解析几何专练·作业(三十二)
1．(本小题满分13分)
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭
圆上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，
若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．
解析 (1)由题意可知e ＝c a ＝12，
又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2
＝34a 2.(2分) 因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434
a 2＝1.
解得a 2＝4，所以b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.(4分)
(2)方法一 由(1)知F 1(－1,0)，
当直线l ⊥x 轴时，A (－1，－32)，B (－1，32)或A (－1，32)，B (－1，
－32)， S △AOB ＝12×|AB |×|OF 1|＝12×3×1＝32，不符合题意．(6分)
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，
由??? y ＝k (x ＋1)，
x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2
.(7分) 又|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝
1＋k 2·64k 4(3＋4k 2)2－4(4k 2－12)3＋4k 2
， 即|AB |＝1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.(8分) 又圆O 的半径r ＝|k ×0－0＋k |1＋k 2＝|k |1＋k
2， 所以S △AOB ＝12×|AB |×r ＝12×12(k 2＋1)3＋4k 2×|k |1＋k 2
＝6|k |1＋k 23＋4k 2＝62
7.(10分)
化简，得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0. 解得k 2＝1或k 2＝－1817(舍去)，所以r ＝
|k |1＋k
2＝22. 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.(13分) 方法二 设直线l 的方程为x ＝ty －1，
由??? x ＝ty －1，
x 24＋y 2
3＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0.
显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2
.(7分)
所以|y 1－y 2|＝
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2
＝12t 2＋14＋3t 2. 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2
＝627. 化简，得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0.
解得t 2＝1或t 2
＝－1718(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t
2，所以r ＝22. 故圆O 的方程为x 2＋y 2
＝12.(13分) 2．(本小题满分13分)
已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(2，1)，离心率为22.
(1)若A 是椭圆E 的上顶点，F 1，F 2分别是左、右焦点，直线AF 1，AF 2分别交椭圆于B ，C 两点，直线BO 交AC 于点D ，求证：S △ABD ∶S △ABC ＝3∶5；
(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MA 2⊥A 1A 2，
且MA 1交椭圆E 于点P ，求证：OP →·OM →
为定值．
解析
(1)由题意
得???
2a 2＋1b 2＝1，c a ＝22，
且c 2＝a 2－b 2，
解得?????
a 2＝4，
b 2＝2. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2＝1.(2分)
所以A (0，2)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．
所以直线AB ：y ＝x ＋2，直线AC ：y ＝－x ＋ 2.
将y ＝x ＋2代入椭圆方程可得3x 2＋42x ＝0，
所以B (－423，－23)．
同理可得C (423，－23)．(4分)
所以直线OB ：y ＝14x .
联立??? y ＝14
x ，y ＝－x ＋2，得交点D (425，25)．(6分)
所以|AD |＝85，|AC |＝83，即|AD |∶|AC |＝3∶5.
所以S △ABD ∶S △ABC ＝3∶5.(7分)
(2)由(1)知椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，
设M (2，y 0)，P (x 1，y 1)，
易知直线MA 1的方程为y ＝y 04x ＋y 02，
代入椭圆x 24＋y 22＝1，得(1＋y 208)x 2＋y 202x ＋y 202－4＝0.
所以－2x 1＝4(y 20－8)y 20＋8，解得x 1＝－2(y 20－8)y 20＋8
.(10分) 从而y 1＝8y 0y 20
＋8， 所以OP →·OM →＝(－2(y 20－8)y 20＋8，8y 0y 20＋8)·(2，y 0)＝－4(y 20－8)y 20＋8＋8y 20y 20＋8
＝4，即OP →·OM →
为定值．(13分)
3．(本小题满分14分)
已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －
y －2＝0的距离为322.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知A ，B 是抛物线C 上的两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线的交点为M ，设线段AB 的中点为N ，证明：存
在λ∈R ，使得MN →＝λOF →
；
(3)在(2)的条件下，若抛物线C 的切线BM 与y 轴交于点R ，A ，B 两点的连线过点F ，试求△ABR 面积的最小值．
解析 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2
＝4cy (c >0)，则|0－c －2|2＝322，解得c ＝1，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由y ′＝12x ，得直线AM 的斜率k AM ＝12x 1.
直线BM 的斜率k BM ＝12x 2，
∴直线AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)， ①
直线BM 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)． ② 由①②得y 2－y 1＝12x 1(x －x 1)－12x 2(x －x 2)＝(12x 1－12x 2)x ＋12x 22－12x 21.
∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线C ：y ＝14x 2上，
∴14x 22－14x 21＝(12x 1－12x 2)x ＋12x 22－12x 21.
