Ⅱ、综合测试题
概率论与数理统计（经管类）综合试题一
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).
A. A B A B +=+
B.()A B B A B +-=-
C. (A -B )+B =A
D. AB AB =
2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B )
C. P (A +B )=P (A )+P (B )
D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )
3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A.
18 B. 16 C. 14 D. 12
4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).
A.
1120 B. 160
C. 15
D. 12
5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ).
A.()()()P A B P A P B -=-
B. ()()P A B P B +=
C.(|)()P B A P B =
D.()()P AB P A =
6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续
C.
()1f x dx +∞-∞
=?
D. ()1f +∞=
7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k
b
P X k k ==
=，且0b >，则参数b 的值为 ( D ).
A. 1
2
B. 13
C. 15
D. 1
8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ).
A.1
B.2
C.1.5
D.0
9.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本
均值10
1
110i i X X ==∑~ ( D ).
A.(1,1)N -
B.(10,1)N
C.(10,2)N -
D.1
(1,
)10
N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ 是来自X 的样本，又12311?42
X aX X μ
=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ). A. 1 B. 1
4 C. 12
D.
13
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空
格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知12
1(),(),()433
P A P B P C ===，且事件C ,B ,A 相互独立，则事件A ，B ，
C 至少有一个事件发生的概率为 6
.
12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是____0.6_______.
13.设随机变量X 的概率分布为
)(x F 为X 的分布函数，则(2)F = 0.6 .
14. 设X 服从泊松分布，且3=EX ，则其概率分布律为
3
3(),0,1,2,...
!
k P X k e k k -=== . 15.设随机变量X 的密度函数为22,0
()0,0x e x f x x -?>=?≤?,则E (2X +3) = 4 .
16.设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为222
1
(,),2x y f x y e π
+-=
(,)x y -∞<<+∞.则(X , Y )关于X 的边缘密度函数()X f x =
2
2
()
x x --∞<<+∞ . 17.设随机变量X 与Y 相互独立，且1
()0.5,(1)0.3,2
P X P Y ≤=≤=则
1
(,1)2
P X Y ≤≤= 0.15 .
18.已知,4,1,0.5X Y DX DY ρ===，则D (X -Y )= 3 . 19.设X 的期望EX 与方差DX 都存在，请写出切比晓夫不等式
2(||)DX P X EX εε-≥≤ 2(||)1DX
P X EX εε
-<≥- .
20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 0.816 . (附：0(1.33)0.908Φ=)
21.设随机变量X 与Y 相互独立，且22(3),(5)X Y χχ ，则随机变量
53X
Y
F (3，5) . 22.设总体X 服从泊松分布P (5)，12,,,n X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值，则E X = 5 .
23.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则θ的矩估计为_____2_____ .
24.设总体),(~2σμN X ，其中2
02σσ=已知，样本12,,,n X X X 来自总体X ，
X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为
2
2
[,]X X αα+
.
25.在单边假设检验中，原假设为00:H μμ≤，则备择假设为H 1：
10:H μμ> .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.设A ，B 为随机事件，()0.3,(|)0.4,(|)0.5P A P B A P A B ===，求()P AB 及
()P A B +.
.解：()()(|)0.30.40.12P AB P A P B A ==?=；
由(|)0.5P A B =得：(|)10.50.5P A B =-=，而()
(|)()
P AB P A B P B =
，故 ()0.12
()0.24(|)0.5
P AB P B P A B =
==.
从而
()()()()0.30.240.120.42.P A B P A P B P AB +=+-=+-=
27.设总体0
()0x e x X f x λλ-?>=??～其它，其中参数0λ>未知，),,,(21n X X X
是来自X 的样本，求参数λ的极大似然估计. 解：设样本观测值0,1,2,...,.i x i n >=则 似然函数1
1
1
()()n
i
i i n n x x n i i i L f x e e
λ
λλλλ=--==∑===∏∏
取对数ln 得：1
ln ()ln n
i i L n x λλλ==-?∑，令1ln ()0n
i i d L n x d λλλ==-=∑，
解得λ的极大似然估计为1
1?n
i
i n
x
x
λ
===
∑.或λ的极大似然估计量为1?X λ
=.
