2014-2015学年山东省济南市济钢高中高三（上）1月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P={log2x4，3}，Q={x，y}，若P∩Q={2}，则P∪Q等于（）
A．{2，3} B．{1，2，3} C．{1，﹣1，2，3} D．{2，3，x，y}
2．直线L的方向向量为M=（﹣1，2），直线L的倾角为α，则tan2α=（）
A．B．C．D．
3．等差数列{a n}前17项和S17=51，则a5﹣a7+a9﹣a11+a13=（）
A．3 B．6 C．17 D．51
4．已知直线m，l和平面α、β，则α⊥β的充分条件是（）
A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β=m，l?α
C．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m?α
5．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
6．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）
A．=﹣B．∥C．=2D．⊥
7．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）
A．72 B．120 C．144 D．168
9．设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|?|PB|的最大值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）
A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为．
12．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．
13．在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则B的取值范围是．
14．已知P（x，y）满足约束条件，O为坐标原点，A（3，4），则||?cos∠AOP的最大值是．
15．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知函数，
且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，=，且a+c=4，试求b2的值．
17．已知圆C的圆心C在抛物线y2=8x的第一象限部分上，且经过该抛物线的顶点和焦点F
（1）求圆C的方程
（2）设圆C与抛物线的准线的公共点为A，M是圆C上一动点，求△MAF的面积的最大值．
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2．
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D1﹣EC﹣D的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
19．观察下列三角形数表
假设第n行的第二个数为a n（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a n+1与a n的关系式并求出a n的通项公式；
（Ⅲ）设a n b n=1，求证：b2+b3+…+b n＜2．
20．函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（2×3×…×2015）＜2015．
21．设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中
点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q 两点，求△MPQ面积的最大值．
2014-2015学年山东省济南市济钢高中高三（上）1月月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P={log2x4，3}，Q={x，y}，若P∩Q={2}，则P∪Q等于（）A．{2，3} B．{1，2，3} C．{1，﹣1，2，3} D．{2，3，x，y}
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：根据集合的基本运算关系进行求解即可．
解答：解：∵P={log2x4，3}，Q={x，y}，
∴若P∩Q={2}，则
则log2x4=2，即2x=2，解得x=1，
则P={2，3}，Q={1，y}，
则y=2，即Q={1，2}，
则P∪Q={1，2，3}，
故选：B
点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出x，y的值是解决本题的关键．
2．直线L的方向向量为M=（﹣1，2），直线L的倾角为α，则tan2α=（）
A．B．C．D．
考点：直线的倾斜角；二倍角的正切．
专题：计算题．
分析：先求出直线的斜率tanα，利用二倍角的正切公式求tan2α的值．
解答：解：∵直线L的方向向量为M=（﹣1，2），
∴直线L的斜率等于﹣2，∴tanα=﹣2，
tan2α===，
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，二倍角的正切公式的应用，求出直线L的斜率是解题的关键．
3．等差数列{a n}前17项和S17=51，则a5﹣a7+a9﹣a11+a13=（）
A．3 B．6 C．17 D．51
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：先根据S17=51求出a1+d的值，再把a1+16代入a5﹣a7+a9﹣a11+a13即可得到答案．
解答：解：∵S17===51
∴a1+8d=3
∴a5﹣a7+a9﹣a11+a13=a1+4d﹣a1﹣6d+a1+8d﹣a1﹣10d+a1+12d=a1+8d=
故选A．
点评：本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式．由于公式较多，应注意平时多积累．
4．已知直线m，l和平面α、β，则α⊥β的充分条件是（）
A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β=m，l?α
C．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m?α
考点：平面与平面垂直的判定．
分析：根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，我们可以判断，D答案中的条件可以得到α⊥β，也可以根据空间线与面关系的判定方法对其它三个答案进行分析，说明它们都不符合条件．
解答：解：若m⊥l，m∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交，故A不符合条件；
若m⊥l，α∩β=m，l?α，则α与β相交但不一定垂直，故B不符合条件；
若m∥l，m⊥α，l⊥β，则α∥β，故C不符合条件；
若m∥l，l⊥β，m?α，则m⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D符合条件；
故选D
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、几何特征是解答本题的关键．
5．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．
解答：解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移
个单位，得到y==的图象．
故选：C．
点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．
6．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）
A．=﹣B．∥C．=2D．⊥
考点：平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．
解答：解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，
因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，
对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，
C项中向量向量、的方向相同，
D项中向量、的方向互相垂直．
只有A项能确定向量、共线且方向相反．
故选：A
点评：本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．
7．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
解答：解：∵?p是q的必要而不充分条件，
∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，
