第七编 不等式
§7.1 不等关系与不等式
1.已知-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3
,a 2
的大小关系是 . 答案 -a ＞a 2
＞-a 3
2.若m ＜0,n ＞0且m +n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m
3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a ,ab ,ab 2
的大小关系是 . 答案 ab ＞ab 2
＞a
4.设a =2-5,b =5-2,c =5-25,则a ,b ,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c
5.设甲：m 、n 满足???<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足???<<<<,32,
10n m 那么甲是乙的 条件.
答案 必要不充分
例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2
+y 2
)(x -y )与(x 2
-y 2
)(x +y )的大小；
（2）已知a ,b ,c ∈{正实数}，且a 2
+b 2
=c 2
,当n ∈N ,n ＞2时比较c n
与a n
+b n
的大小. 解 （1）方法一 （x 2
+y 2
）(x -y )-(x 2
-y 2
)(x +y ) =(x -y )［x 2
+y 2
-(x +y )2
］=-2xy (x -y ), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x -y ＜0, ∴-2xy (x -y )＞0,
∴(x 2
+y 2
)(x -y )＞(x 2
-y 2
)(x +y ).
方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x -y ＜0,x 2
＞y 2
,x +y ＜0. ∴(x 2
+y 2
)(x -y )＜0,(x 2
-y 2
)(x +y )＜0, ∴0＜
)
)(())((2222y x y x y x y x +--+=
xy
y x y x 22222+++＜1,
∴(x 2+y 2
)(x -y )＞(x 2
-y 2
)(x +y ). (2)∵a ,b ,c ∈{正实数}，∴a n
,b n
,c n
＞0, 而
n
n n c b a +=n c a ??? ??+n
c b ??
?
??. ∵a 2
+b 2
=c 2
,则2
??? ??c a +2
??
?
??c b =1,
∴0＜
c a ＜1,0＜c
b
＜1. ∵n ∈N ,n ＞2,
∴n
c a ??? ??＜2
??? ??c a ,n
c b ??? ??＜2
??
? ??c b , ∴
n
n n c b a +=n c a ??? ??+n
c b ???
??＜2
22c b a +=1, ∴a n
+b n
＜c n
.
例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ,则下列不等式恒成立的是 . ①(a +c )4
＞(b +c )4
②ac 2
＞bc 2
③lg|b +c |＜lg|a +c | ④(a +c )3
1
＞(b +c ) 3
1 答案 ④
例3 （14分）已知-1＜a +b ＜3且2＜a -b ＜4,求2a +3b 的取值范围. 解 设2a +3b =m (a +b )+n (a -b ),
∴???=-=+32n m n m , 4分
∴m =
25,n =-2
1
. 6分 ∴2a +3b =
25(a +b )-2
1
(a -b ). 7分 ∵-1＜a +b ＜3,2＜a -b ＜4, ∴-25＜25(a +b )＜215,-2＜-21(a -b )＜-1, 10分 ∴-29＜25(a +b )- 21(a -b )＜213, 12分 即-29＜2a +3b ＜2
13. 14分
1.（1）比较x 6
+1与x 4
+x 2
的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a
1
的大小. 解 （1）（x 6
+1）-（x 4
+x 2
） =x 6
-x 4
-x 2
+1=x 4
(x 2
-1)-(x 2
-1) =(x 2
-1)(x 4
-1)=(x 2
-1)(x 2
-1)(x 2
+1) =(x 2
-1)2
(x 2
+1).
当x =±1时，x 6
+1=x 4
+x 2
; 当x ≠±1时，x 6
+1＞x 4
+x 2
. （2）a -a 1=a
a 12-=a a a )
1)(1(+-
当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜
a
1；
当a =±1时,a =
a
1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立： （1）若a ＞b ,则ac ≤bc ; (2)若ac 2
＞bc 2
,则a 2
＞b 2
;
(3)若a ＞b ,则lg(a +1)＞lg(b +1); (4)若a ＞b ,c ＞d ,则d a ＞c
b ; (5)若a ＞b ,则
a 1＜b
1. 解 （1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc ,即增加条件“c ≤0”. (2)由ac 2
＞bc 2
可得a ＞b ,但只有b ≥0时，才有a 2
＞b 2
,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a +1＞b +1,但作为真数，应有b +1＞0,故应加条件“b ＞-1”. （4）
d a ＞c
b
成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)
a 1＜b
1
成立的条件是a ＞b ,ab ＞0或a ＜0,b ＞0, 故增加条件为“ab ＞0”.
