§4－4 应力分量的坐标变换
在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。
由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。
如图，当取厚度为1，包含x 面、y 面和径向坐标面的微小三角板A 时， 它的ab 为x 面，ac 为y 面，而bc 为ρ面。各面上的应力如图所示。命bc 边的长度为ds ，则ab 边及ac 边的长度分别为dscos φ及dssin φ。
图 4-3
根据三角板A 的平衡条件 F ρ=0，可以写出平衡方程
cos cos sin sin cos sin sin cos 0
x y xy yx ds ds ds ds ds ρσσ??σ??τ??τ??-?--?-=。
用τxy 代替τyx ，进行简化，就得到
2
2
cos sin sin 2x y xy ρσσ?σ?τ?
=++。
同样可由三角板A 的平衡条件 F φ=0，得到
()cos sin cos 2y x xy ρ?τσσ??τ?
=-+
220cos sin sin 20()cos sin cos 2x y xy y x xy F F ρρ?ρ?σσ?σ?τ?τσσ??τ?
=?=++???
→??
==-+????∑∑
同理，当取厚度为1，包含x 面、y 面和环向坐标面的微小三角板B 时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：
22
0sin cos sin 20()cos sin cos 2x y xy y x xy F F ρ???ρσσ?σ?τ?τσσ??τ?
=?=+-???→??
==-+????∑∑
综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：
22
22
cos sin sin 2sin cos sin 2()cos sin cos 2x y xy x y xy y x xy
ρ?ρ?σσ?σ?τ?σσ?σ?τ?τσσ??τ??
=++??
=+-?
?
=-+?
?
（4-7）
同理，如果考虑x 和y 方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：
22
2
2
cos sin sin 2sin cos sin 2()cos sin cos 2x y xy
ρ?ρ?ρ?ρ?ρ?ρ?σσ?σ?τ?σσ?σ?τ?τσσ??τ??
=+-??
=++??
=-+?
?
（4-8）
钢筋砼梁应力应变计算方法的探讨 摘要：对于钢筋砼梁应力应变的计算，分别用桥梁规范中弹性体假定的应力计算方法和以砼处于弹塑性阶段的应力计算方法进行分析，通过算例比较两者计算结果的差异，提出一些个人的见解。 关健词：桥梁工程；钢筋砼梁；应力应变值；计算方法；基本假定；弹性；弹塑性 0 前言 钢筋砼梁属于受弯构件。按《公路钢筋砼及预应力砼桥涵设计规范》(以下简称《桥规》)要求，对于钢筋砼受弯构件的设计，首先按承载能力极限状态对梁进行强度计算，从而确定构件的设计尺寸、材料、配筋量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于荷载效应；另外，尚需按正常使用极限状态对构件进行应力、变形、裂缝计算，验算其是否满足正常使用时的一些限值的规定。为检验钢筋砼梁的施工是否满足设计要求，均应对形成该梁的材料（钢筋及砼）进行强度检验，但由于砼的养护环境、工作条件及钢筋的加工、布置等方面，均存在试样与实际构件之间的差异，因而不能完全地说明该构件的工作性能。有时，按需要可对梁进行直接加载试验以量测荷载效应值，通过实测值与理论计算值的比较，以检验其工作性能是否能满足设计和规范的要求。通常情况下，我们不能直接测定梁体的应力值，只能通过实测梁体的应变值，进而求算其应力值。但钢筋砼结构属于非匀质材料，不能直接运用材料力学计算公式进行其应力及应变的计算，因此，本文按弹性阶段应力计算和弹塑性阶段应力计算2种方法进行分析比较。 1 按弹性阶段计算应力的方法 钢筋砼梁在使用阶段的工作状态可认为与施工阶段的工作状态相同，都处于带裂缝工作阶段，因此可按施工阶段的应力计算方法进行计算。 