t:longint;

begin

fillchar(f,sizeof(f),0); //初始化

t:=0; //构造出的比败状态的个数 for i:=0 to a-1 do

if not f[i] then begin //整数i尚未出现 f[i+t]:=true;

inc(t);

end;

if not(f[a]) and (a+t=b) //判断

then writeln(0) else writeln(1);

end;

Begin

assign(input,inf); reset(input);

assign(output,outf); rewrite(output);

while not(seekeof) do //多组数据 begin

read(a,b); //读入a和b

if a>b then swap; // a≤b

work; //计算过程 end;

close(input); close(output);

End.

[3] Stone_3.pas

Program Stone_Algorithm3;

Const

inf='stone.in'; //输入文件

outf='stone.out'; //输出文件

phi=(sqrt(5)+1)/2; //黄金分割数

Var

a,b:longint; //石子个数

procedure swap; //交换a和b var t:longint;

begin

t:=a; a:=b; b:=t;

end;

procedure main;

var t:longint;

begin

assign(input,inf); reset(input);

assign(output,outf); rewrite(output);

while not(seekeof) do //多组数据 begin

read(a,b); //读入a和b

if a>b then swap; //a≤b

if a+b=0 then begin //a=b=0，先手败 writeln(0); continue;

end;

t:=trunc(a/phi+1);

if (a=trunc(t*phi)) and (b=a+t) //判断胜负情况

then writeln(0) else writeln(1);

end;

close(input); close(output);

end;

Begin

main;

End.

[4] Explorer.pas

Uses tools_p;

Const

zero=1e-4; //误差

phi=(sqrt(5)-1)/2; //黄金分割数

Var

L,h,t:extended; //区间长度L，当前目标区间[h,t]

procedure work; //计算过程

var lastf,lastx,x,f:extended;

begin

lastx:=t*phi; //第一个查询点

lastf:=ask(lastx); //查询函数值

while abs(h-t)>zero do //直到在误差范围内为止 begin

x:=h+t-lastx; //根据对称原则，找到查询点

f:=ask(x); //查询函数值

if f>lastf then begin //判别好点差点

if x>lastx then h:=lastx //缩小目标范围

else t:=lastx;

lastx:=x; lastf:=f; //更改区间内好点

end

else begin

if x>lastx then t:=x //缩小目标范围

else h:=x;

end;

end;

end;

Begin //主过程

L:=Start; //初始化

h:=0; t:=L; //开始目标区间位[0,L]

work; //计算过程

Answer((h+t)/2); //返回最终结果

End.

黄金分割教学设计

黄金分割教学设计 盖州市 一、教学任务分析 学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是体现数学的文化价值，体现黄金分割在数学与建筑学、美容医学、艺术等学科的纽带。让学生体会到数学不是孤立的，它是文化的一部分，它也促进了文化的发展，而0.168更是一个神奇的数字。教学中，通过国旗上的图案五角星引入黄金分割，使学生真正体会到其中的文化价值，为此，本节课的教学目标是： 1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段 的黄金分割点； 2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。 3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与 人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。 教学重点：了解黄金分割的意义并能简单运用 教学难点：找出黄金分割点 二、学情分析 学生在活动经验上经过七、八年的学习，学生初步养成自主探究的意识，有了一定的说理和作图能力；通过比和成比例的学习之后有了一定的基础，增强了学生学习数学的信心。通过比例线段的学习发展了的逻辑推理能力。 学生在知识技能上学习了基本作图之后，懂得了作图的方法。并且掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会比和比例尺的计算，坚实了基础。 三、教学过程 （一）情境导入 活动内容： 展示课件，提出问题： 问题⒈从国旗中找出共同的图案

问题⒉ 度量点C 到A 、B 的距离，AC BC AB AC 与相等吗？ 教师操作课件，提出问题与共同学交流、观察 回答问题⒈ 五角星 回答问题⒉ 相等 展示课件，导入新知 在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比。 其中618.01:215:≈-= AC AB :1 即618.0≈AB AC 教师讲解，学生观察、思考、交流，并能自己画条线段找到它的黄金比例。 （二）图片欣赏 活动内容： 第一幅：蝴蝶的身长和双翅展开后的长度比值大约是0.168。 第二幅：维纳斯女神上半身和下半身的比值大约是0.168。 第三幅：文明古国埃及的金字塔，它的每面的边长与高之比接近于0.618。 第四幅：古希腊的一些神庙在建筑时的高和宽也是按黄金比例来建造的。 （三）操作感知 活动内容： 展示课件：做一做 如果已知线段AB ，按照如下方法画图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使AB BD 2 1= （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB （3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 为线段AB 的黄金分割点 根据上述作图回答下列问题 B C