3.设f (x )=ax 2
+bx ,1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (-2)的取值范围. 解 方法一 设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m ,n 为待定系数), 则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b ,
于是得???-=-=+24m n n m ,解得???==13n m ,
∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10.
方法二 由???+=-=-b a f b
a f )1()1(,
得[][]???
????
--=+-=)1()1(2
1
)1()1(21
f f b f f a , ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,
∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.
方法三 由???≤+≤≤-≤422
1b a b a 确定的平面区域如图.
当f (-2)=4a -2b 过点A ???
??2123,时,
取得最小值4×
23-2×2
1
=5, 当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f (-2)≤10.
一、填空题
1.已知a ,b ,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）. ①
a b ＞a c ②c a b -＞0 ③c b 2＞c
a 2
④ac c a -＜0 答案 ①②④
2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab 2
＞a ＞ab ,则实数b 的取值范围为 . 答案 （-∞，-1）
3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc -ad ＞0,
a c -b
d
＞0(其中a ,b ,c ,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个. 答案 3
4.已知函数f (x )=log 2(x +1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,c
c f )
(的大小关系为 . 答案
a a f )(＜
b b f )(＜c
c f )
( 5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x
＜a y
;②log a x ＞log a y ;③x -a
＞y -a
;④log x a ＜log y a . 其中不成立的有 个. 答案 3 6.已知a +b ＞0，则2
b a +
2
a b 与
a 1+b
1
的大小关系是 . 答案
2
b a +
2
a b ≥
a 1+b
1 7.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则
a 1＞
b 1; ②若a ＞b ＞0,则a -a 1＞b -b
1
; ③若a ＞b ＞0,则
b a b a 22++＞b
a
; ④设a ,b 是互不相等的正数，则|a -b |+
b
a -1
≥2.
其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 ② 二、解答题
8.比较a a b b
与a b b a
（a ,b 为不相等的正数）的大小. 解 a
b b
a b a b a =a a -b b b -a
=b
a b a -?
??
??,
当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a -b ＞0,∴b
a b a -?
??
??＞1；
当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a -b ＜0,∴b
a b a -?
?
?
??＞1.
综上所述，总有a a b b ＞a b b a
.
9.已知奇函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试说明f (α)+f (β)+f (γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.
∵f (x )在R 上是单调减函数,∴f (α)＜f (-β).
又∵f (x )为奇函数,∴f (α)＜-f (β),∴f (α)+f (β)＜0, 同理f (β)+f (γ)＜0,f (γ)+f (α)＜0, ∴f (α)+f (β)+f (γ)＜0.
10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,
则x 、y 满足关系：?????
??
??∈∈
≥≥≤+y x x x y x 4300019080.
11.已知a ＞0,a 2
-2ab +c 2
=0,bc ＞a 2
.试比较a ,b ,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b ,c 同号. 又a 2
+c 2
＞0,a ＞0,∴b =
a
c a 22
2+＞0,∴c ＞0, 由(a -c )2
=2ab -2ac =2a (b -c )≥0,∴b -c ≥0. 当b -c ＞0,即b ＞c 时,
由?
????>+=2222a bc a c a b 得
a c a 222+·c ＞a 2 即(a -c )(2a 2
+ac +c 2
)＜0.
∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2
+ac +c 2
＞0, ∴a -c ＜0,即a ＜c ,则a ＜c ＜b ； 当b -c =0,即b =c 时, ∵bc ＞a 2
,∴b 2
＞a 2
,即b ≠a .
又∵a 2
-2ab +c 2
=(a -b )2
=0?a =b 与a ≠b 矛盾, ∴b -c ≠0.