∴x ＝12(x 1＋x 2)．(6分)
即点M 的横坐标x ＝12(x 1＋x 2)． 又点N 的横坐标也为x 1＋x 22，
∴MN ∥y 轴，即MN →与OF →
共线．
∴存在λ∈R ，使得MN →＝λOF →
.(8分)
(3)设点B 的坐标为(t ，t 24)(t ≠0)，则切线BM 的方程为y －t 24＝t 2(x
－t )，可得R 的坐标为(0，－t 24)．
直线BA 的方程为y ＝t 2－44t x ＋1，由??? 4y ＝x 2，y ＝t 2－44t x ＋1，
可得点A
的坐标为(－4t ，4t 2)．
∴S △ABR ＝12|FR |·|x B －x A |＝12|1＋t 24|·|t ＋4t |＝12|14t 3＋2t ＋4t |.(11分)
∵12|14t 3＋2t ＋4t |是关于t 的偶函数，∴只需考虑t >0的情况．
令f (t )＝12(14t 3＋2t ＋4t )(t >0)，则f ′(t )＝12(34t 2＋2－4t 2)，令f ′(t )＝0，解得t ＝233.
∵当t ∈(0，233)时，f ′(t )<0，当t ∈(233，＋∞)时，f ′(t )>0，
(13分)
∴当且仅当t ＝233时，f (t )取得最小值f (t )min ＝f (233)＝1639.
∴△ABR 面积的最小值为1639.(14分)
4．(2014·安徽合肥5月)(本小题满分15分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >
b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大
值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A ，B .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →
(O 为坐标原点)，当|
AB |<3时，求实数t 的取值范围．
解析 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.(1分)
则椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.
设N (x ，y )，则|NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2 ＝4b 2－4y 2＋(y －3)2(2分) ＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.
当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，(3分) 解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(4分)
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，
直线AB 的方程为y ＝k (x －3)，
由??? y ＝k (x －3)，
x 24＋y 2＝1，
整理，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.(6分)
则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－4
1＋4k 2.
Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.(7分)
由题意得OA →＋OB →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，
则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2
t (1＋4k 2)，
y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2)
.(9分) 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2
t 2(1＋4k 2)2
＝4. 化简，得36k 2＝t 2(1＋4k 2)． ①(10分)
由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，
得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3.将x 1＋x 2，x 1x 2代入，得
(1＋k 2)[242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2
]<3.(12分) 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0.
则8k 2－1>0，即k 2>18.(14分)
∴18 由①得t 2 ＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2. 由②得3 故实数t 的取值范围为－2 5．(2014·江西八校联考)(本小题满分13分) 如图，线段AB 为半圆ADB 所在圆的直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |＝4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |＋|PB |的值不变． (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； (2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，且M 在 D ，N 之间，设|DM ||DN |＝λ，求λ的取值范围． 解析 (1)以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， ∵|P A |＋|PB |＝|QA |＋|QB |＝222＋12＝25>|AB |＝4， ∴曲线C 为以原点为中心，A ，B 为焦点的椭圆． 设其长半轴长为a ，短半轴长为b ，则a ＝5，b ＝1. ∴曲线C 的方程为x 25＋y 2＝1.(4分) (2)当直线l 的斜率不存在时，显然λ＝|DM ||DN |＝13(此时直线l 与y 轴重合)；(6分) 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2＋20kx ＋15＝0. 则Δ＝(20k )2－4×15(1＋5k 2)>0，即k 2 >35. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|DM ||DN |＝x 1x 2 ＝λ. 又x 1＋x 2＝－20k 1＋5k 2，x 1x 2＝151＋5k 2 ，(8分) 将x 1＝λx 2 ，代入得??? (1＋λ)x 2＝－20k 1＋5k 2，λx 22＝151＋5k 2. ∴(1＋λ)2λ＝400k 215(1＋5k 2)＝803(5＋1k 2) . ∵k 2 >35，∴0<1k 2<53. ∴5<5＋1k 2<203，即4<80 3(5＋1k 2)<163. ∴4<(1＋λ)2λ<163，∵λ＝|DM ||DN |>0， ∴4λ<(1＋λ)2 <163λ，解得13<λ<3且λ≠1. ∵λ＝x 1x 2 ＝|DM ||DN |，M 在D ，N 之间，∴13<λ<1. 综上，λ的取值范围为[13，1)．(13分) 21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-?? 【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 解析几何专项训练 班级 学号 成绩 （一）填空题 1、若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_-1____． 2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42 =仅有一个公共点，则实数=k 1 ,02 3、若直线l 的一个法向量为()2,1n =，则直线l 的倾斜角为 arctan2π- （用反三角函数值表示） 4、已知抛物线2 0x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等，则 m = -16 5、已知圆C 过双曲线 116 92 2=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是 16 3 6、已知直线1l ：210x y +-=，另一条直线的一个方向向量为(1,3)d =，则直线1l 与2l 的夹角是 4 π 7、已知直线:0l ax by c ++=与圆1:2 2 =+y x O 相交于A 、B 两点，3||=AB ， 则OA ·OB = 12 - 8、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22，则 直线m 的倾斜角是 0015,75 . 9、若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线132 2 =-y x 相交于 不同两点A 、B ，则实数a 的取值围是 2215,3a a <≠ . 10、（理科）设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45，则此时曲线C 的方程为__22 142 y x +=___________． 11、等腰ABC ?中，顶点为,A 且一腰上的中线长为3,则 三角形ABC 的面积的最大值 2 12、如图，已知OAP ?的面积为S ，1OA AP ?=． 设||(2)OA c c =≥，3 4 S c =，并且以O 为中心、A 为焦点的椭 圆经过点P ．当||OP 取得最小值时，则此椭圆的方程为 22 1106 x y += . （二）选择题 13、“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的（ B ）条件 （A ）充要；（B ）充分不必要；（C ）必要不充分；（D ）既不充分也不必要 14、如果i +2是关于x 的实系数方程02 =++n mx x 的一个根，则圆锥曲线 12 2=+n y m x 的焦点坐标是（ D ）(A))0,1(±； (B))1,0(±； (C))0,3(± ；(D))3, 0(± 15、已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上， 方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( B ) (A) 方程'C 表示的曲线不存在； (B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆； (D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。 