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第九章 重积分
Chapter 9 Multiple Integrals
9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its
Properties)
一、二重积分的概念 (Double Integrals)
定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用
(1,2,)i
i n σ?=L 表示。在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=?∑。假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)n
i i i i f I ξησε=?-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。这样就称f 在D 上可积，
I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=??或01(,)lim (,)λσξησ→==?∑??n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by
(1,2,)i i n σ?=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=?∑。Suppose
that there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there
exists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=?-<∑，
no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=??,or 01(,)lim (,)λσξησ→==?∑??
n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)
性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即
((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±??????.
Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is
((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±?????? 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即
(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????,若k 为常数。 Property 2 The constant factor in the integrand function can
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be taken out of the double integral,
that is (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????,if k is a constant.
性质 3 二重积分关于积分区域具有可加性 , 即如果D 被 分成两个区域 1D 和2D ,12D D I 的面积为 0, 则有
12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????.
Property 3 The double integral is additive with respect to the integration region, that is, if D is divided into two regions 1D and 2D and the area of 12D D I is 0, then 12
(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????
性质 4 若对任意(,)x y D ∈，有(,)0f x y ≥，则有(,)0D f x y d σ≥??。 Property 4 If (,)0f x y ≥ for every (,)x y D ∈,then (,)0D f x y d σ≥??. 性质5 若对任意(,)x y D ∈, 有(,)(,)f x y g x y ≥，则(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????。
Property 5 If (,)(,)f x y g x y ≥ for every (,)x y D ∈,then
(,)(,)D
D f x y d g x y d σσ≥????. 性质 6 假设 M 和 m 分别是函数 f 在D 上的最大值和最小 值 ,
则(,)D m f x y d M σσσ≤≤??，其中σ是区域D 的面积。
Property 6 Suppose that M and m are respectively the maximum and minimum values of function f on D , then
(,)D
m f x y d M σσσ≤≤??,where σ is the area of D . 性质 7( 二重积分的中值定理 ) 若(,)f x y 在闭区域D 上连续 , 则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)D f x y d f σξησ=??，其中σ是区域D 的面积σ Property 7 (The Mean Value Theorem for Double Integral) If (,)f x y is continuous on the closed region D , then there exists at least a point (,)ξηin D such that (,)(,)D
f x y d f σξησ=??, where σ is the area of D . 9.2 二重积分的计算法 (Evaluation of Double Integrals)
一、直角坐标的二重积分 (Double Integrals in Rectangular Coordinates)
定理 设(,)f x y 在xy 平面上的有界闭区域 D 上连续 ,
(1)若区域D 由a x b ≤≤和12()()g x y g x ≤≤所给出，其中12(),()g x g x 是
[,]a b 上的连续函数，则21()
()(,)(,)b g x a g x D f x y d dx f x y dy σ=????
。 (2) 若区域D 由c y d ≤≤和12()()h y x h y ≤≤所给出，其中12(),()h y h y 是[,]c d 上的连续函数，则21()
()(,)(,)d h y c h y D f x y d dy f x y dx σ=????。
第 3 页 Theorem Let (,)f x y be continuous on a bounded closed region D in the xy -plane.
(1) If D is given by a x b ≤≤and 12()()g x y g x ≤≤, where 12(),()g x g x are continuous functions of x on [,]a b , then
21()()(,)(,)b g x a g x D f x y d dx f x y dy σ=???
? (2) If D is given by c y d ≤≤ and 12()()h y x h y ≤≤, where 12(),()h y h y are continuous functions of y on [,]c d , then 21()()(,)(,)d
h y c h y D f x y d dy f x y dx σ=????