综上可知:a ＜c ＜b .
N + N +
§7.2 一元二次不等式及其解法
1.下列结论正确的是 . ①不等式x 2
≥4的解集为{x |x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}
③不等式(x -1)2
＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}
④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2
+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2} 答案 ③
2.（2007·湖南理）不等式1
2
+-x x ≤0的解集是 . 答案 （-1，2］
3.（2008·天津理）已知函数f (x )=?
??≥-<+-,0,1,
0,1x x x x 则不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是 .
答案 {x |x ≤2-1}
4.在R 上定义运算?:x ?y =x (1-y ).若不等式(x -a )?(x +a )＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围是 . 答案 -
21＜a ＜2
3 5.(2008·江苏，4)A ={x |(x -1)2
＜3x -7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0
例1 解不等式
23??? ??+-352x ≥2
1(x 2
-9)-3x . 解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-2
9
-3x , 即2x 2
-3x -7≤0.
解方程2x 2
-3x -7=0,得x =4
65
3±. 所以原不等式的解集为
??
????????+≤≤-4654346543x x . 例2 已知不等式ax 2
+bx +c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2
+bx +a ＜0的解集. 解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx +c =0的两根，
∴由根与系数的关系可得??????
?>=<+-=00)(αββαa c a
b
∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 则cx 2
+bx +a ＜0可化为x 2
+x c
b +c
a
＞0, ①÷②得c b =αββα)
(+-=-???
? ??+βα11＜0, 由②得c a =αβ1=α1·β
1＞0, ∴
α1、β
1为方程x 2
+c b x +c a =0的两根. ∵0＜α＜β,
∴不等式cx 2
+bx +a ＜0的解集为
????
??><αβ11x x x 或.
方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax 2
+bx +c =0的两根，
① ②
∴α+β=-a b ,αβ=a
c , ∴cx 2
+bx +a ＜0?
a c x 2+a
b
x +1＞0 ?(αβ)x 2
-(α+β)x +1＞0?(αx -1)(βx -1)＞0
??
?? ??
-α1x ???
?
??-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴
α1＞β1,∴x ＜β
1
或x ＞α1, ∴cx 2
+bx +a ＜0的解集为??????><αβ11x x x 或.
例3 已知不等式
1
1
+-x ax ＞0 (a ∈R ). (1)解这个关于x 的不等式;
(2)若x =-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1;
②当a ＞0时,不等式化为??? ??
-a x 1(x +1)＞0,
解得x ＜-1或x ＞
a
1
; ③当a ＜0时,不等式化为??? ??
-a x 1(x +1)＜0;
若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1
＜x ＜-1; 若a
1
=-1,即a =-1,则不等式解集为空集; 若
a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a
1. 综上所述,
a ＜-1时,解集为??????
<<-a x x 11;
a =-1时,原不等式无解;
-1＜a ＜0时,解集为?
??
???-<<11x a x ;
a =0时,解集为{x |x ＜-1};
a ＞0时,解集为??????
