高二上数学期末试卷
出卷人:陈子钰
一、填空题:本大题共14小题,每小题3分,共42分.请把答案填写在答题卡相应位置.......
上 1.命题“?x ∈N ,x 2≠x ”的否定是 ▲ .
2.在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F (5,0)的抛物线的标准方程是 ▲ . 3.在平面直角坐标系中,准线方程为y=4的抛物线标准的方程为 _________ .
4.记函数f (x )=x +1
x
的导函数为f '(x ),则 f '(1)的值为 ▲ .
5.已知实数x ,y 满足约束条件?
????x +y -4≤0,
x -y ≥0,y ≥0,则z =x +2y 的最大值为 ▲ .
6.记命题p 为“若α=β,则cos α=cos β”,则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ▲ .
7.在平面直角坐标系xOy 中,已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y =0,则该双曲线的离心率为 ▲ .
8.如图,已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形,AB =4,AA 1=3, ∠BAA 1=60?,E 为棱C 1D 1的中点,则→AB ?→
AE = ▲ . 9.已知函数f (x )=e x -ax 在区间(0,1)上有极值,则实数a 的取值范围是 ▲ .
10.“a =1”是“函数f (x )=x +a cos x 在区间(0,π
2
)上为增函数”的 ▲ 条件(在“充要”、“充
分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空).
11.已知圆柱的体积为16π cm 3,则当底面半径r = ▲ cm 时,圆柱的表面积最小. 12.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 24+y 2
3=1的左焦点为F ,直线x -y -1=0,x -y +1=0
与椭圆分别相交于点A ,B ,C ,D ,则AF +BF +CF +DF = ▲ .
13.定义在R 上的函数y =f (x )的图像经过坐标原点O ,且它的导函数y =f '(x )
的图像是如图所示的一条直线,则y =f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限.
14.已知A 是曲线C 1:y =a
x -2 (a >0)与曲线C 2:x 2+y 2=5的一个公共点.若C 1在A 处的切线与
C 2在A 处的切线互相垂直,则实数a 的值是 ▲ .
二、解答题
(第13题图)
O
x
y C
A
B D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
(第8题图)
15.(8分)已知命题p:任意x∈R,x2+1≥a,命题q:方程﹣=1表示双曲线.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.
16.(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;
(2)若直线x+y+a=0与圆C交于A,B两点,且AB=2,求实数a的值.
A
B
C D C 1
B 1
A 1
D 1
E F (第17题图)
17.(本题满分10分)
在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =2,AA 1=a ,E ,F 分别为AD ,CD 的中点. (1)若AC 1⊥D 1F ,求a 的值;
(2)若a =2,求二面角E -FD 1-D 的余弦值.
18.(本题满分10分)
已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2),今年新增的年销量......
(单位:万件)与(2-x )2成正比,比例系数为4. (1)写出今年商户甲的收益y (单位:万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年
收益更多)?说明理由.
19.(本题满分10分)已知函数f (x )=ax 2-(4a +2)x +4ln x ,其中a ≥0.
(1)若a =0,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)讨论函数f (x )的单调性.
20.(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (-2,0), C (2,0),直线AB ,AC 的斜率乘积为-1
4,设顶点A 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程;
(2)设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ,过点D 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,这两条直线与
曲线E 的另一个交点分别为M ,N .设l 1的斜率为k (k ≠0),△DMN 的面积为S ,试求
S
∣k ∣的取值范围.
答案
一、填空题
1.?x ∈N ,x 2=x 2.y 2=20x 3.4 4.-1 5.6 6.2 7.
5
2
8.14 9.(1,e) 10.充分不必要. 11.2 12.8 13.1 14.2
二、解答题15.(1)记f (x )=x 2
+1,x ∈R ,则f (x )的最小值为1,…(2分) 因为命题p 为真命题,所以a≤f (x )min =1,
即a 的取值范围为(﹣∞,1]. …(4分)
(2)因为q 为真命题,所以a+2>0,解得a >﹣2.…(6分) 因为“p 且q”为真命题,所以
即a 的取值范围为(﹣2,1].
…(8分)
说明:第(1)问得出命题p 为真命题的等价条件a≤1,给(4分),没过程不扣分,
第(2)问分两步给,得到a >﹣2给(2分),得到x ∈(﹣2,1]给(2分),少一步扣(2分). ……………… 8分
16.解 (1)曲线与y 轴的交点是(0,-3).令y =0,得x 2-2x -3=0,解得x =-1或x =3.
