第02章 单自由度系统的振动
2.1 一根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简支架，两支承间跨度l 1=2m ，一端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的自由振动频率。
【提示：22123()
EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=，11.77n st gk g
Q ωδ=
== 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?，A 端与B 端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所示。略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1米处，重为Q =4900 N 的物块自由振动的周期。
【解法1：通过计算静变形求解。 A ，B 弹簧受力为
3
Q 和23Q
，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=；利用材料
力学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q Q
EI EI
δ??--==?。
周期为：12
22 1.08n
T g
δδπ
π
ω+=
==s 。
解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。
A ，
B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）
195k k =
；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294
EI k =；总等效刚度为：12111
eq k k k =+。
周期为22 1.08n
eq
Q
T gk π
π
ω=
==s 。
】 2.4 一均质刚杆重为P ，长度为L 。A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在水平位置时平衡。弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。
【解：利用定轴转动微分方程：
21()32st P l l P k a a g ??δ=-- ，2
st l
k a P δ=， 得：
2
2103P l k a g
??+= ， 22
2/3223n Pl g l P
T ka a gk
π
ππω===】
题 2-1 图
B
A
Q
l 1 l 2
题 2-2 图
2m
1m
Q
k
k
A
B 题 2-4 图
l
a
k
A C
B
2.8 一个重为98 N 的物体，由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧支承着（简化为标准m-k-c 振动系统），在速度为1 cm/s 时其阻力为0.98 N 。求10周振幅减小比为多少？
【解：0.98
980.01
c ==Ns/m ，980031.398n k g m ω===1/s ， 0.1572n c
m ξω==，112
111112ln ln 101n X X n X X πξδξ+==≈-，2
20111120416X e
X πξξ-==】
2.10 题2.10图所示振动系统，物块质量为25 kg ，弹簧刚度为2 N/mm ，E ＝210 GPa ，悬臂梁长250 mm ，梁横截面宽20 mm ，高3 mm ，求固有频率。梁的分布质量不计。
【解：梁的参数3114.51012
bh I -==?m 4。
解法1：通过计算静变形求解。
30.2583mg mgl k EI
δ=+=m ，固有频率 6.17n g ωδ==1/s 。
解法2：通过通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。 3
1211113eq l k k k k EI
=+=+，固有频率 6.17eq n k m ω==1/s 。】 2.13 求题2.13图所示系统的固有频率。
【提示：利用定轴转动微分方程或能量法。注意重力的影响。 212n ka mgl ml ω+=，222
n ka mgl
ml ω-=，2
32
n ka ml ω=
】 2.14 求题2.14图所示系统的固有频率。 【解法1：通过计算静变形求解。
22mg k δ=，11mgl k a δ=
21st l a
δδδ=+，固有频率2122212()n st k k a g
m k a k l ωδ=
=+。 解法2：利用牛顿定律。 22222()mx
mg k x k x δ=-+=- ， 而：111222()()k x a k x l δδ+=+
利用22mg k δ=，11mgl k a δ=得1122k x a k x l =
题2.13图
题2.10图
题2.14图
又21l
x x x a
=+，求出：212212k al x x k a k l =+，2122212k a x x k a k l =+
则振动方程为：21222120k k a mx x k a k l +=+ ，固有频率2
122212()eq n eq k k k a m m k a k l ω==
+1/s 。 解法3：利用机械能守恒。
取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，
2
12
T mx = 2211122211
()()22V mgx k x k x δδ=-++++
利用前面求出的1212,,,x x δδ，代入后利用()0d
T V dt
+=得到振动方程为： 2
1222
120k k a mx x k a k l +=+ ，……】
2.15 求题2.15图所示系统微幅振动的微分方程（m 2视为均质圆盘）。
答:1212
2()02k k x x m m ++=+
2.16 求题2.16图所示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，c 为黏滞阻尼）。
答:22
22
0b c a k ml ml
θθθ++= ，22422142d ma l k b c ml ω=- 2.17 标准m-k-c 振动系统，弹簧刚度为32.14 kN/m ，物块质量为150 kg 。（1）求系统的临界阻尼系数；（2）该系统的阻尼系数为0.685 kNs/m 时，问经过多少时间振幅减到10％；（3）衰减振动周期是多少。
【解：（1）14.64n k
m
ω==1/s ，24391.4c n c m ω==Ns/m （2）0.1562n c
m ξω=
=，121112ln ln100.9921n X n X n πξδξ
+====-
n ＝2.285，20.981n
t nT n
π
ω===
（3）2
20.4351d n T π
ωξ
=
=-】
题2.15图
题2.16图
2.18 题2.18图所示系统，在空气中振动周期为T 1，在液体中振动周期为
T 2，试证明液体的粘性阻尼系数为222112
4m
c T T T T π=-。 2.19 求题2.19图所示系统的固有频率。 【解法1：通过计算静变形求解。
21st δδδ=+，1δδ=梁，
由梁的变形公式得：31111
1()48mg k l mg k EI k δδδδ--===
梁梁
而：22mg k δ=，则：2121st mg mg
k k k δδδ=+=
++梁
固有频率321312(48)
[()48]n st k k l EI g
k k l EI m
ωδ+==
++。 解法2：利用弹性元件串并联。
k 梁与1k 并联，然后与2k 串联，则：
21111
eq k k k k =++梁
，固有频率eq n k m ω==……。
解法3：利用牛顿定律。 22222()mx
mg k x k x δ=-+=- ， 利用梁的变形公式有：22211111()()
k x k x x k δδδ+-++=梁
又21x x x =+，求出：1122
212()()k k x k x k k k δδ++-=
++梁梁
利用前面求出的12,δδ最后得到振动方程为：
2112()
0k k k mx x k k k ++=++ 梁梁，固有频率321312(48)
[()48]eq
n eq k k k l EI m k k l EI m
ω+==++。 解法4：利用机械能守恒。
取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，
2
12
T mx = 2211122211
()()()22V mgx k k x k x δδ=-+++++梁
利用前面求出的1212,,,x x δδ，代入后利用()0d
T V dt
+=得到振动方程……】
题2.19
图
题2.18图
第3章 单自由度系统强迫振动
3.8 图3-8所示简支梁中间放一台重为2 kN 的电机，其中转子重0.4 kN ，偏心距e =0.02 cm ，电机静作用时的挠度δst =2 cm ，若电机的转速为1450 rpm ，试求：电机稳态强迫振动的振幅(略去梁的质量)。
【解：固有频率22.14n st
g
ωδ=
=，等效弹性系数
2100000n k m ω==，
振动方程2
2000400sin 93030n n x kx e t g ππ????
+= ? ?????