16、若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线22 2222222 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的 焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①2222 1221a a b b -=-； ②1221 a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2121b b a a +>+；其中所有正确的结论 序号是（ B ）A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④ y P x o A 圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k 例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。 专题五平面解析几何 专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合 1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±-> 2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． 专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴． 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程 1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应 解析几何练习题 1椭圆22 12516 x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ?的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（ ） A ． 53 B ．103 C ．203 D 2已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于B A ,两点，F 为C 的焦点，若 FB FA 2=.则=k （ ） A.31 B.32 C.32 D.322 3若双曲线22221x y a b -=-的离心率为5 4，则两条渐近线的方程为（ ） A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043 X Y ±= 4设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到 直线L 的距离为 4 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 2或 3 C D 5双曲线92x －4 2 y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 6平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为 7.双曲线的渐近线方程为 34y x =±，则双曲线的离心率是 。 8过函数y=- 2 9 4--x x 的图象的对称中心，且和抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有 条 9如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，， AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11 )T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程； （III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的 专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若2222c b a =+(0≠c )，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(，到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d ， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于2 2)22( 12=-，∴弦长为2，故选D 。 2．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =，∴两直线平行，将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x ， 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 10 29 865242 2= +--，故选B 。 3．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(， - B 、)220()022(，， - C 、)221()122(，， -- D 、)220(， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交，∴222222+<+<-a a ， 解得2222<<-a 且0≠a ，故选B 。 4．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ，则12=a ，m b 12=，∵实轴长是虚轴长的2倍， ∴b a 222?=，即b a 2=，即224b a =，∴4=m ，故选D 。 专题五 解析几何专项训练 一、选择题 1．设双曲线C: 3 2 x －y 2=1的右焦点为F,直线l 过点F 且斜率为k, 若直线l 与双曲线C 的 左、右两支都相交,则直线的斜率的取值范围是 ( ) A. k ≤－ 21 或k ≥21 B. －21 解析几何综合题 1．12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ．1答案：4 简解： 12||||PF PF ?≤2 212||||()42 PF PF a +== 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3 2 y =1的公共点有____________个. 2答案：0 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 江苏省苏州市高考数学真题分类汇编专题 18：平面解析几何（综合题） （1） 求椭圆 C 的方程； （2） P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2P 交 x 轴于点 Q，直线 A1B2 交 A2P 于点 E．设 A2P 的斜率为 k，EQ 的 斜率为 m，试问 2m﹣k 是否为定值？并说明理由．解析几何(大题)
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江苏省苏州市高考数学真题分类汇编专题18：平面解析几何(综合题)
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成绩:________
一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)
1. （10 分） (2019·天河模拟) 已知椭圆 C：
为 A，上顶点为 B，离心率为
，
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
的面积为
．
（2） 过 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，求
的左右焦点分别为 ， ，左顶点 内切圆半径的最大值．
2. （10 分） (2019·吕梁模拟) 已知抛物线 直线 被 截得的弦长为 16．
（1） 求 的方程；
的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
（2） 点 是 上一点，若以
为直径的圆过点
，求该圆的方程．
3. （10 分） (2018 高二上·合肥期末) 已知动点 到点
的距离比它到直线
的距离小 ，
记动点 的轨迹为 .若以
为圆心， 为半径（ ）
结并延长
，分别交曲线 于
两点.
作圆，分别交 轴于
两点，连
（1） 求曲线 的方程；
（2） 求证：直线
的斜率为定值.
4. （10 分） (2017·赣州模拟) 如图，椭圆
B1、B2 ， 且
．
的离心率为
，顶点为 A1、A2、
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5. （10 分） (2017·西城模拟) 已知椭圆 C：
=1（a＞b＞0）的离心率是 ，且过点
．直
线 y= x+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）求△PAB 的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．
6. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系
中，
过点
且倾斜角为 的直线 与
交于
两点
的参数方程为
（1） 求 的取值范围
（2） 求 中点 的轨迹的参数方程
( 为参数)，
7. （5 分） (2017 高二下·新疆开学考) 在平面直角坐标系 x0y 中，已知点 A（﹣ ，0），B（ ） ，
E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ．
（Ⅰ）求动点 E 的轨迹 C 的方程；
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