第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1．
(
)
∑∞=+-+112n n n ；2．()∑
∞
=+12221n n n ；3．∑∞
=??? ??+1513
1
n n n ρ。 判断下列正项级数的敛散性
4．∑∞
=1100!n n
n ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞
=+1
21
n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．n n n n ∑∞
=??
?
??+113；10．()∑∞
=-+121n n
n
n 。 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
11．()
∑∞
=---11
1
21n n n n ；12．()
∑∞
=-2
ln 1
1n n
n
；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14．
++-+++-1
4413312221222； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
15．∑
∞
=13n n
n
x n ；16．()∑∞
=-1
1n n n n
n x ；17．∑∞=1!n n
x n ；18．()∑∞
=-1121n n n x n ；
19．∑
∞
=+-1
1
21
2
1n n n x
；20．∑∞
=123
n n
n x n ；
求下列级数的和函数
21．∑∞
=-11
n n nx
；22．1
21
1
2
1+∞
=+∑
n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数
23．2
x
x e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ；
25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26．
x
1
，30=x ； 将下列函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数
27．()2
cos
x
x A =，()ππ≤≤-x 。28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x
29．将函数()?
??≤≤≤≤-=30,0
3,2t x t x x x f 展开成付里叶级数。
30．将函数()???
????≤≤-≤≤=l
x l x l l x x x f 2,2
0,分别展开成正弦级数和余弦级数。
(B)
用定义判断下列级数的敛散性
1．()()∑∞
=++043131n n n ；2．()()∑∞=++1
211
n n n n ；3．(
)
∑
∞
=++-+1222n n n n ；
判断下列正项级数的敛散性
4．∑∞
=1n !2n n n n ；5．∑∞+?
?? ?
?-13
2132n n n n ；6．()
∑∞
=++112n n
n
n n a n ，(0>a )； 7．∑∞=???
?
??1n n
n
a b ，其中a a n →(∞→n )，n a ，b ，a 均为正数； 8．∑∞
=+1111n n ，(0>a )；9．∑?∞
=+1
1
0421n n x x x ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
10．()
∑∞
=+-1
1
!212
n n n n ；11．()∑∞
=-+++-121111n n n n n ；12．()()()
∑∞=++-?
?? ??
+-1
1
232312ln 1n n n n n ；
求下列幂级数的收敛半径和收敛域
13．()()∑∞
=-1
2!21n n
n
n x ；14．∑∞
=+1n n
n n b a x ，(0>a ,0>b )； 15．()()∑∞
=++-11
254211n n n n n
x ；16．()()∑∞=+-+1
123n n n
n x n ；
求下列级数的和函数
17．∑∞
=12n n
nx ；18．n
n x n n 21
!12∑∞
=+；19．∑∞
=12n n x n ；
20．求证：∑
∞
=?=12
1
2ln n n
n ；
将下列函数展开成0x x -的幂的级数
21．()13212+-=
x x x f ，00=x ；22．()21x x f =，10=x ；23．21x
x
+，00=x ； 24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项； 25．写出函数()()πk x x f 22
1
+=
，()()[]ππ12,12+-∈k k x ， ,2,1,0±±=k 的付里叶级数，并讨论收敛情况。
26．设()x f 是周期为π2的周期函数，它在[]ππ,-上的表达式为
()???
?
?
?
???≤≤<≤--<<--=ππππππππ
x x x x x f 2,222,2,2，将()x f 展开成付里叶级数。
27．将函数()2x x f =，(l x ≤≤0)分别展开成正弦级数和余弦级数。
(C)
1．用定义判断下列级数的敛散性
()()()∑∞
=++-1
3212121
n n n n 2．设0>i a ，() ,2,1=i ，判断级数
()()
()()() ++++++++++n n a a a a a a a a a 11111121212
11的敛散性。
判断下列正项级数的敛散性
3．∑∞
=?1!3n n n n n ；4．∑∞=1212
ln n n
n n ；5．∑∞=+???? ??-11112
n n n ； 6．判断级数∑∞
=1
2sin 1n n n π
的敛散性。
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
7．(
)
∑
∞
=-+1221n n
n x
n n ；8．()∑∞
=??? ??
+++-1
n 12111n n x n ；
求下列级数的和
9．()()∑∞
=---1
1121n n n n 10．展开???
? ??-x e dx d x 1为x 幂级数，并推出()∑∞
==+11!1n n n
。 11．求级数∑∞
=+1
132
2n n n x n 的收敛区间及和函数。
12．设函数()???????<<<+=ππππ
x x x x f 2,02
0,2，试分别将()x f 展成为以π2为周期的
区弦级数和余弦级数。
13．将周期函数()[][]???--=ππ,0,10,,1x f ，展为付氏级数，并据此求周期函数()[][]?
