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概率统计试题及答案(本科完整版)

填空题(每题2分,共20分)

A1、记三事件为A ,B ,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发生”表示为 . A3、已知P(A)=0.3,P (B )=0.5,当A ,B 相互独立时,

06505P (A B )_.__,P (B |A )_.__

?==。

A4、一袋中有9个红球1个白球,现有10名同学依次从袋中摸出一球(不放回),则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 A5、若随机变量

X

在区间

(,)

a b 上服从均匀分布,则对

a c b

<<以及任意的正数

e >,必有概率

{}P c x c e <<+ =?+

-?+>?-?e

,c e b

b a

b c ,c e b

b a

A6、设

X

服从正态分布

2

(,)N μσ,则~

23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .

A7、设1

128363

X

B E X D X ~n ,p ),n __,p __==(且=,=,则

A8、袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出3只球中的最大号码。则X

的数学期望

=

)(X E 4.5 。

A9、设随机变量(,)X Y 的分布律为

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则条件概率

=

==}2|3{Y X P 2/5 .

A10、设

121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2

12

92

852

41?

?

?

??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k = 1/4

时,kY 服从

2

χ

分布。

A 二、计算题(每小题10分,共70分)

A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1,0.2,0.15,求: (1)没有一台机器要看管的概率 (2)至少有一台机器不要看管的概率 (3)至多一台机器要看管的概率

解:以A j 表示“第j 台机器需要人看管”,j =1,2,3,则:

P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得

()()()()()123123109080850612

P A A A P A P A P A ....=??=??=

()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??=

ABC ABC ABC

()()

()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941

P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=

A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后,再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少?

解:以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”,R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”, W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”,

则所求概率为

()()()()P W P W W R W P W W P R W ==+ 乙甲乙甲乙甲乙甲乙

()()()()P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲

1

1

1

1

11

1

11

1

1

n m N N n m N M n m

N M C C C C C

C

C

C

+++++++=?

+

?

()()()

()()()

111n N m N

n m N n

n m N M n m N M ++++=

=

++++++

A3、设随机变量X 的概率密度为

cos , ||()2

0 , A x x f x π?

=???

其它, 试求(1)常数A ;

(2) 分布函数

()F x ; (3) 概率{ 0 }4P X π

<<。

解:(1) 由归一性可得:()22

12f

x dx

A cos xdx A

π

π

+∞-∞

-

=

=

=?

?

,从而

1

2

A =

()()()()()()2

2

222

2

2

x

x

x x

f x dx ,x .F x f x dx f x dx ,

x f x dx ,x ππππ

π

π

-∞-∞

-

?<-???

==-≤

()021

12

2

212

,

x sin x ,x ,x ππ

π

π

?<-??=+-≤

(

)4

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1304

2

4

.P {X }cos xdx π

π

<<=

=

?

A4、(1)已知X 的分布律为

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计算

)21(2

X D -。

(5分) 解:

()()(){}

2

2

2

4

2

1244D (X )D X

E X E X ??-==-??

115225235

44

164??=-=

???

(2)、设

)1,0(~N X ,求2

X

Y =的概率密度.(5分)

解:Y 的密度函数为:

2

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00

y ,y f (y ),

y -

?

>=≤?

A5、设(,)X

Y 的概率密度为

00

0 , (),,(,)x y e x y f x y -+?>>=?

?

其它.

(1) 试求分布函数),(y x F ;

(2) 求概率

{}(,)P x y G ∈其中区域G

X

轴, Y 轴以及直线

1=+y x 所围成.

解:

()()()00

0010x y (x y )x y e dxdy ,

x ,y .F x ,y f x ,y dxdy ,-+-∞

-∞

?>>?

=

=???

????

其他

()()

11000x y

e e ,x ,y ,--?-->>?=?

??

其他

(){}()2G

.P (x ,y )G f

x ,y dxdy ∈=

??

1110

012x (x y )e dy dx e --+-??=

=-????

?

?

A6、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(1),01

(,)0,k x y x f x y -<<

?

其它,求常数k 及边缘概率密度.并讨

论随机变量

Y

X ,的相互独立性。

解:由归一性知:()01

11(,)y x f x y dxdy k x dxdy +∞

+∞-∞-∞

<<<=

=

-??

??

()10

116

x k dx x dy

k

=?-=

??

6k ∴=

()(,)X f x f x y dy +∞-∞

=

?

()061010x x dy x ?-<

=???

?,,其他()6101

0x x x ?-<<=??,,其他

()(,)Y

f y f x y dx +∞

-∞

=?()161010y x dx y ?-<

?,,其他()23101

0?

?<<=?