即曲线与x 轴的交点是(-1,0),(3,0). ……………… 2分
设所求圆C 的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,
则?????9-3E +F =0,
1-D +F =0,9+3D +F =0,
解得D =-2,E =2,F =-3.
所以圆C 的方程是x 2+y 2-2x +2y -3=0. ……………… 5分 (2)圆C 的方程可化为(x -1)2+(y +1)2=(5)2,
所以圆心C (1,-1),半径r =5. ……………… 7分 圆心C 到直线x +y +a =0的距离d =|1+(-1)+a |2=|a |2
. 由于d 2+(12AB )2=r 2,
所以(
|a |2
)2
+12=(5)2,解得a =±2 2 . ……………… 10分 17.解 如图,以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,
DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立坐标系. (1)由题意得A (2,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,2,a ),F (0,1,0).
故→
AC 1=(-2,2,a ),→
D 1F =(0,1,-a ). …… 2分
因为AC 1⊥D 1F ,所以→
AC 1·→
D 1F =0,即(-2,2,a )·(0,1,-a )=0.
从而2-a 2=0,又a >0,故a =2. ……………… 5分 (2)平面FD 1D 的一个法向量为m =(1,0,0). 设平面EFD 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ),
因为E (1,0,0),a =2,故→
EF =(-1,1,0),→
D 1F =(0,1,-2). 由n ⊥→
EF ,n ⊥→
D 1F ,得-x +y =0且y -2z =0,解得x =y =2z .
A
B
C D
C
B A 1
D 1
E
F (第17题
z y
x
故平面EFD 1的一个法向量为n =(2,2,1). ……………… 8分
因为cos
3,且二面角E -FD 1-D 的大小为锐角,
所以二面角E -FD 1-D 的余弦值为2
3. ……………… 10分
18.解 (1)由题意知,今年的年销售量为1+4(x -2)2 (万件).
因为每销售一件,商户甲可获利(x -1)元,所以今年商户甲的收益y =[1+4(x -2)2](x -1)
=4x 3-20x 2+33x -17,(1≤x ≤2). ……………… 4分
(2)由(1)知y =4x 3-20x 2+33x -17,1≤x ≤2, 从而y ′=12x 2-40x +33=(2x -3)(6x -11).
令y ′=0,解得x =32,或x =11
6
.列表如下:
x (1,32)
32 (32,116) 116 (11
6,2) f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )
递增
极大值
递减
极小值
递增
……………… 7分
又f (3
2)=1,f (2)=1,所以f (x )在区间[1,2]上的最大值为1(万元).
而往年的收益为(2-1)×1=1(万元),
所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
……………… 10分
19.解(1)当a =0时,f (x )=-2x +4ln x ,
从而f ′(x )=-2+4
x ,其中x >0. ……………… 2分
所以f ′(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y +2=2(x -1),即2x -y -4=0. ……………… 4分 (2)因为f (x )=ax 2-(4a +2)x +4ln x ,
所以f ′(x )=2ax -(4a +2)+4x =2ax 2
-(4a +2)x +4x =2(ax -1)(x -2)
x
,其中x >0.
①当a =0时,f ′(x )=-2(x -2)
x
,x >0.
由f ′(x )>0得,0<x <2,所以函数f (x )的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);
……………… 6分
②当0<a <12时,因为1a >2,由f ′(x )>0,得x <2或x >1
a
.
所以函数f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,+∞);单调减区间为(2,1
a
);
……………… 8分
③当a =1
2时,f ′(x )=(x -2)2
x ≥0,且仅在x =2时,f ′(x )=0,
所以函数f (x )的单调增区间是(0,+∞);
④当a >12时,因0<1a <2,由f ′(x )>0,得0<x <1
a
或x >2,
所以函数f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,+∞);单调减区间为(1
a ,2).
综上,
当a =0时,f (x )的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞); 当0<a <12时,f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,+∞),减区间为(2,1
a );
当a =1
2
时,f (x )的单调增区间是(0,+∞);
当a >12时,f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,+∞),减区间为(1
a
,2).
……………… 10分
20.解(1)设顶点A 的坐标为(x ,y ),则k AB =
y x +2,k AC =y
x -2
, ………… 2分 因为k AB ?k AC =-14,所以y x +2? y x -2=-14, 即x 24+y 2
=1.(或x 2+4y 2=4).