?
?-=ππ,0,0,,1b a x f ，()||2x x f =，()ππ,-的付氏级数，求下面级数()???
? ??+-++++ 222121
413114n π。 第十一章 无穷级数
(A)
1．解：∵(
)
∑
=∞→-+=+-+=n
k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数
发散。
2．解：∵()
∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n
k n k n n k k k k S 1141221212122121212221，
(∞→n )，∴原级数收敛且和为
4
1。 3．解：∵41
215
11511513113113151315131
111+→-?
?? ??
-+-??? ??-=
+=??? ??+=∑∑∑===n n n
k k n k n k k k k n S
4
3=
，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001
lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n
n n ，∴由比值判别法知原级
数发散。
5．解：∵()11
11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e
n e n n e
n n
n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02
1
21lim
lim ≠=+=∞
→∞
→n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim
=++=∞→∞→n n n n n
U n n n ，而∑∞
=11
n n
发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4
44
1=???
??++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n n
n n ，∴由比值判别法
知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=??
?
??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n
n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵
212
1n
n
n n
n U n -≤≤+，而2
1
21l i m 21l i m =-=+∞→∞→n
n n n n n ，故
12
1
l i m <=∞
→n n n U ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 11．解：∑
∑∞
=-∞
==1
1
1
2
||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故
原级数绝对收敛。
12．解：n n U n 1ln 1||>=，而∑∞=21n n 发散，故∑∞
=2ln 1n n
发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然
()n
n ln 1
1ln 1<+， ,3,2=n ，且0ln 1lim
=∞→n n ，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。
13．解：∵0|00|lim ||lim ≠=∞
→∞
→ n n n U ，∴原级数发散。
14．解：此为交错级数，∵111||2→?+=n n n n U n ，(∞→n )而级数∑∞
=11
n n 发散，故∑∞
=1
||n n U 发散，即原级数非绝对收敛，显然
1
2+n n
单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。
15．解：∵313lim 313lim lim 11=+?=+=∞→+∞→+∞→n n
n n a a n n n n n
n n ，∴31=R ，当31=x 时，级数为∑
∞
=11n n 发散，当31-=x 时，级数为()∑∞
=-1
1
1n n n 收敛。故原级数的收敛区
间为??
?
???-31,31。
16．解：∵()0111
11111→???
??++=+=++n
n n n n n n n n a a ，()∞→n ，∴∞=R ，收敛区间为()+∞∞-,。
17．解：∵0111
111→?
??
?
?++==+n
n n n n a a ，()∞→n ，∴0=R 。 18．解：∵()21
122lim lim 11=+=+∞→+∞→n n a a n n n n
n n ，∴2=R 。故当2|1|<-x ，即
31<<-x 时收敛，当1-
∑∞
=-11
1n n
n
，收敛；当3=x 时，级数为∑∞
=11
n n
，发散。故收敛区间为[)3,1-。
19．解：∵22222
2121321x x x
x U U n n n n n n →
==+-++，()∞→n ，当122 2 >x ，即2>x 或2- →±1 22n ，发散，故收敛区间为() 2,2-。 20．解：∵()31 1313312 212 1→?? ? ??+=+=++n n n n a a n n n n ，()∞→n ，∴3=R ，当3±=x 时，原级数()∑∞ →±1 21n n n ，发散。故收敛区间为()3,3-。 21．解：设()∑∞ =-=1 1n n nx x f ，1|| ()∑∑??∑? ∞=∞=-∞=--= ==?? ? ??=1101 0110 1n n n x n x n n x x x x dx nx dx nx dx x f ∴()()2 111x x x x f -=' ?? ? ??-=，1|| ∞ =++=1121 21 n n x n x f ，1|| ()() 2 21 12121121121121x x x x n x n x f n n n n n n -=='+='??? ??+='∑∑∑∞=∞ =+∞=+ ()? ?-='x x dx x x dx x f 0 02 2 1， 即()()dx x x f x f x ???? ???-??? ? ?++-=-011111210， ∴()()x x x x x x f x f -++-=--++=11ln 21111ln 210，1|| 23．解：()()∑∑∑∞=∞=∞=-=??????--=-0200! 2121!1!1212k k n n n n x x x k x n x n e e ，()+∞<<∞-x 。 24．解：()()()()?? ????-+=+=∑∞ =022 2!2111212cos 121cos n n n x n x x ()()∑∞=-+=0 2!22 12121n n n n x n ，()+∞<<∞-x 。 25．