1.1 基本假定 《桥规》规定：钢筋砼受弯构件的施工阶段应力计算，可按弹性阶段进行，并作以下3项假定。 1.1.1 平截面假定 认为梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形后，仍保持为平面，平行于梁中性轴的各纵向纤维的应变与其到中性轴的距离成正比，同时由于钢筋与砼之间的粘结力，钢筋与其同一水平线的砼应变相等。其表达式为： εh/x=εh′/(h0-x) εg=εh′ 式中：εh′-为与钢筋同一水平处砼受拉平均应变； εh-为砼受压平均应变； εg-为钢筋平均拉应变； x-为受压区高度； h0-为截面有效高度。 1.1.2 弹性体假定 假定受压区砼的法向应力图形为三角形。钢筋砼受变构件处在带裂缝工作阶段，砼受压区的应力分布图形是曲线形，但曲线并不丰满，与直线相差不大，可以近似地看作呈直线分布，即受压区砼的应力与应变成正比。 σh=εhEh 式中：σh-为砼应力； εh-为砼受压平均应变； E h-为砼弹性模量。 1.1.3 受拉区砼完全不能承受拉应力 在裂缝截面处，受拉区砼已大部分退出工作，但在靠近中和轴附近，仍有一部分砼承担着拉应力。由于其拉应力较小，内力偶臂也不大，因此，不考虑受拉区砼参加工作，拉应力全部由钢筋承担。 σg=εgEg 式中：σg-为钢筋应力； εg-为受拉区钢筋平均应变； E g-为钢筋弹性模量。 1.2采用换算截面计算应力 根据同一水平处钢筋应变与砼的应变相等，将钢筋应力换算为砼应力，则钢筋应力为砼应力的n g 倍（n g=E g/E h）。由上述假定得到的计算图式与材料力学中匀质梁计算图非常接近，主要区别是钢筋砼梁的受拉区不参予工作。因此，将钢筋假想为受拉的砼，形成一种拉压性能相同的假想材料组成的匀质截面，即为换算截面，再按材料力学公式进行应力计算。 1.2.1受压区边缘砼应力
应变计组转换为实际应力 大体积混凝土的应力一般不能直接测量获得，通常在大体积混凝土里埋设应变计组和无应力计来监测混凝土的应变，然后结合混凝土弹性模量和徐变度，将应变计组和无应力计测值转换为实际应力。 三峡大学对无应力计测值进行了分析，提出了建立无应力计测值统计模型来反演混凝土热膨胀系数和分离自生体积变形，由于无应力计测值的统计模型反演的热膨胀系数综合反映了整个温度历程，所以反演值和分离的自生体积变形更可靠。 基于无应力计测值建立的统计模型为 0()()(())t f T f G t ε=+ 01()f T b bT =+ ()()() 331122(1)(1)(1)234(())C t C C t C C t C f G t b e e b e e b e e -+--+--+-=-+-+- 式中：()f T 为温度分量；(())f G t 为自生体积变形分量；i b (0,4i =)为回归系数；i C (1,3i =)为常数，根据回归经验，1C =0.3，2C =0.05，3C =0.005。 在实际混凝土大坝中一般采用6向(四面体)、7向或9向应变计组对大坝的三维空间应变状态进行监测。例如溪洛渡大坝埋设的应变计组为四面体6向应变计组，根据应变计布置的不同，分四面体a 型和四面体b 型应变计组，通过分别引入一个转化矩阵，即可方便地将四面体6向实测应变获得6个实测应变分量，结合应变计组附近的无应力计测值以及应变计组的温度测值，对温度分量做适当修正，得到待转为实际应力的6个应变分量。
以下介绍工程上常用的应变计组测值转化为实际应力的变形法。先介绍一维应力状态下的转化公式，然后将一维应力状态下的公式推广为三维应力状态下的转化公式。 将单轴应变过程线划分成许多时段，根据徐变的概念，每一时刻的应力增量都将引起该时段为加荷龄期的瞬时弹性变形和徐变变形，二者之和为总变形，对以后各时段的应变值都产生影响，计算各个时段的应变增量时都应加以考虑。 根据徐变试验资料计算出每一时段的0τ、1τ、2τ 1n τ-为加荷龄期的总变形线(总变形是徐变变形和瞬时弹性变形之和)。 由徐变的概念可知，某一时刻的实测应变，不仅有该时刻弹性应力增量引起的弹性应变，而且包含在此以前所有应力引起的总变形，因此计算这一时段的应变增量时应加以扣除。 在计算时段之前的总变形影响值，我们称之为“承前应变”，用h ε表示，有 ()1 (,)()t h d c t d d E τστεττττ??=+???? ? 这是计算承前应变的数学式，实际上用下面的近似式计算 1 01(,)()n h i n i i i c E εστττ-=?? =?+???? ∑ 上式表示时段1~n n ττ-之前的承前应变，式中12 n n n τττ-+=是时段中点的 龄期。 在龄期n τ的应力增量应为
