2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺训练
数学（文）试题
一、选择题
1．已知集合{}|04A x N x =∈≤≤，则下列表述正确的是（ ）
A. 0A ?
B. 1A ?A ? D. 3A ∈ 【答案】D
【解析】试题分析：由题意知，集合{}01234A =，，，，，又由元素与集合关系，易知选项D 正确有.故选D. 【考点】元素与集合关系. 2．
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.故本题答案选．
3．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位 【答案】A
【解析】试题分析：因为,而
,故应选答案A.
【考点】正弦函数的图象与性质的运用.
4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机有放回抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从这张卡片中随机有放回抽取张，共有种取法，取出的张卡片上的数之差
的绝对值为奇数的取法有种，据古典概型可得所求概率为．故本题答案选．
5．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图，该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为直
角三角形，且直角边分别为和的三角形，侧棱为的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为，母线长
为的半个圆柱，所以该几何体的体积为，故选A．
【考点】几何体的三视图与几何体的体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图得出该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为
直角三角形，且直角边分别为和的三角形，侧棱为的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为，母线
长为的半个圆柱是解答的关键．
6．已知等差数列满足，则（）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题知，即，得，解得．故本题
答案选．
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,
知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
7．从1，2，3，4，5，6，7，8总随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于40的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为，令，即，解
得，即的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的不小于40的概率为；故选B．
【考点】1.程序框图；2.古典概型．
8．若变量满足约束条件，且的最小值为，则（）
A. 9
B. 3
C.
D.
【答案】C
【解析】
作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．目标函数为，由，解得，即．由点也在直线上，所以．故本题答案选．
点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的
不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.
9．函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故函数为非奇非偶函数，排除C,D，又时，，排除B，故选A
点睛：本题考查函数的奇偶性，以及函数图像等有关性质，解题时注意选用适当方法
10．已知三棱锥，在底面中，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，
,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形
有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，
,所以外接球的表面积,故选D.
【考点】球与几何体
11．已知圆，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：设过点与圆：相切的直线为，则，解得，∴切线方程为，由点向圆引条切线，只要点在切线之外，那么就不会被遮挡，在的直线上，在中，取，得，从点观察点，要使视线不被圆挡住，需，或.∴的取值范围是.故选：D.
【考点】直线与圆的位置关系.
12．定义在上的单调函数对任意的都有，则不等式的解集为（）
A. 或
B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，所以，又因为，所以，解得，
可得，所以是增函数，由，则，所以，解得
．故本题选．
二、填空题
13．已知向量，若与共线，则__________．
【答案】
【解析】由向量的坐标运算知，．两向量共线可得
，可化为．故本题应填．
14．直线与曲线相切于点，则的值为__________．
【答案】3
【解析】由切点可知．对曲线方程求导可得，可知，解方程组可得．故本题应填．
15．若数列是正项数列，且，则__________．
【答案】
【解析】由，则，两式相减，可得
，当时也成立．则，有，为公差为的等差数列，其前项和．故本题应填．
16．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点
满足，则__________．
【答案】2
【解析】由条件，得．又，由向量的坐标运算可得，即，又在双曲线上，所以把
代入双曲线，解得或(舍去)．所以，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，易知点到轴，直线的距离均为，所以点是
的内心，所以．故本题应填．
点睛：圆锥曲线与平面向量的综合，通常是将向量表示为坐标形式，然后利用向量运算转化为代数运算进行求解；圆锥曲线中的面积问题通常涉及到三角形的面积，而求三角形面积的
关系是确定底边和高的长．
三、解答题
17．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin cos c A C =. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若c =
sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ?的面积.
【答案】（Ⅰ）3
C π
=
；（Ⅱ）
6或4
. 【解析】试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理、余弦定理的运用.考查了分类讨论思想.第一问考查了正弦定理，利用正弦定理将边转化为角，消去sin A 得到正切值，注意解题过程中sin 0A ≠才可以
消掉；第二问利用三角形的内角和转化角C ，用两角和差的正弦公式展开表达式化简，讨论cos A 是否为0，当cos 0A =时，2
A π
=，可直接求出b 边，当cos 0A ≠时，利用正余弦定理求,a b 边，再利用1
sin 2
S ab C =
求三角形面积.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin cos C A A C =，
因为sin 0A ≠，解得tan C =3
C π
=
． 6分
（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．
若cos 0A =，则2
A π
=
，
tan 3
c b π
=，3b =，
ABC ?的面积1
2S bc ==
8分
若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．
由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．
ABC ?的面积1sin 24
S ab C ==
．
综上，ABC ?的面积为
6或4
． 12分
【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.两角和差的正弦公式；4.三角形面积公式.
18．某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边A ，B 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A 路口数据的平均数比B 路口数据的平均数小2.
（1）求出A 路口8个数据中的中位数和茎叶图中m 的值；
（2）在B 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率. 【答案】（1）34.5，4m =；（2）
10
7
. 【解析】试题分析：（1）由茎叶图可得A 路口8个数据中3534，为最中间两个数，由此计算中位数，又A 路
口8个数据的平均数为34，可得
24323637384245(30)
368
m ++++++++=；
（2）B 在路口的数据中任取2个大于35的数据，有10种可能，其中“至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有7种，故所
求概率为10
7
.
试题解析：（1）A 路口8个数据的中位数为3435
34.52
+=.
∵A 路口8个数据的平均数为2130313435353749
348
+++++++=，
∴B 路口8个数据的平均数为36，
∴24323637384245(30)368
m ++++++++=，4m =.
（2）B 在路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果：
（36,37），（36,38），（36,42），（36,45），（37,38），（37,42），（37,45）， （38,42），（38,45），（42,45）.
其中“至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种： （36,42），（36,45），（37,42），（37,45），（38,42），（38,45），（42,45）. 故所求的概率为7
10
p =
【考点】样本特征数、古典概型． 19．如图，在四棱锥
中，
为正三角形，
,
,
,
平面
.
（Ⅰ）若为棱的中点，求证：平面
;
（Ⅱ）若
,求点到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用直线与平面垂直的判定定理即可证明（Ⅱ）利用，即等体积法即可求得点到平面的距离.
试题解析：（Ⅰ）因为平面，平面,所以.
∵，，所以平面.而平面,∴.
,是的中点，∴.又，所以平面.
而平面，∴.
∵底面，∴平面平面，又，
面面垂直的性质定理可得平面，.又∵，∴平面.…
（Ⅱ）因为平面，所以,所以.
由（Ⅰ）的证明知，平面，所以.
因为,为正三角形，所以，因为，所以.7分
设点到平面的距离为，则.
在中，，所以.
所以.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
【考点】直线与平面垂直的判定，等体积法
20．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率