数学高考复习资料
G 单元 立体几何
G1 空间几何体的结构 19.、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示,四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .
图1-5
(1)证明:GH ∥EF ;
(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.
19.解: (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ?平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .
同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .
(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .
因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在平面ABCD 内,所以PO ⊥平面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,
且PO ?平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH =GK , 所以PO ∥GK ,所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ?平面ABCD ,所以GK ⊥EF , 所以GK 是梯形GEFH 的高.
由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4,
从而KB =14DB =1
2OB ,即K 是OB 的中点.
再由PO ∥GK 得GK =1
2
PO ,
所以G 是PB 的中点,且GH =1
2
BC =4.
由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,
所以GK =3,故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK =4+8
2
×3=18.
3.[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转
一周所得圆柱的侧面积等于( )
A .2π
B .π
C .2
D .1 3.A [解析] 由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r =1,高h =1,
则该圆柱的侧面积S =2πrh =2π,故选A.
10.[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的
近似公式V ≈1
36
L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式
V ≈2
75L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A.227
B.258
C.15750
D.355113
10.B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ,底面积为S ,则L =2πr .由题意得136L 2h ≈1
3
Sh ,
代入S =πr 2化简得π≈3.类比推理,若V ≈275L 2h 时,π≈25
8
.故选B.
7.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )
A .3 B.32 C .1 D.3
2
7.C [解析] 因为D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC ,故AD ⊥平面BCC 1B 1,且AD =3,所以V 三棱锥A - B 1DC 1=13S △B 1DC 1×AD =13×12B 1C 1×BB 1×AD =13×1
2×2×3×3=1.
20.、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥
底面ABCD ,AB =2,∠BAD =π
3
,M 为BC 上一点,
且BM =1
2
.
(1)证明:BC ⊥平面POM ; (2)若MP ⊥AP ,求四棱锥
图20.解:(1)证明:如图所示,因为四边形ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,连接OB ,
则AO ⊥OB .因为∠BAD =π3,所以OB =AB ·sin ∠OAB =2sin π
6
=1.
又因为BM =1
2,且∠OBM =π3
,在△OBM 中,OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠OBM
=12+????122-2×1×12×cos π3=34
,所以OB 2=OM 2+BM 2,故OM ⊥BM .
又PO ⊥底面ABCD ,所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM .
(2)由(1)可得,OA =AB ·cos ∠OAB =2×cos 6
= 3.
设PO =a ,由PO ⊥底面ABCD ,知△POA 为直角三角形,故P A 2=PO 2+OA 2=a 2+3.
又△POM 也是直角三角形,故PM 2=PO 2+OM 2=a 2+3
4
.连接AM ,在△ABM 中,AM 2
=AB 2+BM 2-2AB ·BM ·cos ∠ABM =22+????122-2×2×1
2×cos 2π3=214
. 由已知MP ⊥AP ,故△APM 为直角三角形,则
P A 2+PM 2=AM 2,即a 2+3+a 2+34=21
4
,
解得a =32或a =-32(舍去),即PO =3
2
.
此时S 四边形ABMO =S △AOB +S △OMB =12·AO ·OB +1
2·BM ·OM =12×3×1+12×12×32 =5 38
.
所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO =13·S 四边形ABMO ·PO =13×5 38×32=5
16
.
G2 空间几何体的三视图和直观图 8.[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示,则该多面体的体积是( )
图1-2
A.233
B.47
6
C .6
D .7 8.A [解析] 如图所示,由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分,其体积V =8-2×13×12×1×1×1=23
3
.
11.[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.
图1-3
11.22[解析] 该三棱锥的直观图如图所示,并且PB⊥平面ABC,PB=2,AB=2,AC=BC=2,P A=22+22=22,PC=22+(2)2=6,故P A最长.
7.[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()
2
A.①和②B.③和①
C.④和③D.④和②
7.D[解析] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图是一个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.故选D.
8.、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()
图1-2
A.1 B.2 C.3 D.4
8.B[解析] 由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可
得R =6+8-102=2.