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X 的密度函数为1,
022()0,
x x f x ?<
??其它
，求：(1)X 的分布函
数F (x )；(2)1
(1)2
P X -<≤；(3) E (2X +1)及DX .
解：(1)当x <0时，F (x )=0.
当02x ≤<时，20
11()()24
x
x
F x f t dt tdt x -∞
===??
. 当2x ≥时，2
21
()()012
x
x F x f t dt tdt dt -∞
==+=?
?
?.
所以，X 的分布函数为： 20,01(),024
1,
2x F x x x x
=≤
(2)1(1)2P X -<≤=111
()(1)0.21616F F --=-=
或1(1)2P X -<≤=11
221011().216
f t dt tdt -==??
(3)因为22014()23EX xf x dx x dx +∞
-∞
==
=?
?222
301()22EX x f x dx x dx +∞-∞
===??
所以，11(21)213
E X EX +=+=； 222
()9
DX EX EX =-=.
29.二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为
(1)求X 与Y 的边缘分布；(2)判断X 与Y 是否独立? (3)求X 与Y 的协方差
),(Y X Cov .
(1)因为(0)0.3,(1)0.7P X P X ====,
(0)0.4,(1)0.2,(2)0.4P Y P Y P Y ======,
所以，边缘分布分别为：
(2)因为(0,0)0.2P X Y ===,而(0)(0)0.30.40.12P X P Y ===?=,
(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==,所以X 与Y 不独立；
(3)计算得：0.7,1,()0.9EX EY E XY ===,所以
(,)()Cov X Y E XY EXEY =-=0.9-0.7=0.2.
五、应用题（10分）
30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X 服从正态分布N (570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力， 计算得平均折断力为575.2，在检验水平0.05α=下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570？ (0.025 1.96u =)
解：一个正态总体，总体方差28σ=已知，检验01:570:570H H μμ=≠对检
验统计量为~(01).X U N =
，检验水平=0.05α临界值为0.052
1.96u =得拒绝
域：|u |>1.96.计算统计量的值：575.2570
575.2,|| 2.6 1.962
x u -===>所以拒绝H 0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.
概率论与数理统计（经管类）综合试题二
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.某射手向一目标射击3次，i A 表示“第i 次击中目标”，i =1,2,3，则事件“至 少击中一次”的正确表示为 ( A ). A. 123A A A B. 123A A A C. 123A A A D. 123A A A
2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为 ( C ). A.
12 B. 13 C. 1
4
D. 15
3. 设随机事件A 与B 相互对立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则有 ( C ). A. A 与B 独立 B. ()()P A P B > C. )()(B P A P = D. ()()P A P B =
4. 设随机变量X 的概率分布为
则(10)P X -≤≤= ( B ). A. 0.3 B. 0.8 C. 0.5 D. 1
5. 已知随机变量X 的概率密度函数为??
?≤≤=其他
10)(2
x ax x f ，则a = ( D ).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.已知随机变量X 服从二项分布，且44.14.2==DX EX ，，则二项分布中的参数n ,p 的值分别为 ( B ). A.6.04==p n ， B.4.06==p n ， C.3.08==p n ， D.1.024==p n ，
7. 设随机变量X 服从正态分布N (1，4)，Y 服从[0，4]上的均匀分布，则E (2X+Y )= ( D ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 设随机变量X 的概率分布为
则D (X +1)= C
A. 0
B. 0.36
C. 0.64
D. 1
9. 设总体~(1,4)X N ，(X 1，X 2，…，X n ) 是取自总体X 的样本(1)n >，
2
21111()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑，分别为样本均值和样本方差，则有( B ). A.~(0,
1)X N 4B.~(1,)X N n
22
C.(1)~()n S n χ- 1
D.~(1)X t n S
-- 10. 对总体X 进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值x 为( B ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 一个口袋中有10个产品，其中5个一等品，3个二等品，2个三等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是0.75___________.
12. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.6，则P (AB )=___0.2________. 13. 设随机变量X 的分布律为
)(x F 是X 的分布函数，则=)1(F __0.8_________.
14.设连续型随机变量2,01~()0,
x x X f x <
15.设1
02,01
(,)(,)20x y X Y f x y ?<<<
则P (X +Y ≤1)
=0.25 .