二 极坐标下的二重积分 (Double Integrals in Polar Coordinates) 如果积分区域D 由极坐标形式12{(,),()()}D r h r h θαθβθθ=≤≤≤≤ 给出，则
21()()(,)(cos ,sin )h h D f x y d f r r rdrd βθαθσθθθ=????。 If the region D is given by 12{(,),()()}D r h r h θαθβθθ=≤≤≤≤ in
polar coordinates, then
21()()(,)(cos ,sin )h h D f x y d f r r rdrd βθαθσθθθ=????。 9.3 三重积分 (Triple Integrals)
一、三重积分的概念 (Triple Integrals)
定义 设f 是定义在空间有界闭区域Ω上的三元函数。如果存在一个确定的数A , 满足 :
任给0ε>, 存在0δ>, 对Ω 的任 意一个分法 , 设小区域为i v ，它们的
体积用i v ?表示 , 在每个(1,2,)i v i n =L 中任取一点(,,)i i i ξηζ，当小区域的最大直径λ小于δ时，不等式1(,,)n i i i i i f v A ξηζε=?-<∑成立，则A 成为f 在D 上
的三重积分，记作(,,)f x y z dv A Ω=???,或01(,,)lim (,,)n i i i i i f x y z dv f v A λξηζ→=Ω=?=∑???. Definition Suppose that f is a continuous function of three
variables defined on a bounded closed region Ω in space. If there is a number A such that for any 0ε>, there exists a 0δ> such that, for any partition to Ωwith subregions i v , whose volume are
denoted by i v ? and any points (,,)i i i ξηζchosen arbitrarily from (1,2,)i v i n =L respectively, the inequality 1(,,)n
i i i i i f v A ξηζε=?-<∑ holds true whenever the diameter of the largest subregion is less than δ, then A is said to be the triple integral of function f over the region Ω，written (,,)f x y z dv A Ω=???，or 01(,,)lim (,,)n
i i i i i f x y z dv f v A λξηζ→=Ω=?=∑??? 二、三重积分的计算 (Evaluation of Triple Integrals)
1. 利用直角坐标 (Rectangular Coordinates) 计算三重积分
设f 是定义在空间有界闭区域Ω上的连续的二元函数,Ω由1212{(,,),()(),(,)(,)}x y z a x b y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤给出，则
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时, 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。
7.1二重积分的基本概念（教案） 主讲人：孙杰华 教学目的：理解二重积分的概念、性质 教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容： 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这些小区 域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω. （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==?Ω∑． 图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2．二重积分的定义 设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?， 作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=， 作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑， 若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记 作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑． 其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
第九章 重积分 第一节 二重积分的概念及性质 一．二重积分的概念 1．引例 引例1 曲顶柱体的体积 设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z = 所表示的曲面， 如图9—1所示， 这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。 图9—1 图9—2 图9—3 解 对于平柱体的体积底面积高?=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割 把区域D 任意划分成n 个小闭区域n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小闭区域， 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。 (2)近似 在每一个小闭区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ?为底的平顶柱体 的体积i i i f σηξ?),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。
i i i f V σηξ?≈?),( (3)求和 这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值 ∑=?≈?=n i i i i f V V 1),(σηξ (4)取极限 将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 ∑=→?=n i i i i f V 10 ),(lim σηξλ 其中λ表示这n 个小闭区域i σ?直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区 域中任意两点间的距离）。 引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数 ),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。 解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度?=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似 在每一个小薄片i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i σ?很小时，认 为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ?),(近似代替第i 个小薄片的质量。即 i i i m σηξρ?≈?),( (3)求和 这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 一、填空题 1. 二重积分的定义是对 有界闭 区域上的 有界 函数而说的，当和式的极限0lim λ→()1,n i i i i f ξησ=Δ∑存在时，二重积分存在，对于 闭 区域上的 连续 _函数， 二重积分一定存在. 2. 设曲顶柱体的顶部曲面函数(,)z f x y =，它的底部区域为，则曲顶柱体的体积表示 D 为(,)d σ∫∫D f x y . 3. 设{}22(,)1D x y x y =+≤，则d D σ=∫∫π. 4. 由二重积分几何意义，d D x y =3π6a .（为D 222x y a +≤，）. 0,0,0x y a ≥≥≥提示：当时， (,)0f x y ≥(,)d D f x y σ∫∫表示以为底，以曲面D (,)z f x y =为顶的曲顶柱 体的体积 5. 设一平面薄片在xoy 面内占的区域为，且其密度函数D 221(,)()2u x y x y = +，则此薄 片的质量表示为221()d 2D x y σ+∫∫ 二、单项选择题 1．()01(,)d lim ,n i i i i D f x y f λσξησ→==Δ∑∫∫中λ是 D . A. 最大小区间长 B. 小区域最大面积 C. 小区域直径 D. 小区域最大直径 61
三、解答题 1. 利用二重积分性质估计积分()222d d D I x y x = ++∫∫y 的值，其中1x y +≤. 解：∵01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y x +≤?y ， ∴2222323 x y xy ≤++≤?≤，2242 2d 3d 36D D I σσ==≤≤==∫∫∫∫， ∴即 46I ≤≤. 2. 根据二重积分的性质，比较2()d D x y σ+∫∫与3()d D x y σ+∫∫的大小，其中由圆周 D 22(2)(1)x y ?+?=22)围成. 解：，即22(2)(1)x y ?+?≤∵22 (1)22(x y x ?++≤+y ， ∴22(1)11()2x y x y ?+≤+≤23()+，()y x y +≤+，故23()d ()d D D x y x y σσ+≤+∫∫∫∫. x 62
