江苏省镇江市高三数学期末试题2015年2月
第I 卷
注意事项:
1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．
. 1．记复数i bi a z (+=为虚数单位）的共轭复数为),(R b a bi a z ∈-=，已知i z +=2，则
=2z ▲ .
2．设全集Z U =，集合{}{}2,1,0,1,2,2,1--==P M ，则U P
M e= ▲ .
3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ▲ .
4．若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
1，则
该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
5．已知向量x x ⊥+=--=),1,2(),1,12(，则x 6．执行如图流程图，若输入2
1
,20=
=b a ，则输出a 7．设βα,为互不重合的平面，n m ,①若α?n n m ,//，则α//m ；
②若ββαα//,//,,n m n m ??，则βα//；
③若βα//，βα??n m ,，则n m //；
④若m n n m ⊥?=⊥,,,αβαβα ，则β⊥n ； 其中正确命题的序号为 ▲ .
8．设n m ,分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量()()1,1,,-==n m ，则向量,的夹角为锐角的概率是________.
9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a ▲ .
10．已知直线l 过点)2,1(P 且与圆2:22=+y x C 相交于B A ,两点，ABC ?的面积为1，则直线l 的方程为 ▲ .
11．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ▲ .
12．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为 ▲ . 13．曲线)0(1
<-
=x x
y 与曲线x y ln =公切线（切线相同）的条数为 ▲ . 14．已知正数y x ,满足
111=+y
x ，则1914-+
-y y
x x 的最小值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
已知ABC ?的面积为S ，且S AC AB 2=?. （1）求A sin ；
（2323==,求B sin .
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥ABC D -中，已知BCD ?是正三角形，⊥AB 平面BC D ，
a BC AB ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=.
（1）求三棱锥ABC D -的体积；
（2）求证：⊥AC 平面DEF ；
（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且
CA CN 8
3
=,求证：//MN 平面DEF .
17．（本小题满分15分）
某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O 附近.现派出四艘搜救船D C B A ,,,，为方便联络，船B A ,始终在以小岛O 为圆心，100海里为半径的圆上，船D C B A ,,,构成正方形编队展开搜索，小岛O 在正方形编队外（如图）.设小岛O 到AB 的距离为x ，
D AOB ,α=∠船到小岛O 的距离为d .
（1）请分别求d 关于α,x 的函数关系式)(),(αf d x g d ==；并分别写出定义域； （2）当B A ,两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大
（即d 最大）.
18．（本小题满分15分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为2
2，过F 作两条互相垂直的
弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ?面
积的最大值.
19．（本小题满分16分）
已知函数
x x x f 24)(-=，实数t s ,满足0)()(=+t f s f ，设t s t s b a +=+=2,22.
（1）当函数)(x f 的定义域为[]1,1-时，求)(x f 的值域； （2）求函数关系式)(a g b =，并求函数)(a g 的定义域； （3）求t
s
88+的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 中，11=a ，在21,a a 之间插入1个数，在32,a a 之间插入2个数，在43,a a 之间插入3个数，…，在1,+n n a a 之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{}n b . （1）若194=a ，求{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足μλμλ,(2+=+n n b S 为常数），求{}n a 的通项公式.
江苏省镇江市高三数学期末试题
第Ⅱ卷（理科附加卷）
21.【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4-1：几何证明选讲)
如图，圆O 与圆P 相交于B A ,两点，点P 在圆O 上，圆O 的弦BC 切圆P 于点B ,CP 及其延长线交圆P 于E D ,两点，过点E 作CE EF ⊥交CB 延长线于点F .若
22,2==CB CD ，求EF 的长.
B.(选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵???
?
????=??????=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式.
C.(选修4-4：坐标系与参数方程) 已知直线l 的极坐标方程为sin()63p r q -
=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y q
q q ì=?í=??
为参数）. （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l 被圆截得的弦长.
D.(选修4-5：不等式选讲)
已知函数()12f x x x =-+-，若不等式()a b a b a f x ++- 对任意,a b R ?恒成立，求实数x 的取值范围.
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10分）
已知A 为曲线2:410C x y -+=上的动点，定点(2,0)M -，若2
A T T M =，求动点T 的轨迹方程.
23.（本小题满分10分）
已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90,AB CD DAB
PA ?癪底面ABCD ,且
1
1,2
PA AD DC AB M ===
=是PB 的中点. （1）证明：平面PAD ^平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值； （3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.
B
江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案
第Ⅰ卷
一、填空题（每小题5分）
二、解答题
15. 解：（1） ∵△ABC 的面积为S ，且2AB AC S ?=，
∴1
cos sin 2bc A bc A ， ……2分
∴sin A A =，
……3分
∴A 为锐角，且2222213
sin cos sin sin sin 122
A A A A A +=+==， ……5分
∴sin A =
． ……6分 （2）设△ABC 中角,,A B C 对边分别为,,a b c
∵||3AB c ==
，||AB AC CB a -===
……7分
由正弦定理得：
sin sin c a
C A =
，即3sin C = ……9分
∴sin C =，又∵c a <,则C 锐角， ……10分
∴π
4
C =
， ……11分 ∴πππ
sin sin()sin cos cos sin 444
B A A A =+=+
(12)
分
= ． ……14分 【说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.