解：()()()() ∑∞ =--+=++1 1 111ln 1n n n n x x x x ，1|| ()()()()()∑∑∑∞=+∞ =+-∞ =-++-+-+-+-=111 1 1 1 1 111111n n n n n n n n n x n n n n x n x 。 26．解：()()()∑∑∞ =+∞=--=??? ??--=-+ = +-=0103311331313 3113 1 3311n n n n n n n x x x x x 13 3 <-x ，即60< cos x x f =为偶函数，∴0=n b ，() ,2,1=n ??==-πππππ0cos 2 cos 2cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n dx x n x n ? ??? ? ????? ??++??? ??-= π π 21cos 2 1cos 1 x x n n x n n 0 21sin 21121sin 2111??? ?? ?? ?????? ??+++??? ??--=π ()?? ? ?? +---=??? ??++--= +1211212112cos 12cos 21n n n nx n nx n ππ ()1 41 4121 --=+n n π， ,2,1,0=n 令0=n ，得π 4 0= a ，且()2 cos x x f =在[]ππ,-上连续 ∴()∑∞=+--+=1211 4cos 1422cos n n n nx x ππ，()ππ≤≤-x 。 28．解：由于()x x f 2-=是奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n ()?--????????? ??---==π ππ π ππx n nx x n ntdt t b n sin 1cos 12sin 21 () n n 4 1-= ∴()()nx n x f n n sin 141∑ ∞ =-=。 29．解：()???--+== 3303303 cos 313cos 2313cos 31xdx n x xdx n x xdx n x f a n π ππ 3 0220 3223sin 33cos 33sin 33cos 6??? ??++??? ? ?+=-x n x n x n n x n x n x n n ππππππππ ()[]n n 1132 2 --= π ，k n 2=时，02=k a 。 12+=k n 时，()2 212126 π +=+k a k ()2 3231310330330-=??????+== ???--xdx xdx dx x f a ()???-+==3303303 sin 313sin 2313sin 31dx x n x x n x xdx n x f b n πππ 3 033s i n 33c o s 13s i n 3c o s 3??? ??- -??? ??--=-x n n x n x n x n n x n x n ππππππππ ()119 +-= n n π ，所以 ()()()()∑∑∞=+∞ =-++++-=1 102 2 3sin 1 19312cos 1216 43n n n x n n x k k x f πππ 除()123+=n x 上均成立。() ,2,1,0±±=n 30．解：1）正弦级数，注意到()00=f ，作奇延拓()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下： 0=n a ，( ,2,1,0=n ) ()?? ? ???-+=??20sin sin 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l b ππ 2 sin 42 2π π n n l = , ,2,1=n ∴()∑∞ == 12 2sin 2sin 14n l x n n n l x f πππ,()l x ≤≤0. 2)余弦函数 作偶延拓设()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡， ()l l x ,-∈，计算付氏系数如下： ()x l dx x l xdx l a l l l =??????-+=??22 002 ()?? ? ???-+=??20cos cos 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l a ππ ()??????---=22222222212cos 22ππππn l n l n n l l n , ,2,1=n 0=n b ∴()()∑∞ =?? ? ???---+=1 22 cos 112cos 2124n n l x n n n l l x f πππ ,()l x ≤≤0. (B) 1．解：∵()()∑∑==→??? ??+-=??? ??+-+=++=n k n k n n n n n n S 11121 43141314311 313143131, ()∞→n ，∴原级数收敛且和为 12 1 。 2．解：∵()()∑∑∞ =∞ =??? ??+-+=++=11211 11211k k n k k k k k k S ??? ??+-+-+--=????? ???? ??+--+-=∑∞ =21112112111211211111k k k k k k k k 41431=- →，()∞→n ，∴原级数收敛且和为4 1。 3．解：∵( )( )[]( )() 11221121 -+- -+= -+- +-+=∑ =n n k k k k S n k n () ( ) 21211 21 2112-→-++++= -++-+=n n n n ， ()∞→n ，∴原级数收敛且和为21- 。 4．解：∵()()12 112!21!12111<→??? ??+=++=+++e n n n n n U U n n n n n n n ，()∞→n ∴由比值判别法知原级数收敛。 5．解：∵1941321321323 2 3 2<→?? ? ??-???? ??-=? ? ? ??-=+n n n n n n n n n n n U ，()∞→n ∴由 根值判别法知原级数收敛。 6．解：∵当n 充分大时有 ()1 2121 22 +≤++=≤+n n n a n U n n n n n n n n n ，而 2 1 12lim 122lim =+=+∞→∞→n n n n n n n ，故121lim <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知原级数收敛。 7．解：∵a b a b a b U n n n n n n →=??? ? ??=，()∞→n ，∴当1a b ，即a b > ，原级数发散，当a b =时不定。 8．解：当1≤a 时，∵011 lim ≠+∞→n n a ，∴级数发散。 当1>a 时，∵111→+=n n n n a a a U ， (∞→u )，而∑∞=11 n n a 收敛，∴级数发散。 9．