，即：()204.1188sin 152x kx t += 振幅为50022 4.09101n F X k ωω-=
=???- ???
m 。】
3.22 题3.22图所示系统，m ＝9800 kg ，k ＝966280 N/m ，在质量块上作用有激振力4900sin 2
Q t π
= N ，在弹
簧固定端有支撑位移0.3sin 4
B x t π
= cm ，求系统的稳态响
应。
【解：振动方程()B mx
Q k x x =-- ，即4900sin 0.003sin
2
4
B mx kx Q kx t k t π
π
+=+=+ ，
固有频率9.93n k m ω=
=，频率比10.1582n r πω==,20.0794n
r πω==， 响应为12221249000.003sin sin (1)2(1)4k x x x t t k r k r ππ=+=
+--0.52sin 0.302sin 24
t t ππ
=+cm 】
3.23 机器重4410N ，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5 cm ，机器有一偏心重，产生偏心激振力2
2.254Q g ω= N ，ω为激振力频率，g 为重力加速度，不计阻尼。求（1）
在机器转速为1200 r/min 时传入地基的力；（2）机器的振幅。
【解：振动方程242.254sin mx kx t g ωω+= ，4410
8820000.005
k ==，
固有频率44.27n k
m
ω=
=。 （1）偏心激振力2
2.254Q g ω=2
2.254363030n g π??== ???
，频率比1 2.84n r ω
ω==， A 题 3-8图
A
B
Q
l/2
l/2
ωt 题3.22图
传入地基的力为max 23630
514.4(1)
F kx k k r ===-N
（2）202
3630
5.8310(1)
X k r -=
=?-cm 】 3.24 弹簧质量系统，m ＝196 kg ，k ＝1.96×105 N/m ，作用在质量上的激振力为156.8sin10Q t =，阻尼系数为627.2 Ns/m 。求（1）质量块的振幅及放大因子；（2）如果把激振频率调整为5 Hz ，放大因子为多少；（3）如果把激振频率调整为15 Hz ，放大因子为多少；（4）若忽略阻尼，上面3种情况的放大因子又是多少，由此说明阻尼对振幅的影响。
【解：固有频率31.6n k m ω=
=，阻尼比0.0512n
c
m ξω== （1）频率比n r ω
ω=
＝0.316，振幅00222
0.000888(1)(2)F X k r r ξ=
=-+m ， 放大因子222
1
1.11(1)(2)
R r r ξ=
=-+
（2）n r ω
ω=
＝0.990，22219.8(1)(2)R r r ξ=
=-+ （3）n r ω
ω=
＝2.97，22210.128(1)(2)
R r r ξ=
=-+ （4）1.11，51.8，0.128】
3.31 题3.31图示钢梁，自由端物块重量为3000 N ，61.6810I -=?m 4，E ＝210 GPa ，A 端支座按正弦波3sin 30y t =mm 作微小振动，梁质量不计，求物块稳态振
动振幅。
【解：利用材料力学公式求出C 处的静位移
33
30000.930000.9 1.830000.90.933st EI EI EI δ????=+?=，则3
3000483950.60.9st
EI k δ=== 固有频率39.76n k
m
ω=
=。 设C 处的相对位移为y 1，方程为
111()()2st m y
y mg k y δ+=-+ ，即11 2.7sin3022
m m my ky y t +=-=? 相对振幅为1222
2.7 2.73000
0.001982(1)2(130/)n m Y k r gk ω?===--m ， 题3.31图
因此总振动幅度为1max 0.50.001980.0030.50.00348Y Y y =+=+?=m ＝3.48mm 】 3.32 题3.32图示钢梁，物块重量为60 kN ，51.4610I -=? m 4，E ＝210 GPa ， 端支座有脉动力矩1000sin 0.9n M t ω= Nm 作用，梁质量不计，求物块稳态振动振幅。
答: 0.996 mm 。
第4章 单自由度系统振动理论的应用
4.1 求题4-1图所示系统的固有频率。设(1)悬臂梁的质量可忽略不计；(2)悬臂梁的等效弹性系数分别为k 1和k 2。
4.2 求题4-2图所示系统的固有频率，假定滑轮质量不计。
【解法1】通过计算静变形求解。 设对应于1k ，2k 的静变形为1δ，2δ，则
11222mg k k δδ==，1222st δδδ=+
即1
2114st mg k k δ??=+ ???，固有频率n st g
ωδ== 。 【解法2】利用牛顿定律。 设绳拉力为F ，则mx
mg F =- ， 而：111222()()2k x k x F δδ+=+=，1222x x x =+ 再利用解法1的结果11222mg k k δδ==， 求得：21122()k x x k k =
+，12122()k x x k k =+，12
124()
k k F mg x k k =++
则振动方程为：12
1204()k k mx
x k k +=+ ，固有频率eq n eq
k m ω== 1/s 。
【解法3】利用机械能守恒。
取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。
2
12
T mx = 2211122211
()()22V mgx k x k x δδ=-++++
利用前面解法1和解法2求出的1212,,,x x δδ有
题 4-1图
k 1 k 3
k 2
k 4 x
m
题 4-2 图
k 1
k 2
m
x
题 4-3 图
k
m
a b
k 1
m 1
J A
x
2
1212
12122()()k k k k V mg x mgx k k k k ??+=+-??+??
利用
()0d
T V dt
+=得到振动方程为： 2
1222
120k k a mx x k a k l +=+ ，……】
4.3 如题4-3图所示为一摇杆机构，摇杆质量为m A ，相对于支点A 的转动惯量为J A,求系统相对于x 座标的等效质m eq 和等效弹性系数k eq 。
4.4 如题4-4图所示为一发动机阀门装置，摇杆相对支点的转动惯量为J A ，设推杆的有效质量为m r 、有效刚度为k r ，试求系统的等效质量m eq 和等效弹性系数k eq 。
4.5 如题4-5图所示为一机构示意图，若弹簧k a 的伸长不变，试推导该系统的运动方程。
4.6 用能量法求如题4-6图所示系统的固有频率，并用牛顿第二定律校核之，假定均质杆质量不计。
4.7 在题4-7图所示系统中已知梁的质量为m 1，浮体A 置于水中，和连杆的质量为m 2，浮体的横截面积为S ，求系统的运动方程。
4.8 一单自由度系统若 m =7 kg 、6kN/m k =、35kN /c s m =，求（a ）阻尼因子ξ；（b ）对数衰减率；（c ）任意两相邻振幅比。
题 4-4 图
a b
J A
m r ，k r m s ，k s
z
凸轮
题 4-5 图
m 1 m 2
m 3 k 1 k a
L 1
L 2
θ
L 4
L 4
4.9 试导出题4-9图（a ）、（b ）所示系统的运动方程式，假定杆为刚性且不计质量。
4.10 如题4-10图所示系统。已知0.15kg m =，18k N /cm k =， 4.5kN s/cm c =?，
140cm l =，220cm l =，310cm l =,各杆
自重不计。求（a ）系统的固有频率f n ；（b ）阻尼比ξ；（c ）阻尼存在系统的固有频有频率f d 。
4.11 如题4-11图所示，一匀质杆OA 长l =24 cm ，质量m ＝2 kg ，O 端为一摩擦固定铰支，在距上端为l /4=6 cm 处受一谐和激振力P =P 0sint ωt ，P 0=2 N 激振频率f =1 Hz ，求系统的稳态振动振幅。
4.12 一无阻尼振动系统的运动规律为0sin(/6)x x t ωπ=+，若以0sin P P t ω=激振，其中 020P N =，05x cm =，201/s ωπ=，求下列情况下外力对系统所做的功：（a ）最初一秒间；（b ）最初1/40秒间。
4.13 一台设备质量为m ，以弹性系数为k 的弹簧支撑，置于基础上，而基础0sin x a t ω=运动,如题4-13图所示。求（a ）若使设备的振幅等a 时的k 值；（b ）若设备质量为100 kg ，基
·
题4-9图
（a ）
（b ）
m 1 m 2 b a
a
θ k m
m c
k
c
θ
a
a
a
b 题 4-11 图
l /4 l
0sin P P t ω=