浅谈中医养生护好五大黄金分割

浅谈中医养生护好五大黄金分割 ，黄金分割这一比例被誉为最具审美意义的数字，体现在人体上，黄金分割点同样很多，如人体身高的黄金分割点在肚脐，头顶和肚脐间的黄金分割点在咽喉。人体穴位也有一些位于黄金分割的位置上，它们对延缓衰老、延年益寿有着重要作用。以下5个穴位就是人体最重要的“黄金穴”。 也就是常说的下丹田，位于脚底到头顶的黄金分割点，具体在肚脐正下方寸。气海是针灸保健的要穴，自古就有“气海一穴暖全身”的说法，有温养益气、强壮全身的作用，可双手搓热按摩此穴。阳气不足、虚证患者，则可用艾灸气海，效果更佳。 位于头顶至后脑的黄金分割点。百会意为“百脉于此交会”，百脉之会，百病所主。百会穴很好找，在头顶正中线与两耳尖连线的交点处。可用手掌按摩头顶中央的百会穴，每次按顺时针方向和逆时针方向各按摩50圈，每日2—3次，对心悸、头晕、失眠、健忘等均有效果。 夏天到了，很多女孩子烦恼着体味的问题，每当天气一热，运动量一增多的时候，很多人都会感觉到自己身上有一股不怎么受欢迎的汗酸味、汗臭味。这个时候，中医生告诉你，不妨通过各种日常调节方法，把汗味变成花香味吧。 香妃在人们心中是个传奇，但据后人分析，她那一身香气是因喜食杏仁而来。无独有偶，从唐朝开始，很多后宫嫔

妃就开始用食疗的方法让自己的身体散发花香。研究证明，当食物结构偏酸性时，则会影响皮脂及体味的分泌与散发，导致肌肤粗糙，体味失香。因此，人体的蕴香代谢功能与饮食的性味成分和营养结构有着密切的关系。下面就来看看从古代流传下来的香体食物都有哪些吧！ 研究证明，镁入肺经，肺主皮毛，故皮肤和毛发与肺有关，这是镁元素美容的中医理论依据。当你的饮食富含镁元素时，就能精神饱满，肌肤白嫩，体味呈杏香型。 若是摄取了过量的镁，体味将转化成无花果的香气。 据《神家本草经》记载，桃花入药为上品，它能“令人好颜色”。据现代药理研究，从桃花中提取的生物甙和植物激素，有抑制血凝、促进末梢血液循环的特殊作用，而且桃花富含铁。 用桃花花瓣泡茶或研末制成蜜丸，常食可使人体散发春菊香气。 在脚掌的黄金分割点上。它位于足前部凹陷处第2、3趾趾缝纹头端与足跟连线的前1/3处，是肾经的首穴。涌泉穴意为肾经之气犹如源泉之水，源于足下，涌出灌溉周身各处，尤其对神经衰弱、精力减退、失眠乏力效果显著。按摩涌泉时，注意稍稍用力推搓，以局部出现微热感为宜，也可用艾灸的方法。 在手掌上的黄金分割点上。握拳，中指尖所指处即是劳

(1502)黄金分割专项练习30题

黄金分割专项练习 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点． 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说． 12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值． 14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长． 15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？

黄金分割教案设计

教案设计 北师大版数学八年级下册 学校：广东省佛山市顺德区勒流新球初级中学姓名：曾华丽

教案设计

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设计中的黄金分割

艺术设计美学概论 YI SHU SHE JI MEI XUE GAI LUN 五、设计中的黄金分割 黄金分割的金苹果 -—浅谈apple设计中的黄金分割 掀开面纱： 0.618或者1.618，这个数字是否觉得似曾相识。这其实是一个数学比例关系，即把一条线段分为两部分，此时短段与长段之比恰恰等于长段与整条线之比，其数值比为1:1.618或0.618:1。 这就是黄金分割律，由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。黄金分割在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比关系。 植物叶子中黄金分割