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为
应力坐标变换 进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下： 式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。 计算最后得到的公式为： dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2 dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dz dz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dz Tx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n 1*n2*dz Ty’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n 2*n3*dz Tx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*
§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量 学习思路: 一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。 本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。 应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。 根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。 转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。 学习要点： 1. 坐标系的变换； 2. 坐标平面的应力矢量;
①叶片离心拉应力计算 1)对于涡轮增压器来说，等截面叶片根部截面上的拉应力公式为 20m 1=2u a σρσθ+ 2/N m 其中 ρ为叶片的材料密度（3 /kg m ）； m u 为叶片中经处的圆周速度（m/s ）； /m D l θ=为直径叶高比； m D 为叶片平均直径（m ）； l 为叶片高度（m ）； a σ为叶片附加应力，其表示式为： 2222p p t e a m m h m h D A D A u z D A D A πρσ????????=+ ? ????????? ，2/N m 其中 z 为叶轮叶片个数； t D 为叶冠中经（m ）； p D 为叶片凸台或拉筋的中经（m ）； h D 为叶根直径（m ）； e A δ=?为叶冠截面面积（2m ）； p A 为凸台或拉筋的截面积（2 m ）； h A 为叶根截面面积（2m ）； 如果叶片没有设置阻尼拉筋或凸台，则p A =0；如果叶片不带冠，则e A =0；当两者均不存在时，a σ=0. 2)叶片截面面积沿叶高按线性变化时的拉应力计算式： 212113m a u λλσρσθθ+-??=++ ??? 2/N m 式中，/t h A A λ=是叶顶叶根截面比。通常，对压气机叶片，λ=0.3~0.65 3)叶片截面面积沿叶高按某一任意规律变化时，任意一个截面上离心应力可