16.设~(04)X N ，，则=≤}2|{|X P 0.6826 . ((1)0.8413Φ=) 17.设DX =4，DY =9，相关系数0.25XY ρ=，则D (X +Y ) = 16 . 18.已知随机变量X 与Y 相互独立，其中X 服从泊松分布，且DX =3，Y 服从参数λ=1的指数分布，则E (XY ) = 3 .
19.设X 为随机变量，且EX =0，DX =0.5，则由切比雪夫不等式得(||1)P X ≥= 0.5 .
20.设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01，X 表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X 近似服从的分布是 N (5，4.95) .
21.设总体12
10
~(0,1),,,...,X N X X X 是取自总体X 的样本，则10
21
~i i X =∑ 2(10)χ .
22.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自总体X 的样本，记
2
21
1()n n
i i S X X n ==-∑，则2
n ES 2n .
23.设总体X 的密度函数是110()(0)00x e
x f x x θ
θθ-?>?=>??≤?
，(X 1，X 2，…，X n )
是取自总体X 的样本，则参数θ的极大似然估计为 ?X θ
= . 24.设总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本12,,,n X X X 来自总体X ，X 和
2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为
22
[(1),(1)]X n X n αα-
-+- . 25.已知一元线性回归方程为1??3y x β=+，且2,5x y ==，则1?β= 1 . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 设随机变量X 服从正态分布N (2, 4)，Y 服从二项分布B (10, 0.1)，X 与Y 相互独立，求D (X+3Y ).
解：因为~(2,4),~(10,0.1)X N Y B ，所以4,100.10.90.9DX DY ==??=. 又X 与Y 相互独立，故D (X+3Y )=DX +9DY =4+8.1=12.1.
27. 有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少？
解：B 表示取到白球，A 1，A 2，A 3分别表示取到甲、乙、丙口袋.
由题设知，1231
()()()3
P A P A P A ===. 由全概率公式：
112233()()(|)()(|)()(|)
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++
12111213333342
=?+?+?=
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设连续型随机变量X 的分布函数为20,
0()01,1,1x F x x kx x
=≤
，
求：(1)常数k ； (2)P (0.3 .解：(1)由于连续型随机变量X 的分布函数F (x )是连续函数，所以 11lim ()lim ()1x x F x F x -+ →→==即k =1，故2 0,0 ()01,1,1x F x x x x (2)(0.30.7)(0.30.7)(0.7)(0.3)P X P X F F <<=<≤=-)=0.4； (3)因为对于()f x 的连续点，()()f x F x '=，所以2,01 ()0,x x f x < 其它 1 2 02()23EX xf x dx x dx +∞ -∞ ===? ?122 301()22EX x f x dx x dx +∞-∞=== ?? 22141()2918 DX EX EX =-= -= 29. 已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布为 求：(1) 边缘分布；(2)判断 X 与Y 是否相互独立；(3)E (XY ). 解：(1) 因为(0)0.4,(1)0.6P X P X ====, (1)0.5,(2)0.2,(3)0.3P Y P Y P Y ======, 所以，边缘分布分别为： (2)因为(0,2)0.1,(0)(2)0.08,P X Y P X P Y ====== (0,2)(0)(2)P X Y P X P Y ==≠==所以，X 与Y 不独立； (3)()110.3120.1130.2 1.1E XY =??+??+??= 五、应用题（本大题共1小题，共6分） 30.假设某班学生的考试成绩X (百分制)服从正态分布2(72,)N σ，在某次的概率论与数理统计课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为x =75分，标准差s = 10分.问在检验水平0.05α=下，是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分？ (0.025(35) 2.0301t =) 解：总体方差未知，检验H 0：72μ=对H 1：72μ≠，采用t 检验法. 选取检验统计量：~(35) X T t = 由0.05α=，得到临界值0.025(35) 2.0301t =. 拒绝域为：|t |>2.0301 . 因|| 1.8 2.0301 t = =<，故接受H 0. 即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分. 概率论与数理统计（经管类）综合试题三 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ，B 为随机事件，由P (A +B )=P (A )+P (B )一定得出 ( A ). A. P (AB )=0 B. A 与B 互不相容 C.AB =Φ D. A 与B 相互独立 2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是 ( B ). A. 18 B. 38 C. 14 D. 12 3.任何一个连续型随机变量X 的分布函数F (x )一定满足 ( A ). A.0()1F x ≤≤ B.在定义域内单调增加 C.()1F x dx +∞-∞ =? D.在定义域内连续 4.设连续型随机变量23,01 ~()0,x x X f x ?<<=??其它 ，则()P X EX <= ( C ). A. 0.5 B.0.25 C. 27 64 D.0.75 5.