艺术设计美学概论 YI SHU SHE JI MEI XUE GAI LUN 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工。 动植物的这些数学奇迹并不是偶然的巧合，而是在亿万年的长期进化过程中选择的适应自身生长的最佳方案。 走的更近： 黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！这里我要再向你推荐一个美学利器——黄金矩形(Golden Rectangle)。它的的长宽之比为黄金分割率0.618，并且可以不断以这种比例分割下去。 黄金矩形： 黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品以及建筑中都能找到它。埃及的金字塔，希腊雅典的巴特农神庙，印度的泰姬陵，这些伟大杰作都有黄金分割的影子。 泰姬陵的多出布局都能看 出黄金分割 达?芬奇的《蒙娜丽莎》中 蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形 （介个网上很多图此处不多说 了，呵呵），《最后的晚餐》同样 也应用了该比例布局。

黄金分割线的论文

黄金分割线的实际应用 福州教育学院附属中学 高一七班 谢文，林涵，杨莺 据说在古希腊，有一天毕达哥斯拉走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比列被毕达哥斯拉用数理的方式表达出来。被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法“。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥斯拉定律，可见这很早既存在。只是不知这个谜底。把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。黄金分割的

黄金分割的应用十分广泛,不仅仅体现在艺术中,还体现在古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，黄金分割的近似值0.618在生活中可以说是无处不在. 在人体结构上,脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均近似于0.618。而且，越是接近于这个值，整个形体就越匀称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃－24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。再如，营养学中强调，一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还是"生命在于静养"？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道. 动静：从辩证观点看，动和静是一个0.618

黄金分割的例子

1.所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。 2.甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。 3.在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处； 4.二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。 5.最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。 7.内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上上的“星”都是五角形的星。 8.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子， 9.达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形。 10.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形， 11.《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局 12.法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8∶5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。 13.除了国外著名的巴黎圣母院、胡夫金字塔、雅典帕德嫩神庙、纽约联合国大楼、印度泰姬陵具有黄金分割外，在我国境内远近闻名的

故宫同样具有，最突出表现在故宫“门”的设计上。 14.位于上海黄浦江畔的东方明珠塔，设计师有意将上球体选在295 米之间的位置，这个位置恰好在塔身 5 比8 的地方，这0.618 的比值，使塔身显得非常协调、美观。 15.当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。

有关黄金分割比的试题

有关“黄金分割比”的试题 1、所有的黄金矩形都是________________________________． 2、宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形，若一黄金矩形的长为2cm ，则其宽为________________cm ． 3、黄金比的近似值为_________________，准确值为______________________. 4、如图所示，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k ，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB=1，△ABC 为第一个黄金三角形，△BCD 为第二个黄金三角形，△CDE 为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（ ） A ．k 2006 B ．k 2007 C ． k k +22006 D ．k 2006（2+k ） 5、（2005?嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=____________________． 6、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个 内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（ ） A ．25 B ．10 C ．15 D ．20 7、（2004?安徽）如图，扇子的圆心角为x °，余下的扇形的圆心角为y °，x 与y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（ ） A ．216 B ．135 C ．120 D ．108 8、（2009?枣庄）宽与长的比是 2 15-的矩形叫黄金矩形．心理测试表明： 黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD ； 第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ； 第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．

黄金分割教案

第四章相似图形 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在学习了基本作图之后，懂得了作图的方法。又在学习本章第一节后，掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会进行比例尺的计算，坚实了基础。 学生的活动经验基础：学生的作图学习，强化了学生动手的能力；比的计算、比例尺的计算，感受了数学在现实生活中的作用，增强了学生学习数学的信心。通过变换的鱼来推导成比例线段、比例性质推导、变换发展了的逻辑推理能力。本章第一节例题的讲解，培养了学生灵活运用的能力。 二、教学任务分析 学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是体现数学的文化价值，0.618的意义，体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。教学中，通过生活中的例子、国旗上的图案五角星引入黄金分割，使学生真正体会到其中的文化价值，同时，在建筑、乐器、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段、黄金分割等相关内容。为此，本节课的教学目标是： 1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段 的黄金分割点。 2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。 3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与 人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。 教学重点：了解黄金分割的意义并能运用 教学难点：找出黄金分割点和黄金矩形 三、教学过程分析 本节课设计了七个环节：第一个环节：情境引入；第二个环节：活动探究；第三个环节：操作感知；第四个环节：联系实际，丰富想象；第五个环节：巩固练习；第六个环节：课堂小结；第七个环节：布置作业。第八个环节：图片欣赏。 第一环节情境导入 活动内容： 展示课件，学生观察图片，提出问题：