题 4-10 图
m l 1
l 2 k
l 3
题 4-7 图
L 2
L 1
k
A
题 4-6 图
60°
k =7kN/m
500mm
150mm 200mm
m
础的振动频率为67 Hz,使其振幅小于a ，求k 的值。
4.14 一物体m ，支承如图4-14所示落向地板，假若支承首先接触地板时，弹簧无应力。
设下落高度h =1.5m ，m =18kg ，c =72N·s/m ，k =1.8kN/m 求物体的加速度。
4.15 求下列函数的富里叶级数表达式和此周期函数的富里叶谱。
4.16 系统的激振有两个谐波分量3186756sin103sin(203)x x x t t π++=++ 。（a ）画
出激振波形；（b ）用复数法求每一个谐波分量的稳态响应；（c ）画出合成的稳态响应波形。 4.17 如图所示带转轮阻尼系统，设m =9kg ，k =7kN/m ，0.15μ=,初始条件为
(0)25mm x =，(0)0x = ，求（a ）位移振幅每周衰减；（b ）最大速度；（c ）速度振幅每周
衰减；（d ）物体m 停止的位置。
4.18 对于题4-18图所示系统，使激振力0sin F t ω作用在质量m 上，试证明每周的能量耗散为4FX ，其中F 为摩擦力。
1 -1
0 T /2
T
t
1 -1
T /2
T t
题 4-15 图
题 4-18 图
x
k
m
0sin F t ω
题 4-13 图
m
k
0sin x a t ω=
m k/2
k/2
c
h
题 4-14 图
第5章 两个自由度系统的振动
5.2 图示双摆，各用弹簧k 1和k 2与质量m 1和m 2相联，在铅垂位置平衡，取摆的水平位移x 1和x 2为广义座标，设摆作微幅振动，求系统的刚度矩阵和重力矩阵，并用矩阵的形式写出运动的作用力方程。
【解法1：利用影响系数法。
设x 1＝1，x 2＝0，画出受力图（整体）。 对B 点求矩得：212210k L m g +?=，
对A 点求矩得：2112111111()110k L L k L m g k L ++-?-?=，
联立解得：12211112m m m k k g L L ??+=++ ??
?，2
21
2m k g L =-， 同理，设x 1＝0，x 2＝1，求得：
22222m k k g L =+
，2122
m
k g L =-。 所以刚度矩阵为1222
1122
22222[]m m m m k g
g L L L K m m g
k g L L ????
+++-
?? ????
?=???-+?
???? 振动方程为：1222
11111
12222222222200
m m m m k g g x x P
m L L L m x x P m m g
k g L L ????
+++-
?? ?????????????+=???????
???????????
?-+?
???
?
。 x 2
L 1
L 2
x
m 2
k 2
k 1
m 1
x 1
P 1
P 2
题 5-2 图
m 1g 1k 1
k 11
k 21 F A A
B
m 2g
解法2：利用拉格朗日方程。取静平衡位置为0势能点。
动能：22
11221122T m x m x =+ ，
势能：22222
211121*********
2221211()()
22(())
V k x k x m g L L x m g L L x m g L L x x =+----------
级数展开化简后得：2222
112111212212()11()2222x x x V k x k x m m g m g
L L -=++++ 111T m x x ?=? ，222T m x x ?=? ，10T x ?=?，2
0T
x ?=?， 11211122112()()x x x V k x m m g m g x L L -?=+++?，1222222
()x x V k x m g x L -?=-?， 广义力：只设x 1处发生虚位移δ1，则：11
111
P Q P δδ==，
同理：22
222
P Q P δδ=
=
代入拉格朗日方程
i i i i d T T V
Q dt x
x x ???-+=??? ，得： 1121111122112
()()x x x m x k x m m g m g P L L -++++= 122222222
()
x x m x k x m g
P L -+-= 写成矩阵形式就是前面的振动方程。】
5.4 试用m 的座标x 1与2m 的座标x 2写出系统的运动微分方程，AB 重忽略不计。 【解法1：用响应系数法。取静平衡位置为坐标原点，由重力引起弹簧的静变形和重力的影响在计算中不必考虑。
设x 1＝1，x 2＝0，对左边质量位置求矩得：
212120k L k L k L +??+??=，
对右边质量位置求矩得：
112210k L k L k L -??-??=，
解得：115k k =，214k k =-，
同理，设x 1＝0，x 2＝1，求得：25k k =，124k k =-，
所以刚度矩阵为54[]45K k -??
=??
-??
， L
L
L
A
B
2m m
x 1
x 2
k
k
题 5-4 图
振动方程为：1122054002450x x m k x x m -??????????
+=??????????-??????
???? 。 解法2：利用拉格朗日方程。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
动能：22
1211
222T mx mx =+ ，
势能：2222
1211211122111[()][2()](545)222
V k x x x k x x x k x x x x =--++-=-+
11T mx x ?=? ，222T mx x ?=? ，10T x ?=?，2
0T
x ?=?， 121(54)V k x x x ?=-?，212
(54)V
k x x x ?=-?， 代入拉格朗日方程
i i i i d T T V
Q dt x
x x ???-+=??? ，得： 112121(54)02(54)0mx
k x x mx
k x x +-=+-=
写成矩阵形式就是前面的振动方程。】
5.6 简支梁的1/3处有m 1和m 2两个质量，设梁的弯曲刚度为EI ，试用位移y 1和y 2为广义座标，导出柔度系数，并按矩阵形式写出运动的位移方程。
【解：利用材料力学挠度公式。
在m 1处加单位力，在m 1和m 2处产生的位移即为柔度系数R 11和R 21，
2232115
21283363323l l
l l l R l EIl EI ?
??
?????=--=?? ? ??????????
， 32332215213222273623333323l
l l l l l l R l EIl EI
?
??????????=-+--=?? ? ? ? ? ?????????????? m 1
m 2
y 2 y 1
y
x
P 2
l/3 l/3 l/3
题 5-6 图
P 1
l 2
l 1
x +l 2θ
k 2
k 1
x
m.J
O
题 5-9 图
x -l 1θ
同理在m 2处加单位力，在m 1和m 2处产生的位移即为柔度系数R 12和R 22，
2232225
21283363323l l
l l l R l EIl EI ?
???????=--=?? ? ??????????
， 2232125
173363323l l
l l l R l EIl EI ???
?????=--=?? ? ??????????
则柔度矩阵为：3
587[]7823l R EI
??=
?????
位移方程为：2
11115
222208778023m y P y l y P y m EI
????????????=- ??????????? ??????????????
】 5.9 在图示系统中，均质杆质量为20 kg ，两端用弹簧支承，总长度为l =1.5 m ，k 1=18 kN/m ，k 2=22 kN/m 。
(a) 写出运动方程、频率方程；
(b) 求固有频率、主振型；
(c) 若(0)1(0)(0)(0)0x x
θθ==== ，，求运动方程()x t ，()t θ。 【解：（1）设l 1＝l 2。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
动能：222
1112212T mx
ml θ=+?? ，
势能：22112211
[][]22V k x l k x l θθ=-++
代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
12
22112222211
22110010012m
x k k k l k l x k l k l k l k l ml θθ??+-????????