若随机变量X 与Y 满足D (X +Y )=D (X -Y )，则 ( B ). A. X 与Y 相互独立 B. X 与Y 不相关 C. X 与Y 不独立 D. X 与Y 不独立、不相关 6.设~(1,4),~(10,0.1)X N Y B -,且X 与Y 相互独立，则D (X +2Y )的值是 ( A ). A. 7.6 B. 5.8 C. 5.6 D. 4.4 7.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体~(0,1)X N ，则4 21i i X =∑~ ( B ). A. (1,2)F B.2(4)χ C. 2(3)χ D.(0,1)N 8.假设总体X 服从泊松分布()P λ，其中λ未知，2,1,2,3,0是一次样本观测值，则参数的矩估计值为 ( D ). A. 2 B. 5 C. 8 D. 1.6 9.设α是检验水平，则下列选项正确的是 ( A ). A.00(|)P H H α≤拒绝为真 B.01(|)1-P H H α≥接受为真 C.0000(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假 D.1111(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假 10.在一元线性回归模型01y x ββε=++中，ε是随机误差项，则E ε= ( C ). A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.一套4卷选集随机地放到书架上，则指定的一本放在指定位置上的概率为 1 4 . 12.已知P (A +B )=0.9，P (A )=0.4，且事件A 与B 相互独立，则P (B )= 5 6 . 13.设随机变量X ~U [1，5]，Y =2X -1，则Y ~ Y ~ U[1，9] . 14.已知随机变量X 的概率分布为 令2Y X =，则Y 的概率分布为 . 15.设随机变量X 与Y 相互独立，都服从参 数 为1的指数分布，则当x >0,y >0时，(X ,Y )的概率密度f (x , y )= x y e -- . 16.设随机变量X 的概率分布为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 k 则EX = 1 . 17.设随机变量X ~,0()0,0 x e x f x x λλ-?>=?≤?，已知2EX =，则λ= 1 2 . 18.已知(,)0.15,4,9,Cov X Y DX DY ===则相关系数,X Y ρ= 0.025 . 19.设R.V .X 的期望EX 、方差DX 都存在，则(||)P X EX ε-<≥ 2 1DX ε- . 20. 一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为2(kg)，方差为2.25，一汽车装有这样的面粉100袋，则一车面粉的重量在180(kg)到220(kg)之间的概率为 0.816 . (0(1.33)0.908Φ=) 21.设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则~X T = ______t (n -1)____. 22.评价点估计的优良性准则通常有 无偏性、有效性、一致性（或相合性） . 23.设(1, 0, 1, 2, 1, 1)是取自总体X 的样本，则样本均值x = 1 . 24.设总体),(~2σμN X ，其中μ未知，样本12,,,n X X X 来自总体X ， X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则参数2σ的置信水平为1-α的置信区间为 22 2212 2 (1)(1)[,](1)(1) n S n S n n ααχχ----- . 25.设总体2~(4,)X N σ，其中2σ未知，若检验问题为01:4,:4H H μμ=≠， 则选取检验统计量为 T = . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 26.已知事件A 、B 满足：P (A )=0.8，P (B )=0.6，P (B |A )=0.25，求P (A|B ). 解：P (AB )=P (A ) P (B |A )= 0.8×0.25=0.2. P (A|B )=()()0.2 0.5()10.6 1()P AB P AB P B P B ===--. 27.设二维随机变量(X , Y )只取下列数组中的值：(0,0), (0,-1), (1,0), (1,1),且取这些值的概率分别为0.1,0.3,0.2,0.4.求：(X ,Y )的分布律及其边缘分布律. 解：由题设得，(X , Y )的分布律为： 从而求得边缘分布为： 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28.设10件产品中有2件次品，现进行连续不放回抽检，直到取到正品为止.求：(1)抽检次数X 的分布律； (2) X 的分布函数； (3)Y =2X +1的分布律. 解：(1)X 的所有可能取值为1，2，3.且84(1)105P X ===288(2)10945 P X ==?= 2181 (3)109845 P X == ??=所以，X 的分布律为： 时，()()0F x P X x =≤=； (2)当1 x <当12x ≤<时，4 ()()(1)5 F x P X x P X =≤=== ； 当23x ≤<时，44()()(1)(2)45 F x P X x P X P X =≤==+== ； 当3x ≥时，()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以，X 的分布函数为： 0,14 ,125 ()44,23451,3x x F x x x . (3)因为Y =2X +1，故Y 的所有可能取值为：3，5，7.且 4 (3)(1),58 (5)(2), 451 (7)(3). 45P Y P X P Y P X P Y P X === ========= 得到Y 的分布律为： 29.设测量距离时产生的误差2~(0,10)X N （单位：m ），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975Φ=. (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律； (3)求期望EY . 解：(1) (|| 1.96)1(|| 1.96)p P X P X =>=-≤ 1[2(1.96)1]0=-Φ-=. (2)Y 服从二项分布B (3，0.05). 