(2012年9月最新最细）2011全国中考真题汇编
一次函数与反比例函数的综合
一、选择题
1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a
y x
=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．
专题：数形结合．
分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，
然后就可以确定反比例函数x
a
y =
与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象． 解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0，
对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－a
b
2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数x
a
y =
的图象在第二四象限， 正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限． 故选B ．
点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值．
2. （2011?青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（ ）
A 、
B 、
A
B
D
C
C、D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．
解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=过一、三象限．
故选：D．
点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b及y=中k2的取值．
3.（2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=k
x
在同一直角坐标系中的图象如图所示，
则当y1＜y2时，x的取值范围是（）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x 的取值范围．
解答：解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=k
x
的交点是（﹣1，3），（3，﹣1），
∴当y1＜y2时，﹣1＜x＜0或x＞3；
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
（2011杭州，6，3分）如图，函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）
A ．x ＜-1或0＜x ＜2
B ．x ＜-1或x ＞2
C ．-1＜x ＜0或0＜x ＜2
D ．-1＜x ＜0或x ＞2 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题．
分析：根据反比例函数的自变量取值范围，y 1与y 2图象的交点横坐标，可确定y 1＞y 2时，x 的取值范围． 解答：解：∵函数y 1=x -1和函数 y 2=2x 的图象相交于点M （2，m ），N （-1，n ）， ∴当y 1＞y 2时，-1＜x ＜0或x ＞2． 故选D ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
4.（2011浙江台州，9，4分）如图，双曲线y =
m
x 与直线y =kx +b 交于点M ．N ，并且点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x 的方程m
x
=kx +b 的解为（ ）
A ．﹣3，1
B ．﹣3，3
C ．﹣1，1
D ．﹣1，3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：首先把M 点代入y =m
x
中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N 点坐标，求关于x 的方程
m
x
=kx +b 的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x 的值． 解答：解：∵M （1，3）在反比例函数图象上，∴m =1×3=3，∴反比例函数解析式为：y =3x
， ∵N 也在反比例函数图象上，点N 的纵坐标为﹣1．∴x =﹣3，∴N （﹣3，﹣1）， ∴关于x 的方程
m
x
=kx +b 的解为：﹣3，1．故选：A ． 点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．.
5. （2011?丹东，6，3分）反比例函数y=
x
k
的图象如图所示，则一次函数y=kx+k 的图象大致是（ ）
A、B、 C、D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据反比例函数y=
x
k
的图象所在的象限确定k＞0．然后根据k＞0确定一次函数y=kx+k的图象的单调性及与y轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象所经过的象限．
解答：解：根据图示知，反比例函数y=
x
k
的图象位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且该一次函数在定义域内是增函数，
∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限；
故选D．
点评：本题考查了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y=
x
k
的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6.（2011?宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=
3
m
x
在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。
A 、
B 、
C 、
D 、
分析：因为直线y=x+2与双曲线y=
3
m x
-在第二象限有两个交点，联立两方程求出m 的取值范围即可，然后在数轴上表示出m 的取值范围．
解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=
3
m x
-在第二象限有两个交点， 即x+2=
3
m x
-有两根， 即x 2
+2x+3﹣m=0有两解， △=4﹣4×（3﹣m ）＞0， 解得m ＞2，
∵双曲线在二、四象限， ∴m ﹣3＜0， ∴m ＜3，
∴m 的取值范围为：2＜m ＜3． 故在数轴上表示为．
故选B ．
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m 的取值范围．
7. （2011贵州毕节，9，3分）一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=k x
k
y 在同一直角坐标系中的图象大致是( )
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。
分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k ＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的正半轴可知k ＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k ＜0，两结论一致，故本选项正确；D 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，
由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的负半轴可知k ＜0，两结论相矛盾，故本选项错误．故选C ．
点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 8. （2011?贵阳10，分）如图，反比例函数y 1=
x
k 1
和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （﹣1，﹣3）、B （1，3）两点，若