说九宫格前先说著名的黄金分割

说九宫格前先说著名的黄金分割 自从古希腊人发现黄金分割以来这种比例就被认为是美学的最佳比例而得到广泛的应用。 其实黄金分割是造型艺术中的一种分割法则。亦称黄金分割率，简称黄金率。它的分割方法为,将某直线段分为两部分,使一部分的平方等于另一部分与全体之积，或使一部分对全体之比等于另一部分对这一部分之比。即：在直线段AB上以点C分割,使(AC)2＝CB×AB,或使AC∶AB＝CB∶AC。 抽象主义摄影大师兰克运用的黄金分割 实践证明,它的比值约为1.618∶1或1∶0.618，被称为黄金比。黄金比最早是由古代希腊人发现的，直到19世纪被欧洲人认为是最美、最谐调的比例。黄金比广泛用于造型艺术中，具有美学价值，尤其在工艺美术和工业设计的长和宽的比例(如书籍开本)设计中容易引起美感，故称为黄金分割。20世纪中，法国建筑师Le科布西埃发现黄金比具有数列的性质。他将其与人体尺寸相结合，提出黄金基准尺方案，并视之为现代建筑美的尺度。法国还产生了冠名为黄金分割画派的立体主义画家集团，专注于形体的比例。

在实际运用中，黄金比多只采用近似值。最简单的方法是按照数列2、3、5、8、13、21……得出2:3、3∶5、5∶8、8∶13、13∶21等比值作为近似值。这种分割方法亦用于优选法。 再说说九宫格，九宫格的源头可是我们中国人发明的一种构图模式，但巧的是它与黄金分割有着惊人的理论联系！大家们把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，我们惊奇的发现这就是我国古人所说的九宫格！

看，整个主体分布在2和黄金分割线上 人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，在国外的摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”。顾名思义，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球” 下面是摘自另一篇文章<设计和谐画面浅谈黄金分割与摄影构图>关于黄金分割的算法 原理1 如图A：“黄金分割”公式可以从一个正方形来推导，将正方形底边分成二等分，取中点X，以X为圆心，线段XY为半径作圆，其与底边直线的交点为Z点，这样将正方形延伸为一个比率为5:8的矩形，（Y’点即为“黄金分割点”），A:C = B:A =5:8。幸运的是，35MM胶片幅面的比率正好非常接近这种5:8的比率（24:36 = 5:7.5）

黄金分割论文

黄金分割 希腊的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。古希腊人喜欢抽象研究。抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。代数和平面几何为两者的典型代表。 曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G,G=0.618033988≈0.618。而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。 偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮

的结果。欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。 自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。这就是“因人而彰”。黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形. 黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似