??-,,其他y y 显然 ()()(,)X Y

f x y f x f y ≠?,故X 与Y 不相互独立。

A7、设总体

X

的概率密度为

1

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,01()0

,

x f x ≤≤=??其它

, 其中0

>θ为未知参数. 若

n

X X ,,1 是来自母

体的简单子样,试求θ的矩估计与极大似然估计.

解:(1) 令

11

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==?

X E X d x

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解得θ的矩估计为 2

?1θ??

= ?

-??

X X

(2)似然函数

(

)

)1

1

21

1θθ===

=∏∏n

n

n

i i L x

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对数似然函数

(

))1

ln ln 1

ln 2

θθ==

+

∑n

i

i n L x

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()

12

1

ln 1ln 0

22

θθ

θ

θ

-=?=

+

=?∑n

i

i L n x

解得θ的极大似然估计为

2

2

1?ln θ==

??

???

∑n

i i n

x

A 三、证明题(每题5分,共10分) A 1、

12,X X 为来自总体X 的样本,证明当1a b +=时,12aX bX +为总体均值()E X 的无偏估计。

证明:设总体均值

()E X = μ,由于12,X X 为来自总体X 的样本,

因此 ()()12==E X E X μ

而 1

2aX bX +为总体均值()E X 的无偏估计,故应该有

()()()()1212E aX bX aE X bE X a b +=+=+=μμ

从而 1a b +=

A 2、设

,X Y

是相互独立的随机变量,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,证明

Z X Y

=+服从参数为21λλ+的泊松分布。

证明:由题知 ()()12~,~X P Y P λλ,即 {}{}1

2

1

2

--====,!

!

m

n

P X m e

P Y n e

m n λλλλ

令Z

X Y =+,且由

,X Y

的相互独立性可得:

{}{}P Z k P X Y k ==+={}0

,k

m P X

i Y k i ==

==-∑()1

2

1

2

!

!

i

k i

k

i e

e

i k i ---==

?-∑λλλλ

()1

2

12

!

!

!

!

k

i k i

i e

e

k k i k i ---==

-∑λλλλ()

()

121201,,,...!

k

e

k k -++=

=λλλλ

即 Z

X Y

=+服从参数为21λλ+的泊松分布

B 一、填空(每小题2分,共10分)

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B1. 若随机变量

的概率分布为

,,则__________。

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B2. 设随机变量

,且

,则__________。

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B3. 设随机变量

,则

__________。

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B4. 设随机变量

,则

__________。

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B5. 若随机变量

的概率分布为

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则 __________

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B 二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分,共20分) B1. 设 与

分别是两个随机变量的分布函数,为使

是某一随机变

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量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( )。

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(A ) (B

)

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(C ) (D )

B2. 设随机变量的概率密度为,则( )。

(A )

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(B ) (C )

(

D )

B3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。

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(A )

(B )

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(C ) (D )

B4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。

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(A ) (B )

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(C )

(D )

B5. 设随机变量

的概率密度为

,则

的概率密度为( )。

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(A)(B)

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(C)(D)

B6. 设服从二项分布,则()。

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(A)(B)

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(C)(D)

B7. 设,则()。

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(A)(B)

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(C)(D)

B8.设随机变量的分布密度为, 则()。

(A) 2 (B) 1

(C) 1/2 (D) 4

B9.对随机变量来说,如果,则可断定不服从()。

(A)二项分布(B) 指数分布

(C)正态分布(D)泊松分布

B10.设为服从正态分布的随机变量,则()。

(A) 9 (B) 6

(C) 4 (D) -3

B三、计算与应用题(每小题8分,共64分)

B1. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个是旧球。采取不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止。

求抽取次数的概率分布。

B2. 车间中有6名工人在各自独立的工作,已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。

求(1)在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?

(2)若车间中仅有2台小吊车,则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少?

B3. 某种电子元件的寿命是随机变量,其概率密度为

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求(1)常数;

(2)若将3个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。

B4. 某种电池的寿命(单位:小时)是一个随机变量,且。

求(1)这样的电池寿命在250小时以上的概率;

(2),使电池寿命在内的概率不小于0.9。

B5. 设随机变量。

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求概率密度。

B6. 若随机变量服从泊松分布,即,且知。

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求。

B7. 设随机变量的概率密度为。

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求和。

B8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。

求(1)的概率分布;

(2)。

B四、证明题(共6分)

设随机变量服从参数为2的指数分布。

证明:在区间上,服从均匀分布。

试卷二

参考答案

一、填空

1. 6

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由概率分布的性质有

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即,

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得。

2.

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,则

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3. 0.5

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4.

