相似三角形题型及解法归纳讲义
A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD
⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB
⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB
结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD
结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式
证明等积式(比例式)策略
1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法： ⑴ 3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。
①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD
E A B D E A
B A D E C
F
E D A B C
②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 ,求证：BD?CN=BM?CE ．
③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN
?有射影，或平行，等比传递我看行 斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD
⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB ?AF=AC ?DF
②
ABCD
③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC 2=OA.OE
?四共线，看条件，其中一条可转换；
①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。求证：EF 2=BE ?FC
②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，求证：BP 2=PE·PF 。
③AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE·CE.
?两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.
②在△ABC 中，AB=AC ，求证：DF:FE=BD:CE.
③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ， 直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.
④在△ABC 中，BF 交AD 于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ；
F B A C D E
321E D
A
B C 12F D A D A C E
E A F
(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 ，求:AF:FC
⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.
⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，
（m 、n ＞0），取CF 的中点D ， 连结AD 并延长交BC 于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
?彼相似，我条件，创造边角再相似①AE 2＝AD·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ， 试说明△EBC ∽△
DEB
②已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．
③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。
④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上，且AE ?AB=AD ?AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD . O
C
D B A E