解：∵2 310 2310 10 4 1 323 21n x dx x dx x x U n n n n ==≤+=?? ，∵∑∞ =1 23 132n n 收敛，∴由比较判别法知级数收敛。 10．解：∵ ()()∞→+=+=+++122!!121 21122 n n n U U n n n n n ，()∞→n ，故∑∞ =1 n n U 也发散，故也非条件收敛。 11．解：∵n n n n n n U n 2211||22 =<+++=，而∑∞=12 n n 发散，故级数∑∞=1||n n U 发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列? ?? ???+++112n n n 单调递减且收敛 于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。 12．解：∵32ln 4 912ln lim 1||lim 2=-??? ?? +=∞→∞→n n n n U n n n ，而∑∞=11n n 发散，∴∑∞ =1||n n U 发散， 即原级数非绝对收敛。 记原级数为()∑∞ =+-111n n n a 为交错级数，∵04 912ln lim lim 2=-??? ? ?+=∞ →∞→n n a n n n 又 ()() ()()()()()() 153********ln 112ln 12ln 23235313112ln 1<+++-? ?? ? ?+?? ? ?? ++ =??? ??++-++? ?? ?? ++= +n n n n n n n n n n n n a a n n ， 即n n a a <+1，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。 13．解：∵()()()()()()01212!2!122 2121→++=+=++n n x x n n x U U n n n n ，()∞→n ，故对x ?， 原级数收敛，所以收敛半径为∞，收敛区间为()+∞∞-,。 14．∵{}b a b a a n n n n n n n ,m a x 1 1lim lim = +=∞ →∞ →，∴{}b a R ,max =，当{}b a x ,m a x ±=时，原级数发散，故收敛区间为()R R ,-，其中{}b a R ,max =。 15．解：∵ ()()() ()4554241252 121321+=+??++=++++x x n n x U U n n n n n n ，()∞→n ， ∴当 ()14 52 <+x ，即37-<<-x 时，原级数收敛，当 ()14 52 >+x ，即3->x 或 7- 原级数收敛半径为2，收敛区间为[]3,7--。 16．解：∵()()31 3213223231231 11→+?? ? ??-+??? ??--=-+?+-+==+++n n n n a a n n n n n n n n ，()∞→n ，∴31=R ，当31|1|<+x ，即3234-<<-x ，原级数收敛。当3 4-=x 时， 原级数收敛，当32-=x 时，原级数发散。故原级数的收敛区间为?? ? ???--32,34。 17．解：∑∑∞=-∞ ==1121 222n n n n nx x nx ，但 ' ??? ??--='??? ??=∑∑∞=∞ =-11122 121 1 2x x nx n n n n () 2 212x x -= ，故有()() 2 22 2 21121 2112222x x x x x nx x nx n n n n -= -= =∑∑∞=-∞ =，()1|| 18．解：∵∑∞ ==02!12 n n x x n e ，()+∞<<∞-x ，而() '??? ? ??='∑∞ =+012!12n n x x n xe () ∑∑∑∞ =∞=∞ =+++=+='=1 202012!121!12!1n n n n n n x n n x n n x n ， ∴() 121!1222221 2-+=-'=+∑ ∞ =x x x n n e x e xe x n n ，()+∞<<∞-x 。 19．解：∵()∑∑∑∞=∞ =-∞ =--+=1 1 11 1 21n n n n n n nx x n n x x n ， ∵() 211 1 111x x x x nx n n n n -=' ??? ??-='??? ??=∑∑∞=∞ =- ()()()32 111 1 1211111x x x x x x nx n n n n n -="??????+--="??? ? ??-=" ??? ??=+∑∑∞ =+∞ =-，故 ()()()() 2 3231 21121112x x x x x x x x x n n n ---=---=∑∞ =，()1|| n n n =?? ? ??=?∑∑∞ =∞ =11212，2|| --= ? ? ? ??='-∞ =∑21 2 11212211 1，2|| x x dx x dx x S x f x x x --=--=-='=? ?，取1=x ，得()2ln 21 11 ==∑ ∞ =n n n S 。 21．解：()x x x x x f ---=+-=112121321，∑∞ =+=-0 12212 n n n x x ，21|| ∑∞ ==-0 11 n n x x ，1|| ∴()() ∑∑∑∞ =+∞=∞ =+-=-=0 10 1 122 n n n n n n n n x x x x f ，2 1||< x 。 22．解：()[]()()()' ??????---='?? ????-+-=-+=∑∞=022*********n n n x x x x () ()∑∞ =-+--=1 11 11n n n x n ，(1|1|<-x )。 23．解：∵ -??????-??+-=+4 286427531423121111x x x x () ()()∑∞ =---=1 ! !2!!1211n n n x n n ，1|| () ()()121 2 ! !2!!1211+∞ =∑---=+n n n x n n x x x ，1|| --+ -==π ππ π π ππππnxdx n nx x x nxdx x a n cos 21 cos 2sin 211 () n n 1 11 +-=， ,2,1=n ∴()() ∑∞ =+-1 1 sin 1 1~n n nx n x f 。 由于对()()()ππ12,12+-∈?k k x ，有()()()πππ32,122++∈+k k x ，所以 ()()()[]()()x f k x k x x f =-=+-+= +ππππ22 112221 2。因此f 以π2周期的周期函数，并且显然只有当()π12-=k x ， ,2,1,0±±=k 时x 是()x f 及()x f ' 第一类间断点，所以()x f 符合狄利克雷收敛定理的条件，故()x f 付氏级数在R 处处收敛， ,2,1,0±±=?k ，有() ()()()∑∞ =+? ? ?-=-≠=-11 12,012,sin 1 1n n k x k x x f nx n ππ。 