x
k 1
＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣1＜x ＜0
B 、﹣1＜x ＜1
C 、x ＜﹣1或0＜x ＜1
D 、﹣1＜x ＜0或x ＞1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点，若要x
k 1
＞k 2x ，只须y 1＞y 2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x 的取值范围． 解答：解：根据题意知： 若
x
k 1
＞k 2x ， 则只须y 1＞y 2，
又知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点， 从图象上可以看出当x ＜﹣1或0＜x ＜1时y 1＞y 2， 故选C ．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=x
k
中k 的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
10.（2011广西百色，10，4分）二次函数的图象如图，则反比例函数y=﹣
与一次函数y=bx+c的图象在同一坐标
x
系内的图象大致是（）
A．B．
C．D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：根据二次函数的图象，推出a＜0，c＜0，顶点坐标都为正值，即可推出，b＞0，﹣a＞0，根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三，四象限，所以图象大致为B项中的图象．
解答：解：∵二次函数图象的开口向下，
∴a ＜0，
∵顶点坐标都为正值， ∴a
b
2
＞0， ∴b ＞0， ∴﹣a ＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限． 故选B ．
点评：本题主要考查反比例函数的图象的性质．二次函数图象的性质．反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a 、b 的取值范围．
11. （2011?恩施州5,3分）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=
x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1
B 、﹣2＜x ＜1
C 、x ＜﹣2或x ＞1
D 、x ＜﹣2或0＜x ＜1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据图象可以知道一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标，若y 1＞y 2，则根据图象可以确定x 的取值范围．
解答：解：如图，依题意得一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1，
若y 1＞y 2，则y 1的图象在y 2的上面， x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞1． 故选A ．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
二、填空题
1.（2011江苏南京，15，2分）设函数y=2
x
与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），则
11
a b
-的值为﹣
1
2
．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，B的解，整理求得﹣的值即可．
解答：解：∵函数y=2
x
与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），
∴B=2
a
，B=a﹣1，
∴2
a
=a﹣1，
a2﹣a﹣2=0，
（a﹣2）（a+1）=0，解得a=2或a=﹣1，∴B=1或B=﹣2，
∴则11
a b
-的值为
1
2
．
故答案为：1
2
．
点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决本题的关键．
2.（2011江苏苏州，18，3分）如图，已知点A，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函
数
k
y
x
=
（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的
5
4倍的长为半径
作圆，则该圆与x轴的位置关系是__________（填”相离”，“相切”或“相交“）．
考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据D1），得出反比例函数
k
y
x
=
解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而
得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A3），AB=3BD，
∴AB=3，BD=1，
∴D1），
∴反比例函数
k
y
x
=
解析式为：
y= ，
∴AO直线解析式为：y=kx，
3= ，
∴k=
∴y=
，
∴直线y=
与反比例函数y=的交点坐标为：
x=±1，
∴C 点的横坐标为1，
CO=2，
∴，
∴CA 的 5
4倍= 51)2，
CE= ，
∵ 5
1)2-
5
2＞0，
∴该圆与x 轴的位置关系是相交． 故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性
较强得出AC 的长是解决问题的关键．
3. （2011湖北荆州，16，3分）如图，双曲线 y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2．
考点：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．
分析：延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB=a ，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD ≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C ，根据反比例函数的性质，可得出S △OCD = 12xy ，则S △OCB′= 12xy ，由AB ∥x 轴，得点A （x-a ，2y ），由题意得2y （x-a ）=2，从而得出三角形ABC 的面积等于 12ay ，即可得出答案．
解答：解：延长BC ，交x 轴于点D ， 设点C （x ，y ），AB=a ，
∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角， ∴CD=CB′，△OCD ≌△OCB′， 再由翻折的性质得，BC =B′C ，
∵双曲线 y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ， ∴S △OCD = 12xy=1， ∴S △OCB′= 12xy=1， ∵AB ∥x 轴， ∴点A （x-a ，2y ）， ∴2y （x-a ）=2， ∴ay=1，
∴S △ABC = 12ay= 12，
∴S OABC =S △OCB′+S △ABC +S △ABC =1+ 12+ 12=2． 故答案为：2．
点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大．
4.（2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-
=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），则这个一次函数的解析式是 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），先代入求出m ，n 的值，再用待定系数法可求出函数关系式．
解答：解：（1，m ）和（n ，2）在函数x
y 4
-
=图象上，因而满足函数解析式， 代入就得到m =﹣4，n =﹣2，
因而点的坐标是（1，4）和（﹣2，2）， 设直线的解析式是y =kx +b ， 根据题意得到?
?
?=+-=+224
b k b k ，
解得???
????
