引言
1。连续时间信号是连续时间变量t 的函数
f(t) f(t)4
321
0t 0
t
时间t ——连续函数值——连续
模拟信号时间t ——连续
函数值——离散
量化信号
2。离散信号是离散时间变量t k 的函数
离散时间信号可由对连续时间信号进行抽样得到
——均匀抽样
幅度量化
f(t k )0 t 1t 3t 5 t k
t 1, …,t k = T,2T, …,kT
●
●
●
●
●●●●●
●
●
f(t k )
0 t 1t 3t 5 t k
4321
数字信号
●●
●●
●●
●●
●●
●
离散信号的特点：它是一个离散的数值序列，但序列中的每一数值仍按一
定规律随离散变量t k 变化。
例如，设 f (k) = a k t
当k = 0、±1、±2、---等整数时，得
------、a -2T 、a -T 、1、a T 、a 2T 、------如a 2T 即为k = 2 或t = 2T 时的函数值f (2)。3。离散信号的表示形式
（1）解析式例
f 1 (k) =2 (-1) k (k = 0、±1、±2、---)f 2 (k) = k (1/2) k
(k = 0、1、2、---)
（2）序列形式
f 1(k) = {---，2，-2，2，-2，2，-2，---}
f 2 (k) = {0，，，，---}
12123
8（3）图形
------
1-1-2
2
322
2
k
f 1(k)
f 2(k)
k
1
2
3
12
1238
---
4。离散信号的基本运算
（1）离散信号的和、差、积
将两离散信号序号相同的样值相加、相减与相乘而构成一个新的离散信号（序列）。
例：
f 1(k) = (-1) k (k = 0, ±1, ±2, ------) f 2 (k) = k –1 (k = 0, 1, 2, ------)
改写，得 f 1(k) = {---1, -1, 1, -1, 1, ---}
f 2(k) = { -1，0，1，2，3，---} 于是有
f 1(k) + f 2 (k) = { ---1，-1，0，-1，2，---}f 1(k) -f 2 (k) = { ---1，-1，2，-1，0，---}常记作
f 1(k) + f 2 (k) =(-1) k (k < 0)
(-1) k + (k-1) (k ≥0)f 1(k) -f 2 (k) =
(-1)
k (k < 0) (-1) k -(k-1) (k ≥0)f 1(k)f 2 (k) = (-1) k (k-1) (k ≥0)
（2）离散信号的反褶
将f (k) 的图形以纵轴为对称轴翻转180o，得到f (-k) 。（3）移序
将在f (k) ~ k 平面内的信号图形沿k 轴向前（左）
或向后（右）移动，这时信号各样值的序号都将增加或
减少某个定值。
对一般离散信号f(k)：
f(k+1) ——f(k)前移（左移）一个序号——增序
f(k-1) ——f(k)后移（右移）一个序号——减序
对于离散时间信号f(k)=f(kT):
f(k+1)=f(kT+T)——超前时间T【f(k+1)比f(k)提前T】
f(k-1)=f(kT-T)——延迟时间T 【f(k-1)比f(k)延时T】
第七章离散时间系统的时域分析例已知
x (k) =
0.5 (k = -1)
1.5 (k = 0) 1(k = 1) -0.5 (k = 2)0 k 为其它值
求y (k) = x (k) + 2 x (k) x (k-2) 。x (k-2)k
---10123
4
0.5-0.5
11.5x (k-2)=0.5 (k = 1)
1.5 (k = 2)
1(k = 3) -0.5 (k = 4)0 k 为其它值解： 1 (k = 1)
-1.5 (k = 2)
0 k 为其它值2x(k)x(k-2)=2x(k)x(k-2)
k
--0
12
3
4
1
x (k)
k
---1012
341.5
1
0.5
-0.5
y (k) =0.5 (k = -1)1.5 (k = 0)
2 (k = 1)
y(k)=x(k)+2x(k)x(k-2)k --
-1012
340.51.52
-2
（5）序列差分
序列{f (k)} 的一阶前向差分(Forward difference) {Δf (k)} 定义为：{Δf (k)}= {f (k+1)-f (k)}
Δ{ f (k)}= {f (k)-f (k-1)}一阶后向差分(Backward difference) { f (k)} 定义为Δ
依此类推，二阶前向差分为{Δ[Δf (k)]}= {Δ2f ( k)}
= {Δf (k+1) -Δf (k)}= {f (k+2)-2f (k+1)+f (k)}
二阶后向差分为
{2
f (k)}= { f (k)- f (k-1)}= {f (k)-2f (k-1)+f (k-2)}Δ
ΔΔ
（6）f (k) 的能量定义为∑
∞
=
k f E 2
)
(
5。常用典型离散时间信号
（1）单位函数
??
?≠==0
,00,1)(k k k δ)
(k δ1●
0 k
（2）单位阶跃序列??
?<≥=)
0(0)0(1)(k k k ε)
(k ε01234
k
1●●
●●●
（3）矩形序列??
