结构力学课件CH11

位移法基本概念 等截面直杆的杆端力 位移法基本未知量 位移法之典型方程法 无侧移刚架、有侧移刚架算例 位移法之直接平衡法 位移法计算对称结构 支座移动和温度改变时的计算

1、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点：

基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；

基本方程——位移条件

（变形协调条件）。

位移法的特点：

基本未知量——

基本体系——

基本方程——

独立结点位移

平衡条件

？

§11-1 位移法的基本概念

l

l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q

EI=常数

A B

C

βA

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q

A

B

C

θA

F 1

F 1=0

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q

A

B

C

F 1P

ql 2/12ql 2/12

A

B

C

θA

F 11

θA

θA

A l

EI

θ4A l

EI

θ2A l

EI

θ2A l

EI θ4A l

EI

θ2A

l EI

θ4A l

EI

θ4A l

EI

θ2122

1ql F P -

=ql 2/12

F 1P

4i

F

11

l

EI l EI A A θθ44+=012

80

2

1111=-=+=ql

l EI F F F A P θEI

ql A 963

=

θ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q

A

B

C

ql 2/24

5ql 2/48

ql 2/48

01>>F A A βθ0

1<

A βθ=

Δ

θA

θB

M AB

Q AB Q BA

M BA

1、杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA 、θB ，弦转角β＝Δ/l 都以顺时针为正。

②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。用力法求解

i =EI /l

2、形常数：

由单位杆端位移引起的杆端力

β

M AB >0

M BA <0

1

4i

2i

M

i

M i M BA AB 2,4==§11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）

由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。单跨超静定梁简图

M AB

M BA Q AB = Q BA

4i

2i

θ=1

A B

A B

1

2

12l

i

l

i

6-l

i

6-l

i

6-A

B

1

l

i 3-A B θ=1

3i

2

3l

i A

B

θ=1

i

－i

l

i

3-

3、载常数:由跨中荷载引

起的固端力X 1=－Δ1P /δ11 =3ql/8Δ1=δ11X 1+ Δ1P =0

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

ql 2/2

M P

q

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B

m AB

l ，EI

l

1

=11

M D P 1-

=??????-=EI ql

l l ql EI 84323114211d =?? ??=EI

l l l EI 3322132↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q l 2/8

8

2

=-

=B A A B m ql

m 各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成了载常数表11-2（P 241）

M 图

4、转角位移方程

：杆端弯矩的一般公式：

Q BA Q AB M BA

M AB

P

M BA

M AB

+

P

l

i i i M l i i i M B A B A B A A B D

-+=D

-+=642624θθθθ+m AB

+m BA

AB

BA AB AB Q l

M M Q ++-=0

BA

Q 0AB

Q ‘BA

Q

’‘

AB

Q’Δ

θA

θB

M AB

Q AB

Q BA

M BA β

↓↓↓↓↓↓↓↓

5、已知杆端弯矩求剪力：取杆件为分离体建立矩平衡方程：

转角位移方程

注：1、M AB ,M BA 绕杆端顺时

针转向为正。2、是简支梁的剪力。

AB Q

1、基本未知量的确定：P P

θC θD

ΔΔθC

Δ

ΔΔ

为了减小结点线

位移数目，假定：①忽略轴向变形，②结点转角和弦转角都很微小。位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。结点角位移的数目=刚结点的数目P

P 即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。

结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。

=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。

2、基本体系的确定：

§11-3 位移法的基本未知量和基本体系

结点转角的数目：7个

2

3

相应的铰接体系的自由度=3独立结点线位移的数目：3个

也等于层数3

结点转角的数目：3个

独立结点线位移的数目：2个

不等于层数1

结点转角

独立结点线位移

数目=刚结点的数目

数目=铰结体系的自由度

=矩形框架的层数

在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。

Δ

1Δ

1Δ

2

Δ

1

Δ

1

Δ

2

F1

F2

F1=0

F2=0

F1P

F2P

k21

Δ1=1

Δ

1

×Δ

1

×Δ

2

k11

Δ

2

=1

k22

k12

位移法

基本体系

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

=

+

D

+

D

=

+

D

+

D

P

P

F

k

k

F

k

k

F1=0 F2=0

?F

11、F

21

(k11、k21)── 基本体系在Δ1(=1)单独作

用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；

?F

12、F

22

(k12、k22)── 基本体系在Δ2(=1)单独作用

时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；

?F

1P 、F

2P

── 基本体系在荷载单独作用时，附加约

束1、2中产生的约束力矩和约束力；

位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。§11-4 位移法典型方程

00

22112222212111212111=+D +???+D +D ?