><- (2)∵x =-a 时不等式成立, ∴ 1 1 2+---a a ＞0,即-a +1＜0, ∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1. 例4 （14分）已知f (x )=x 2 -2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解 方法一 f (x )=(x -a )2 +2-a 2 , 此二次函数图象的对称轴为x =a , 2分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x )在［-1，+∞）上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 4分 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 6分 ②当a ∈［-1，+∞）时，f (x )min =f (a )=2-a 2 , 8分 由2-a 2 ≥a ,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1, ∴-1≤a ≤ 1. 12分 综 上 所 述 ， 所 求 a 的 取 值 范 围 为 -3 ≤ a ≤ 1. 14分 方法二 由已知得x 2 -2ax +2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分 即 Δ =4a 2 -4 （2-a ）≤0或 ??? ??≥--<>?0)1(10 f a , 10分 解得-3≤a ≤ 1. 14分 1.解下列不等式： （1）-x 2 +2x -32＞0;(2)9x 2 -6x +1≥0. 解 （1）-x 2+2x -3 2 ＞0 ?x 2 -2x + 3 2 ＜0 ?3x 2-6x +2＜0 Δ=12＞0,且方程3x 2 -6x +2=0的两根为 x 1=1- 33,x 2=1+3 3, ∴原不等式解集为?? ? ???????+<<-331331x x . (2)9x 2-6x +1≥0?(3x -1)2 ≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R . 2.已知关于x 的不等式（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集为?????? -<31x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的 解集. 解 ∵（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集是?????? -<31x x , ∴?? ???>+=-+??? ??-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2 a x a x --＜0 （a ∈R ）. 解 2 a x a x --＜0?(x -a )(x -a 2 )＜0, ①当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2 ，此时a ＜x ＜a 2 ; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2 ，此时a 2 ＜x ＜a . 综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2 }； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2 ＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x 2 +ax +3. (1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2 +ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2 -4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,所以-6≤a ≤2. (2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2 +ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2 -4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0, 即???? ? ??≥--<-=≥?0 )2(,220g a x 即????? ??≥-+--<-≥--0 324220 )3(42a a a a a ???? ????≤>-≤≥37 4 62a a a a 或 解之得a ∈Φ. ③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点 , 但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0, 即???? ? ??≥>-=≥?0 )2(,220g a x 即??? ?? ??≥-++>-≥--0 32422 )3(42a a a a a ??????-≥-<-≤≥74 62a a a a 或 ?-7≤a ≤-6 综合①②③得a ∈［-7，2］. 一、填空题 1.函数y =)1(log 22 1-x 的定义域是 . 答案 ［-2,-1）∪（1，2］ 2.不等式 4 12--x x ＞0的解集是 . 答案 (-2,1)∪(2,+∞) 3.若(m +1)x 2 -(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 答案 m ＜- 11 13 4.若关于x 的不等式：x 2 -ax -6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 . 答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5.(2009·启东质检)已知函数f (x ）的定义域为（-∞，+∞）， f ′(x )为f (x )的导函数，函数y =f ′(x )的图象如右图所示， 且f (-2)=1,f (3)=1,则不等式f (x 2 -6)＞1的解集为 . 答案 (2,3)∪(-3,-2) 6.不等式组?????<-<-0 3 0122x x x 的解集为 . 答案 {x |0＜x ＜1} 7.若不等式2x ＞x 2 +a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8) 8.已知{x |ax 2 -ax +1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 二、解答题 9.解关于x 的不等式56x 2 +ax -a 2 ＜0. 解 原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0, 即??? ? ? +7a x ??? ??-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ; ②当-7a =8 a ,即a =0时,原不等式解集为φ; ③当- 7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7 a . 综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为 ???? ??<<-87a x a x ; 当a =0时,原不等式的解集为Φ; 当a ＜0时,原不等式的解集为??????-<<78a x a x . 10.已知x 2 +px +q ＜0的解集为??????< <-3121x x ，求不等式qx 2 +px +1＞0的解集. 解 ∵x 2 +px +q ＜0的解集为? ??? ??< <-3121x x , ∴- 21,3 1是方程x 2 +px +q =0的两实数根， 由根与系数的关系得???????=-?-=-q p )21(312131,∴??????? -==616 1q p , ∴不等式qx 2 +px +1＞0可化为-016 1 612>++x x , 即x 2 -x -6＜0,∴-2＜x ＜3, ∴不等式qx 2 +px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}. 11.若不等式2x -1＞m (x 2 -1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x 2 -1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2 -1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2). 则?????<---=<----=-. 0)12()1(2)2(, 0)12()1(2)2(2 2x x f x x f 解得 271+-＜x ＜2 3 1+. 