7.、[2014·辽宁卷] 1-2所示,则该几何体的体积为( )
图1-2
A .8-π4
B .8-π2
C .8-π
D .8-2π
7.C [解析] 根据三视图可知,该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之
一后余下的部分,故该几何体体积V =23-1
2
×π×12×2=8-π.
3.[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
图1-1
A .72 cm 3
B .90 cm 3
C .108 cm 3
D .138 cm 3
3.B [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为6×4×3+1
2×3×4
×3=90 cm 3,故选B.
6.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1-1
A.1727
B.59
C.1027
D.13
6.C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积V =π×32×2+π×22
×4=34π(cm 3),原毛坯的体积V 毛坯=π×32×6=54π(cm 3),被切部分的体积V 切=V 毛坯-V =54π-34π=20π(cm 3),所以V 切V 毛坯=20π54π=10
27
.
8.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A .三棱锥
B .三棱柱
C .四棱锥
D .四棱柱
8.B [解析] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.
17.、[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示,平行于棱AD ,BC 的平面分别交四面体的棱AB ,BD ,DC ,CA 于点E ,F ,G ,H .
图1-4
(1)求四面体ABCD 的体积;
(2)证明:四边形EFGH 是矩形.
17.解:(1)由该四面体的三视图可知,
BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD =DC =2,AD =1, ∴AD ⊥平面BDC ,
∴四面体ABCD 的体积V =13×12×2×2×1=2
3
.
(2)证明:∵BC ∥平面EFGH ,平面EFGH ∩平面BDC =FG ,平面EFGH ∩ 平面ABC
=EH ,
∴BC ∥FG ,BC ∥EH ,∴FG ∥EH .
同理EF ∥AD ,HG ∥AD ,∴EF ∥HG , ∴四边形EFGH 是平行四边形.
又∵AD ⊥平面BDC ,∴AD ⊥BC ,∴EF ⊥FG , ∴四边形EFGH 是矩形. 4.[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示,则该三棱锥的体积是(锥
体体积公式:V =1
3
Sh ,其中S 为底面面积,h 为高)( )
图A .3 B .2 C. 3 D .1
4.D [解析] 由图可知,三棱锥的底面为边长为2的正三角形,左侧面垂直于底面,
且为边长为2的正三角形,所以该三棱锥的底面积S =1
2
×2×3,高h =3,所以其体积V
=13Sh =1
3
×3×3=1,故选D. 7.[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2( )
图1-2
A .12
B .18
C .24
D .30
7.C [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形,高为5;截去的锥体的底面是两直
角边的长分别为3和4的直角三角形,高为3,所以该几何体的体积为V =12×3×4×5-1
3
×
1
2
×3×4×3=24.
10.[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位:m),则该几何体的体积为
________m 3
.
10.20π3
[解析] 由三视图可知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V =π×12
×4+1
3π×22×2=20π3.
G3 平面的基本性质、空间两条直线 19.、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示,四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .
图1-5
(1)证明:GH ∥EF ;
(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.
19.解: (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ?平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .
同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .
(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .
因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在平面ABCD 内,所以PO ⊥平面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,
且PO ?平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH =GK , 所以PO ∥GK ,所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ?平面ABCD ,所以GK ⊥EF , 所以GK 是梯形GEFH 的高.
由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4,
从而KB =14DB =1
2
OB ,即K 是OB 的中点.
再由PO ∥GK 得GK =1
2
PO ,
所以G 是PB 的中点,且GH =1
2
BC =4.
由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,
所以GK =3,故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK =4+8
2
×3=18.
18.、[2014·湖南卷] 如图1-3所示,已知二面角α-MN -β的大小为60°,菱形ABCD 在
面β内,A ,B 两点在棱MN DO ⊥面α,垂足为O .
(1)证明:AB ⊥平面ODE ;
(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.
18.解:(1)证明:如图,因为DO ⊥α,AB ?α,所以DO ⊥AB . 连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB .而DO ∩DE =D ,故AB ⊥平面ODE .
(2)因为BC ∥AD ,所以ADO 是BC 与OD 所成的角.
由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN -β的
平面角,从而∠DEO =60°.
不妨设AB =2,则AD =2,易知DE = 3.