用数值积分法计算。对于第i 个几面，离心力i σ可按下式计算： 21i i ic i i V r A σρω?=∑ 2/N m 其中 ()112 i i i i im i V A A x A x -?=+?=?为叶片第i 个微段的体积（3m ）； i A 和1i A -为叶片第i 个微段的内径与外径上的截面积（3m ）； ic h i ic r r x x =++?为第i 个微段重心c 的半径（m ）； ()1216i i ic i im A A x x A -+?=?为第i 个微段重心c 离第i 截面的间距（m ）； ω为旋转角速度（rad/s ）； ρ为材料密度（3/kg m ）； ②叶片弯应力计算 1)由气体作用引起的弯矩 作用于叶片任意截面上的气体周向弯矩gu M 可以按下式计算： ()2gu i M B l x =- N m ? 而 ()122um um G B c c zl =+ N/m 式中 i x 为计算截面至叶根的距离（m ）； z 为叶片个数； l 为叶片的高度（m ）； 1um c ，2um c 为叶片中经处、出口气流周向分速（m/s ）； G 为气体流量（kg/s ）。 作用于叶片而难以截面上的气体周向弯矩ga M 的计算公式也表达为： ()2ga i M D l x =- N m ? 而 ()()12122m a a r G D c c p p zl z π=-+- N/m 式中 1a c ，2a c 为叶片进、出口中经截面上的周向分速（m/s ）； 1p ，2p 为叶片进、出口中经截面上的气体压力（2 /N m ）；
热处理变形： 一:钢的内应力及应力变形: 1.热应力:冷却初期表面为拉应力,心部为压应力.冷却最终则是表面为压应力,心部为拉应力. 组织应力:冷却初期表面为压应力,心部为拉应力.冷却最终则是表面为拉应力,心部为压应力. 附加应力:因表面和心部组织结构的不均匀性及钢件内部的弹塑性变形不一致形成的内应力. 局部淬火或表面淬火:表层呈现压应力,中心呈现拉应力. 渗碳件淬火:冷却初期表面为拉应力,心部为压应力.冷却最终则是表面为压应力,心部为拉应力.(最大的压应力不在渗碳层的最外层,而存在于渗碳层表面以里约50-60%的深度处,此处碳浓度低于0.5%). 2.影响钢的内应力的因素: 1)钢的化学成分的影响: 在全淬透的情况下,试样表层和中心显现压应力,中间层显现拉应力,故表层的应力分布以热应力为主,而内部则以组织应力主.随着含碳量的增加,热应力减弱,组织应力逐渐增强,因此表层的压应力减小,中间层的拉应力略有下降,心部的压应力则增大,且中间层的拉应力最大值随含碳量的增加而移向表层.因切向应力较大,故对高碳钢极易产生纵向裂纹. 在未淬透的情况下,钢件表层为压应力,心部为拉应力.淬透性愈小,表层压应力愈大. Ms点温度较高的钢,热应力作用较强烈,残余拉应力最大值移向中心,表层显现压应力. 2)淬火工艺的影响: 淬火加热温度愈高,产生的淬火应力愈大,但径向应力变化较小,切向和轴向应力变化较大.加热温度高,还易于造成钢的过热,即组织粗大化而导致脆性增大,易引起开裂. a:水淬钢全部淬透时,其应力分布为表面和心部呈压应力,中间区域呈拉应力,即属于热应力和组织应力重叠型的分布规律.当中心未淬透时,表面被淬火部分受压应力,中心受拉应力作用. b:油中全淬透时,表层具有拉应力,心部为压应力,即属于单一的组织应力分布规律.未淬透时,表层具有压应力,心间为拉应力,但应力变化较缓和. c:在穿透淬火时,水淬钢的最大拉应力值显现在钢件表面附近,油淬钢的拉应力显现在钢的表面.这种表面附近的拉应力是形成淬火裂纹的主要危险.这时切向应力大于轴向应力,易形成纵向裂纹. 3)钢件尺寸大小和形状的影响: 内孔直径很小的圆套筒的淬火应力是内孔的表面和外表面具有压应力,中间层为拉应力.内孔直径稍大时,随壁厚的减小热应力的影响急剧减小,从而其残余应力的分布是内表面和外表面具有拉应力,中间层具有压应力.在淬火效果差时,内表面产生的拉应力将很大,故内径小的高碳钢套筒内壁易产生淬火裂纹.内径进一步增大,壁厚进一步减小时,组织应力的影响增强,热应力分布减弱,则总的淬火应力趋于降低. 4)钢件表面脱碳的影响:脱碳使得钢伯的脱碳层具有拉应力. 脱碳层浓度不同,其应力分布也有差别:随脱碳层浓度的增加,表面的切向应力由压应力转变为拉应力.轴向应力则随脱碳层浓度的增加,开始为拉应力而后转为压应力.