??+=??????????-+????
??????
。
代入数值得：20
040000300000 3.753000225000x x θθ??????????+=??????????
????????
?? 方法2：利用平面运动微分方程。δ1和δ2为平衡时弹簧的静变形。
111222()()mx
mg k x l k x l δθδθ=-+--++ 2111122221()()12
ml k x l l k x l l θδθδθ=+--++
平衡时：1122mg k k δδ=+，111222k l k l δδ= 即可得到同样的运动方程。
（2）频率方程：2
2
2
40000203000
[][]03000
22500 3.75K M ωωω
--=
=- 解得：22
122000,6000ωω==
振型：2
2
112140*********
[][]{0}300022500 3.75X X K M ωωω??-??????-==????????ΘΘ-????
?
? 解得：11{}0u ??=????，同理21{}26.67u ??
=????
（3）响应：1111121121222222{}cos {}sin {}cos {}sin x C u t C u t C u t C u t ωωωωθ??
=+++????
代入初始条件求得：112221120,1C C C C ==== 所以响应为：1211sin sin ,0x C t t ωωθ===】
5.13 二层楼房简化成集中质量的两个自由度系统，
如图所示，设m 2=2m 1,k 2=2k 1,试证明主振型为1121
2X
X =，
21122k m ω=
；12221X X =-，2
12
1
2k m ω=。 【解：本题可以看作标准的m-k 振动系统，因此质量矩阵和刚度矩阵分别为：
1
1
2100[]002m m M m m ????
==????????
， 题 5-13图
x
m 2
m 1
k 1
k 2
x 1
x 2
1
11
11121
1[]3k k k k K k k k k k --????
==???
?-+-????
， 代入频率方程：2
2
111
2
1
11[][]032k m k K M k k m ωωω
---=
=-- 解得：22
111211
2,2k k m m ωω=
= 振型：11111111111121112121211111112[][]{0}22322k k m k k X m X X k K M k X X X k k k k m m ω??
--????-????????????-==??????????????????---???????
? 则：11212X X =，同理1222
1X
X =-】
5.15 试求图示两个物体沿直方向振动的主频率和主振型，设m 1=m 、k 1=k ，滑轮、弹
簧与软绳的质量以及阻力均忽略不计，设在平衡位置时，左边物体m 1突然受到撞击，有向下的速度0v ，试求m 1与m 此后的运动方程。
【解：（1）建立振动方程。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
动能：22111122T mx m x =
+ ， 势能：221111
()22
V kx k x x =+-
代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
11111110000m x k k k x m k k x x +-??????????+=??????????-??????????
，即1102000x x m k k x x m k k -??????
????+=??????????-??????
????
。 方法2：利用牛顿定律。δ和δ1为平衡时弹簧的静变形。
111()()mx
mg k x k x x δδ=--+++- 11111()mx
m g k x x δ=-+- 平衡时：111m g k δ=，11mg k k δδ+= 即可得到同样的运动方程。 （2）求固有频率和振型。
频率方程：2
22
2[][]0k m k
K M k
k m ωωω
---=
=-- m m 1
k 1 O 1
O x
k
x 1
题 5-15 图
解得：22120.382
, 2.618k k
m m
ωω==，即10.618k m ω=，2 1.618k m ω=。 振型：{}2
11[][]{0}K M u ω??-=??
解得：11{} 1.618u ??=????，同理21{}0.618u ??=??-??
（3）响应：11111211212222221{}cos {}sin {}cos {}sin x C u t C u t C u t C u t x ωωωω??
=+++????
代入初始条件求得：11211202200,0.724,0.276m m C C C v C v k k
====- 所以响应为：
01020.724sin 0.276sin m m
x v t v t k k
ωω=- 10
1021.171sin 0.171sin m m x v t v t k k
ωω=+】 5.24 求题图5.24所示系统的固有频率方程。
【解：（1）建立振动方程。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。
动能：2211
()22T mx
m L θ=+ ， 势能：222111
()(1cos )()222V k x L mgL k x L mgL θθθθ=-+-≈-+
代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
220000x m k kL x mL kL kL mgL θθ-??????????+=??????????-+????????
?? ，
方法2：利用动力学定律。 ()mx
k x L θ=-- 2sin ()()mL mgL k x L L mgL k x L L θ
θθθθ=-+-≈-+- 写成矩阵形式即可得到同样的运动方程。
（2）频率方程：22222
[][]0k m kL
K M kL
kL mgL mL ωωω
---=
=-+- 展开得: 4220kL mg kg
mL mL
ωω+=-
+】 5.26 求题5.26图所示系统的固有频率。
【解：（1）建立振动方程。设左右质量的位移分别为x 1和x 2。
题5.24图
m
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
动能：22
1211
22T mx mx =+ ，
势能：222
123111222
V k k k δδδ=++
这里的δ1、δ2、δ3为三个弹簧由x 1和x 2引起的变形，它们
的关系是：
113223231,,x x k k k δδδδδδδ=+=-+=
则：12211212322,,333
x x x x x x δδδ++-=
== 所以：2
2
2
12211222111232323x x x x x x V k k k ++-??????=++ ? ? ?
??????22
121212()23
k x x x x =++ 代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
112202010203x x m k k m k k x x ??????????+=????????????????
????
， 方法2：利用牛顿定律。重力引起弹簧的静变形和重力的影响在计算中不必考虑。
1122,mx
k mx k δδ=-=- 将前面计算的12211222,33
x x x x
δδ++=
=代入即得到同样的运动方程。 （2）频率方程：2222
3
3[][]02
3
3
k
k m K M k k m ωωω--=
=-
展开求得: 13k
m
ω=
，2k m
ω=】 5.29 用拉格朗日方程求题5.29图所示系统的振动微分方程。 【解：取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
动能：2
212T mx = ，
势能：222121111
()22
V k x x k x =-+
10T x ?=? ，222T m x x ?=? ，10T x ?=?，2
0T
x ?=?，
题5.26图
x 1
x 2
δ1
δ2
δ3 题5.29图
x 1
x 2
121221()V k k x k x x ?=+-?，2122
()V
k x x x ?=--?， 广义力：只设x 1处发生虚位移δ1，则：11111
cx
Q cx
δδ-==- ，同理：20Q =. 代入拉格朗日方程
i i i i d T T V
Q dt x
x x ???-+=??? ，得： 121221()k k x k x cx
+-=- ，2212()0mx k x x --= 】
5.39 题5.39图所示系统，质量为m 的物块处于光滑水平面上，通过刚度为k 的弹簧与质量为M 、长度为L 的均质刚杆连接，求系统的响应。
【解：（1）用动力学定律建立振动方程。
0sin ()mx
F t k x L ω?=-- ()J k x L L Mga ?
??=-- 则：02sin 000F t m x k kL x J kL kL Mga ω??-??????????+=???????
???-+??????????
。 （2）设解为sin x X t ω?????=????Φ????，代入方程得：02
[][]0F X K M ω??????-=??????