方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式， （1）若x 2 -1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞2 1 ,∴x =1,此时原不等式恒成立. （2）当x 2-1＞0时，使 1 122--x x ＞m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是 1 122--x x ＞2, ∴1＜x ＜ 2 3 1+. (3)当x 2 -1＜0时，使1 122 --x x ＜m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是 1 122 --x x ＜-2. ∴ 2 7 1+-＜x ＜1. 由（1）（2）（3）知原不等式的解集为?? ? ???????+<<-213217x x . 12.已知函数f (x )=ax 2 +a 2 x +2b -a 3 ,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式； （2）设F （x ）=-4 k f (x )+4(k +1)x +2(6k -1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？ 解 (1)由题意可知-2和6是方程f (x )=0的两根， ∴? ?? ??-=?-=-=+-=-126224 623a a b a ,∴???-=-=84b a , ∴f (x )=-4x 2 +16x +48. (2)F (x )=-4 k (-4x 2 +16x +48)+4(k +1)x +2(6k -1) =kx 2 +4x -2. 当k =0时，F (x )=4x -2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值， 则有???<+<08160k k ,解得k ＜-2. §7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 . 答案 ?? ? ??≥-+≤--≤++013401320 12y x y x y x 2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件??? ??≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z =5x +y 的最大值为 . 答案 5 3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是 . 答案 -5＜m ＜10 4.（2008·北京理）若实数x ，y 满足?????≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y 的最小值是 . 答案 1 5.（ 2008·福建理） 若实数x 、y 满足???>≤+-001x y x ，则x y 的取值范围是 . 答案 （1，+∞） 例1 画出不等式组??? ??≤≥+≥+-300 5x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题: (1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及 右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及 右上方的点的集合,x ≤3表示直线x =3上及左方 的点的集合. 所以,不等式组?? ? ??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域如图所示. 结合图中可行域得x ∈?? ? ???-3,25 ,y ∈［-3,8］. (2)由图形及不等式组知???∈≤≤-+≤≤-x x x y x 且,325 当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点; 当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件??? ??≤-+≤-≥,092,0, 1y x y x x 则x +y 的最大值是 . 答案 6 例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分 则线性约束条件为????? ?? ??≥≥≤+≤+≤+15153001032005430049y x y x y x y x ， 4分 目标函数为z =7x +12y , 8分 作出可行域如图， 10分 作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A (20，24)时， 利润最大. 12分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）. 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大 . 14 分 Z 1.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当??? ??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐 标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 . 答案 1 2.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件?? ? ??≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z =2x -y 的最大值为 . 答案 9 3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？ 解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p =15x +20y . 其中x ,y 满足限制条件????? ??*∈≥*∈≥≤+≤+y y x x y x y x ,0,0300 12000 884. 即点（x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000(即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）. 对于某一个确定的p =p 0满足p 0=15x +20y ,且点（x ,y )属于阴影部分的解x ,y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案. 对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为- 4 3 的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围， 当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值. 由???=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900）， 当x =200,y =900时，p 取最大值， 即p max =15×200+20×900=21 000, 即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元. N N 一、填空题 1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件: ??? ??-≥≤+≥,2,22,x y x x y 则z =x -3y 的最小值为 . 答案 -8 2.若不等式组????? ??≤+≥≤+≥-, ,0, 22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 . 答案 0＜a ≤1或a ≥ 3 4 3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m = . 答案 1 4.（2008·山东理）设二元一次不等式组?????≤-+≥+-≥-+0142080 192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ,使函数y =a x （a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 . 答案 ［2,9］ 5.如果实数x ，y 满足??? ??≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,目标函数z =kx +y 的最大值为12， 答案 2 6.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0, y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|( x ,y )∈A }的面积为 . 