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功 率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件 横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标 距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ，脆性材料 ，塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所 求点到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同（如阶梯轴）时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力， ，33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
I D (d
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，
一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。 应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。 当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。 容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。 假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为 如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系: 其中，l i，m i，n i表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。 返回如果用 表示同一点在新坐标系下的应力分量
。 作斜截面ABC与x'轴垂直，其应力矢量为p n，则 根据应力矢量与应力分量的表达式 返回设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量， 如图所示。 将p n ，即p x'向x'轴投影就得到σ x'； 向y'轴投影就得到τ x'y'； 向z'轴投影就得到τ x'z'； 所以
将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y，z方向，则可以得到转轴公式 注意到, τx'y' =τy'x' , τy'z' =τz'y' , τx'z' =τz'x'。 用张量形式描述，则上述公式可以写作 应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。 应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。 对于平面问题，如Ox 轴与Ox'成 ?角。则新旧坐标系
热处理变形 工件的热处理变形—主要是由于热处理应力造成的。工件的结构形状、原材料质量、热处理前的加工状态、工件的自重以及工件在炉中加热和和冷却时的支承或夹持不当等因素也能引起变形。 凡是牵涉到加热和冷却的热处理过程,都可能造成工件变形。但是,淬火变形对热处理质量的影响最大。严重的淬火变形往往很难通过最后的精加工加以修正,即使对淬火变形的工件能够进行校正和机加工修整,也会因而增加生产成本。工件热处理后的不稳定组织和不稳定的应力状态,在常温和零下温度,长时间放置或使用过程中,逐渐发生转变而趋于稳定,也会伴随引起工件的变形,这种变形称为时效变形。时效变形虽然不大,但是对于精密零件和标准量具也是不允许的。 工件的热处理变形分为尺寸变化(体积变形)和形状畸变两种形式。尺寸变形归因可相变前后比体积差引起工件的体积改变,形状畸变则是由于热处理过程中,在各种复杂应力综合作用下,不均匀的塑性变形造成的。这两种形式的变形很少单独存在,但是对具体工件和热处理工艺,可能以一种形式的变形为主。 1>工件热处理的尺寸变化 不同的组织具有不同的体积。常见组织的比体积表如下; 组织wc(％) 室温下的比体积/ (cm3/g) 奥氏体0—2 0.1212+0.0033(C％) 马氏体0---2 0.1271+0.0025(C％) 铁素体0---0.02 0.1271 渗碳体 6.7+-0.2 0.130+-0.001 ∈-碳化物8.5+-0.7 0.140+-0.002 石墨100 0.451 铁素体+渗碳体0---2 0.1271+0.0005(C％) 低碳马氏体+∈-碳化物0---2 0.1277+0.0015(C％-0.25) 铁素体+∈-碳化物0---2 0.1271+0.0015(C％) 工件在热处理加热和冷却过程中,由于相变引起的体积差造成的体积变形。 