其逆否命题为p??q，但?q不能?p，
则p是?q的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q 是?p的充分不必要条件，是解答的关键．
8．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）
A．72 B．120 C．144 D．168
考点：计数原理的应用．
专题：计算题．
分析：根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
解答：解：分2步进行分析：
1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，
分2种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，
故选：B．
点评：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．
9．设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|?|PB|的最大值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
考点：两点间距离公式的应用；直线的一般式方程．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有
PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值．
解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|?|PB|≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）
故选：B
点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
10．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）
A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
由△ABC为锐角三角形，得A+B，0﹣B＜A，再根据正弦函数，f（x）单调性判
断．
解答：解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，
∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1
f（sinA）＞f（sin（﹣B）），
即f（sinA）＞f（cosB）
故选；D
点评：本题考查了导数的运用，三角函数，的单调性，综合性较大，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为y=±．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：由双曲线的标准方程可求得b，由焦点坐标可求得c，由a、b、c 的关系求出a，可得渐近线方程．
解答：解：由双曲线的一个焦点坐标为，得b=，c=，
∴a+2=3，a=1，
则其渐近线方程为y=±，即y=±，
故答案为y=±．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a值，是解题的关键．
12．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：立体几何．
分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．
解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，
∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．
故答案为：．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
13．在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则B的取值范围是．
考点：等比数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：由sinA，sinB及sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理，基本不等式，即可确定B的取值范围．
解答：解：∵sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin2B=sinA?sinC，
根据正弦定理化简得：b2=ac，
∴cosB==≥=
∵B∈（0，π）
∴B∈．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的性质，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．已知P（x，y）满足约束条件，O为坐标原点，A（3，4），则||?cos∠AOP的
最大值是．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将||?cos∠AOP转化成，设
z=，再利用z的几何意义求最值
解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于||?cos∠AOP====，
令z=（3x+4y），则3x+4y=5z，
平移直线3x+4y=0，
由图形可知，当直线经过可行域中的点B时，直线3x+4y=5z的截距最大，此时z取到最大值，由，解得x=1，y=2，
即B（1，2），代入z=（3x+4y）==
所以||?cos∠AOP的最大值为
故答案为：
点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
15．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．
解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，
∴m2 ＞m2+3，
∴m2＞4．
解得m＞2，或m＜﹣2，
故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）
点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知函数，
且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，=，且a+c=4，试求b2的值．
考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得
a2+c2=16﹣6，利用余弦定理可求b2的值．
解答：解：（Ⅰ）
=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴ω=2
∵f（x）=2sin（2x+）；
（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，∴2B+=，∴B=；
∴=，∴accos=，∴ac=3
∵a+c=4，∴a2+c2=16﹣6
∴b2=a2+c2﹣2accos=16﹣9．
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的解析式的运用，考查向量知识，考查余弦定理，综合性强．
17．已知圆C的圆心C在抛物线y2=8x的第一象限部分上，且经过该抛物线的顶点和焦点F
（1）求圆C的方程
（2）设圆C与抛物线的准线的公共点为A，M是圆C上一动点，求△MAF的面积的最大值．
考点：抛物线的简单性质；圆的标准方程．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）方法一、运用待定系数法，设出圆的方程，由条件得到方程，解方程，可得a，b，r，进而得到圆的方程；
方法二、由题意可得圆心在线段OF的中垂线x=1上，代入抛物线方程可得圆心坐标，半径r，进而得到圆的方程；
（2）由题知：当点M在AF的中垂线与圆的上交点处时，△MAF的面积S最大．由抛物线的定义可得|AF|，求得圆心C到直线AF的距离，即可得到所求面积的最大值．
解答：解：（1）解法一：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
抛物线y2=8x的顶点为（0，0），焦点F（2，0），
由题意可得：
又a2+b2=r2，
解得：a=1，b=2，r=3，
所以圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=9；
解法二：由题知，圆心在线段OF的中垂线x=1上，
由，解得x=1，y=2，
则圆心C为（1，2），半径r=|CF|=3，
所以圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=9；
（2）由题知：当点M在AF的中垂线与圆的上交点处时，△MAF的面积S最大．