=-=31432b k ．
因而一次函数的解析式是3
14
32+-
=x y ． 点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
5.（2011湖北黄石，15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数x
y 1
=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是04
1
<<-
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题；数形结合。
分析：因为反比例函数x y 1=的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b 中，k ＜0，解方程组???
??=+=x y b
kx y 1
求出当直线与双曲线只有一个交点时，k 的值，再确定无公共点时k 的取值范围． 解答：解：由反比例函数的性质可知，x
y 1
=
的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k ＜0，
解方程组??
???=+=x y b
kx y 1
，得kx 2
+x ﹣1=0， 当两函数图象只有一个交点时，△=0，即1+4k=0，解得4
1
-=k ， ∴两函数图象无公共点时，04
1
<<-k ． 故答案为：04
1
<<-
k ． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k 的值，再确定k 的取值范围．
6.（2011成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数x
k
y 2=
(0≠k )满足：当x ＜0时，y 随x 的
增大而减小．若该反比例函数的图象与直线k x y 3+-=都经过点P ，且7=OP ，则实数3
7=
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。 分析：由反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，可判断k ＞0，设P （x ，y ），则P 点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ，又OP 2＝x 2＋y 2，将已知条件代入，列方程求解． 解答：解：∵反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＞0， 设P （x ，y ），则xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ， 又∵OP 2＝x 2＋y 2，
∴x 2＋y 2＝7，即（x ＋y ）2－2xy ＝7， （3k ）2－4k ＝7， 解得k ＝3
7
或－1，而k ＞0， ∴k ＝
3
7． 故答案为：
3
7． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数．一次函数解析式，列方程组求解．
7.（2011?包头，18，3分）如图，已知A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数
y=的图象上的两个点，点C 是直线AB 与x 轴的交点，则点C 的坐标是 （1，0） ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k 、m 的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C 的坐标．
解答：解：∵A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数
y=的图象上的两个点，
∴???=+=-k
m k m )33(2，解得k=23，m=﹣23， ∴A （﹣1，﹣23）与B （2，3） 设直线AB 的解析式为y=ax+b ，
∴?????=+-=+-3232b a b a ，∴?????-==3
3b a ， ∴直线AB 的解析式为y=3x ﹣3， 令y=0，解得x=1， ∴点C 的坐标是（1，0）． 故答案为（1，0）．
点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x 轴的交点坐标．
8. （2011浙江宁波，18，3）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝
x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝x
2
（x ＞0）的图象上，顶
点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，设P 1（a ，
a 2），则CP 1＝a ，OC ＝a
2
，易得Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，则OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，所以OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝
a 2－a ，则P 2的坐标为（a
2
，a 2－a ），然后把P 2的坐标代入反比例函数y ＝x
2
，得到a 的方程，解方程求出a ，得到P 2的坐标；设P 3的坐标为（b ，
b 2），易得Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，则P 3E ＝P 3F ＝DE ＝b 2，通过OE ＝OD+DE ＝2+b
2
＝b ，这样得到关于b 的方程，解方程求出b ，得到P 3的坐标．
解答：解：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，如图，
设P 1（a ，
a 2），则CP 1＝a ，OC ＝a
2
， ∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形， ∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ， ∴OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ， ∴OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝a 2－a ，∴OD ＝a+a 2－a ＝a
2
， ∴P 2的坐标为（
a 2，a
2
－a ）， 把P 2的坐标代入y ＝x 2（x ＞0），得到（a 2－a ）?a
2
＝2，解得a ＝－1（舍）或a ＝1， ∴P 2（2，1）， 设P 3的坐标为（b ，
b