在Rt △DOE 中,DO =DE ·sin 60°=3
2
.
连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO =DO
AD
=
322=34
. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为3
4
.
4.[2014·辽宁卷] 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ?α,则m ⊥n C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α D .若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α
4.B [解析] 由题可知,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m ⊥α,n ?α,则m ⊥n ,故B 正确;若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ?α,故C 错误;若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交,故D 错误.
G4 空间中的平行关系 6.、[2014·浙江卷] 设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) A .若m ⊥n ,n ∥α,则m ⊥α B .若m ∥β,β⊥α,则m ⊥α
C .若m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α,则m ⊥α
D .若m ⊥n ,n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α 6.C [解析] A ,B ,D 中m 与平面α可能平行、相交或m 在平面内α;对于C ,若m ⊥β,n ⊥β,则m ∥n ,而n ⊥α,所以m ⊥α.故选C.
19.、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示,四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .
图1-5
(1)证明:GH ∥EF ;
(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.
19.解: (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ?平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .
同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .
(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .
因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在平面ABCD 内,所以PO ⊥平面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,
且PO ?平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH =GK , 所以PO ∥GK ,所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ?平面ABCD ,所以GK ⊥EF , 所以GK 是梯形GEFH 的高.
由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4,
从而KB =14DB =1
2OB ,即K 是OB 的中点.
再由PO ∥GK 得GK =1
2
PO ,
所以G 是PB 的中点,且GH =1
2
BC =4.
由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,
所以GK =3,故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK =4+8
2
×3=18.
17.、[2014·北京卷] 如图1-5,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.
图1-5
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E - ABC 的体积. 17.解:(1)证明:在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC ,
所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ,
所以AB ⊥平面B 1BCC 1.
所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)证明:取AB 的中点G ,连接EG ,FG .
因为E ,F ,G 分别是A 1C 1,BC ,AB 的中点, 所以FG ∥AC ,且FG =12AC ,EC 1=1
2A 1C 1.
因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,
所以FG ∥EC 1,且FG =EC 1, 所以四边形FGEC 1为平行四边形, 所以C 1F ∥EG .
又因为EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .
(3)因为AA 1=AC =2,BC =1,AB ⊥BC , 所以AB =AC 2-BC 2= 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积
V =13S △ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.
20.、[2014·湖北卷] 如图1-5,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,P ,Q ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,DD 1,BB 1,A 1B 1,A 1D 1的中点.求证:
(1)直线BC 1∥平面EFPQ ; (2)直线AC 1⊥平面PQMN .
20.证明:(1)连接AD1,由ABCD -A1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1.
因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图,连接AC,BD,A1C1
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.
16.、[2014·江苏卷] 如图1-4所示,在三棱锥P -ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线P A∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
图1-4
16.证明: (1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥P A .又因为P A ?平面DEF ,DE ?平面DEF ,所以直线P A ∥平面DEF .
(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,P A =6,BC =8,所以DE ∥P A ,DE =12P A =3,EF =12BC =4.又因为DF =5,所以DF 2=DE 2+EF 2,所以∠DEF =90°,即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ,DE ∥P A ,所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF =E ,AC ?平面ABC ,EF ?平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC .
又DE ?平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC . 18.、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.
(1)证明:PB ∥平面AEC ;
(2)设AP =1,AD =3,三棱锥P - ABD 的体积V =
3
4
,求A 到平面PBC 的距离.
图1-3
18.解:(1)证明:设BD 与AC 的交点为O ,连接EO .
因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB . EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC , 所以PB ∥平面AEC .
(2)V =13×12×P A ×AB ×AD =3
6
AB ,
由V =
34,可得AB =32
. 作AH ⊥PB 交PB 于点H .
由题设知BC ⊥平面P AB ,所以BC ⊥AH , 因为PB ∩BC =B ,所以AH ⊥平面PBC . 又AH =P A ·AB PB =313
13
,
所以点A 到平面PBC 的距离为313
13
.
18.,[2014·山东卷] 如图1-4所示,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB =BC =1
2
AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点.