答案 1 7.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组??? ??≤-≥≤,2,0,0x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化 到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 . 答案 4 7 8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠φ. (1)b 的取值范围是 ； （2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是 . 答案 （1）［2,+∞)（2）2 9 二、解答题 9.已知实数x 、y 满足??? ??≤--≥+-≥-+0 330420 22y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值. 解 由于z = 11++x y =) 1() 1(----x y ， 所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此1 1 ++x y 的最值就是点 （x ，y ）与点M （-1，-1）连线的斜率的最值， 结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y =2； z min =k MC =2 1 ，此时x =1，y =0. 10.已知变量x ,y 满足的约束条件为??? ??≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点 （3，0）处取得最大值，求a 的取值范围. 解 依据约束条件，画出可行域 . ∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=- 2 1 ,目标函数 z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符 合题意，则须k 1＞k 2,即- 21＞-a ,得a ＞2 1. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品: 某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小. 解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y 约束条件为：????? ?? ??∈≥∈≥≥+≥+≥+Z Z y y x x y x y x y x ,0,027******* 作出可行域如图所示： 令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点 A ??? ??539,518可使 z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ?? ? ??539,518不是最优解； 通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ??? ??539,518点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点 是B (3,9)和 C （4，8），它们都是最优解. 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种： 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张； 两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )= 31x 3+2 1ax 2 +2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域 的面积以及 1 2 --a b 的取值范围. 解 函数f (x )的导数为f ′(x )=x 2 +ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2 +ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x )=x 2 +ax +2b 的 图象与方程x 2 +ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到?????>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ??????>++<++>020120 b a b a b , 在 aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为 △ABD (不包括边界),如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABD 的面积为 S △ABD = 21|BD |×h =2 1 (h 为点A 到a 轴的距离). 点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为 1 2 --a b , 显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b ∈?? ? ??1,41. §7.4 基本不等式: ab ≤2 b a + 1.已知a ＞0,b ＞0， a 1+b 3 =1，则a +2b 的最小值为 . 答案 7+26 2.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x ,y ∈R + ，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 . 答案 16 1 3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则 ()cd b a 2 +的最小值是 . 答案 4 4.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为 . 答案 7 5.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R + ，x -2y +3z =0,xz y 2 的最小值是 . 答案 3 第七章不等式 考点1 不等关系与不等式 1.（2017?山东,7）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A.a+ ＜＜log2（a+b） B.＜log2（a+b）＜a+ C.a+ ＜log2（a+b）＜ D.log2（a+b））＜a+ ＜ 1. B ∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选B． 2.（2017·天津,8）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（） A.[﹣，2] B.[﹣，] C.[﹣2 ，2] D.[﹣2 ，] 2. A 当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立， 即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3， 即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3， 由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣； 由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值， 则﹣≤a≤ ① 当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立， 即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ， 即有﹣（x+ ）≤a≤ + ， 由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2． 则﹣2 ≤a≤2② 由①②可得，﹣ ≤a≤2． 故选A ． 3.