由抛物线定义知：圆C与抛物线的准线x=﹣2相切，
切点A（﹣2，2），|AF|=2，
kAF=﹣，直线AF的方程是：y=﹣（x﹣2）即x+y﹣2=0，
圆心C到直线AF的距离d1==，
点M到直线AF的最大距离d=d1+r=+3，
则S max=|AF|?d=3（+）．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，抛物线的定义和方程、性质的运用，属于中档题．
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2．
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D1﹣EC﹣D的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；三垂线定理．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）连接AD1，根据长方体的性质可知AE⊥平面AD1，从而AD1是ED1在平面AD1内的射影，根据三垂线定理可得结论；（2）根据四边形ADD1A是正方形，则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出AB的长；
（3）假设存在连接DE，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，根据二面角平面角的定义可知∠D1HD为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，在直角三角形EBC中求出BE的长即可求出所求．解答：解：（1）证明：连接AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影．又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，
如图甲的最短路程为|AC1|=
如图乙的最短路程为|AC1=
∵x＞1
∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4
∴∴x=2（9分）
（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，
∴∠D1HD=，
∴DH=DD1=1在R△EBC内，EC=，而EC?DH=DC?AD，
即存在点E，且离点B为时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
点评：本题主要考查了三垂线定理的应用，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
19．观察下列三角形数表
假设第n行的第二个数为a n（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a n+1与a n的关系式并求出a n的通项公式；
（Ⅲ）设a n b n=1，求证：b2+b3+…+b n＜2．
考点：数列的求和；数列的应用；归纳推理．
专题：计算题；新定义．
分析：（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a n+1=a n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a n b n=1，解得再由裂项相消法证明．
解答：解：（I）第六行的所有6个数字分别是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（II）依题意a n+1=a n+n（n≥2），
a2=2a n=a2+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）++（a n﹣a n﹣1）
=，
所以；
（III）因为a n b n=1，所以（12分）
=．（15分）
点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．
20．函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（2×3×…×2015）＜2015．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．
分析：（I）求出函数定义域，f′（x），由f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，由此可得a值，然后代入验证；
（II）因为函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，所以xlnx﹣ax2﹣x＜﹣x，即xlnx﹣ax2＜0恒成立，分离参数a后，转化为求函数最值即可；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=，所以≤，从而有lnx≤＜x，即lnx＜x，据此不等式可
得ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，对各式累加，再运用对数运算法则即可证明．
解答：解：（I）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx﹣2ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即﹣2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x=1处取得极值．
所以a=0．
（II）由题意，得xlnx﹣ax2﹣x＜﹣x，即xlnx﹣ax2＜0恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以a＞，
设h（x）=，则h′（x）=，
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上为减函数；
所以h（x）max=h（e）=，
所以a＞；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=，所以≤，所以lnx≤＜x，即lnx＜x，
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2015＜2015，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+...+ln2015＜1+2+3+ (2015)
所以ln（1×2×3×…×2015）＜=2015×1008，即?ln（1×2×3×…×2015）＜2015，所以ln（2×3×…×2015）＜2015．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查函数恒成立问题，函数恒成立往往转化为求函数最值解决，而不等式的证明常借助前面结论，如最值等．
21．设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中
点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q 两点，求△MPQ面积的最大值．
考点：圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：（Ⅰ）抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求出B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．
（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值
解答：解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．
令y=0得x2﹣1=0即x=±1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），故c=1．
所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：．（3分）
（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．即y=2tx﹣t2﹣分）
代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1）2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），，，
故
=
．（7分）
设点M到直线PQ的距离为d，则．（9分）
所以，△MPQ的面积
S====
（11分）
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（12分）