26．解：∵()x f 奇函数，所以0=n a 。 ()? ???? ????+== π π πππππ 2 02sin 2sin 2sin 2 nxdx xdx x nxdx x f b n ()??????? ?--=πππ π π220 2 cos 2cos sin 12nx n nx nx nx n ()?? ? ???--= n n n n 122sin 122πππ 所以()()∑∞ =??? ???--= 1s i n 212s i n 112 n n nx n n n x f πππ，除()π12+=n x 均成立，( ,2,1,0±±=n )。 27．解：?=l n xdx l n x l b 02sin 2π x x l n n l x l n x n l x l n x n l l 0 2222cos 2sin 2cos 2??? ??????? ? ?--- =ππππππ ()()????? ???? ??----- =πππ n l nx l n l l n n n 12122 ()()[] 114123321 2--+-=+n n n l n l π π 又∵函数()x f 展成正弦级数为 ()()()[] ∑∞ =+? ?????--+-=12 312 sin 11212n n n x l n n n l x f π ππ，()l x ≤≤0 又∵2 0203 22l dx x l a l == ? ()?-==l n n n l xdx l n x l a 0222214cos 2π π ∴()x f 展开成余弦级数为()()∑ ∞ =-+=1 2 2 2 2cos 143n n x l n n l l x f ππ ，()l x ≤≤0。 (C) 1．解：()()()∑∑==??? ??+--?+=++-=n k n k n k k k k k k U 1 131121411213212121 ∑=??? ?????? ??+-+-??? ??+--=n k k k k k 132******** 2181 ?? ? ?????? ??+--??? ??+-=32131121181n n ()()121 32122121→++-= n n ()∞→n , 故原级数收敛，且和为 12 1。 2．证： 111 11<+=+++n n n n a a U U ，由比较判别法知原正项级数收敛。 3．解：∵()()13 1113!31!13111>→??? ??+?=??++=+++e n n n n n U U n n n n n n n ，()∞→n ，∴由比值判别法知，原级数发散。 4．解：考虑函数()x x x f ln 2 1 -=， ()+∞∈,0x ，()2 3 ln 211-?? ? ??-='x x x f ，由()0='x f 得2 e x =，易知() e e f 22 =时()x f 的最大值，所以当1>n 地，13 2 ln 21 <<-n n ，∴ n n n n n U 212ln 2 1 ≤= - ，但∑∞ =12 1 n n 为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。 5．解：111 ln 1 1-=-=++n n n n e n a ，∵2≥n 有11 ln 02 <+< n n ；而当10< ?<-1，∴当2≥n 时，1ln 102 1 ln 2+?<-<+n n e e n n ，而级九∑∞ =+1 21ln n n n 可判别其是收敛的，∴原级数收敛。 6．解：因为已知级数() () ∑∞ =---11 121 1n n n 条件收敛的级数。设其部分和数n S 极 限为S ，则有S S n n =∞→lim ，而级数∑∞ =+--++-+=171 051031012sin 1n n n π，取其前 n 2项，其和与() ∑∞ =---1 1 1 21 1n n n 的部分和相等且为n S ，当∞→n 时，∞→n 2，故原级数收敛且和为S 。 7．解：( ) () 2 221121 21221212x n n n n x x n n n n U U n n n n →+++++=-++-+= ++，()∞→n ， 当122 2 =R ，当22±=x 时， 级数为( ) ∑ ∑ ∞ =∞ =++=-+1 1111n n n n n n 发散，故原级数收敛域为??? ? ??-22,22。 8．解：()??? ?? +++-=n a n n 12 111 ，由于n n n n n n n a ≤+++=≤=1211||11 ， 而当1||lim =∞→n n n a ，故1=R ；当1±=x 时，原级数为()??? ?? +++-±∑∞ =n n n 121111 ，由 于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为()1,1-。 9．解：当1||≤x 时，级数()()n n n x n n 211121∑∞ =---收敛。设()()() ∑∞ =---=121121n n n x n n x f ， ()1|| 21111212-∞ =-∑--='n n n x n x f ， ()1|| =--+=-=''1 21211212n n n x x x f ，()1|| ()tgx a dx x x f x π211 202 =+='? ，(∵()00='f )； 再积分一次 ()() 201ln 22x xarctgx arctgxdx x f x +-==?，(∵()00=f )； ∴()2ln 2 lim 0 11 -= =-→∞ =∑π x f U x n n ，即原级数的和2ln 2 -= π S 。 10．解：∵∑∞ ==0!1n n x x n e ，∴'?? ???????? ??+++=???? ??- 2!21111x x x x e dx d x ()∑∞ =--+=+-+++=' ??? ? ??+++=1112 !1!1!32!21!3!21n n n x n n x n n x x x 因为当∞→n 时，()()()11! 111 -+= -+-n n n n n x n n n 0||→x 又当o x →时，21 112→+-=???? ??-x e xe x e dx d x x x 故展开式对所有的x 均成立，在展开式中令1=x ，得 ()11 !11 2 1=+-=+=∞ =∑x x x n x e xe n n 。 11．解：()()332 1 1 321132 11||2||21221x x n n x n x n U U n n n n n n →?+=+=--+++，(∞→n )，故当1||23 1 2||- 12- ±=x 时级数发散，因此原级数收 敛区间为??? ? ??---61612,2，且 () ()[] () '??? ???????? ? ??='==∑∑∑∑∞=∞ =∞ =--∞ =13 21312 21 1 3 2 131 2 2312 3 1 22n n n n n n n n n n n n x x x x n x n () () 2 3 23313 21221231231x x x x x n n -=???? ??