2）， 又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形， ∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ， ∴P 3E ＝P 3F ＝DE ＝b 2，∴OE ＝OD+DE ＝2+b
2
， ∴2+
b 2＝b ，解得b ＝1－3（舍），b ＝1+3，∴b 2
＝3
12+＝3－1， ∴点P 3的坐标为 （3+1，3－1）． 故答案为：（3+1，3－1）．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
9. （2011浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO =10，si n ∠AOB =3
5
，反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为 （8，32） ．
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：由斜边AO =10，si n ∠AOB =
3
5
，根据三角函数的定义可得到AB =6，再由勾股定理得到OB =8，即得到A 点坐标为（8，6），从而得到AO 的中点C 的坐标，代入反比例函数解析式确定k ，然后令x =8，即可得到D 点的纵坐标． 解答：解：∵斜边AO =10，si n ∠AOB =35
， ∴sin ∠AOB =3
105
AB AB OA ==， ∴AB =6，
∴OB ， ∴A 点坐标为（8，6）， 而C 点为OA 的中点， ∴C 点坐标为（4，3），
又∵反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象经过点C ， ∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y =12
x
，
∵D 点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，
∴当x =8，y =
128=3
2
， 所以D 点坐标为（8，3
2）．
故答案为（8，3
2
）．
点评：本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标． 10. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k
y x
=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′．
（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 （4，0） ；
（2）设P （t ，0），当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 4≤t ≤
考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）当点O ′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，进一步解直角三角形AOB ，利用轴对称的现在解答即可； （2）求出∠MP ′O =30°，得到OM =
1
2
t ，OO ′=t ，过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ，∠OO ′N =30°，求出O ′的坐标，同法可求B ′的坐标，设直线O ′B ′的解析式是y =k x +b
，代入得得到方程组1
222
tk b t k b =++-=+，求出方程组的解即可得到解析式y =
（
2-x
﹣
4t 2
+2t ，求出反比例函数的解析式y
=x
，代入上式整理得出方程（
﹣
8x 2
+
2
）x ﹣
，求出方程的判别式b 2
﹣4ac ≥0，求出不等式的解集即可． 解答：解：（1）当点O ′与点A 重合时
∵∠AOB =60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′． AP ′=OP ′，
∴△AOP ′是等边三角形， ∵B （2，0）， ∴BO =BP ′=2，
∴点P 的坐标是（4，0）， 故答案为：（4，0）．
（2）解：∵∠AOB =60°，∠P ′MO =90°， ∴∠MP ′O =30°， ∴OM =
1
2
t ，OO ′=t ， 过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ， ∠OO ′N =30°， ∴ON =
12t ，NO
， ∴O ′（
12t
），
同法可求B ′的坐标是（
﹣
，
设直线O ′B ′的解析式是y =k x +b
，代入得；1
222
tk b t k b =++-=+，
解得：242
k b t ?=-????=-+??， ∴y =（
）x ﹣
t 2
+
t ，
∵∠ABO =90°，∠AOB =60°，OB =2， ∴OA =4，AB
∴A （2，
，代入反比例函数的解析式得：
∴y
=
x
，代入上式整理得：（
﹣
x 2+
2
）x ﹣
， b 2
﹣4ac
=22(+﹣4（
﹣
?（﹣
≥0， 解得：t
≥﹣
∵当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是（4，0）
∴4≤t ≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t ≤4，
故答案为：4≤t ≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t ≤4．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度． 三、解答题
2. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l 1的方程为y ＝－x ＋l ，直线l 2的方程为y ＝x ＋5，且两直线相交
于点P ，过点P 的双曲线k
y x
=与直线l 1的另一交点为Q （3，M ）． （1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式
k
x
＞－x ＋l 的解集．
考点：反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式 专题：一次函数与反比例函数的综合 分析：（1）要确定双曲线k
y x
=
的解析式，关键是确定图象上点P 的坐标，而点P 是直线1y x =-+与5y x =+的交点，建立方程组即可求得交点坐标；
（2）要求不等式
k
x
＞－x ＋l 的解集，表现在图象上就是确定当x 在何范围内取值时，双曲线k y x =的图象在
直线1y x =-+的上方．
解答：（1）依题意：1,
5.y x y x =-+??=+?