?≥<-≤≤=)
,0(0)
10(1)(N k k N k k G N )
(k G N 01234
N-1
k
1●●
●●●
●
三者关系：
+-+-+=)2()1()()(k k k k δδδε)
(0j k j -=∑∞
=δ)1()()(--=k k k εεδ)
()()(N k k k G N --=εε（4）斜变序列
)
()(k k k f ε=0 1 2 3 k
1 ●
2 ●
3 ●f(k)
（5）单边指数序列
)
()(k a k f k
ε=a >0,序列值皆为正f(k)
0 1 2 3 4 k
1 ●
●
●
●
●
a>1发散
a<1收敛
a <0,序列值在正、f(k)
0 1 2 3 4 k 1 ●
●
●●
f(k)
0 1 2 3 4 k 1 ●
●
●
●
●
f(k)
0 1 2 3 4 k 1 ●
●
●
●
●
（6）正弦序列
)
()()(0k k Sin k f εω=0ω——正弦序列角频率
N
πω20=
周期T=N=10
)
2()(00πωωm k Sin Sink k f +==)]2([0
0ωπωm k Sin +=)]
([0
mN k Sin +=ω仅当＝整数时，正弦序列具有周期0
2ωπ
2ωπ
=
N 当＝有理数而非整数，如（N 、M 为无公因子的整数）
时，正弦序列仍有周期性，但其周期为；
M N =
2ωπ0
2ωπ
M N =当为无理数时，正弦序列不具有周期性，但其样值的包络线
仍为正弦函数
5
20
==ωπM N 如包络线的周期T ＝2.5= 0
2ω
π
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k f(k)
●
●●●●●
●●●
●
●●
●●
●●
0 1 2 3 4 5 6 7 k f(k)
●
●
●
●●●
●
●0
2ωπ02ωπ
6。离散信号的分解
-3 -1 1 2 345 6 k
f(k)
●
●●●
●●
●●●
●
+-+++-++-++-+=)1()1()()0()1()1()2()2()3()3()(k f k f k f k f k f k f δδδδδ∑∞
-∞
=-=
j j k j f )
()(δ7。线性非时(移)变离散时间系统线性：若e 1(k) →y 1(k) , e 2(k) →y 2(k)
则c 1e 1(k) + c 2e 2(k) →c 1y 1(k) + c 2y 2(k)
非移变：若e 1(k) →y 1(k)
则e 1(k-i) →y 1(k-i)
线性非移变系统：若e 1(k) →y 1(k) , e 2(k) →y 2(k)
则c e (k-i) + c e (k-j) →c y (k-i) + c y (k-j)
（7）复指数序列
k
j e k f 0)(ω=k jSin k Cos 00ωω+=k
j e k f ?)(=??
?==0
1)(ω?k k f k
?中心问题：已知激励，求响应?抽样信号与抽样定理
?离散时间系统的描述和模拟?离散时间系统的时域分析
一、抽样信号与抽样定理
信号处理过程：
抽样
D/A
量化编码
处理)(t f 模拟信号
)
(t f s 抽样信号
数字信号
)
(t f 模拟信号
（一）抽样信号及其频谱
抽样：
所谓“抽样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。
抽样信号：经抽样得到的信号称为抽样信号f s (t)。f(t)0 t
12
s -
+
)
(t f -
+)(t f s 抽样器示意
抽样器即是一开关s(t):)
(t s 0 T s
t
1 τ
0 T s
t
)
(t f s
)()()(t s t f t f s =——数学模型
各抽样脉冲间隔的时间相同，均为T s ——均匀抽样
f 1=取样角频率f π
πω22==
问题：（1）f s (t)的频谱函数如何？与f(t)的频谱有何关系？
（2）在什么条件下，可从f s (t)无失真地恢复f(t)?
设)()(),()(),()(ωωωj F t f j s t s j F t f s s ???则由频域卷积定理，得
)
()(21
)(ωωπ
ωj s j F j F s *=将s(t)展成付氏级数：∑∞-∞==n t jn n s e
A t s ω 21)()2(n n n t jn n A s e s s ==∑∞-∞
=ω?
--=
22
)(1
s s s T T t jn s
n dt
e t s T s ω][)(∑∞
-∞
==n t
jn n s e
s F j s ωω∑∞
-∞
==
n t jn n s e F s ][ω∑∞
-∞
=-=n s
n
n s )
(2ωωδπ)]()([)(∑∞
-∞
=-*=
∴n s
n
s n s j F j F ωωδωω∑∞
-∞
=-=n s
n
n j F s )]
([ωω抽样信号的频谱:其形状决定于，其幅度决定于,且是以为周期重复的周期信号。而只与n 有关且取决于s(t)形状。
)(ωj F n s )
(ωj F s ωs
1.矩形脉冲抽样
p(t)
E τ
0 T s t ∑∞
-∞
==
=n t
jn n
s e
p t p t s ω)()(s
s T πω2=
dt Ee T p t
jn s
n s ?--=
2
21τ
τω)2(τωτs s n Sa T E =∑
∞
-∞
=-=n s n s n j F p j F )]([)(ωωω∑∞
-∞=-=n s s s n j F n Sa T E )]([)2(ωωτωτ2.冲激抽样)
(t s
T δ-T s 0 T s 2T s t
即取样脉冲序列s(t)为周期是T s 的冲激函数序列)(t s
T δ)()(t t s s
T δ=∑∞
-∞
=-=n s nT t )(δ∑
∞
-∞
==n t jn n
s
e
s ω展成付氏级数dt e t T
s t
jn T T T s n s s
s s ωδ--?