碳钢组织转变引起的尺寸变化 组织转变体积变化(％) 尺寸变化(％) 球状珠光体->奥氏体- 4.64+2.21(wc) - 0.015+0.0074(wc) 奥氏体->马氏体 4.64 – 0.53 (wc) - 0.0155+0.0018(wc) 球状珠光体->马氏体 1.68 (wc) 0.0056(wc％) 奥氏体->下贝氏体 4.64 – 1.43 (wc) 0.0156 – 0.0048(wc) 球状珠光体->下贝氏体0.78 (wc) 0.0026(wc) 奥氏体->铁素体->渗碳体 4.64 – 2.21(wc) 0.0155 – 0.0074(wc) 球状珠光体->铁素体->渗碳体0 0
地应力计算公式 （一）、井中应力场的计算及其应用研究（秦绪英，陈有明，陆黄生 2003年6月） 主应力计算 根据泊松比μ、地层孔隙压力贡献系数V 、孔隙压力0P 及密度测井值b ρ可以计算三个主应力值： ()001H v A VP VP μσσμ??=+-+??-?? ()001h v B VP VP μσσμ??=+-+??-?? H v b dh σρ=?? 相关系数计算： 应用密度声波全波测井资料的纵波、横波时差（p t ?、s t ?）及测井的泥质含量sh V 可以计算泊松比μ、地层孔隙压力贡献系数V 、岩石弹性模量E 及岩石抗拉强度T S 。 ① 泊松比 22 2 20.52()s p s p t t t t μ?-?=?-? ② 地层孔隙压力贡献系数 22222(34)12() b s s p m ms mp t t t V t t ρρ??-?=-?-? ③ 岩石弹性模量 222 2234s p b s s p t t E t t t ρ?-?=???-? ④ 岩石抗拉强度 22 (34)[(1)]T b s p sh sh S a t t b E V c E V ρ=???-????-+?? 注：,,,m ms mp t t ρρ??分别为密度测井值，地层骨架密度，横波时差和纵波时差值。,,a b c 为地区试验常数。 其它参数 不同地区岩石抗压强度参数是参照岩石抗拉强度数值确定,一般是8～12倍,也可以通过岩心测试获得。岩石内摩擦系数及岩石内聚力是岩石本身固有特性参数,可以通过测试分析获得。地层孔隙压力由地层水密度针对深度积分求取,或者用重复地层测试器RFT 测量。也可以通过地层压裂测试获得,测试时,当井孔压力下降至不再变化时,为储层的孔隙压力。
材料力学重点及其公式 材料力学的任务变形固体的基本假设外力分类：（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2 ）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力：P Hm —E 兰正应力、切应力。 应变。 杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转; 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷变化的载荷为动 载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限 关系为：。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：l 皿 EA 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部 未知力。 圆轴扭转时的应力变形几何关系一圆轴扭转的平面假设d_ 。物理关系——胡克定律 d G G 。力学关系T °d_dx dA 2G d G2 dA圆轴扭转时的应力: dx A A dx dx A max T R T；圆轴扭转的强度条件： I p W t T max W t []，可以进行强度校核、截面设计和确 变形与应变：线应变、切 （4）弯曲；（5）组合变形。动载荷： 载荷和速度随时间急剧 s时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: n3 b n b ，强度条件: max max ，等截面杆max A 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为: l l1l，沿轴线方向的应变和横截面上 的应力分别为: l N P 站b 。横向应变为： l 'A A b E ，这就是胡克定律。E 色-，横向应变与轴向应变的b