（2019?郴州）已知：如图，一次函数的图象与y 轴交于C （0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，其中A （1，a ），求这个一次函数的解析式． y=（2019?衡阳）反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k 的值为 ﹣2 ． （（2019，娄底）如图，已知A 点是反比例函数(0)y k x = ≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为_____________. （2019?德州）函数y=1x 与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11 a b +的值为_______________．
（2019?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数 y=的图象有一个交点A（m，2）． （1）求m的值； （2）求正比例函数y=kx的解析式； （3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由． ，即可求得 y= ，
（2019?益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y （℃）随时间x （小时）变化的函数图象，其中BC 段是双曲线的一部分．请 根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？ （2）求k 的值； （3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？ ，y= =13.5题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （2019，永州）如图，两个反比例函数4y x = 和2 y x =在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，则△POB 的面积为 P 1C 2 C () 14第题图
2019年中考数学真题分类训练——专题六：一次函数 一、选择题 1.（2019衢州）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是 A. B. C. D. 【答案】C 2.（2019聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为 A.9：15 B.9：20 C.9：25 D.9：30 【答案】B 3.（2019杭州）已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 4.（2019邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是
A.k1=k2 B.b1
反比例函数优秀题集 1.（2009年上海市普陀区中考适应性测试） 如图，点A 是函数y= x 1的图象上的点，点B 、C 的坐标分别为B （2- ，2- ）、C （ 2 ，2），试利用性质：“函数y=x 1的图 象上任意一点A 都满足|AB-AC|=22”求解下面问题：作∠BAC 的内角平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在 函数y=x 1的图象上运动时，点F 总在一个圆上运动，则这圆的半径为（ ） A ．1 B ．22 C ．2 D ．2 23 [考点]：反比例函数综合题．分析：本题给出了角平分线，给出了两条线段的定值差，因此可通过构建等腰三角形作出这个等值差进行求解． 解答：解：如图：过C 作CD ⊥AF ，垂足为M ，交AB 于D ， ∵AF 平分∠BAC ，且AM 是DC 边上的高， ∴△DAC 是等腰三角形， ∴AD=AC ， ∴BD=AB-AC=22 ， 即BD 长为定值， 过M 作MN ∥BD 于N ， 则四边形MNBD 是个平行四边形， ∴MN=BD ， 在△MNF 中，无论F 怎么变化，有两个条件不变： ①MN 的长为定值，②∠MFN=90°， 因此如果作△MNF 的外接圆，那么F 点总在以MN 为直径的圆上运动，因此F 点的运动轨迹应该是个圆． ∴圆的直径为MN ，且MN=BD ，BD=AB-AC=22 ， ∴圆的半径为2． 故选C ．点评：本题以反比例函数为背景，结合了等腰三角形的知识、平行四边形的知识、直角三角形的知识、三角形外接圆的知识等．综合性强．在本题中能够找出AB 、AC 的等值差以及让F 与这个等值差相关联是解题的关键． 2. （2011年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷）如图，已知四边形OABC 是菱形， CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y=x 4的图象经过点C ，且与AB 交于点E ．若OD=2，则△OCE 的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．42
1．如图1，已知双曲线y ＝x k k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交 双曲线y ＝ x k （k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限．①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ， n 应满足的条件；若不可 能，请说明理由． 2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题． 将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α若它与反比例函数y ＝x 3点B 、D ，已知点A （－m ，0）、C （m ，0）（m 是常数， 且m ＞0）．（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形_____________；（2）①当点B 为（p ，1）时，四边形α和m 的值；②观察猜想： 对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的 点B 共有．． 几个？（不必说理）（3）试探究： 四边形ABCD 能不能是菱形？若能， 直接写出B 点坐标；若不能，说明理由． 3．如图，是反比例函数y ＝－ x 2和y ＝－x 8在第二象限中的图像，点A 在y ＝－x 8的图像上，点A 的横坐标为m （m ＜0），AC ∥y 轴交y ＝－x 2的图像于点C ，AB 、CD 均平行于x 轴，分别交y ＝－x 2、y ＝－x 8的图像于点B 、D ． （1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标； （2）求证：梯形ABCD 的面积是定值； 4、如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k （x ＞0）的图象经过点B ． （ 1）求 k 的值； （2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________； （3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值． （4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得， 所以双曲线的解析式为y= ； （2）2 （3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2）， 抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ， 即a的值为6± ； （4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ； 把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2 ； ∵G1与G2有两个交点， ∴3+ ≤a≤12﹣2 ， 设直线DE的解析式为y=px+q，
把D（3，4），E（12，1）代入得，解得， ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5， ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点， ∴M（a，﹣ a+5），N（a，）， ∵MN＜， ∴﹣ a+5﹣＜， 整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0， ∴a＜4或a＞9， ∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ． 【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4）， 所以BE= =2 ． 故答案为2 ； 【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围． 2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