图1-4
(1)求证:AP ∥平面BEF ; (2)求证:BE ⊥平面P AC .
18.证明:(1)设AC ∩BE =O ,连接OF ,EC .由于E 为AD 的中点,
AB =BC =1
2
AD ,AD ∥BC ,
所以AE ∥BC ,AE =AB =BC , 所以O 为AC 的中点.
又在△P AC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF . 又OF ?平面BEF ,AP ?平面BEF , 所以AP ∥平面BEF .
(2)由题意知,ED ∥BC ,ED =BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 所以BE ∥CD .
又AP ⊥平面PCD ,
所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形, 所以BE ⊥AC .
又AP ∩AC =A ,AP ,AC ?平面P AC , 所以BE ⊥平面P AC . 18.、[2014·四川卷] 在如图1-4所示的多面体中,四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形. (1)若AC ⊥BC ,证明:直线BC ⊥平面ACC 1A 1.
(2)设D ,E 分别是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线DE ∥
平面A 1MC ?请证明你的结论.
18.解:(1)证明:因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形, 所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC .
因为AB ,AC 为平面ABC 内的两条相交直线, 所以AA 1⊥平面ABC .
因为直线BC ?平面ABC ,所以AA 1⊥BC .
又由已知,AC ⊥BC ,AA 1,AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线, 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.
(2)取线段AB 的中点M ,连接A 1,设O 为A 1C ,AC 1的交点.
由已知,O 为AC 1的中点.
连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为△ABC ,△ACC 1的中位线,
所以MD 綊12AC ,OE 綊1
2
AC ,
因此MD 綊OE .
连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,所以DE ∥MO . 因为直线DE ?平面A 1MC ,MO ?平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .
即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线DE ∥平面A 1MC . 17.、、[2014·天津卷] 如图1-4所示,四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,BA =BD =2,AD =2,P A =PD =5,E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.
(1)证明:EF ∥平面P AB ; (2)若二面角P -AD -B 为60°.
(i)证明:平面PBC ⊥平面ABCD ;
(ii)求直线EF 与平面PBC
17.解:(1)证明:如图所示,取PB 中点M ,连接MF ,AM .因为F 为PC 中点,所以
MF ∥BC ,且MF =1
2
BC .由已知有BC ∥AD ,BC =AD ,又由于E 为AD 中点,因而MF ∥AE
且MF =AE ,故四边形AMFE 为平行四边形,所以EF ∥AM .又AM ?平面P AB ,而EF ?平面P AB ,所以EF ∥平面P AB .
(2)(i)证明:连接PE ,BE .因为P A =PD ,BA =BD ,而E 为AD 中点,所以PE ⊥AD ,BE ⊥AD ,所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角.在△P AD 中,由P A =PD =5,AD =2,可解得PE =2.在△ABD 中,由BA =BD =2,AD =2,可解得BE =1.在△PEB 中,PE =2,BE =1,∠PEB =60?,由余弦定理,可解得PB =3,从而∠PBE =90?,即BE ⊥PB .又BC ∥AD ,BE ⊥AD ,从而BE ⊥BC ,因此BE ⊥平面PBC .又BE ?平面ABCD ,所以平面PBC ⊥平面ABCD .
(ii)连接BF ,由(i)知,BE ⊥平面PBC ,所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角.由
PB =3及已知,得∠ABP 为直角,而MB =12PB =32,可得AM =112,故EF =11
2.又BE
=1,故在直角三角形EBF 中,sin ∠EFB =BE EF =211
11
.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正
弦值为21111.
G5 空间中的垂直关系 6.、[2014·浙江卷] 设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) A .若m ⊥n ,n ∥α,则m ⊥α B .若m ∥β,β⊥α,则m ⊥α
C .若m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α,则m ⊥α
D .若m ⊥n ,n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α 6.C [解析] A ,B ,D 中m 与平面α可能平行、相交或m 在平面内α;对于C ,若m ⊥β,n ⊥β,则m ∥n ,而n ⊥α,所以m ⊥α.故选C.
17.、[2014·北京卷] 如图1-5,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.