1．利用二重积分定义证明： (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????。 【证明】由二重积分定义 1 (,)lim (,)n i i i i D f x y d f λ σξησ→==?∑??，得 1 (,)lim (,)n i i i i D kf x y d kf λ σξησ→==?∑??0 1 lim (,)n i i i i k f λξησ→==?∑ 1 lim (,)n i i i i k f λξησ→==?∑(,)D k f x y d σ=??， 证毕。 2．利用二重积分的几何意义说明：D kd k σσ=?? （k R ∈为常数，σ为积分区域D 的面积）。 【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分(,)D f x y d σ??就是以(,)z f x y =为曲顶 的柱体体积， 于是知，二重积分 D kd σ??表示以平面z k =为顶的柱体体积， 而以平面z k =为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z k =， 但该柱体的底面积就是积分区域D 的面积σ， 从而得， D kd k σσ=??。 3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴ ()D xy x y d σ+??，其中积分区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤； 【解】由于区域{} (,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为 111D d σ=?=??， 而由于01x ≤≤，01y ≤≤，可得01xy ≤≤，02x y ≤+≤， 从而有0()2xy x y ≤+≤， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 0()2D D D d xy x y d d σσσ≤+≤?????? 亦即为 0()2D xy x y d σ≤+≤??。 ⑵ (1)D x y d σ++??，其中积分区域{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤； 【解】由于区域{} (,)01,02D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为 122D d σ=?=??，
定积分的概念与性质
第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的
第九章重积分 第一节二重积分的概念及性质 重积分的概念 1 ?引例 引例1曲顶柱体的体积 设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线 平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数z f(x,y)所表示的曲面，如图9—1所示, 这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。 图9—1 图9—2 图9 —3 解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割 把区域D任意划分成n个小闭区域，，，，其中表示第i个小闭区域， 1 2 n i 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。 ⑵近似 在每一个小闭区域上任取一点(，)，以f ( i , i)为高，为底的平顶柱体 i I / i 的体积f( i, i) i近似代替第i个小曲顶柱体的体积
V f ( i, i) (3) 求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值n V V f ( i, i) i i1 (4) 取极限 将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲 顶柱体的体积。即 n V lim0 f ( i, i ) i i1 其中表示这n 个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区 i 域中任意两点间的距离) 。 引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xy面上的有界闭区域D，它的密度为D上的连续函数 z (x, y) ，试求平面薄片的质量。 解对于均匀平面薄片的质量m 密度薄片面积，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片(即区域D )任意划分成n个小薄片，其中表示第i个 1 2 n i 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3 所示。 (2)近似 在每一个小薄片」上任取一点(「丿，以(i, J为其密度，当i很小时，认 为小薄片是均匀的，则(i, i) i近似代替第i个小薄片的质量。即 m ( i , i) i (3)求和 这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
第 1 页 第九章 重积分 Chapter 9 Multiple Integrals 9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals) 定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用 (1,2,)i i n σ?=L 表示。在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=?∑。假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)n i i i i f I ξησε=?-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。这样就称f 在D 上可积， I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=??或01(,)lim (,)λσξησ→==?∑??n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ?=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=?∑。Suppose that there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=?-<∑， no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=??,or 01(,)lim (,)λσξησ→==?∑?? n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals) 性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即 ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±??????. Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±?????? 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????,若k 为常数。 Property 2 The constant factor in the integrand function can
第一节二重积分的概念与性质 学习指导 １．教学目的：使读者理解二重积分的概念与性质。 ２．基本练习：熟悉二重积分的几何、物理背景。熟悉二重积分的性质。 3．应注意的事项： 二重积分是二元函数乘积和式的极限，是定积分的推广，因此从引例到研究方法，从定义到性质都是类似的，读者要善于比较，触类旁通，温故而知新。 第一节二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体 （2）曲顶柱体的体积 现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V。 平顶柱体的体积 2. 平面薄片的质量 (1) 问题的提出 (2) 均匀薄片的质量
(3) 非均匀薄片质量的计算方法 (4) 二重积分的定义 上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限。在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可以归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般的研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。 定义设是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成个小闭区域 。 其中 表示第个小闭区域，也表示它的面积。再每个上任取一点，作乘积 ，并作和。如果当个小闭区域的直径中最大值 趋于零时，这和的极限总存在。则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记 作，即 。（1） 叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫 其中 积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。 (5) 直角坐标系中的面积元素 在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的 直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域的边长为和，则。因此在直角坐标系中，有 时也把面积元素记作。而把二重积分记作 。 其中叫做直角坐标系中的面积元素。