三、解答题 1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. （1）求函数y ＝43 -x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝4 3 -x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积. 【答案】 解：(1) ∵ 直线y ＝43 - x ＋3与x 轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3）， ∴函数y ＝4 3 -x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线y ＝4 3 -x ＋b 与x 轴的交点坐标为（b 34,0），与y 轴交点坐标为（0,b ）， 当b >0时,163 534=++b b b ，得b =4，此时,坐标三角形面积为332 ； 当b <0时，163 534=---b b b ，得b =－4，此时,坐标三角形面积为332 . 综上,当函数y ＝43 -x ＋b 的坐标三角形周长为16时,面积为3 32． 2．（2010江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解读式. 【答案】解：设这直线的解读式是(0)y kx b k =+≠，将这两点的坐标（１，２）和（３， ０）代入，得2,30,k b k b +=?? +=?，解得1, 3, k b =-??=? 所以，这条直线的解读式为3y x =-+． 3．（2010北京）如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B . ⑴ 求A ，B 两点的坐标； ⑵ 过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积. A y O B x 第21题图
中考数学反比例函数综合题附答案 一、反比例函数 1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2， y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）． （1）求反比例函数y= 的解析式； （2）求点P2和点P3的坐标； （3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）． 【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线， 则B1与P1关于y轴对称， ∵B1（﹣1，1）， ∴P1（1，1）． 则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y= （2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，
又点P1的坐标为（1，1）， ∴OA1=2， 设点P2的坐标为（a，a+2）， 代入y=得a=-1， 故点P2的坐标为（-1，+1）， 则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2， 设点P3的坐标为（b，b+2）， 代入y=（>0）可得b=-， 故点P3的坐标为（-，+） （3）1；（-，+） 【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，… ∴△P n B n O的面积为1， 由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ）， 故答案为：1、（﹣， +）． 【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可； （2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标； （3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可. 2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + =
陕西省历年中考数学——反比例函数试题汇编 1.（2008?陕西）一个反比例函数的图象经过点P （－1，5），则这个函数的表达式是 ． 2.（2009?陕西）若1122()()A x y B x y ，，，是双曲线3y x = 上的两点，且120x x >>，则12_______y y （填“>”、“=”、“<”） 3.（2010?陕西）已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在反比例函数6y x =的图像上．若x 1 x 2=－3，则y 1 y 2的值为______________ 4．（2011?陕西）如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x y x y 24=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积 为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．（2012?陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数62+-=x y 的图象无公共点．．．． ，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的
一个即可）． 6.（2013?陕西）如果一个正比例函数的图象与反比例函数x y 6=的图象交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，那么（2x －1x ）（2y －1y ）的值为 . 7.（2014?陕西）已知),(111y x P ,),(222y x P 是同一个反比例函数图像上的两点.若212+=x x ,且2 11112+=y y ，则这个反比例函数的表达式为_________. 8．（2015?陕西）如图，在平面直角坐标系中，过点M （﹣3， 2）分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数y =x 4的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为 ． 9.（2015?陕西副）在平面直角坐标系中，反比例函数k y x =的图象位于第二、四象限，且经过点（1，22k -），则k 的值为 。 10.（2016?陕西）已知一次函数4 2+=x y 的图像分别交于x 轴、y 轴于A 、B 两点.若这个一次函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限交于C ，且AB =2BC ，则这个反比例函数的表达式______________。
反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3） ，则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)22 m x - 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限 内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为 ； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k ≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k ≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 x k y 22--=k 1y 2y 2 1 3y 1y 2y 3y k x x k y =
y=﹣，
、已知：反比例函数 ，的面积是，求代数式 和反比例函数）在反比例函数
4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0） 的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2； （1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值； （2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小． 5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