5. 0.25

由题设,可设

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二、单项选择

1. ()

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由分布函数的性质,知

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则,经验证只有满足,选

2. ()

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由概率密度的性质,有

3. ()

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由概率密度的性质,有

4. ()

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由密度函数的性质,有

5. ()

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是单减函数,其反函数为,求导数得

由公式,的密度为

6. ()

由已知服从二项分布,则

又由方差的性质知,

7. ()

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于是

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8. (A) 由正态分布密度的定义,有

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9. (D)

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∴如果时,只能选择泊松分布.

10. (D)

∵X为服从正态分布N (-1, 2),EX = -1

∴E(2X - 1) = -3

三、计算与应用题

1. 解:

设为抽取的次数

只有个旧球,所以的可能取值为:

由古典概型,有

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设表示同一时刻需用小吊车的人数,则是一随机变量,由题意有,

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,于是

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(1)的最可能值为,即概率达到最大的

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(2)

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3. 解:

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(1)由可得

(2)串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,若用

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表示“线路正常工作”,则

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4. 解:

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(1)

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(查正态分布表)

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(2)由题意

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即查表得。

5. 解:

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对应的函数单调增加,其反函数为,求导数得,

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又由题设知

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故由公式知:

6. 解:

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,则

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由题设知

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可得

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查泊松分布表得,

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7. 解:

由数学期望的定义知,

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8. 解:

(1)的可能取值为且由题意,可得

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四、证明题

证明:

由已知则

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又由得连续,单调,存在反函数

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当时,

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试卷三

C 一、填空(请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分,共10分) C1. 设二维随机变量

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__________,

__________.

C2. 设随机变量和

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则 __________. C3. 若随机变量

相互独立,且

则 服从__________分布. C4. 已知

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则 __________. C5. 设随机变量

的数学期望为

、方差

,则由切比雪夫不等式有

__________.

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C 二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分,共20分)

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C1. 若二维随机变量的联合概率密度为,则系数().

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(A)(B)

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(C)(D)

C2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则下列结论正确的是().

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(A)(B)

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(C)(D)

C3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则().

(A) (X , Y)服从指数分布(B) X与Y不独立

(C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) ≠0

C4. 设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则下列随机变量中服从均匀分布的有().

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(A) (B)

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(C)(D)

C5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且

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, 则下列各式中成立的是().

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(A)(B)(C)(D)

C6.设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是().

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(A)(B)

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(C)(D)

C7. 若随机变量是的线性函数,且随机变量存在数学期望与方差,则与的相关系数().

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(A)(B)(C)(D)

C8. 设是二维随机变量,则随机变量与不相关的充要条件是().

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(A)

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(B)

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(C)

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(D)

C9. 设是个相互独立同分布的随机变量,,

则对于,有().

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(A)(B)

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(C)(D)

C10. 设,为独立同分布随机变量序列,且X i( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布,正态分布N ( 0, 1 )的密度函数为, 则().

C三、计算与应用题(每小题8分,共64分)

C1. 将2个球随机地放入3个盒子,设表示第一个盒子内放入的球数,表示有球的盒子个数.

求二维随机变量的联合概率分布.

C2. 设二维随机变量的联合概率密度为

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(1)确定的值;

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(2)求.

C3. 设的联合密度为

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(1)求边缘密度和;

(2)判断与是否相互独立.

C4. 设的联合密度为

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求的概率密度.

C5. 设,,且与相互独立.

求(1)的联合概率密度;

(2);

(3).

C6. 设的联合概率密度为

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求及.

C7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5.

求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.

C8. 抽样检查产品质量时,如果发现次品数多于10个,则认为这批产品不能接受.

问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.

C四、证明题(共6分)

C设随机变量的数学期望存在,证明随机变量与任一常数的协方差是零.

试卷三

参考解答

一、填空

1.

由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

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2.

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3.

相互独立的正态变量之和仍服从正态分布

且,

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4.

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5.

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二、单项选择

1. (B)

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∴选择(B).

2. (B)

由题设可知,

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故将标准化得

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∴选择(B).

3. (C)

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∴选择(C).

4.(C)

∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则

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∴选择(C).

5. (A)

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∴选择(A).

6.(A)

∵由期望的性质知

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∴选择(A).

7. (D)

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∴选择(D).

8. (B)

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与不相关的充要条件是

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∴选择(B).

9. (C)

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∴选择(C).

10.(A)

X i( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布,则

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∴选择(A).

三、计算与应用题

1. 解

显然的可能取值为;的可能取值为

注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有

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即的联合分布律为

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2. 解

(1)由概率密度的性质有

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可得

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(2)设

,则

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3. 解

(1)

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即,

(2)当时

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故随机变量与不相互独立.

4. 解

先求的分布函数显然,随机变量的取值不会为负,因此

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当时,,

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当时,

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故的概率密度为

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5. 解

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(1)与相互独立

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的联合密度为

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(2)