(2016·北京,5)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,则( ) A.1x －1y ＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.????12x －????12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0 3.C [函数y ＝1x 在(0,＋∞)上单调递减,所以1x ＜1y ,即1x －1 y ＜0,A 错;函数y ＝sin x 在(0,＋∞)上不 是单调函数,B 错;函数y ＝????12x 在(0,＋∞)上单调递减,所以????12x ＜????12y ,即????12x －????12y ＜0,所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ,当x ＞y ＞0时,xy 不一定大于1,即不一定有ln xy ＞0,D 错.] 4. (2016·全国Ⅰ,8)若a >b >1,0 专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 必修五：基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 第7章 一元一次不等式(7.6～7.7)水平测试 班级 学号 姓名 分数 跟踪反馈 挑战自我(100分) 一、作出你的选择（每小题3分，共24分） 1．一个不等式组的解集为－1＜x ≤2，那么在数轴上表示正确的是【 】． 2．函数y ＝x -5＋ x 1 中自变量x 的取值范围是【 】． （A ）x ≤5 （B ）x ≠0 （C ）0＜x ≤5 （D ）x ≤5且x ≠0 3．结合正比例函数y=4x 的图像回答，当x ＞1时，y 的取值范围是【 】． （A ）y ＜1 （B ）1≤y ＜4 (C ）y=4 （D ）y ＞4 4. 已知一次函数1y =－5＋x ，2y =－3x ＋7，当1y ≤2y 时，x 的取值范围是【 】． （A ）x ≥3 （B ）x ≤3 （C ）x ≥－3 （D ）x ≤－3 5．把不等式组 ? ?≤+-+3 2, 112x x φ的解集表示在数轴上，下列选项正确的是【 】． （A ） （B ） （C ） （D ） 6.如果一元一次不等式组? ??-a x x ππ, 1的解集为x ＜－1，则a 的取值范围是【 】． （A ）a ＞－1 （B ）a ≥－1 （C ）a ≤－1 （D ）a ＜－1 7．如图1，直线(0)y kx b k =+<与x 轴交于点（3，0），关于x 的不等式0kx b +>的解集是【 】. （A ）3x < （B ）3x > （C ）0x > （D ）0x < （A ） （B ） （C ） （D ） c 1k x ＋b 1 0 1- 1 0 1- 1 0 1- 1 1- 8．直线1l ：y ＝1k x ＋b 与直线2l ：y ＝2k x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图2所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为【 】． （A ）x ＞1 （B ）x ＜1 （C ）x ＞－2 （D ）x ＜－2 二、填得圆圆满满（每小题3分，共24分） 1．使不等式x ＋2＜0和x ＜0同时成立的x 的取值范围是 ． 2．不等式组?? ?--+1 3, 132πφx x 的解集是 ． 3．已知不等式组? ? ?-.3, 1πφx x 若图3中椭圆A 表示x ＞―1的解集，椭圆B 表示x ＜3的解集，则椭圆A 与椭圆B 的公共部分C 表示 ． 4.已知一次函数y=－3x －5，当x 时，y ＜0． 5 那么方程a x ＋b=0的解是 ；不等式ax ＋b ＞0的解集是 ． 6．如果不等式组?????-≥+3 2, 22πb x a x 的解集是0≤x ＜1，那么a b +的值为 ． 7．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式1 22x kx b >+>-的解 集为 ． 8．直线1 1:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图5所示，则关于x 的不等式12k x b k x + >的解集为 ． 三、用心解答（共32分） 1．（5分）解下列不等式组?? ? ??-+---≤+.413213, 3223x x x x x φ，并把解集在数轴上表示出来： b + A C B 图 3 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】 基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用 培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且 ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 1 11=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 专题——不等式(复习课) 复习目标： 1.不等关系:了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； (2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4.基本不等式：a ＋b 2 ≥ab (a ，b ≥0) (1)了解基本不等式的证明过程； (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 教学策略： 1．在复习中要深刻理解不等式的基本性质，在不等式变形中严格按照其性质进行，熟练掌握不等式的解法，分类讨论、换元、数形结合是解不等式的常用方法． 2．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法，在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法． 3．不等式应用问题体现了一定的综合性，这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值． 4．不等式与函数一样，综合性极强，高考时有关不等式的解答题通常都安排在比较靠后的位置，甚至很多是压轴题，虽然如此，在高考复习时还是要控制难度，以免做无用功. 教学手段：利用多媒体，开展讲—练—导教学 知识网络： 不等式的性质（2课时） 重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题． 难点：用不等式(组)正确表示不等关系，要求理解不等式的基本性质，并能解决一些简单的问题． 典例精析 题型一 比较两个式子(或数)的大小 【例1】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)(x －3)2与(x －2)(x －4)； (2)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1； (3)7＋10与2＋13. 【思路分析】(1)(2)可直接利用作差法比较大小；(3)应先平方再作差比较大小． 【解析】(1)(x －3)2－(x －2)(x －4)＝x 2－6x ＋9－(x 2－6x ＋8)＝1＞0， 所以(x －3)2＞(x －2)(x －4)． (2)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1 ＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)， 因为x ＞1，所以x 3－(x 2－x ＋1) ＞0， 所以当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1. (3)因为7＋10＞0，2＋13＞0，且 (7＋10)2－(2＋13)2＝270－413＝270－252＞0， 所以7＋10＞2＋13. 【方法归纳】比较两个代数式的大小，通常采用作差比较法，当两个代数式都有根号，作差后不好变形时，可以作平方差，但要注意只有两个代数式同号时，才可以作平方差比较大小，否则要先将两代数式变形后再比较． 【举一反三】1.已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小． 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，当a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 题型二 确定取值范围 【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β 2的取值范围． 【思路分析】根据已知不等关系，按照不等式性质进行变形得出结果． 【解析】因为－π2≤α＜β≤π 2， 所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π 4 ， 第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间； （2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ． 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）第七章 不等式
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