初中数学反比例函数真题汇编含答案 一、选择题 1．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ） A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k => B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70 《一次函数》 1.课标解析 一次函数是初中阶段学生初次接触到的函数知识，它是在学生学习了一元一次方程,一元一次不等式、二元一次方程组的基础上进行学习的。它是学生学习反比例函数、二次函数的基础与条件，是数形结合思想的一种完美体现，在整个数学知识体系中具有不可替代的作用。同时，一次函数也是学生利用变量知识解决实际问题的一种数学模型，是学生了解物质世界变化规律的一种思维方式， 2.知识目标 了解一次函数的概念,掌握一次函数的图象和性质；能正确画出一次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质;能根据具体条件列出一次函数的关系 式. 3。能力目标 让学生经历知识的梳理过程和归纳总结过程,加深对数形结合的数学思想的理解,强化数学的建模意识,提高利用演绎和归纳进行复习的方法的掌握程 度。 4.考试内容 (1）一次函数的图象和性质及其应用。 （2）考查学生对“由形到数”和“由数到形"的感知能力和抽象能力。 教学过程 (一）、知识回顾：开门见山地给出一次函数的定义，图象和性质等的框架图。 (二)、提出“六求"：本单元的知识点比较繁多,且地位比较重要。因此，我将本 单元题目归为“六求" (三）分“求”例析及练习 1、求系数（指数）： 例1、已知函数y=(k—1）x + m-2 ①若它是一个正比例函数，求k , m的值. ②若它是一个一次函数，求 k , m的值。 分析：这类题目主要考察对函数解析式的特征的理解，在讲解时要突出两点:一是一次函数中自变量的指数等于１，而不是０；二是一次函数解析式中自变量的系数不为零。 ２、求位置：是指一次函数的图象在坐标系中的位置，直线经过的象限:一般的，一条直线都经过三个象限，因此我把这个知识点编成顺口溜：“小小不过一,大小不过二，小大不过三，大大不过四，”,意思是当k<0,b<0是，直线经过二三四象限，以此类推。同学们很容易记住并理解: 例：两直线 y=ax+b 和 y=bx+a 在同一平面直角坐标系内的图象可能是（） 测试1 反比例函数的概念 一、填空题 1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x 是______，y 是______．自变量x 的取值范围是______． 2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别． (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为____________，是______函数． (2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________________，是______函数． (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ． 当a ＝10时，S 与h 的关系式为____________，是____________函数； 当S ＝18时，a 与h 的关系式为____________，是____________函数． (4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为______，是______函数． 3．下列各函数①x k y =、②x k y 12+=、③x y 53=、④14+=x y 、⑤x y 21-=、 ⑥31-= x y 、⑦24 x y =和⑧y ＝3x －1中，是y 关于x 的反比例函数的有：____________(填序号)． 4．若函数11 -=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为_________ ___． 5．近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为____________． 二、选择题 6．已知函数x k y =，当x ＝1时，y ＝－3，那么这个函数的解析式是( )． (A)x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 31= (D)x y 31 -= 7．已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( )． (A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3 三、解答题 8．已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3． (1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－2 3 时，求x 的值． 9．若函数5 2 2)(--=k x k y (k 为常数)是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______ __________________． 10．已知y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，那么y 是z 的______函数． 二、选择题 11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为( )． (A)y ＝100x (B)x y 100 = (C)x y 100 100- = (D)y ＝100－x 12．下列数表中分别给出了变量y 与变量x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )． 反比例函数 ---动点、面积专题（附详解） 一、解答题（共7小题） 1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值． 2、已知：反比例函数经过点B（1，1）． （1）求该反比例函数解析式； （2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由； （3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m＞0），在线段OF 上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是，求代数式的值． 3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式； （2）在反比例函数的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足 为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2； （1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值； （2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小． 5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 初中数学反比例函数综合题 一、单选题(共8道，每道12分) 1.下列式子中 ①②③④⑤⑥⑦ ⑧⑨是反比例函数的个数有（） A.3个 B.4个 C.5个 D.以上答案均不对 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例函数的定义 2.反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 答案：B 试题难度：三颗星知识点：反比例函数增减性 3.若y与z成反比例，z与成正比例，则y与x的关系为（） A.正比例函数 B.反比例函数 C.没有关系 D.无法判断 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例关系的判定 4.在同一坐标系中，函数和的图像大致是（） A. B. C. D. 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例函数的图象 5.点A在双曲线上，O为坐标原点，AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=4，则k=（） A.8 B.4 C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：反比例函数图象面积不变性 6.已知一次函数y1=kx+b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示， 则当y1＜y2时，x的取值范围是（__） A.x＜-1或0＜x＜3 B.-1＜x＜0或x＞3 C.-1＜x＜0 D.x＞3 答案：B 试题难度：三颗星知识点：反比例函数与一次函数的交点问题 7.如图，已知A、B两点是反比例函数y=（x>0）的图象上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连结AB、AO、BO?，?则梯形ABDC?的面积与△AOB的面积 之比是（） A.2：1 B.1：2 C.3：2 D.1：1 答案：D 试题难度：三颗星知识点：反比例函数面积模型1 8.如图，已知反比例函数和一次函数交于P、Q两点，一次函数与x轴、y 轴分别相交于A、B两点，连结OP、OQ，则下列正确的是（） A. B.S△OPQ=2S△OBP C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：反比例函数面积模型2 12、反比例函数 要点一：反比例函数的图象与性质 一、选择题 1、（2010·东阳中考）1.某反比例函数的图象经过点(－2,3)，则此函数图象也经过点（ ） A ．(2,－3) B ．(－3,－3) C ．（2，3） D ．（－4，6） 【解析】选A 。某反比例函数的图象经过点(－2,3)，可设y=x k ,将(－2,3)代入可得，k=－6,在四个选项中乘积为－6的，A 符合。 