-='??????=∑∞=，??? ? ??<-61 2||x 。 12．解：先求正弦级，将()x f 在()0,π-作奇延拓，有0=n a ， ()? ? ??? ? ?+= = 2 sin 22 sin 2 π π ππ π nxdx x nxdx x f b n ? ?? ?????++-2=????????+??? ??+-= ?2022020sin 22cos cos 1cos 22π π πππππππn x n n n nxdx n n nx x 2 sin 22cos 212πππn n n n n +-= 由狄里赫勒收敛定理知 ()???? ????? ==<<<<=∑∞ =0,,02,2 220,sin 1πππ πππx x x x x f x b n n 或 ∴()∑∞ ==1 sin n n nx b x f ，??? ??<<<<πππx x 2,20 再求余弦级数，将()x f 在()0,π-作偶延拓，有 ()? ? ??? ? ?+= = 20 cos 22 cos 2 π π ππ π nxdx x nxdx x f a n ?? ? ??-+=12cos 2 2sin 22 ππ πn n n n ，0≠n πππ π 4322 2 =? ?? ? ?+= ? dx x a n ，0=n b ∴()∑∞ =+=1 0cos 2n n nx a a x f ∑∞ =??? ??+[+=1n 2 2cos 22cos 22sin 283nx n n n n n ππππ，??? ??≤<<≤πππx x 2,20 13．解：()?- == π ππ 0cos 1 nxdx x f a n ()()? ??+-== - - πππ ππππ sin 1 sin 11 sin 1 nxdx xdx nxdx x f b n []1cos cos 11 cos 1cos 100+--=??????-+??????=-ππππππ πn n n n nx n nx ()[] ?????===--= ,6,4,2,0,5,3,1,4 112n n n n n π π 所以()()()∑ ∞=--=?? ????+--+++=1 1212sin 412sin 1213sin 31sin 4n n x n x n n x nx x f ππ ∵()()x f b a b a x f 2 21--+= ∴()()()()∑∑∞=∞=----+=--?--+=1 111212sin 2221212sin 422n n n x n b a b a n x n a b b a x f π ()()()?? ∑?? ? ???--= =∞=x n dx n x n dx x f x f 00 121212sin 4 π π ()()∑∞ =??????---=10 2 12cos 121 4n x x n n π ()()() ∑∑∞ =∞=-+---=113 2121 412cos 1214 n n n x n n ππ 2π=x 时，2 2π π=??? ??f 代入上式有，()∑∞=-=12 12142n n ππ，即求得和式，且 ()()()x n n x f n ∑∞ =--- =13 212cos 121 4 2 ππ ，()ππ<<-x 。 第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 211 (1)[3n n n n ∞ -=-+ ∑； 21 cos 3n n n n ∞ =∑； 1 (1)n n ∞ -=-∑。 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-2 22)1(1 n n n 的和。 。 7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =L ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求211 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知222111358π+++=L [参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-???。 。 [填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为 22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3 无穷级数单元测试题 答案 第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ） 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. 第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件， n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ） 第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<， 1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。 无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1 ,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn 第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数） 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2 第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 无穷级数 1. 已知数列{}n na 收敛，求证级数 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 收敛的充要条件是级数∑∞ =1 n n a 收敛。 分析：考虑 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 与∑∞ =1 n n a 的部分和n S 与n σ，验证n S n n na a +--=-01σ。 2. 设{}n u 是单调增加的正数数列，试证当{}n u 有界时级数 ∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u 收敛。 分析：11n 11n 0u u u u u u a n n n n -≤ -=≤+++，验证级数∑∞ =+-1 1)(n n n u u 收敛。 3. 