Φ????
则：1
21002
22[][]00F F X k m kL
K M kL kL Mga J ωωω--??????--????=-=??????????Φ-+-???????
?
22
0221
0[][]F kL Mga J kL kL k m K M ωωω????
+-=???
?--??
?
? 220422
0422)
()()F kL Mga J mJ kJ mkL mMga kMga F kL mJ kJ mkL mMga kMga ωωωωω??+-??-+++??=????
??-+++??
(
所以：sin x X t ω?????=????Φ????220422
0422)
()sin ()F kL Mga J mJ kJ mkL mMga kMga t F kL mJ kJ mkL mMga kMga ωωωωωω??+-??-+++??
=????
??-+++??
(】
题5.39图
振动力学课程设计报告-(2) 振动力学课程设计报告 课设题目：电磁振动给料机的振动分析与隔振设计 单位： 专业/班级： 姓名：
指导教师： 1、课题目的或意义 通过对结构进行振动分析或参数设计，进一步巩固和加深振动力学课程中 的基本理论知识，初步掌握实际结构中对振动问题分析、计算的步骤和方法，培养和提高独立分析问题和运用所学理论知识解决实际问题的能力。 2、课题背景： 1、结构：本设计中，料槽底板采用16mm厚钢板焊接而成，再用筋板加强。料槽衬板采用20mm厚钢板。料槽材料全部采用镇静钢，能承受工作过程中由于振动产生的交变载荷，焊缝不易开裂。 2、工程应用前景：振动给料机用于把物料从贮料仓或其它贮料设备中均匀或定量的供给到受料设备中，是实行流水作业自动化的必备设备分敞开型和封闭型两种，本设计中电磁振动给料为双质体系统，结构简单，操作方便，不需润化，耗电量小；可以均匀地调节给料量为了减小惯性力，在保证强度和刚度的前提下, 应尽可能减轻振动槽体的质量。从而使其在实际工程应用中会有非常广泛的前景。 二、振动（力学）模型建立
1、结构（系统）模型简介
k4、C4分别为尼龙连接板得等效刚度和阻尼。 g为偏心块质量，m为给料槽体质量，m2激振器的振动质量。 m R —输送槽体（包括激振器）的质量，1500kg ;即g m 叫 m G —槽内物料的结合质量。 在实际中系统为离散的，而建立模型后将质量进行集中从而该系统可视为为连续系统，通过上网搜索资料以及书中知识总结并设计出如上所示电磁振动给料机力学模型，其组成为料槽、电磁激振器、减振器、电源控制箱等组成。 2、系统模型参数 （包括系统所必需的几何、质量、等效刚、激励等）
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
振动力学 1前言部分 振动力学在其发展过程中逐渐由基础科学转化为基础科学与技术科学的结合.工程问题的需要使振动力学的发展成为必需,而测试和计算技术的进步又为振动力学的发展和应用提供了可能性.除与技术问题的结合以外,学科的交叉不断为振动力学的发展注入新的活力.在数百年发展过程中,振动力学已形成为以物理概念为基础,以数学理论、计算方法和测试技术为工具,以解决工程中振动问题为主要目标的力学分支。 人类对振动现象的认识有悠久的历史。战国时期的古人已定量地总结出弦线发音与长度的关系。在振动力学研究兴起之前，有两个典型的振动问题引起注意，即弦线振动和单摆振动。对单摆摆动的研究起源于Galileo,他在1581年发现摆的等时性。1727年JohnBernoulli研究无重量弹性弦上等距分布等质量质点时,建立无阻尼自由振动系统模型并解出解析解。1728年Euler考察了摆在有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动,从理论上解释了共振现象。1834年Duhamel将任意外激励视为一系列冲量激励的叠加,从而建立了分析强迫振动的普遍公式.1849年Stokes发现了初位移激励与初速度激励两者响应的联系,并且由此对外激励得到与Duhamel相同的结果. 非线性振动的研究使得人们对振动机制有了新的认识.除自由振动、受迫振动和参数振动以外,还有一类广泛存在的振动,即自激振动.1925年Cartan父子研究了无线电技术中出现的一类二阶非线性微分方程的周期解.1926年vanderPol建立一类描述三极电子管振荡的方称为vanderPol方程,他用图解法证明孤立闭轨线的存在,又用慢变系数法得到闭轨线的近似方程.1928年Lienard证明以 Cartan 方程和vanderPol方程为特例的一类方程存在闭轨线,1929年Андронов阐明了vanderPol的自激振动对应于Poincaré研究过的极限环。 2主题部分
振动力学课程设计报告 课设题目： 单位： 专业/班级： 姓名： 指导教师： 2011年12月22日
一、前言 1、课题目的或意义 振动力学课程设计是以培养我们综合运用所学知识解决实际问题为目的，通过实践，实现了从理论到实践再到理论的飞跃。增强了认识问题，分析问题，解决问题的能力。带着理论知识真正用到实践中，在实践中巩固理论并发现不足，从而更好的提高专业素养。为认识社会，了解社会，步入社会打下了良好的基础。 通过对GZ电磁振动给料机的振动分析与减振设计，了解机械振动的原理，巩固所学振动力学基本知识，通过分析问题，建立振动模型，在通过软件计算，培养了我们独立分析问题和运用所学理论知识解决问题的能力。 2、课题背景： 随着科学技术发展的日新月异，电磁振动给料机已经成为当今工程应用中空前活跃的领域，在生活中可以说是使用的广泛，因此掌握电磁振动给料机技术是很有必要的和重要的。 GZ系列电磁振动给料机广泛应用于矿山、冶金、煤炭、建材、轻工、化工、电力、机械、粮食等各行各业中，用于把块状、颗粒状及粉状物料从贮料仓或漏斗中均匀连续或定量地给到受料装置中去。特别适用于自动配料、定量包装、给料精度要求高的场合。例如，向带式输送机、斗式提升机，筛分设备等给料；向破碎机、粉碎机等喂料，以及用于自动配料，定量包装等，并可用于自动控制的流程中，实现生产流程的自动化。 GZ电磁振动给料机的工作原理： GZ电磁振动给料机的给料过程是利用电磁振动器驱动给料槽沿倾斜方向做直线往复运动来实现的,当给料机振动的速度垂直分量大于策略加速度时,槽中的物料将被抛起,并按照抛物线的轨迹向前进行跳跃运动,抛起和下落在1/50秒完成,料槽每振动一次槽中的物料被抛起向前跳跃一次,这样槽体以每分钟3000次的频率往复振动,物料相应地被连续抛起向前移动以达到给料目的。 GZ系列电磁振动给料机主要用途:
有限元方法在振动力学上的应用分析 Xxxxx xxxxxxxxx
有限元方法在振动力学上的应用分析 摘要：有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的振动问题的数值方法。对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。最后,使用MA TLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点位移,固有振动频率和特征值分析。[1] 关键词：有限元振动力学固有频率特征值 目录 1发展背景 (3) 1.1有限元的发展背景 (3) 1.2有限元法应用于工程计算的发展背景 (3) 2基础理论推导 (4) 2.1有限元理论 (4) 2.2理论推导 (4) 3参数影响 (8) 3.1边界条件的影响 (8) 3.2网格划分对有限元模态分析的影响 (8) 3.3单元类型的影响 (8) 4实例分析 (9) 4.1杆件分析 (9) 4.2梁的自然频率 (10) 5结论 (11)