常用力学计算公式统计 一、材料力学： 1.轴力（轴向拉压杆的强度条件） σmax=N max/A≤[σ] 其中，N为轴力，A为截面面积 2.胡克定律（应力与应变的关系） σ=Eε或△L=NL/EA 其中σ为应力，E为材料的弹性模量，ε为轴向应变， EA为杆件的刚度（表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力） 3.剪应力（假定剪应力沿剪切面是均匀分布的） τ=Q/A Q 其中，Q为剪力，A Q为剪切面面积 4.静矩（是对一定的轴而言，同一图形对不同的坐标轴 的静矩不同,如果参考轴通过图形的形心，则x c=0， y c=0，此时静矩等于零） 对Z轴的静矩S z=∫A ydA=y c A 其中：S为静矩，A为图形面积，y c为形心到坐标轴的 距离，单位为m3。 5.惯性矩 对y轴的惯性矩I y=∫A z2dA 其中：A为图形面积，z为形心到y轴的距离，单位为
m4 常用简单图形的惯性矩 矩形：I x=bh3/12，I y=hb3/12 圆形：I z=πd4/64 空心圆截面：I z=πD4（1-a4）/64，a=d/D （一）、求通过矩形形心的惯性矩 求矩形通过形心，的惯性矩I x=∫Ay2dA dA=b·dy，则I x=∫h/2-h/2y2（bdy）=[by3/3]h/2-h/2=bh3/12 （二）、求过三角形一条边的惯性矩
I x=∫Ay2dA，dA=b x·dy，b x=b·（h-y）/h 则I x=∫h0（y2b（h-y）/h）dy=∫h0（y2b –y3b/h）dy =[by3/3]h0-[by4/4h]h0=bh3/12 6.梁正应力强度条件（梁的强度通常由横截面上的正应 力控制） σmax=M max/W z≤[σ] 其中：M为弯矩，W为抗弯截面系数。 7.超静定问题及其解法 对一般超静定问题的解决办法是：（1）、根据静力学平衡条件列出应有的平衡方程；（2）、根据变形协调条件列出变形几何方程；（3）、根据力学与变形间的物理关系将变形几何方程改写成所需的补充方程。 8.抗弯截面模量
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
碳钢热处理后的组织（金相分析） 一、概述 碳钢经退火、正火可得到平衡或接近平衡组织，经淬火得到的是非平衡组织。因此，研究热处理后的组织时，不仅要参考铁碳相图，而且更主要的是参考钢的等温转变曲线（C曲线）。 铁碳相图能说明慢冷时合金的结晶过程和室温下的组织以及相的相对量，C曲线则能说明一定成分的钢在不同冷却条件下所得到的组织。C曲线适用于等温冷却条件；而CCT曲线（奥氏体连续冷却曲线）适用于连续冷却条件。在一定的程度上可用C曲线，也能够估计连续冷却时的组织变化。 1、共析钢等温冷却时的显微组织 共析钢过冷奥氏体在不同温度等温转变的组织及性能列于表1中。 2、共析钢连续冷却时的显微组织 为了简便起见，不用CCT曲线，而用C曲线（图1）来分析。例如共析钢奥氏体，在 慢冷时（相当于炉冷，见图1中的υ1）应得到100%的珠光体；当冷却速度增大到υ2时
（相当于空冷），得到的是较细的珠光体，即索氏体或屈氏体；当冷却速度增大到υ3时（相当于油冷），得到的为屈氏体和马氏体；当冷却速度增大至υ4、υ5（相当于水冷），很大的过冷度使奥氏体骤冷到马氏体转变开始点（Ms）后，瞬时转变成马氏体，其中与C曲线鼻尖相切的冷却速度（υ4）称为淬火的临界冷却速度。 图1 图2 3、亚共析钢和过共析钢连续冷却时的显微组织 亚共析钢的C曲线与共析钢相比，只是在其上部多了一条铁素体先析出线，如图2所示。 当奥氏体缓慢冷却时（相当于炉冷，如图2中υ1），转变产物接近平衡组织，即珠光体和铁素体。随着冷却速度的增大，即υ3>υ2>υ1时，奥氏体的过冷度逐渐增大，析出的铁素体越来越少，而珠光体的量逐渐增加，组织变得更细，此时析出的少量铁素体多分布在晶粒的边界上。 因此，v1的组织为铁素体+珠光体；v2的组织为铁素体+索氏体；v3的组织为铁素体+屈氏体。 当冷却速度为v4时，析出很少量的网状铁素体和屈氏体（有时可见到少量贝氏体），奥氏体则主要转变为马氏体和屈氏体（如图3）；当冷却速度v5超过临界冷却速度时，钢全部转变为马氏体组织（如图6，图7）。 过共析钢的转变与亚共析钢相似，不同之处是后者先析出的是铁素体，而前者先析出的是渗碳体。 4、各组织的显微特征 （1）索氏体（s）：是铁素体与渗碳体的机械混合物。其片层比珠光体更细密，在高倍（700倍以上）显微放大时才能分辨。 （2）托氏体（T）也是铁素体与渗碳体的机械混合物，片层比索氏体还细密，在一般光学显微镜下也无法分辨，只能看到如墨菊状的黑色形态。当其少量析出时，沿晶界分布，呈黑色网状，包围着马氏体；当析出量较多时，呈大块黑色团状，只有在电子显微镜下才能分辨其中的片层（见图3）；