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，{}n v 为正实数列，记11 ++-= n n n n n v u v u a ，如果a a n n =∞→lim ，且a 为 正实数或正无穷，证明级数 ∑∞ =1 n n u 收敛。 分析：验证级数 ∑∞ =++-1 11)(n n n n n v u v u 收敛，使用比较判别法。 4. 设 3,2,1),1 (21,211=+==+n a a ? a a n n n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在；（2）级数∑∞ =+??? ? ??-111n n n a a 收敛。 5. 设n F 为斐波那契数列，10=F ，11=F ，n F 21--+=n n F F ，1>n 。（1）证明 1 1 2 23--≤≤?? ? ??n n n F ；（2）级数∑∞ =01n n F 收敛，级数∑∞ =2ln 1 n n F 发散。 6. 设{}n a 满足不等式n k a a 1000≤≤，其中 ,2,1,2=≤≤? n n k n ，又级数∑∞ =1 n n a 收敛， 证明：0lim =∞ →n n na 。 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛. 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1． ( ) ∑∞=+-+1 12n n n ；2．()∑ ∞ =+1 2221 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑∞ =1100!n n n 2．() ∑∞ =++133 2n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =---11 1 21n n n n ； 2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3． Λ++-+++-1 44 133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 1．∑ ∞ =13n n n x n ；2．∑∞ =1 !n n x n ；3．() ∑ ∞ =-1121 n n n x n ；4．∑ ∞ =+-11 21 2 1 n n n x ；5．∑∞ =123 n n n x n 求下列级数的和函数 1．∑∞ =-11 n n nx ；2．121 1 2 1+∞ =+∑ n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3． x 1 ，30=x ； (B) 用定义判断下列级数的敛散性 ()() ∑∞ =++043131 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑ ∞ =+1n )1(1 n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞ =13 n n n ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =-?-1 1 311n n n n ；2．()∑∞ =--1 n 121 1n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 1．()∑∞ =-1 21n n n n x ； 求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞ =--11 ) 1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑ ∞ =-1 1 2 n n n 的和； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．()13212+-= x x x f ，00 =x ；2．()2 1 x x f =，10=x 第十二章 无穷级数 章主要内容小结 一、数项级数的审敛法 1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞ →n n u ，则级数 ∑∞ =1 n n u 发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别； 对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，?? ? ??=><=+∞→，失效，发散收敛 11,1lim 1ρρρρn n n u u ； 对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，?? ? ??=><=∞ →，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ； 对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用 比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当n n n u u 1 lim +∞→存在时，n n n u ∞→lim 也存在，且n n n n n n u u u 1 lim lim +∞→∞ →=，反之不一定成立。 3、任意项级数审敛法 ∑∞ =1 n n u 为收敛级数，若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛；若 ∑∞ =1n n u 发散，则 ∑∞ =1 n n u 条件收敛； 莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞ →n n u 则交错级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。 （二）求幂级数收敛域的方法 1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1 lim +∞→=n n n a a R ，再讨论R x ±=的敛散性； 2、?? ?直接用比值法或根值法 式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。 （三）幂级数和函数的求法 1、求部分和式的极限； 2、初等变换法：分解、直接套用公式； 3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算； 无穷级数 P127-练习1 判别下列级数的敛散性： 1． 31 2 ln n n n ∞ =∑ ； 【解】 32 14 54 ln ln lim lim 01→∞ →∞ ==n n n n n n n ，而级数51 4 1∞ =∑ n n 收敛 （5 4 p = 的p -级数）， 则由正项级数的极限形式的比较判别法知 31 2 ln n n n ∞ =∑ 收敛. 2． 