所以曲线E 的方程为 x 24+y 2
=1(x ≠±2) . ……………… 4分
(2)曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0,-1).
因为l 1的斜率存在,所以设l 1的方程为y =kx -1, 代入x 24+y 2=1,得M (8k
1+4k 2,4k 2-11+4k 2),
从而DM =
(8k 1+4k 2)2+(4k 2
-11+4k 2+1)2
=8∣k ∣1+k 21+4k 2
. ……………… 6分 用-1
k 代k 得DN =81+k 24+k 2
.
所以△DMN 的面积S =12?8∣k ∣1+k 21+4k 2?81+k
2
4+k 2
=32(1+k 2)∣k ∣(1+4k 2)(4+k 2)
. ……………… 8分 则S
∣k ∣= 32(1+k 2)(1+4k 2)(4+k 2)
, 因为k ≠0且k ≠±1
2,k ≠±2,令1+k 2=t ,
则t >1,且t ≠5
4
,t ≠5,
从而S ∣k ∣=32t (4t -3)(t +3)=32t 4t 2+9t -9
=
329+4t -
9
t
,
因为4t -9t >-5,,且4t -9t ≠-115,4t -9t ≠91
5.
所以9+4t -9t >4且9+4t -9t ≠345,9+4t -9t ≠136
5
,
从而
S ∣k ∣<8且S ∣k ∣≠8017,S ∣k ∣≠2017
,
即 S ∣k ∣
∈(0,2017)∪(2017,8017)∪(80
17,8). ……………… 10分
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1) 一、选择题 1.将1000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,抽取的第40个号码为( ) A .0795 B .0780 C .0810 D .0815 2.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5,方差为16,则数据:153x -、 253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为( ) A .1-,36 B .1-,41 C .1,72 D .10-,144 3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 4.下列赋值语句正确的是( ) A .s =a +1 B .a +1=s C .s -1=a D .s -a =1 5.把化为五进制数是( ) A . B . C . D . 6.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分別等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于216cm 的概率为( ) A . 23 B . 34 C . 25 D . 13 7.执行如图的程序框图,如果输出a 的值大于100,那么判断框内的条件为( )
A .5k <? B .5k ≥? C .6k <? D .6k ≥? 8.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份,则(2)班成绩更好的概率为( ) A . 1636 B . 1736 C . 12 D . 1936 9.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+,其中0.78b ∧ =,a y b x ∧ ∧ =-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元 B .13.88万元 C .12.78万元 D .14.28万元 10.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示: x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 若,x y 满足回归方程 1.5??y x a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5)
高二英语期末试卷 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷第1页至第7 页。第II卷第 8 页至第 8 页。共150分。考试时间120分钟。 第I卷(三部分共115分) 第一部分:听力(共两节,满分30分) 做题时,先将答案划在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。 第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分) 听下面5段对话。每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听完每段对话后,你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。每段对话仅读一遍。 1.What will the man have for breakfast? A. Eggs. B. Bread. C. Coffee. 2.Why does Tom visit Tracy? A. He wants to say sorry to Tracy. B. He wants to borrow some milk from Tracy. C. He wants to help Tracy cook the meal. 3.Why doesn?t Sam eat his cake? A. He doesn?t like it. B. He has a toothache. C. He has trouble in opening his mouth. 4.What time should the two speakers arrive at Jim?s house? A. At least before 4:45. B. At least before 5:00. C. Before 5:30. 5. Where is the man now? A. In the street. B. At a bus stop. C. In a bus. 第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分) 听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白读两遍。 听第6段材料,回答第6至8题 6. What is the woman interested in seeing? A. An opera . B. A Broadway play. C. An exhibition of painting. 7. Who gave New York its nickname (昵称)? A. Artists. B. Grocers. C. Musicians. 8.What is the Big Apple? A.It?s another name of New York. B.It?s really a big apple. C. It?s a name of a concert hall. 听第7段材料,回答第9至11题 9. What time was the old lady probably killed yesterday? A. At 10:00. B. At 20:00. C. At 22:00. 10.Who was the suspect(嫌疑犯)most probably? A. The man. B. An old man. C. An old woman. 11.What did the killer most probably use to kill the old lady? A. A knife. B. A handgun. C. A stone.