黄金分割比例

解读构成的自然审美法则—电视背景墙的比例分割 在装饰设计中，直觉感受的设计师更多的是深思熟虑应用知识经验的结果，感性的审美是有理性审美法则做基础的，通过分析自然的审美规律就能获得这个答案，也就是说，设计过程可以遵循某种几何构成和规划方法。以往的艺术设计应用提到黄金分割的关系，但只是作为神奇的自然几何规律引证，常常忽略彼此相关联的理性内容，艺术设计作品常被作为直接灵感的表现。没能真正将自然几何学引入教学和设计，我个人认为是一种遗憾，应当有理念的将设计、几何学、生物学中某种相关的规律注入到设计中，融入自然设计审美法则，使其跳出传统“天赋”、“灵性”等无法传达的设计困惑，获得设计过程中更美好的境界。一．最美构成比例视觉最美构成比例矩形的长宽比是0.618，这一比例称为黄金分割律。此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。如果物体、图形的各部分的关系都符合这种分割律，它就具有严格的比例性，这个比例符合人的视觉审美习惯,使人感到悦目。因此，黄金分割率就是视觉最美构成比例。从数学语言来说，将一条线段分为两部分，整条线段AB与较长部分AC AC与较短部分BC的比值相同，即AB:AC=AC:CB，比例数值为1:61803:1；按百分比来表示的比例是38.2%：61.8%，近似比例为4:6。电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。鉴于审美要求，如果需要用作电视背景墙的墙面不符合黄金分割率的审美比例，差距较大，当然需要合理的分割，使其接近这个审美构成比例。* 黄金分割率的矩形做法从正方形开始；从一边的中点向对角画一条斜线，以这条斜线为半径做一段圆弧，与正方形的延长线相交于C点。这个小矩形和正方形共同构成了黄金矩形；这个黄金矩形可以按上述规则被进一步分割，产生较小比例的正方形和黄金矩形，这个分割过程可以无限继续下去，产生更小的等比例的正方形和黄金矩形。用黄金分割矩形的分割圆弧线可以构造一个黄金分割的螺旋线，方法是用被分割二产生的正方形边长作为圆的半径，对每一个正方形做出圆弧，并连接这些圆弧，就形成了黄金分割螺旋线。黄金分割矩形中的大小正方形之间的面积也符合黄金分割比例. 二．各种根号矩形根号矩形在设计几何学中也是自然审美法则的主要内容，它的奇妙在于能无限分割更小的等比根号矩形，构成根号矩形的比例也大量存在于大自然的造物之中，形成和谐的分割关系，同黄金分割矩形是一样的，在电视背景墙的设计分割中常使用、、和矩形。（一）矩形矩形具有特殊的性质，也能被无限分割为更小的对比矩形，这意味着当一个矩形被二等分时，得到2个较小的矩形，当被四等分时，得到4个较小的矩形，矩形的比例近似于黄金分割率，的比例是1:1.414，黄金分割率的比例是1:1.618.，近似表现为3:7。* 分割方法：从正方形内画一条对角线，以这条对角线为半径做一段圆弧，与正方形的延长线相交于C点。将这个新的图形封闭为矩形，这个矩形就是矩形。这个矩形被进一步分割为两个矩形的矩形，将长边中点连接成中线就得到了两个更小的矩形；这个过程可以无限重复，可以产生无限多的矩形。（二）矩形正如矩形能被分割成相似的矩形一样，、.、矩形也可以被这样分割，这些矩形既能被横向分割也能被纵向分割，还能被分割为3个垂直的矩形，依次类推，3个垂直的矩形能被分割为3个水平的矩形等等，这些分割方法对电视背景墙的分割处理有很大的借鉴作用，矩形的比例近似于黄金分割率，的比例是1:1.732，近似表现为4:6。* 分割方法从矩形内画一条对角线，以这条对角线为半径做一段圆

黄金分割__习题精选

黄金分割练习题 一、请你填一填 （1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）. （3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y x D.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题: ①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC = 5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ） A 、P B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2； C 、AB AP PB ?=2； D 、222AB BP AP =+

黄金分割教学设计

2014年河南省中学数学优质课评选 （初中组） 课题学习：《黄金分割》 代慧枢 开封市第三十三中学 2014年4月

课题学习：《黄金分割》教学设计 一、教学目标 （1）知识与技能 了解黄金分割,通过折叠黄金矩形活动，加深对黄金分割的认识. （2）过程与方法 通过观察、推理、交流、反思等数学活动过程培养学生发现、分析、解决问题的能力，积累数学活动经验. （3）情感、态度、价值观 通过学生主动参与、积极思考、合作交流体会黄金分割的文化价值，增强学生的数学应用意识。 二、重点难点 重点：了解黄金分割，体会黄金分割的文化价值，增强学生的数学应用意识。 难点：折叠黄金矩形，从数学角度解答有关黄金分割知识。 三、教法与学法 启发诱导，问题驱动 自主探究，合作交流 四、教学过程分析 (一) 创设情景发现美 活动一 创设情景发现美 上课伊始，出示三组图片，寻找美。 （1）以下2张图片，哪张构图最美？ （2）芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？

（3）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？ 活动二 动手实践探索美 问题1：比例符合多少才最美呢? 问题2：测量并填写下表： 问题3：观察表格：这些比值有什么特点？先独立研究，再与小组内的同学分享你的收获。 问题4：通过讲故事介绍黄金分割定义。 黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC ＞BC)，如果 , 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. ≈0.618 活动三 学以致用应用美： 应用美----数学篇 问题1：认识黄金矩形。 找一找：下列矩形中，那个看起来最舒服？ B C A B C A B C A AC BC AB AC ===AC BC AB AC 2 15-