1，发展背景 1.1有限元的发展背景 有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。为解决这类问题,美国学者提出用GFEM （Gener-alized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题。[2] 比利时学者提出用HSM （the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解决实际开裂问题。 在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。[3] 目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差,与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；[4]在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理，质量高。 1.2 有限元法应用于工程计算的发展背景 FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了50余年的发展。20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。1943年，Courant第一次提出单元概念。1945~1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”,并描绘为“有限元法 = Rayleigh Ritz法 + 分片函数”。几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element Analysis)系统,如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP 等。20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的办法之一。[5]
振动力学课程设计题目 采用MATLAB 对所选的问题进行数值计算和作图，采用高于MATLAB7.4（2007）版本所编写的程序需转换为文本（.txt ）文件, 早于MATLAB7.4（2007）版本所编写的程序可直接采用M 文件传送至QQ ：296637844。题目如下，其中1，2，3题为必做题，4-38选二题(第一轮:一班01号为第4题, 一班02号为第5题…一班28号为第25题, 二班01号为第26题,…二班17号为第38题, 二班18号为第4题,…二班27号为第13题;第二轮:一班01号为第14题…)。文件名采用自己的姓名。考核时间暂定于12月30日。 题目： 1. 编写MA TLAB 程序，根据书本公式（3.1-10）、（3.1-10）作出单自由度系统强迫振动的幅频特性曲线、相频特性曲线。0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0,1.2?=。 2. 根据书本图4.5-3，分析有阻尼动力减振器的特性。包括在不同的质量比，频率比，阻尼比条件下结构的响应。 3. 对于图2所示体系，用矩阵迭代法计算其固有频率及振型。 1231,2m m m ===，1230 c c c ===，1231,5,8k k k ===，1230,0,0F F F ===， 1231,1,1ωωω===。 4. 采用中心差分法计算单自由度体系10105sin(/2)x cx x t ++= ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 5. 采用Houbolt 法计算单自由度体系10105sin(/2)x cx x t ++= ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 6. 采用Wilson-θ法计算单自由度体系10105sin(/2)x cx x t ++= ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 7. 采用Newmark-β法计算单自由度体系10105sin(/2)x cx x t ++= ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 8. 采用中心差分法计算10105sin(/2)2sin()sin(2)x cx x t t t ++=++ ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 9. 采用Houbolt 法计算10105sin(/2)2sin()sin(2)x cx x t t t ++=++ ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 10. 采用Wilson-θ法计算10105sin(/2)2sin()sin(2)x cx x t t t ++=++ ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 11. 采用Newmark-β法计算10105s in (/2)2s in ()s in (2 x c x x t t t ++=++ ，当c=3和c=20，000,0x x == 前10s 内的位移，作出其时间位移曲线图。 12. 采用卷积积分法计算单自由度体系m=10kg ，c=3Ns/m ，k=10N/s ，分别 在()5(),5(),5sin(2)(),(02)F t N t N t N t s =≤≤作用下前10s 内的时间位移曲线。 13. 采用中心差分法计算单自由度体系m=10kg ，c=3Ns/m ，k=10N/s ，分别在()5(),5(),5sin(2)(),(02)F t N t N t N t s =≤≤作用下前10s 内的时间位移曲线。 14. 采用Houbolt 法计算单自由度体系m=10kg ，c=3Ns/m ，k=10N/s ，分别在 ()5(),5(),5sin(2)(),(02)F t N t N t N t s =≤≤作用下前 10s 内的时间位移曲线。 15. 采用Wilson-θ法计算单自由度体系m=10kg ，c=3Ns/m ，k=10N/s ，分别
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
《振动力学》2015春节学期作业 一、无阻尼自由振动 1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w，机构绕O轴的 ?时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当=0 伸缩，试求该机构的摆动频率。 （答案：ω） 2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量） （答案：ω）
3、如图所示，悬臂梁长为L ，截面抗弯刚度为EI ，梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚度为k ，求系统的固有频率。 （答案：ω= ） 4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有角频率。 （答案：ω= ） 5、如图所示，抗弯刚度为623010(N m )EI =?? 的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为300(/)k N m = 。忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为1000()W N = 的物块自由振动的周期。 （答案：T=0.533s ） 6、一个重W 的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI 。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计） （答案：2T = ）
7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题 二、有阻尼自由振动 1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数' c ：在弹簧上悬挂一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：' c = ） 2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。 （答案：196Ns/m ） 3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。
振动力学课程设计报告 课设题目：电磁振动给料机的振动分析与隔振设计单位： 专业/班级： 姓名： 指导教师：
一、前言 1、课题目的或意义 通过对结构进行振动分析或参数设计，进一步巩固和加深振动力学课程中的基本理论知识，初步掌握实际结构中对振动问题分析、计算的步骤和方法，培养和提高独立分析问题和运用所学理论知识解决实际问题的能力。 2、课题背景： 1、结构：本设计中，料槽底板采用16mm厚钢板焊接而成，再用筋板加强。料槽衬板采用20mm厚钢板。料槽材料全部采用镇静钢，能承受工作过程中由于振动产生的交变载荷，焊缝不易开裂。 2、工程应用前景：振动给料机用于把物料从贮料仓或其它贮料设备中均匀或定量的供给到受料设备中,是实行流水作业自动化的必备设备分敞开型和封闭型两种，本设计中电磁振动给料为双质体系统，结构简单，操作方便，不需润化，耗电量小；可以均匀地调节给料量为了减小惯性力，在保证强度和刚度的前提下，应尽可能减轻振动槽体的质量。从而使其在实际工程应用中会有非常广泛的前景。 二、振动（力学）模型建立 1、结构（系统）模型简介