???????????=+D +???+D +D =+D +???+D +D nP n nn n n P n n P n n F k k k F k k k F k k k n 个结点位移的位移法典型方程

?主系数k ii ── 基本体系在Δi =1单独作用时，在第i 个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；

?付系数k ij = k ji ── 基本体系在Δj =1单独作用时，在第i 个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；?自由项F iP ── 基本体系在荷载单独作用时，在第i 个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；)()1(的弯矩图荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作P i i M M =D ?；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。

↓↓↓↓↓↓↓↓

15kN/m

48kN

i i i

↓↓↓↓↓↓↓↓

15kN/m

48kN

Δ1Δ1

基本体系

F 1

当F 1=0

↓↓↓↓↓↓↓↓

15kN/m

48kN

20

20

36M P

M 1

20

360

F 1P =－162i

4i

3i

i

4i

3i

i

k 11=8i 解之:Δ1=－F 1P /k 11=2/i 利用

P M M M +D =11叠加弯矩图

Δ1=1

16

2830

30302M 图(kN.m)

1111=+D =P F k F k 11F 1P +

1

D ?

?由已知的弯矩图求剪力：0AB BA AB AB Q l

M M Q ++-=↓↓↓↓↓↓↓↓

15kN/m

48kN

i i

16

2830

3030

2

M 图(kN.m)

A

B

C

D

kN 272

41541628=?+--=kN Q BC 5.312

48430=+--=kN

Q BA 3324154

1628-=?---=33

27

+

31.5

+

16.5

Q 图(kN)

?由已知的Q 图结点投影平衡求轴力：

031.5

33N BD N AB 0B ∑X=0N AB =0∑Y=0N BD =－64.5校核：B 30228∑M B =02764.516.5↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m 48kN ∑Y=27+64.5+16.5－15×4+48 =0

M=∑M

15

20kN

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

A

B

C

3m

3m

6m

i i

2kN/m

A

B

C

16.72

11.57

9

2kN/m

20kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

A B

C

1）确定基本未知量Δ1=θB ；

2）确定位移法基本体系；

3）建立位移法典型方程；

1111=+D P F k 4）画M 、M P ;由平衡求系

数和自由项；

15

15

9

F 1P

15

9 F 1P =15－9=6

Δ1=1

2i

4i A B

C

3i

k 11

4i

3i k 11=4i+3i=6i

5）解方程，求基本未知量；i

k F P 761111-

=-=D 6）按M=∑M i ·Δi +M P

叠加最后弯矩图30

M 图(kN.m )

11.57

11.577）校核平衡条件

∑M B =0

M P

M 1

§11-5 位移法计算连续梁无侧移刚架

4I 4I 5I 3I 3I 1

1

1

0.75

0.5i=1110.750.5A B C D

E

F

5m

4m

4m

4m

2m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

20kN/m

例：作弯矩图

1、基本未知量

2、基本体系

BA

ql m ?==84

2082

2kN =.40BC ql m ?-=-=125201222CB m kN

m =.7.41kN -=.7.41令EI=1

C

B θθ=D =D 21,F 1P =40－41.7= －1.7

A

B C

D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

20kN/m

022221211212111=+D +D =+D +D P P F k k F k k 3、典型方程

4）画M P 、M i ;由平衡求k ij 、F iP 4041.7

41.7

M P

M 1

F 2P =41.7

A

B C D

E

F

3i 4i

2i

3i 1.5i

k 11=4i+3i+3i= 10i k 21

=2i

M 2

A

B

C D

E

F

3i

4i

2i

2i i

k 22=4i+3i+2i= 9i k 21=2i

5）解方程，求基本未知量；

07.419207.12102121=+D +

D =-D +D .415.121-=D =

D M 1

A

B C D

E

F

3i

4i

2i

3i 1.5i

A

B

C

D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

20kN/m 4041.7

41.7

M P

A

B C

D

E

F

5m

4m

4m

4m

2m

43.540

46.9

24.562.5

14.7

9.8

4.93.4

1.7

M 图(kN.M)