21 sin 2 n n n π ∞ =∑． 【解】因为2 2 sin 2 2 π π≤ n n n n ， 由于2 1 1 2(1)12 lim lim 122n n n n n n n u n u p p ++ +==<，故由正项级数的比值判别法知级数2 12π∞ =∑n n n 收敛. 再由正项级数的比较判别法知21 sin 2 n n n π ∞ =∑收敛，且为绝对收敛. P128-练习2 设常数0,a >试判别级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑是条件收敛还是绝对收敛． （1992） 【解】211 1(1)(1cos )(1cos )2sin 2n n n n a a a n n n ∞ ∞∞ ===--=-=∑∑∑， 因为正项级数212n a n ∞ =?? ?? ?∑收敛，而2 2sin 22a a n n ??≤ ???， 所以 正项级数211 (1cos )2sin 2n n a a n n ∞ ∞ ==-=∑∑收敛， 从而 级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑绝对收敛. P129-练习3 设正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，且常数(0,)2π λ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑（ ）． （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与λ有关 【解】因正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，所以 21 n n a ∞ =∑也收敛. 又22tan lim lim tan ,0n n n n n a n n a n l l l l ==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知 21 (1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑是绝对收敛的. 选（A ） P130-练习4 设级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数 1 n n c ∞ =∑收敛． 【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤?≤-≤-, 故级数 1 1 (), ()n n n n n n b a c a ∞ ∞ ==--∑∑均为正项级数. 因为级数1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛， 则 1 ()n n n b a ∞ =-∑收敛，由正项级数的比较判别法知1 ()n n n c a ∞ =-∑收敛， 又由于级数()1 1 ()n n n n n n c a c a ∞∞ ===+-∑∑，则由性质知级数1 n n c ∞ =∑收敛． P133-练习5 求幂级数121(1)21 n n n x n -￥ =--?的收敛域及和函数． （2010） 【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]-； 当()1,1x ∈-时 ，设11221 111(1)(1)()()2121 n n n n n n S x x x x xS x n n --ゥ -==--===--邋， 其中121 11(1)()21 n n n S x x n -￥ -=-=-?， 而12112212 00 1 1 (1)1 ()(1)arctan 211n x x x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -ゥ---==￠骣骣 -÷÷??÷==-==÷??÷÷??÷-+桫桫邋蝌 ， 故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==- 无穷级数例题选解 1．判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11!21sin ;ln(1); ;( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑ ∑ ∑ ∑ 解：1）2 2 11sin n n < ，而∑ ∞ =1 2 1n n 收敛， 由比较审敛法知 ∑ ∞ =1 2 1sin n n 收敛。 2）)(1~ )11ln(∞→+ n n n ，而∑ ∞ =1 1n n 发散， 由比较审敛法的极限形式知 ∑ ∞ =+ 1 )11ln(n n 发散。 3） e n n n n n n u u n n n n n n n n 11lim !) 1()!1(lim lim 11=?? ? ??+=?++==∞→+∞ →+∞ →ρ， 1<ρ ，由比值审敛法知 ∑ ∞ =1 !n n n n 收敛。 4） 9423122312lim lim 1 2 =?? ? ??-+??? ??-+==∞→∞ →n n n n n n n n n u ρ， 1<ρ ，由根值审敛法知 ∑∞ =+? ?? ? ?-+11 22312n n n n 收敛。 2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑ ； 2 1 c o s 3 n n n n ∞ =∑ ； 1 1 1(1) n n ∞ -=-∑ 。 解：1）对于级数∑∞ =--1 21 3 ) 1(n n n n ， 由3 1| |||lim 1= =+∞ →n n n u u ρ，知级数∑∞ =--1 21 3 ) 1(n n n n 绝对收敛， 易知∑∞ =--1 1 1) 1(n n n 条件收敛，故 2 1 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑条件收敛。 2）n n n u n n n =≤ 3 |3 cos | 22 ，由3 1lim 1= =+∞ →n n n u u ρ，知级数∑ ∞ =1 23 n n n 收敛， 故2 1 cos 3 n n n n ∞ =∑ 绝对收敛。 3）记n n u n ln 1 -= ，n u n 1≥ ，而∑ ∞ =1 1n n 发散，故∑∞ =1 n n u 发散， 令x x x f ln )(-=，x x f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单第十二章无穷级数练习题含答案知识分享
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q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
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