从黄金分割比到设计几何学

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/c0168060.html, 从黄金分割比到设计几何学 作者：吴锐刘倩 来源：《大众科学·上旬》2019年第02期 摘要：很多优秀的概念性创意在成品转化的过程中遭到破坏，很大程度上由于设计师不 了解视觉上的几何构图原理。我们从视觉角度解释几何构图原理，选择大量的专业海报、产品及建筑进行几何构图的视觉分析。对于那些设计界的经典之作，它的所产生的时代和它们的形式各不相同，但他们在几何学上却都有巧妙的想法和构建。我们要揭示构成生活的根本要素之间的视觉关系，借此洞察设计过程的内涵，并通过视觉结构阐释设计作品中的视觉关联。 关键词：设计几何学；黄金分割 在设计中需要有几何关系，需要理性。从人体和自然的比例再到建筑比例，从黄金分割、根号矩形、比例的几何分析，再到最后对众多艺术作品进行几何分析。让我们揭开设计与美的神秘关系。 很早之前在雕塑、绘画和建筑等人工作品中都能找到黄金分割，而在自然界如人体各部分的比例以及许多植物、动物和昆虫的生长结构都能找到黄金分割。而在前人的调查中人们最喜爱的矩形为黄金比例分割矩形。而在自然界中如珍珠鹦鹉螺旋形生长和长鼻螺生长模式都蕴含着黄金分割比例，被誉为完美的生长模式原理。我们将多律弗路斯《持长矛者》和阿尔忒弥山《山神波塞冬》进行对比分析，将他们放入相同的黄金分割矩形中进行比较，发现他们身体各部分比例几乎相同。在这比例系统中，人体被腹股沟划分为两部分。而在古典绘画中的人体比例，作者运用同样的方法将丢勒和达芬奇的人体比例绘图重合在一起做进一步对比，他们的人体比例几乎一样，只有面部比例不同，而这绘图原理都运用维特鲁威的理论。而在面部绘画过程中，达芬奇绘制的面部比例参考了维特鲁威的比例，而丢勒采用了不同的面部比例。而人体和其它生命体，无论是面部还是形体，都很难达到完美的黄金分割比例。而使用黄金分割比例的艺术家，是在努力将人体用理想的方式呈现出来。我们分析建筑比例的时候，根据黄金分割的恰当概念图对帕特农神庙进行建筑的黄金分割比例分析。神庙的外立面是由一组可以进行进一步黄金分割矩形构成的。我们用同样的方法对巴黎圣母院进行分析，并在黄金分割矩形基础上做比例和辅助线分析。 黄金分割矩形的特殊之处在于当它被分解后，竖向矩形部分能再被分解成一个较小的黄金分割矩形和一个正方形。根据这一特殊之处，又可以在黄金分割矩形的基础上绘制黄金分割螺旋线。黄金分割比例是1：1.618与“斐波那契数列”的数字非常接近。绘制黄金分割矩形的三角形后，又可以用同样的方法绘制互相呈黄金分割比例的圆形和正方形。黄金分割三角形和椭圆形的绘制方法，五角星的黄金分割比例，用黄金分割三角形绘制黄金分割螺旋线，绘制黄金分割动态矩形，这些都不是能用文字表述清楚的，而我所要做的就是学会这些绘制方法，并把它运用到自己以后的创造中，让自己的作品蕴含着理性之美。要分析一些设计作品，最佳的着手方法莫过于从勒.柯布西耶的论述开始。这种方法可以阐明几何学、结构、比例等原理，让我

(1502)黄金分割专项练习30题(有答案)

黄金分割专项练习30题（有答案） 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长．

4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比． （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比． 5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长； （2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB． 6．如图，线段AB的长度为1． （1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度； （选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度； （选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度； 上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l） 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．

初中数学九年级上册黄金分割(教案)教学设计

第4课时 黄金分割 教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算 AB AC 、AC BC ,它们的值相等吗？

［生］相等. ［师］所以AC BC AB AC =. 1.黄金分割的定义 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中AB AC ≈0.618. 2. 计算黄金比. 解：由AC AB =BC AC ，得∴AC 2=AB ·BC. 设AB =1,AC =x ,则BC =1- x. ∴x 2=1×（1－x ） ∴x 2+ x －1=0 解这个方程，得 x 1=-1+√52或x 2=-1-√52 （不合题意，舍去）， 所以，黄金比AC AB =√5-12 ≈0.618。 3.作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =2 1AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？ 若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足

