2010年全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数

x

x x f 3245)(---=的值域是 .

2.

已知函数

x x a y s in )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a

的取值范围

是 .

3.

双曲线122

=-y x

的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点

（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4.

已知

}

{n a 是公差不为

的等差数列，

}

{n b 是等比数列，其中

3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数

n

都有

βα+=n n b a lo g ，则=+βα .

5.

函数

)1,0(23)(2≠>-+=a a a a

x f x

x

在区间]1,1[-∈x 上的最大值为

8，则它在这个区间上的最小值是 .

6.

两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，

否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7.

正三棱柱

111C B A ABC -的

9条棱长都相等，

P 是1CC 的中点，二面角

α=--11B P A B ,则=αsin .

8.

方程2010=++

z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .

二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数

)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，

1)(≤'x f ，试求a 的最大值.

10.（20分）已知抛物线

x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中2

1x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值.

11.（20分）证明：方程02523

=-+x x

恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递

增正整数数列}{n a ，使得

+++=3215

2

a a a r r r .

解 答

1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，

从而可知

)(x f 的值域为]3,3[-.

2. 122

3

≤≤-

a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即

t a at t g )3()(3-+-=.

由

3

)3(3-≥-+-t a at ，

)1(3)1(2≥----t t at ，

0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即

3)(2-≥+t t a . （1）

当1,0-=t

时（1）总成立；

对

2

0,102≤+<≤

04

1

,012<+≤-

<<-t t t .从而可知

122

3

≤≤-

a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设

)

99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于

k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，

从而在x 轴上方区域内部整点的个数为

99

1

(99)99494851k k =-=?=∑.

又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+?.

3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则

,3q d =+ （1）

2)43(3q d =+， （2）

（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .

从而有

β

α+=-+-19l o g )1(63n n 对一切正整数

n

都成立，即

β

α+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.

从而

βαα+-=-=9log 3,69log ，

求得 3,33==βα，333+=+βα.

5.

4

1-

提示：令

,

y a x =则原函数化为

2

3)(2-+=y y y g ,

)

(y g 在

3

(,+)2

-∞上是递增的. 当10<<

a 时，],[1-∈a a y ,

211max 1

()32822

g y a a a a ---=+-=?=?=

， 所以

4

1

2213)21()(2min -=-?+=y g ；

当

1>a 时，],[1a a y -∈，

2823)(2max =?=-+=a a a y g ，

所以

4

1

2232)(12min -

=-?+=--y g . 综上

)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4

1-

. 6.

1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12

73621=，从而先投掷人的获胜概率为

+?+?+127)125(127)125(127421712

144

2511127

=

-?=.

7.

4

提示：解法一：如图，以

AB 所在直线为x

轴，线段

AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立

空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则

)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -

，从而，

)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .

设分别与平面

P

BA 1、平面

P

A B 11垂直的向量是

)

,,(111z y x m =、

),,(222z y x n =，则

????

?=++-=?=+-=?,03,

022111111z y x z x BA ????

?=-+-=?=-=?,

03,

022221211z y x B x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n

m ，所以cos m n m n α

?=

?，即

2cos cos 4

αα=?=.

所以 4

10sin =

α.

解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设

B

A 1与

1

AB 交

于

点

,

O

则

1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .

11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面

B PA 1 .

过O 在平面B PA 1上作P A OE

1⊥,垂足为E .

连结

E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得

3,2,5111=====PO O B O A PA PB .

在

直

角

O

PA 1?中，

OE

P A PO O A ?=?11,即

5

6,532=

∴?=?OE OE .

又 5

5

4562,222111=+

=+=∴=OE O B E B O

B .

4

10

5

542sin sin 111=

==

∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知

2010

=++z y x 的正整数解的个数为

1004

200922009?=C .

把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：

（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知

100420096100331?=+?+k ，

所以

110033*********-?-?=k

O

E

P

C 1

B 1

A 1

C

B

A

200410052006123200910052006-?=-?+-?=，

即

3356713343351003=-?=k .

从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为

33667533567110031=++.

9. 解法一：

,23)(2

c bx ax x f ++='由 ???????++='++='='c

b a f

c b a f c f 23)1(,43)2

1(,)0( 得

)2

1

(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.

所以

)2

1

(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=

)2

1

(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤

8≤，

所以38≤

a

. 又易知当m x x x x f ++-=2

3438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3

8

.

解法二：

c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，

2)(0≤≤x g .

设 12-=x z

，则11,2

1

≤≤-+=

z z x . 14

322343)21()(2++++++=+=c b a

z b a z a z g z h .

容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，

22

)

()(0≤-+≤

z h z h ， 即

214

34302≤++++≤c b a z a ，

从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知3

8≤a .

又易知当m x x x x f ++-=2

343

8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值

为38. 10.

解

法

一：

设线

段

AB

的中点为

)

,(00y x M ，则

2

,222

1

0210y y y x x x +==+=

，

0122

1221212123

66

6y y y y y y y x x y y k AB =

+=--=--=

.

线段

AB 的垂直平分线的方程是

)2(3

0--

=-x y y y . （1） 易知0,5==y x

是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定

点，且点C 坐标为)0,5(.

由（1）知直线

AB 的方程为)2(3

0-=

-x y y y ，即

2)(3

00

+-=

y y y x . （2） （2）代入

x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即

012222

002=-+-y y y y . （3）

依题意，

21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以

222

00044(212)4480y y y ?=--=-+>,

32320<<-y .

2

21221)()(y y x x AB -+-=

2212

0))()3

(

1(y y y -+=

]4))[(91(212212

y y y y y -++=

))122(44)(9

1(2

02020--+=y y y

)12)(9(3

22

020y y -+=

. 定点)0,5(C 到线段

AB 的距离

2

02029)0()25(y y CM h +=-+-==.