↓↓↓↓↓↓↓

3k N /m

2i

i

i

Δ2

Δ2

Δ1

↓↓↓↓↓↓↓

3k N /m

Δ2

Δ1

F 1

F 2

1=0F 2=0

↓↓↓↓↓↓↓

3k N /m

乘Δ2乘Δ1

Δ1

=1Δ2=1

002222121212121111=+D +D ==+D +D =P P

F k k F F k k F F 1P

k 12

k 11

F 2P k 22

k 21

4

4

M P

F 1P 041P =4

F 2P =－6

62=ql 0F 2P

4i 2i

6i

i i

11i i 5.146=11=10i k 21=－1.5i M 1

12i 43i 163i 2122M 2

12=－1.5i

k 21=15i/161.5i 1.5i

0.75i

0616155.1045.1102121=-D +D -=+D -D i i i i 解之:Δ1=0.737/i ，Δ2=7.58/i 利用P M M M M +D +D =22111叠加弯矩图13.62

4.42

5.69

M 图(kN.m)§11-6 位移法计算有侧移刚架

与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。

1、转角位移方程：l

i i i M l i i i M B A B A B A A B D

-+=D

-+=642624θθθθ+m AB

+m BA

Δ

θA

θB

M AB

Q AB

Q BA

M BA β

↓↓↓↓↓↓↓↓

⑴两端刚结或固定的等直杆

⑵一端铰结或铰支的等直杆

33=+D

-=BA AB

A A

B M m l

i i M θ⑶一端为滑动支承的等直杆BA

A B BA AB B A AB m i i M m i i M +-=+-=θθθθM AB

θA

A

B

↓↓↓↓↓↓↓↓

M AB A

B

θA

θB

M BA

↓↓↓↓↓↓↓↓

AB

BA AB AB Q l

M M Q ++-=(4)已知杆端弯矩求剪力

§11-9 用直接平衡法建立位移法方程

21

同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动.知识题目解析

同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t )

同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动习题答案

最新版 同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d)

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为 .. ml a。 取A点隔离体，A结点力矩为： .... 3 121 233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()() 2 121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为： . 2 1 33 la k l c al ??+ 根据A结点力矩平衡条件0 I p s M M M ++=可得： () 3 ... 322 1 393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . ..3 3 t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 t)

同济大学 朱慈勉版 结构力学 课后答案

第六章 习 题 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (d) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定

(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关力法方程有何物理意义 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-= ??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 p Q X Q Q +=11 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图

p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) 3m 6m 6m l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12

同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案

同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (3221393) t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t )

同济大学朱慈勉 结构力学 第6章习题答案

6- 37 同济大学朱慈勉 结构力学 第6章习题答案 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定

6- 38 (h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 01111=?+p X δ 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-=??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图

6- 39 p Q X Q Q +=11 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12

同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动..习题答案

同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动??习题答案 10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度? 10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标? 10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) mi m2 __ 八一 (b) 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

El= 3 m 21 --- 3 解：1)刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为ml a 由动力荷载引起的力矩为： -q | ?| =-q |2 2%) 3 3*) 由弹性恢复力所引起的弯矩为： 頁 cal2 根据 A结点力矩平衡条件M ] ? M p? M $ =0可得: 3map哼Fs1—斗 —..ka 3ca ma ■ 3I I 2)力法 解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移 -q. fa --l ot k -I G-I O( Vot e- 3 t 3 3 10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为k e，C、E处 弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。 q(t) C 取A点隔离体，A结点力矩为: M i =-m a I 2l 2 3 =〕mal 整理得: :?。根据几何关系，虚功方程为: 则同样有: ka 3ca ma 3I I