浅谈黄金分割比在亚历山大麦昆服装作品中的应用

亚历山大 麦昆（以下简称为“麦昆”）这位著名的英国服装设计“鬼才”，给世人印象最深的应该是他天马行空、超凡脱俗的创意，以及作品中笼罩着的中世纪阴暗邪魅的死亡美学和浪漫华丽的宫廷气质。他的作品不仅有独到的创意，巧夺天工、精美绝伦的技艺更是令人叹为观止。麦昆娴熟地运用形式美的法则，尤其在服装的比例上，几乎每一件作品都严格遵循黄金分割比例。文章从麦昆的设计作品中挑选几件代表性作品进行分析。 一、黄金分割比在服装款式设计中的重要作用 服装设计中的比例设计源于人体比例结构，因此，设计师在设计服装时要遵循人体的比例。古罗马建筑师维特努威是最早研究人体比例的人，他指出具有完美比例的人体的身高和张开双臂的长度相等。腹股沟把人体分为上下相等的两部分，肚脐则位于人体的黄金分割点上。完美的男性，完全符合黄金分割比， 头至肚脐与肚脐至脚的比例为4:6，上臂与下臂的比例以及大腿与 小腿的比例是4:6，4:6这个比值近似于黄金分割比1:1.618。然而，人体不可能都能达到完美的黄金分割比例，因此，设计师在设计服装时要运用服装的比例弥补人体的比例缺陷。同时，服装设计中各部分之间的比例、局部与整体的比例是否符合黄金比，也决定了一个款式是否具有美感。 二、黄金分割的起源和 概念 历史上对于黄金分割的研究 成果非常多，如黄金分割比、黄金分割矩形、黄金分割三角形和黄金分割螺线等，文章只对其中几个概念作一个简要的概述。 1.黄金分割的起源 目前，世人普遍认为黄金分割起源于公元前6世纪古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯对正五边形和正十边形的研究。而后在公元前4世纪，古希腊人欧几里得吸收了毕达哥拉斯等人的理论著《几何原理》，书中提出的“中外比”（又称“中末比”）就是我们现在所说的“黄金分割比”。文艺复兴时期的艺术家特别推崇“黄金分割比”，把艺术与数学结合得出神入化。如：达芬奇的巨作《蒙娜丽莎的微笑》《最后的晚餐》，画面的构图和人物造型精准运用了黄金分割；服装设计大师迪奥、伊芙圣罗兰等的服装设计作品中，黄金分割比无处不在。黄金分割比被誉为世界上最 浅谈黄金分割比在亚历山大 麦昆服装作品中的应用 □尹丽华 摘 要：该文分析亚历山大 麦昆服装作品中具有代表性的上装、礼服等款式的比例设计，得出黄金分割比是其服装作品比例设 计的基本法则这一结论。黄金比值为亚历山大 麦昆服装作品的造型设计和各部分比例分配提供了科学的依据，其设计的服装款式基本严格遵守这一法则。 关键词：黄金分割服装设计 比例 图1 图2 50

黄金分割论文

数学应用案例讲座——黄金分割 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金比例，又称黄金比，是一种数学上的比例关系。黄金分割具严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618或1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。黄金分割早存在于大自然中，呈现于不少动物和植物外观。现今很多工业产品、电子产品、建筑物或艺术品均普遍应用黄金分割，呈现其功能性与美观性。 常用希腊字母表示黄金比值，用代数式表达就是： 黄金比例是属于数学领域的一个专有名词，但是它最后涵盖的内容不只是有关数学领域的研究，以目前的文献探讨我们可以说黃金比例的发现和如何演进至今仍然一个谜。但有研究指出公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割的一些规则，也发现了无理数。他侧重于从数学关系去探讨美的规律，并认为美就是和谐与比例，按照这种比例关系就可以组成美的图案，这其实是一个数字的比例关系，即将一条线分成两部分，较长的一段与较短的一段之此等于全长与较长的一段之比，它们的比例大约是1.618:1。按此种比例关系组成的任何事物都表现出其内部关系的和谐与均衡。 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称神圣比例为黄金分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行，而证据在于德国数学家欧姆所写的“基本纯数学”的第二版一书中在注释中写到有关黃金比例的解释，他是这样写的“人们习惯把按此方式将任一直线分割成两部分的方法，称为黄金分割”而在1875出版的大英百科全书的第九版中，苏利有提到这一段话“由费区那……提出的有趣、实验性浓厚的想法宣称，‘黄金分割’在视觉比例上具有所谓的优越性。”可见黄金分割在当时已经流行了。二十世纪时美国数学家巴尔也给他一个叫phi的名子。黄金分割有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛，造就了他今天的名气。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 黄金分割应用领域很广泛，包括艺术创作、人体美学、植物、作息制度、医学、股市等