2

020209)12)(9(3

121y y y h AB S ABC +?-+=?=? )9)(224)(9(2

1312

02020y y y +-+=

3

2

02020

)3

92249(2131y y y ++-++≤

73

14

=

. 当

且仅

当

2

202249y y -=+，即

,

A B 或

B -时等号成立. 面积的最大值为

73

14

. 线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C

4

,,,2

22121222211=+>==t t t t t x t x ，则

1

6161

021t t 的绝对值, 2222122112

))656665(21(t t t t t t S ABC

--+=?

2

21221)5()(23+-=t t t t

)5)(5)(24(2

3

212121++-=

t t t t t t 3

)314(23≤,

所

以73

14

≤?ABC S , 当且仅当5

)(21221+=-t t t t 且

4

2

221=+t t ，即

,

6

571-=

t

6

572+-

=t

,A B 或

A B -时等号成立.

所以，ABC ?面积的最大值是73

14

. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.

又

043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1

(0,)2

r ∈. 所以 3

2520r

r +-=，

3152r

r -=4710

r r r r =++++. 故数列),2,1(23 =-=n n a n

是满足题设要求的数列.

若存在两个不同的正整数数列 <<<

<<<

5

2321321=

+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有

+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，

这里 <<<<<<321321

,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.

不妨设11

t s <，则

++=++<21211t t s s s r r r r r ，

112

111111

121211=--<--=

++≤++<--r

r r r r s t s t ，

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

加 试

1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上

一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与

AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．

2. （40分）设k 是给定的正整数，

12

r k =+

．记

(1)

()()f r f r r r ==????

，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得

()()m f r 为一个整数．这里，x ????表示不小于实数x 的最小整数，例如：112??

=????

，11=????． 3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,

,k a k n ≤=，

记

12,1,2,,k

k a a a A k n k

++

+=

=．

求证：

1

1

1

2

n n

k k k k n a A ==--<

∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形

12

n A A A 的每个顶点处赋值0和1

两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？

解 答

1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2

PK

=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）

()()

2

2

2

2

PO r KO r

=-+-，

同理

()()2

2

2

2

2

QK QO r

KO

r

=-+-，

所以

2

22

2

PO PK QO QK

-=-，

故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是

AQ AP

QN PM

=． ①

由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得

1NB DE AQ

BD EA QN

??=， ② 1MC DE AP

CD EA PM ??=． ③ 由①，②，③可得

NB MC BD CD =， 所以ND MD

BD DC

=

，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，

所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.

注1：“2

PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使

得

PK KF AK KE ?=?， ④

则P ，E ，F ，A 四点共圆，故

PFE PAE BCE ∠=∠=∠，

从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是

PK PF PE PC

?=?，

⑤

⑤-④，得

2PK PE PC AK KE =?-?=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂

（关于⊙O ）．

注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．

M

F

E O

K C

B

A

2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．

下面我们对2()

v k v =用数学归纳法．

当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时

()111()1222f r k k k k ?

?????=++=++ ? ????

?????

为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立． 对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式

1212222v v v v v k αα++++=+?+?+

，

这里，0i α=或者1，1,2,

i v v =++．

于是

()111()1222f r k k k k ?

?????=++=++

? ?????????

2122k

k k =

+++

1121121

2(1)2()222

v v v v

v v v ααα-++++=+++?++?+++

1

2

k '=+

， ① 这里

1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++?++?+

++

.

显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，1

2

r k ''=+

经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，

(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．

3. 由01k a <

≤知，对11k n ≤≤-，有1

1

0,

0k

n

i i

i i k a k a

n k ==+<≤<

≤-∑∑．

注意到当,

0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有

1

1111k

n n k i i

i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑

11111n k

i i

i k i a a n k n =+=??=-- ???∑∑

1

1111max ,

n

k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ?????

∑∑ 111max (),n k k n

k n ??

??≤--?? ?????

1k

n

=-

， 故

1

1

1

n

n

n

k k

n k

k k k a A

nA A ===-=-∑∑∑

()1

1

11

n n n

k n k

k k A

A A A --===

-≤-∑∑

1

11n k k n -=??<- ??

?∑12n -=．

4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点

1A 上的设置（共有

4种），按照边上的字母可以依次确定点

23,,,n A A A 上的设

置．为了使得最终回到

1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密

码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．

设标有a 的边有2i 条，02n i

??≤≤????，标有b 的边有2j 条，202n i j -??

≤≤????

．选

取2i 条边标记a 的有2i

n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其

余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i

n C 22j n i C -种标记方法．对

i ，j 求和，密码锁的所有

不同的密码设置方法数为

2222220

04n n i i j n n i i j C C -??

??

????

????

-==?? ? ? ???

∑

∑． ①

这里我们约定0

1C =．

当n 为奇数时，20n i ->，此时

2222120

2n i j

n i n i

j C

-??????---==∑． ②

代入①式中，得

()()2222222221

2220

000442

22n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -????????

????????

????????

----====?? ?== ? ???

∑

∑∑∑ 0

2

2(1)(21)(21)n

n

k n k

k n k

k n n n

n k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．

当n 为偶数时，若2n i <

，则②式仍然成立；若2

n

i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

2222220

04n n i i j n n i i j C C -??

??????????

-==?? ?= ?

?

??

∑

∑()1

22210412n i n i n i C ??

-????--=?? ??+ ? ???∑ ()2221

24233n i n i n n i C ??

????

--==+=+∑．

综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n

+种；

当n 为偶数时有33n

+种．