其分布律为： 33()(0.05)(0.95),0,1,2,3.k k k P Y k C k -=== (3)由二项分布知：30.050.15.EY np ==?= 五、应用题（本大题共10分） 30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%，乙厂的合格品率为95%，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？ 解：设A 表示甲厂产品，A 表示乙厂产品，B 表示市场上买到不合格品. 由题设知：()0.6,()0.4,(|)10.90.1,(|)10.950.05.P A P A P B A P B A ===-==-= 由全概率公式得： ()()(|)()(|)0.60.10.40.050.08.P B P A P B A P A P B A =+=?+?= 由贝叶斯公式得，所求的概率为： ()(|)0.60.1 (|)0.750.08()(|)()(|) P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===+. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 04183概率论与数理统计（经管类） 一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则必有( B )。 A ．X 与Y 不相互独立 B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C ．X 与Y 相互独立 D ．D(XY)=D(X)D(Y 2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则第二次抽出的是次品的概率为 A 。 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。 A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x F D ．)(x F 连续 4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。 A ．n k k m q p C B ．k n k k n q p C - C ．k n pq - D ．k n k q p - 5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则 (23)D X Y ++= C A ．8 B ．16 C ．20 D ．24 6．设n X X X Λ21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中 心极限定理得()1n i i P X a a =?? ≥???? ∑为常数的近似值为 B 。 A ．1a n n μσ-??-Φ ??? B ．1-Φ C ．a n n μσ-?? Φ ??? D ．Φ 7．设二维随机变量 的联合分布函数为，其联合分布律为 则(0,1)F = C 。 A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 8．设k X X X ,,,21Λ是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2 2221k X X X Λ++服从 （ D ）分布 A ．正态分布 B ．t 分布 C ．F 分布 D ．2 χ分布 9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。 A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X P C ．21)0(=≤-Y X P D ．21)1(=≤-Y X P 10．设总体X~N (2,σμ)，2 σ为未知，通过样本n x x x Λ21,检验00:μμ=H 时，需要 用统计量（ C ）。 《概率论与数理统计》作业集及答案 自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。 性质： 例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。 注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。 （2）和事件 概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。 解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。 性质：①，；②若；则。 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A.41 B. 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X 则下列概率计算结果正确的是 A ．P (X =3)=0.2 B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示： 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是 A ．a =0.2，b =0.6 B ．a =-0.1，b =0.9 C ．a =0.4，b =0.4 D ．a =0.6， b =0.2 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 则P{XY=0}= A. 121 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2 σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 11．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=3 2 ，若事件A ，B 相互独立，则P (A ) A ． 91 B ． 6 1 C ．3 1 D ．21 12．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 A ．如果A ，B 互不相容，则B ,A 也互不相容 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16概率论与数理统计习题集及答案
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论与数理统计复习资料
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