O 1 O 0 O 2 123123k k k c c c 、为隔振弹簧，为主振弹簧，、、分别为隔振和主振弹簧的阻尼 4k 、4c 分别为尼龙连接板得等效刚度和阻尼。 0m 为偏心块质量，1m 为给料槽体质量，2m 激振器的振动质量。 R m —输送槽体（包括激振器）的质量，1500kg ；即012R m m m m ++= G m —槽内物料的结合质量。 在实际中系统为离散的，而建立模型后将质量进行集中从而该系统可视为为连续系统，通过上网搜索资料以及书中知识总结并设计出如上所示电磁振动给料机力学模型，其组成为料槽、电磁激振器、减振器、电源控制箱等组成。 2、系统模型参数 （包括系统所必需的几何、质量、等效刚、激励等）
振动力学 ——高转速振动 电机起动过程研究 姓名：史龙繁 班级：机制091班 学号：2009200116 院系：新科学院机电系
前言（发展背景） 高转速振动电机是一种新型的工程建设中使用的特殊电机。这种电机采用频率为200Hz，电压为42V的电源供电，电机转速达11500r／mm，所以，这种电机是一种低压、中频、高转速的安全型电机。同时，这种电机作为振动器的动力源全封闭于振动体内，其噪声影响得到较好的控制，是符合环保要求的低噪声振动器的关键部件。 高转速振动电机结构类似于笼型感应电机，电机由定转子组成，但其定子不是固定的。定子上对称布置三相绕阻，绕阻多采用2A接法，转子采用铜条笼型转子，槽型为闭口槽。受工况限制，该种电机长径比大于2：1，电机铁耗大、定转子漏抗系数大，电机在启动之初，定转子铁心中交变磁通频率分别为200Hz或接近200Hz，电机温升变化很快，而且相对于380V、50Hz同功率的普通笼型电机而言，这种电机的起动电流大很多。在实际应用中，这种电机常常单电源供电多台并联运行，多台并联运行将加剧对电源的不利影响。因此，该种电机起动过程应尽可能短，从而达到控制电机温升，延长电机寿命，并减小电机起动对电源影响的目的。很明显，研究振动电机的起动过程有利于该种电机的优化设计和应用。 1.高转速振动电机起动过程的数学模型 为简化问题的研究，假设所建数学模型遵循下述原则：(1)高转速振动电机定转子侧均按电动机惯例分析；(2)定子三相绕阻对称；(3)气隙均匀；(4)基于上述假设，给出高转速振动电机的双轴系统(dq0系统)数学模型。 l-1 数学模型 高转速振动电机三相对称情况下运行时，可将定转子侧绕组用双轴系统下的定转子绕组代替，从而将三相坐标系统下的各相存在的自感、互感时变系数转换为常系数，使所建数学系模型得到简化。 在双轴系统下，定转子绕阻各参数矩阵形式如下：
工程力学专业课程设计改革的探索和实践 ◆林金保 陈艳霞崔小朝马崇山 （太原科技大学） 课程设计是工程力学专业一个重要的实践性教学环节，是理论和工程联系的桥梁。针对我校工程力学专业课程设计改革中存在 的问题和不足进行分析，并提出了改革的思路和方法，以期提升工程力学专业学生的工程素质及驾驭实际工程的能力，增强学生就业的 竞争力。 工程力学课程设计工程素质 力学是自然科学的七大基础学科之一，是联系工程和科学的桥梁，是工程科学的基础，其发展横跨理工，与各行业的结合非常密切。随着时代的进步和社会的发展，特别是近２０年来国际上科学综合性趋势的发展，力学同其他基础学科和技术学科之间产生交叉学科，使得力学专业人才的知识结构逐渐变宽，因此工程力学专业对人才培养必须坚持扎实基础与重视实践相结合的指导思想。然而，目前大多数高校的工程力学专业课程设置和专业培养没有具体的工程背景，直接导致了学生的工程意识薄弱，这也是工程力学专业培养方面面临的最大问题，因此，提高工程力学专业学生的工程素质及解决实际问题的能力，强化实践教学环节尤为重要。 课程设计是高等学校本科专业人才培养方案中一个重要的实践性教学环节，但与毕业设计相比，重视程度远远不够。就目前我校工程力学专业课程设计现状而言，由于开设时间较短，相关经验不丰富，课程设计仍然存在许多缺陷和不足，笔者就此展开了广泛的调研和有益的探索，并提出一些关于课程设计改革的思路和方法，以期有效促进本校工程力学专业课程设计质量上新台阶，进而提升工程力学专业学生的工程素质及驾驭实际工程的能力，增强学生就业的竞争力。 一、工程力学专业课程设计改革现状 力学系列课程现行的教学方法大多是通过各种手段将这些课程的知识传授给学生，最后通过考前复习和考试对其归纳提高。在此过程中，学生多数处于被动、应付状态，难以摆脱从理论到理论，理论脱离实际模式的束缚。学生理论联系实际、独立分析问题、解决实际问题的能力差，这与培养２ｌ世纪人才模式很不适应，力学系列课程的教学改革已是当务之急。目前国内外许多大学的力学相关课程设置了课程设计实践环节，课程设计的数量有所增加。如中南大学的结构力学课程设计，吉林大学的材料力学课程设计，湖南大学的振动力学课程设计，美国的斯坦福大学在理论力学增设了实践环节等，都取得了较好的效果。在增加课程设计数量的同时，一些高校更较重视课程设计内容的改革，如南京航空航天大学的有限元课程设计是针对实际的索拉桥进行分析，在提高学生理论联系实际、独立分析问题与解决实际问题的能力方面作了有益的探索。 我校工程力学专业所设课程主要有ＣＡＤ／ＣＡＭ软件应用、．ｎｅｔ程序设计、理论力学、材料力学、流体力学、振动力学、机械设计基础、结构力学、弹性力学、有限元和工程分析软件及应用等课程，其逻辑性和系统性对于培养学生的分析问题的能力非常有利，但在力学学习过程中，教师和学生会经常遇到一些没有见过的实际问题或力学模型，工程意识和分析、解决实际问题能力较弱的人，往往思前想后不得其解，以至于束手无策；反之，工程意识和分析、解决实际问题能力较强的人则往往能自如应对一切难题。为了培养和提高学生的工程意识和分析解决问题的能力，２００６年开始，我校力学专业开设了课程设计实践教学环节，如“有限元软件应用课程设计”和“工程力学课程设计”，２０１１年又增设了“结构优化设计”和“ＣＡＭ／ＦＥＭ软件应用课程设计”。但总的来讲，力学专业的课程设计综合性较差，特色不明显，课程设计题目的难度、涉及的知识面、能力的培养均有待改进。 二、工程力学专业课程设计改革中存在的问题 目前我校课程设计改革中存在的问题主要表现在以下几个方面：一是课程设计题目和任务书拟定方面，均由指导教师事先确定分派给学生，由于指导教师所掌握的工程资料有限，课程设计的内容和范围局限性较大，题目类型较少，研究方向也较集中，学生并不能根据自身的特点和兴趣爱 好，去选择他们感兴趣的题目进行设计，而是一味进行强迫式学习，完成所谓的设计任务。学生目前经过课程设计后并不能应对就业后工作过程中复杂多样的技术难题。二是课程设计研究内容与工程实际问题有偏差。课程设计都是承接基础理论与工程实际的重要环节，学生非常希望将自己所学的理论应用于实际，在实际中检验自己的知识，但由于学生体会不到理论与实际的联系，课程设计并不能充分调动学生学习主动性和创造性。三是课程设计时间在安排上与课堂教学存在一定的时间间隔。在课程设计过程中，对于理论知识不够扎实的部分学生来说，会有一种惧怕且无从下手的感觉，很难投入足够的精力和时间认真完成课程设计。而课程设计形式基本上是以小组为单位，小组成员围绕一个核心题目完成不同方面的设计任务。由于学生的理论基础和解决实际问题的能力存在差异，“能者多劳”的现象就会出现。如果指导教师指导不到位，检查力度稍低，就很容易出现个别学生不做或少做设计内容，甚至还出现抄袭他人成果的现象。由此可见，工程力学专业课程设计改革的空间较大。 三、工程力学专业课程设计改进的思路与方法 一方面，课程设计应选取具有一定的工程或社会实际背景，体现应用性、先进性、综合性的题目，可以使学生对工程实际问题的复杂性有一个初步认识，检验学生对该课程理论基础知识的理解和掌握程度，培养学生通过综合运用该课程和相关课程的基本理论知识来分析和解决工程实际问题的能力。另一方面，能使学生树立起正确的设计思想，养成实事求是、严肃认真、高度负责的工作作风和严谨、谦虚的科学学风，更能使学生在自主性、探索性、创造性和合作性方面得到培养。 首先，指导教师应该重视课程设计题目和内容的选择。斯滕豪斯明确指出：教师的身份是“和学生一起学习的学习者”，只有这样，才能通过发现法和探究法而不通过传授法进行教学。在课堂教学过程中，教师不仅要教授理论知识，还要注意理论联系工程实际，通过列举工程实例、设置问题情境等多种方法，让学生感受到理论学习是手段，实际应用才是真正目的。