图1-5
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E - ABC 的体积. 17.解:(1)证明:在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC ,
所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ,
所以AB ⊥平面B 1BCC 1.
所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)证明:取AB 的中点G ,连接EG ,FG .
因为E ,F ,G 分别是A 1C 1,BC ,AB 的中点, 所以FG ∥AC ,且FG =12AC ,EC 1=1
2A 1C 1.
因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,
所以FG ∥EC 1,且FG =EC 1, 所以四边形FGEC 1为平行四边形, 所以C 1F ∥EG .
又因为EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .
(3)因为AA 1=AC =2,BC =1,AB ⊥BC , 所以AB =AC 2-BC 2= 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积
V =13S △ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33
.
19.,[2014·福建卷] 如图1-6所示,三棱锥A - BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD . (1)求证:CD ⊥平面ABD ;
(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.
图1-6
19.解:方法一:(1)证明:∵AB ⊥平面BCD ,CD ?平面BCD , ∴AB ⊥CD .
又∵CD ⊥BD ,AB ∩BD =B ,
AB ?平面ABD ,BD ?平面ABD , ∴CD ⊥平面ABD .
(2)由AB ⊥平面BCD ,
得AB ⊥BD .
∵AB =BD =1,∴S △ABD =1
2.
∵M 是AD 的中点, ∴S △ABM =12S △ABD =1
4
.
由(1)知,CD ⊥平面ABD ,
∴三棱锥C - ABM 的高h =CD =1,
因此三棱锥A - MBC 的体积 V A - MBC =V C - ABM =13S △ABM ·h =1
12
.
方法二:(1)同方法一.
(2)由AB ⊥平面BCD ,得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD =BD .
如图所示,过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N , 则MN ⊥平面BCD ,且MN =12AB =1
2.
又CD ⊥BD ,BD =CD =1,∴S △BCD =1
2.
∴三棱锥A - MBC 的体积
V A - MBC =V A - BCD -V M - BCD =13AB ·S △BCD -1
3MN ·S △BCD =112
. 18.、[2014·广东卷] 如图1-2所示,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,AB =1,BC =PC =2,作如图1-3折叠:折痕EF ∥DC ,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF
折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF ⊥CF .
(1)证明:CF ⊥平面MDF ; (2)求三棱锥M - CDE 的体积.
图1-2图1-3
20.、[2014·湖北卷] 如图1-5,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
20.证明:(1)连接AD1,由ABCD -A1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1.
因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图,连接AC,BD,A1C1
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.
18.、[2014·湖南卷] 如图1-3所示,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A,B两点在棱MN DO⊥面α,垂足为O.
图1-3
(1)证明:AB ⊥平面ODE ;
(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.
18.解:(1)证明:如图,因为DO ⊥α,AB ?α,所以DO ⊥AB . 连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB .而DO ∩DE =D ,故AB ⊥平面ODE .
(2)因为BC ∥AD ,所以ADO 是BC 与OD 所成的角.
由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN -β的
平面角,从而∠DEO =60°.
不妨设AB =2,则AD =2,易知DE = 3.
在Rt △DOE 中,DO =DE ·sin 60°=3
2
.
连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO =DO
AD
=
322=34
. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为3
4
.
16.、[2014·江苏卷] 如图1-4所示,在三棱锥P - ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知P A ⊥AC ,P A =6,BC =8,DF =5.
求证:(1)直线P A ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC . 18.,[2014·山东卷] 如图1-4所示,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB =BC =1
2
AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点.
图1-4
(1)求证:AP ∥平面BEF ; (2)求证:BE ⊥平面P AC .
18.证明:(1)设AC ∩BE =O ,连接OF ,EC .由于E 为AD 的中点,
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取
2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( ) A .68π B .64π C .62π D .6π 2、全国III 理8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( ) A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 3、浙江4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 A .158 B .162 C .182 D .32 4、浙江8.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点),记直线PB 与直线AC 所成角为α,直线PB 与平面ABC 所成角为β,二面角P -AC -B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5、北京理(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________. 6、北京理(12)已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________. 7、江苏9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为______ _____. 9、全国II 文理16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 10、全国III 理16.学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为___________g.