16．解：（1）因为 △BCD 是正三角形，且AB BC a
==，所以2
BCD S ?=
，……2分 因为AB ⊥平面BCD ，
1
3D ABC A BCD V V AB --==??S
△BCD 213a
=?3=. ……5分
（2）在底面ABC 中，（以下运用的定理不交代在同一平面中，扣1分）
取AC 的中点H ，连接BH ，AB BC =,BH AC ?⊥
3,AF FC =?F 为CH 的中点， E 为BC 的中点，
△BCD 是正三角形,DE BC ?⊥．
AC DEF ?⊥面.……10分
（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣1分，扣满该逻辑段得分为止）
??
????EF ????∥ 6EF AC ⊥分
BH
??????????,,,B BC AB B A A C B BC =?面,((98,,))DE ABC AB DE C AC AC ⊥?
????⊥面分分面,),,(7BCD B AB AB DE D C E D ⊥??⊥???面分面,,,,A DE EF C EF DE E DEF F E ⊥???
???=?
??面
（3）当3
8
CN CA =时，连CM ，设CM DE O ?=，连OF ．
O 为△BCD 的重心,2
3CO CM ?=，当23
CF CN =时,MN ?∥OF ,(11分) MN ?∥DEF 面.……14分
【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力. 17. 解：设x 的单位为百海里
（1）由OAB α∠=，2cos AB OA A ==2cos A ，2cos AD AB α==， ……2分 在△AOD
中，()OD f α==……3分
π
(0,)2α∈（定义域1分） ……5分
若小岛O 到AB 的距离为x
，AB = ……6分
()OD g x == ……8分
(0,1)x ∈ （定义域1分）
……10分
（2）224cos 14cos sin OD ααα=++；π
(0,)2
α∈
1cos2sin 241422
αα
+=?
++?
2(sin 2cos 2)3αα=++
ππ
)3,(0,)42αα=++∈. ……11分
当ππ5π2(,)444α+∈，则ππ
242α+=时，即π8
α=，OD 取得最大值， ……12分
此时π
2cos
28
AB ==. ……13分
答：当AB
间距离. ……14分
【说明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力，选择合适的模型求最值的问题.
18. 解：（1
）由题意：1,
c c a ==
，则1,1a b c ===，（每个1分） ……3分
,,OF DEF E MN D F ?????
??
面面
椭圆的方程为2
212
x y += ……4分
（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，
12121122(,),(,),(
,(1))22
x x x x
A x y
B x y M k ++-， 22
(1),
220,
y k x x y =-??+-=? 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分
2122
2
1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=
?+?
，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：22
2(,)22k N k k ++， ……8分
如222
22
122k k k
=++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2
(,0)3
P . ……9分
（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222
(33)3122222221
122MN
k k
k k k k k k k k k k k ---+-++===?---
++， 直线MN 为222
32
()2212k k y x k k k --
=?-+-+， ……11分
令0y =，得222222212312
232323
k k x k k k -+-=+?=?=+++，
综上，直线MN 过定点2
(,0)3
. ……12分
（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设2
3
x =
与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2
(,0)3P .
当1k ≠±时，PM
k =222
23122221123
k
k
k k k k -+=?
--
+， ……10分
同理将上式中的k 换成1
k
-，可得2
1()3312211PM
k
k k k k -==?
--， ……11分
则PM PN k k =，直线MN 过定点2
(,0)3
P .
……12分
（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2
(,0)3
P ，
故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k k k k
-=?+?++
2222421||(33)1||(1)
6(2)(12)2252
k k k k k k k k ++==?++++ ……13分
22
1(||)
1||
2
225k k k k +
=++，
令1||[2,)||t k k =+
∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==?-+21221t t =?+ ……14分 2
22
112'()02(21)t f t t -=<+，则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分
当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值
1
9
，此时1k =±. ……16分 【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力.
本题可以不妨设0k >，可直接对242(1)
252
k k k k +++求导，判断单调性.
19. 解：（1）若[1,1]x ∈-，令1
2[,2]2x m =∈， ……1分
2211
()()()24
f x l m m m m ==-=--在1[,2]2上为增函数
……2分 min min 11
()()()24f x l m l ===-；max max ()()(2)2f x l m l ===，
……3分 ()f x 值域为1
[,2]4
-.