随着社会发展，各种资讯日新月异，教师不能仍保持传统的观念，而必须在教学生涯中通过不断学习搜集和处理更多关于课程内容的相关资讯，熟悉教育改革趋势和重点，更新补充专业知识，提高专业能力；了解该专业学生的学习特点和兴趣爱好。这样，教师才能根据课程内容确定适合教学目标和学生感兴趣的课程设计题目，并且真正做到理论与工程实际的联系、对知识的综合应用、全方位的展开学生的思维和最大限度地解放学生的思想，才能充分调动学生学习的主动性、积极性和创造性，培养学生解决实际问题的能力和应变思维能力。 其次，课程设计应与工程实际相结合，针对不同课程内容及培养目标采用多种形式的课程设计方法。比如枟理论力学枠，它是一门理论性较强的专业技术基础课程，教师在讲解过程中多是针对抽象化理想的力学模型，学生在课堂学习中通常感觉理论知识很好懂，但自己动手练习的时候却无从下手，理论和实际总是联系不到一起。为此，教师在讲授过程中可采用工程实例教学法，即选择一些具有代表性、启发性、时代性的实例，通过学习和讨论，使学生对知识有更深层次的理解，从而激发学生应用知识的热情。教师可以通过布置相关知识的小论文，学生通过查阅资料、撰写小论文的形式，深刻理解力学知识和工程实际问题间的联系。枟材料力学枠课程除可设置实验教学环节外，还可以确定一些简单 （下转第１２０页） ３ ２１
《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。
振动力学课程设计 3k 3m 4m 7m k 5k x1 x2 x3 4k 年级：工程力学09级02班 姓名：陶昶 学号：20091210220
振动力学课程设计（大作业）的内容如下： 1.在图示振动系统中， k k k k k k k k m m m m m m 3,,4,5,7,4,34321321=======建立系统的振动微分方程，要求写出详细的过程。 2.求系统的振动固有频率。 3.计算系统的振动模态，绘制主振型的示意图。 4.计算系统的主质量、主刚度和简正振型矩阵。 5.初始条件为： T 0T 0} 0.5 0, 0, { ,} 0.03 0, 0, {==x x ,位移单位为m,速度单位为m/s 。求系统自由振动的响应。 6.在质量为m 1的物体上作用简谐力 sin )(t F t f ω=，求系统强迫振动的响应。 7.在质量为m 3的物体上作用非周期激励力 )()(t Fu t f =， )(t u 为单位阶跃函数，求系统强迫振动的响应。 8.在固定端和第1个物体之间安装一个阻尼系数为 1c 的阻尼器，在第1个和第2个物体之间安装一个阻尼系数为 2c 的阻尼器，在第2个和第3个物体之间安装一个阻尼系数为 c 3的阻尼器，在第3个物体和固定端之间安装一个阻尼系数为 c 4的阻尼器。已知： c c c c c c c c 3 , 6 , ,2 4321====。建立系统的有阻尼振动微分方程，计算系 统的阻尼矩阵、模态阻尼矩阵。 9.用瑞利法估算系统的基频。 10.用传递矩阵法计算系统的固有频率。 m 2 m 1 m 3 k 2 k 1 k 4 k 3
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt； 由物体的受力分析，N = 0（极限状态） 物体不跳离平台的条件为：； 既有， , 由题意可知Hz，得到，mm。 1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解： 设该简谐振动的方程为；二式平方和为 将数据代入上式： ； 联立求解得 A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即： 得：
答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm，1/s 。这个振 动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。 1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或； 其合成振幅为：=
请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F
振动力学课程设计任务书 一、课程设计的目的 振动力学课程设计是工程力学专业集中实践环节的内容之一。学生运用所学的基础理论和专业知识通过课程设计的实践，巩固和掌握振动力学课程的知识。通过课程设计使学生了解结构振动研究的过程，培养学生的计算和分析能力。 二、课程设计的要求 学生需认真阅读课程设计任务书，参考有关资料，在规定的时间内独立完成课程设计任务。课程设计要求计算准确、文字通顺、图形精致。课程设计（含任务书和计算程序等）应装订成册。 三、课程设计的内容 振动力学课程设计的内容如下： 题目1： 1.图示振动系统，建立系统的振动微分方程，要求写出详细的过程。 2.求系统的振动固有频率。 3.计算系统的振动模态，绘制主振型的示意图。 4.计算系统的主质量、主刚度和简正振型矩阵。 5.初始条件为：，位移单位为m,速度单位为m/s。求系统自由振动的响应。
6.在左侧第一个物体上作用简谐力，求系统强迫振动的响应。 7.在固定端和第1个物体之间安装一个阻尼系数为 c1的阻尼器，在第1个和第2个物体之间安装一个阻尼系数为 c2的阻尼器，在第2个和第3个物体之间安装一个阻尼系数为 c3的阻尼器，在第3个物体和固定端之间安装一个阻尼系数为 c4的阻尼器。已知：c1=2c,c2=5c, c3=c,c4=3c。建立系统的有阻尼振动微分方程，计算系统的阻尼矩阵、模态阻尼矩阵。 8.用瑞利法估算系统的基频。 9.用矩阵迭代法计算系统的固有频率。 题目2： 1.图示振动系统，建立系统的振动微分方程，要求写出详细的过程。 2.求系统的振动固有频率。 3.计算系统的振动模态，绘制主振型的示意图。 4.计算系统的主质量、主刚度和简正振型矩阵。 5.初始条件为：，位移单位为m,速度单位为m/s。求系统自由振动的响应。
沈阳航空航天大学 振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求： （一）基本要求 １、学会查阅资料和使用相关设计手册； ２、学习运用Matlab等数学软件； ３、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程； ４、按照课程设计相关规定编写设计说明书。 （二）课设内容 (1)设定均匀梁的具体参数（长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度）； (2)根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运动微分方程； (3)然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型； (4)分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响； (5)最后写出本次课程设计的总结。 （三）主要参考书 （1）、金基铎，王克明，机械振动基础 [M]，沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月；（2）、方同，薛璞，振动理论及应用 [M]，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；（3）、蒲俊，Matlab工程数学解题指导 [M]，上海：浦东电子出版社，2001年7月；（4）、罗建军，杨琦，MATLAB教程 [M]，北京：电子工业出版社，2005年7月 （四）评语
（五）成绩 负责教师 学生签名
振动力学课程设计说明书 一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性 沈阳航空航天大学 2011年1月
沈阳航空航天大学课程设计说明书摘要 摘要 目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。本文采用了理论分析的方法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型，并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨论了一些参数对梁固有频率和主振型的影响。 关键词一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率