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.doczj.com/doc/be16702197.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9) 1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁 弯曲强度条件：[]σσ≤=W M max max ；剪切强度条件：[]τρτρ≤?= b I S F z Q * max ,max 刚度条件：挠度 ?? ? ???≤l y l y max ；转角[]??≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
一变形的原因 钢的变形主要原因是钢中存在内应力或者外部施加的应力。内应力是因温 度分布不均匀或者相变所致，残余应力也是原因之一。外应力引起的变形主要 是由于工件自重而造成的“塌陷”，在特殊情况下也应考虑碰撞被加热的工件，或者夹持工具夹持所引起的凹陷等。变形包括弹性变形和塑性变形两种。尺寸 变化主要是基于组织转变，故表现出同样的膨胀和收缩，但当工件上有孔穴或 者复杂形状工件，则将导致附加的变形。如果淬火形成大量马氏体则发生膨胀，如果产生大量残余奥氏体则相应的要收缩。此外，回火时一般发生收缩，而出 现二次硬化现象的合金钢则发生膨胀，如果进行深冷处理，则由于残余奥氏体 的马氏体化而进一步膨胀，这些组织的比容都随着含碳量的增加而增大，故含 碳量增加也使尺寸变化量增大。 二淬火变形的主要发生时段1加热过程：工件在加热过程中，由于内应力逐渐 释放而产生变形。2保温过程：以自重塌陷变形为主，即塌陷弯曲。3冷却过程：由于不均匀冷却和组织转变而至变形。三加热与变形 当加热大型工件时，存在残余应力或者加热不均匀，均可产生变形。残余 应力主要来源于加工过程。当存在这些应力时，由于随着温度的升高，钢的屈 服强度逐渐下降，即使加热很均匀，很轻微的应力也会导致变形。 一般，工件的外缘部位残余应力较高，当温度的上升从外部开始进行时， 外缘部位变形较大，残余应力引起的变形包括弹性变形和塑性变形两种。 加热时产生的热应力和想变应力都是导致变形的原因。加热速度越快、工 件尺寸越大、截面变化越大，则加热变形越大。热应力取决于温度的不均匀分 布程度和温度梯度，它们都是导致热膨胀发生差异的原因。如果热应力高于材 料的高温屈服点，则引起塑性变形，这种塑性变形就表现为“变形”。 相变应力主要源于相变的不等时性，即材料一部分发生相变，而其它部分 还未发生相变时产生的。加热时材料的组织转变成奥氏体发生体积收缩时可出 现塑性变形。如果材料的各部分同时发生相同的组织转变，则不产生应力。为此，缓慢加热可以适当降低加热变形，最好采用预热。 此外，由于加热中因自重而出现“塌陷”变形的情况非常多，加热温度越高，加热时间越长，“塌陷”现象越严重。 四冷却与变形 冷却不均时将产生热应力导致变形发生。因工件的外缘和内部存在冷却速 度差异，该热应力是不可避免的，淬火情况下，热应力与组织应力叠加，变形 更为复杂。加之组织的不均匀、脱碳等，还会导致相变点出现差异，相变的膨 胀量也有所不同。 总之，“变形”是相变应力和热应力共同所致，但并非全部应力都消耗在 变形上，而是一部分作为残余应力存在于工件中，这种应力就是导致时效变形 和时效裂纹的原因。
曲梁正应力公式推导 1013102班第1小组 摘要：材料力学中给出了运用胡克定律推导出的直梁在纯弯曲时的正应力计算公式，若将其运用到曲梁中会有一定的误差。运用胡克定律推导出曲梁的正应力公式，与弹性力学中给出的的公式加以比较，并推导出当曲梁的形心轴曲率半径趋于无穷时，公式转化为直梁正应力公式，得到误差很小的曲梁正应力公式。 关键词：曲梁；正应力 Abstract:mechanics of materials gives the calculation of formula of normal stress of straight beam deduced in pure bending by using Hooke's law ,If applied it to the curved beam will have the certain error.Deduce the calculation formula of normal stress of curved beam by usingHooke'slaw,compared with the elastic mechanics'calculation formula and when the radius of curvature of the Shape heart shaft becomes infinite,the calculation formula translates into calculation formula of normal stress of curved beam,to get the calculation formula of normal stress of curved beam whose Error is very small. Key words：curved beam；normal stress 1.推导曲梁正应力公式。 建立如下图示坐标系：