……4分
（2）实数,s t 满足()()0f s f t +=，则42420s s t t -+-=， 则2(22)22(22)0s t s t s t ++-?-+=，
……6分
而22s t a =+，2s t b +=，故220a b a --=， 21
()()2b g a a a ==-， ……7分
由题意，0,0b a >>，则21
()02
a a ->，故1a >， ……8分
又2
2222442()2
s t s
t
s
t
++=+≥?，
即2
2
a a ≥，故2a ≤，当且仅当s t =时取得等号， ……9分
综上：12a <≤. ……10分
（3）88(22)(4224)()s t s t s s t t a a b +=+-?+=-
232
1113()2222a a a a a a =-+=-+，
(1,2]a ∈ ……12分 令3213
(),(1,2]22
h a a a a =-+∈，
'()h a 233
3(2)022
a a a a =-+=--≥当(1,2]a ∈恒成立， ……14分
故()h a 在(1,2]a ∈单调递增，()((1),(2)]h a h h ∈，故88s t +(1,2]∈. ……16分
【说明】本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考查换元法、划归思想；考查运算变形能力. 20. 解：（1）设{}n b 的公差为d ，由题意：数列{}n b 的前几项为：
1121,b a b ==324563789104,,,,,,,,19b a b b b a b b b b a ==== ……2分
4a 为{}n b 的第10项，则1019b b d =+， ……4分 2d =，而11b =，
……5分
故数列{}n b 的通项公式为n b 12(1)21n n =+-=-. ……6分
（2n b μ+（,λμ为常数），
得2222()2n n n n S b b b λμμμ+=+=++，……① ……7分 当1n =得：2212λμμ+=++，……②
当2n ≥时，2211122n n n S b b λμμ---+=++， ……③
①-③得221122()n n n n n b b b b b μ--=-+-， ……8分
则12()2(2)2n n n n b d b b d d b d d μμ-=++=-+， ……9分 若0d =，则11n b b ==，代入④式，得20=，不成立； ……10分
（法一）当2n ≥，2(22)2n d b d d μ-=-=常数……④恒成立，又{}n b 为正项等差数列，
当0d ≠时，n b 不为常数，则2
220,20,
d d d μ-=??-=?得11,2d μ==， ……11分
代入②式，得1
4
λ=
. ……12分 （法二）2(2)2n n b d b d d μ=-+,2(22)2n d b d d μ-=-，即21(22)[(1)]2d b n d d d μ-+-=-，
则222(1)2(1)2d d n d d d μ-+-=-对n ≥2恒成立，
令2,3n =，得2222
4(1)2(1)2,6(1)2(1)2,d d d d d d d d d d μμ?-+-=-?-+-=-? 解得1,
1,2d μ=??
?=?? ……11分 【或者:222(1)2(1)2d d n d d d μ-+-=-=常数，则2(1)0d d -=，得1d =，
当1d =时，代入上式得1
,2μ=】
代入②式，得1
4
λ=
. ……12分 （法三）由12()2(2)n n n b d b b d n μ-=++≥，……④
得1122()2(3)n n n b d b b d n μ---=++≥，……⑤
④-⑤，得222d d =，1d =， 代入上式得1
,2μ=
……11分
代入②式，得1
4
λ=
. ……12分 所以等差数列{}n b 的首项为11b =，公差为1d =，则n b n =. ……13分
设{}n a 中的第n 项为数列{}n b 中的第k 项，则n a 前面共有{}n a 的1n -项，又插入了
(1)
123(1)2n n n -+++
+-=
项，则：(1)(1)12n n k n -=-++22
n n +=…15分 故22
n k n n
a b k +===. ……16分
【说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力.
第Ⅱ卷理科附加卷
21.B 解：MN =1002??????1
020
1???
????
?=1020
2????
????
， ……4分 即在矩阵MN 变换下1
102
20
22x x x x y y y y ???
?'????????
??
→==??????????'????????
??
?， ……6分 1
,22
x x y y ''=
=， ……8分
代入得：
1
sin 22
y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分
21.C 解：（1）由 πsin()63ρθ-=
，得1(sin )62ρθθ=:
12y ∴=
120y -+=. ……4分 圆的方程为22100x y +=. ……6分
（2）6,10d r ==，
弦长16l =. ……10分
22. 解：设00(,),(,)T x y A x y ，则2
00410x y -+=，① ……2分
又(2,0)M -，由2AT TM =得00(,)2(2,0)x x y y x y --=---， ……5分 0034,3x x y y ∴=+=， ……7分
代入①式得24(34)310x y +-+=，即为所求轨迹方程. ……10分 23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则1
(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,)2A D P B C M ， ……1分
（1）证明：因为(0,0,1),(0,1,0)AP DC ==，0,AP DC AP DC ?=⊥故所以， 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，
由此得DC ⊥面PAD ，又DC ?面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD . ……4分 （2）因(1,1,0),(0,2,1),AC PB ==-||2,||5,2,AC PB AC PB ∴==?=
10
cos ,||||
AC PB AC PB AC PB ?∴<>=
=? ……7分 （3）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，
则1n AM ⊥，11111111
(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴?=?=+=，
又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴?=?=+=， 取11x =，得111,2y z =-=，故1(1,1,2)n =-， 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =，
121212
2
cos ,3
6n n n n n n ?<>=
=
=
， ……10分 ∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为
23
.