点评：本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值，以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1 ．（ 2018全国新课标Ⅰ理） 记 S 为等差数列 a n 项和 . 若 3S S S a 2 a n n 的前 3 2 4 ， 1 ，则 5 （ ） A ． 12 B ． 10 C ． 10 D ． 12 答案： B 解答： 3(3a 1 3 2 d) 2a 1 d 4a 1 4 3 d 9a 1 9d 6a 1 7d 3a 1 2d 6 2d d3 ， 2 2 ∴ a 5 a 1 4d 2 4 ( 3) 10 . 2. （ 2018 北京理） 设 a n 是等差数列，且 a 1 =3，a 2 +a 5=36，则 a n 的通项公式为 __________．【答案】 a n 6n 3 【解析】 Q a 1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ， a n 3 6 n 1 6n 3 ． 3．（ 2017 全国新课标Ⅰ理） 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 4 a 5 24 ，S 6 48 ，则 { a n } 的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 【答案】 C 【解析】设公差为 d ， a 4 a 5 a 1 3d a 1 4d 2a 1 7d 24 ， S 6 6a 1 6 5 6a 1 15d 48 ， d 2 联立 2a 1 7d 24 , 解得 d 4 ，故选 C. 6a 1 15d 48 秒杀解析： 因为 S 6 6( a 1 a 6 ) 3(a 3 a 4 ) 48 ，即 a 3 a 4 16 ，则 ( a 4 a 5 ) (a 3 a 4 ) 24 16 8 ， 2 4，故选 C. 即 a 5 a 3 2d 8 ，解得 d 4.（ 2017 全国新课标Ⅱ理） 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一 层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） 【答案】 B A ． 1 盏 B ．3 盏 C ．5 盏 D ． 9 盏 5.（ 2017全国新课标Ⅲ理） 等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 a n 前 6项的 和为（ ） A ． 24 B ． 3 C ． 3 D ．8 【答案】 A 【解析】 ∵ a n 为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d . 则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 1 2d 2 a 1 d a 1 5d 又 ∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 又 ∵ d 0 ，则 d 2 ∴ S 6 6a 1 6 5 1 6 6 5 2 24 ，故选 A. 2 d 2 6．（ 2017 全国新课标Ⅰ理） 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 4 a 5 24 ，S 6 48 ，则 { a n } 的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 【答案】 C 【解析】设公差为 d ， a 4 a 5 a 1 3d a 1 4d 2a 1 7d 24 ， S 6 6a 1 6 5 d 6a 1 15d 48 ， 2 联立 2a 1 7d 24 , 解得 d 4 ，故选 C. 6a 1 15d 48
广西名校高三年级2015年8月月考试题 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.本试卷共8页，第1—4页为试题，第5—8页为答题卡，请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卡的相应位置上，不写、写错位置不得分．．．．．．．．．． . 第I 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1个选项是符合题目要求的.） 1.设集合}2 1 21|{<<-=x x M ，}|{2x x x N ≤=，则=N M ( ) A.)21,1[- B.]1,21(- C.)21,0[ D.]0,2 1(- 2.复数z 满足i z i 2)1(=+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 3 1 21++ -=x y x 的定义域为 ( ) A.]0,3(- B.]1,3(- C.]0,3()3,(---∞ D.]1,3()3,(---∞ 4.正项等比数列}{n a 中，2446 =-a a ，6453=a a ，则}{n a 的前8项和为 ( ) A.63 B.127 C.128 D.255 5.已知直线? ??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）上两点B A ,对应的参数值是21,t t ，则=||AB ( ) A.||21 t t + B.||21t t - C.||2122t t b a -+ D. 2 2 21||b a t t +- 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ⊥β且βα⊥，则n m ⊥ B.若m ?α,n ?β 且m ∥n ，则α∥β C.若βα⊥，m ∥n 且β⊥n ，则m ∥αD.若m ⊥α,n ⊥β且n m ⊥，则βα ⊥ 7.将函数 )62sin(3π-=x y 的图像向右平移4 π 个单位长度，所得图像对应的函数( ) A.在区间]127,12[ππ上单调递减 B.在区间]12 7,12[π π上单调递增
2020年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合}043|{2<--=x x x A ，}5,3,1,4{-=B ，则=B A A. }1,4{- B. }5,1{ C. }5,3{ D. }3,1{ 2. 若3i i 21++=z ，则=||z A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 A. 4 15- B. 2 15- C. 4 15+ D. 215+ 4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O 、A 、B 、C 、D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A. 51 B. 52 C. 21 D. 5 4 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同 的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据)20,,2,1)(,( =i y x i i 得到下面的散点图： 2020.7
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是 A. bx a y += B. 2bx a y += C. x b a y e += D. x b a y ln += 6. 已知圆0622=-+x y x ，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数)6cos()(πω+=x x f 在],[ππ-的图像大致如下图，则)(x f 的最小正周期为 A. 910π B. 67π C. 34π D. 2 3π 8. 设24log 3=a ，则=-a 4 A. 161 B. 91 C. 81 D. 6 1 9. 执行右面的程序框图，则输出的n = A. 17 B. 19
绝密★启用前 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I e A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512 -（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为
A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°= A．－2－3B．－2+3C． 2－3D．2+3 8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为 A．π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 9．如图是求 1 1 2 1 2 2 + + 的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= 1 2A + B．A= 1 2 A +C．A= 1 12A + D．A= 1 1 2A + 10．双曲线C： 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为