2、（2010·兰州中考）已知点),1(1y -，),2(2y ，),3(3y 在反比例函数x k y 1 2--=的图像上. 下列结论中正确的是（ ） A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >> 【解析】选B.根据题意可知，反比例函数21 k y x --=的图像在第二、四象限，其大 致图像如图所示，在图像上标出点),1(1y -，),2(2y ，),3(3y ，显然有231y y y >>. 3、 (2009·南宁中考)在反比例函数1k y x -=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 答案：D y 4、 (2009·河北中考)反比例函数1 y x =（x ＞0）的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．先减小后增大 答案：B 5、(2009·梧州中考)已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x k y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有（ ） A ．210y y << B ．120y y << C ．021< 函数与一次函数 一、选择题 1. （中考?安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x 的函数图象大致是（） A．B．C．D． 考点：动点问题的函数图象． 分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解． 解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5， ∵∠APB+∠BAP=90°， ∠P AD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠P AD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴=， 即=， ∴y=， 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选B． 点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论． 2. （中考?福建泉州，第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y =（m≠0）的图象可能是（） A．B．C．D． 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象． 分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 解答：解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y =的图象可知m＞0，故本选项正确； B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y =的图象可知m＞0，相矛盾，故本 选项错误； C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半 轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误； D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半 轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误； 故选：A． 点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 反比例函数综合练习题 一、选择题： 1、函数()9222--+=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是（ ） （A ）24-==m m 或 （B ）4=m （C ）2-=m （D ）1-=m 2、已知k ≠0，在同一坐标系中，函数y=k （x+1）与 y=x k 的图像大致是（ ） 3、在函数y=x k （k ＞0）图象上有三点A 1（X 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）。已知x 1＜x 2＜0＜x 3，则下列各式中，正确的是（ ） A ：y 1＜y 2＜y 3 B ：y 3＜y 2＜y 1 C ：y 2＜y 1＜y 3 D ：y 3＜y 1＜y 2 4、下列说法正确的是（ ） ①反比例函数y= x k 的图象与x 轴、y 轴都没有公共点.②反比例函数y=x k 1与y=x k 2（k 1≠k 2）的图象可能有交点. ③反比例函数y=x k 与一次函数y=kx+b 的图象可能没有交点 A 、① B 、② C 、①② D 、①③ 5．如图，已知双曲线(0)k y k x =<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 6、直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 D B A y x O C 5题 7题 9题 10题 11题 7、如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、若反比例函数11k y x = 和正比例函数22y k x =的图像都经过点(1,2)A -，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A B C D E y x O M 初中数学中考数学反比例函数综合大题专题——题型分类汇编 思考：如图10，在直角坐标系中，直线y=kx+1(k≠0)与双曲线y=2x（x＞0）相交于P（1，m）.（1）求k的值； （2）若点Q 与点P关于y=x 成轴对称，则点Q 的坐标为Q（）； 考点一、反比例函数相关的面积问题 例1、如图，已知A(－4，1 2 )，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 m y x = (m≠0，x＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数的解析式及m的值； (3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标． 1. 如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数 m y x =(m≠0)的图象有公共点A(1，2)，直线l⊥x 轴于 点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC. (1)求k和m 的值； (2)求点B的坐标； (3)求△ABC的面积． 2. 如图，已知双曲线 k y x 经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴， 过点D 作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC. (1)求k的值； (2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； (3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y＝kx－3与反比例函数 8 y x =(x＞0)的图象相交于 点A(8，1)． (1)求k的值； (2)M是反比例函数图象上一点，横坐标为t (0＜t＜8)，过点M作x轴的垂线交直线AB于点N， 则t为何值时，△BMN 面积最大，且最大值为多少？ 4. 如图，反比例函数2 y x =的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别 为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数2 y x =，当y＜－1时，写出x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 中考数学真题汇编:一次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 4.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（） A. B. C. D. 【答案】A 5.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 6.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运 动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 7.如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC 在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 8.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）【中考复习】中考数学专题复习一次函数教案
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