=
22
)(1
dt e
t T t
jn s
s ?
+
-
-=
00
)(1ωδs
T 1=
∑∞
-∞
=-=n s n s n j F s j F )]([)(ωωω∑∞
-∞
=-=
n s
s n j F T )]
([1
ωωf(t)
0 t
f s (t)
F(j ω)
F s (j ω)
m
s ωω-∑∞
-∞
=-=
n s
s
s nT t nT f t f )
()()(δ
（二）由抽样信号重建原信号——抽样定理
上述频谱图中:m m s ωωω≥-m
s ωω2≥?此时,用一个理想低通滤波器就可以取出原信号
的频谱,从而在滤波器的输出端得到原信号。)
(ωj H c
ω
c
ω-0ω)(,0,1)(m c c c j H ωωωωωωω≥?????><=)()()(ωωωj F j H j F s =)
()()(t f t h t f s *=?若m
s ωω2 -ωs -ωm 0 ωm ωs ω 此时,抽样信号的频谱发生混叠, 无法用低通滤波器恢复原信号 另外,如果被抽样信号的频谱不是限定在有限带宽内,则抽样信号的频谱也会发生混叠0 ω F(j ω) F s (j ω) 0 ω 重建原信号的必要条件是：抽样信号的频谱不能混叠。则必须 (1) 有限m ω——f(t)为有限频带信号（限带信号）；(2) 抽样频率m s ωω2≥即,2m s f f ≥m s f f 2min =,21m s f T ≤m s f T 21 max = ——奈奎斯特(香农)抽样频率 ——Nyquist (Shannon )抽样间隔 均匀抽样定理（香农抽样定理）： 一个频谱在区间（－ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔T s (T s <1/2f m )上的样点值f(nT s )确定。当这样的抽样信号通过其截止频率ωc 满足条件ωm ≤ωc ≤ωs －ωm 的低通滤波器后，可以将原信号完全重建。 |H(j ω)| F s (j ω)解决办法：（1）提高ωs 。 作业 7.2 7.6 7.7 三、离散时间系统的描述和模拟 （一）离散系统的数学模型——差分方程 连续时间系统的数学模型——微分方程微分方程：一阶) ()()(t e t y t y =+'差分方程：一阶)()()1(k e k y k y =++)()1()(k e k y k y =-+——前向形式 ——后向形式 问题: 怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所走过距离的2倍，试列出该质点行程的方程式。例1 解：设k 秒末，质点的位移为y(k) 某一秒：第（k+1）秒→第(k+2)秒 位移[y(k+2) －y(k+1)] 前一秒：第k 秒→第(k+1)秒 位移[y(k+1) －y(k)] 依题意：)] ()1([2)1()2(k y k y k y k y -+=+-+即 )(2)1(3)2(=++-+k y k y k y 差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，但离散变量并不限于时间变量。 例2 下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都为R ，每一并臂电阻值都为aR ，a 为某一正实数。每个节点对地的电压为，。已知两边界节点电压为，。试写出求第k 个节点电压的差分方程式。 )(k u n k ,,2,1,0 =E u =)0(0)(=n u ) 0(u ) 1(u ) 2(u )1(-n u ) (n u R R R R R E aR aR aR 解：为了写出此系统的差分方程， 画出系统中第k +1个节点。 ) (k u )1(+k u ) 2(+k u R R aR 对于任一节点k +1，运用KCL 不难写出 R k u k u R k u k u aR k u ) 1()2()1()()1(+-+++-=+再经整理即得该系统的差分方程 )()1(12)2(=+++-+k u k u a a k u 再利用， 两个边界条件，即可求得。E u =)0(0)(=n u )(k u 比较 )()() (t Be t Ay dt t dy +-=) ()()1(k be k ay k y +-=+与 可看出，若y(k) 与y(t) 相当，则y(k+1) 与y’(t) 相当。在一定条件下可相互转化。 一阶微分方程 )1()()() ( t e t y dt t dy =+考虑离散值（T 足够小）:T t y T t y dt t dy ) ()()(-+= 令t = 0 , T ,2T ,…,kT t →kT ：e(t) →e(kT) = e(k), y(t) →y(kT) = y(k),y(t+T) →y[(k+1)T] = y(k+1) ()[]kT y T k y t dy ) (1)(-+=
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