9.（北京卷2）若0.52a =，πlog 3b =，22π
log sin 5
c =，则（ A ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D )
（Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C )
（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）
132 （Ｄ）2
13
13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是（ A ） （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤）
14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程
log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ B ）
（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若
()1f m =-，则m 的值是（ B ）
A ．e -
B ．1
e
-
C ．e
D ．1e
17.（安徽卷11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足
()()x
f x
g x e
-=，则有（ D ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f <<
18.（山东卷3）函数y ＝lncos x (-
2π＜x ＜)2
π
的图象是
A
19.（山东卷4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为A
(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1
20.（江西卷3）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1
()()()
F x f x f x =+的值
域是B
A ．1[,3]2
B ．10[2,]3
C ．510[,]23
D ．10[3,]3
21.（江西卷6）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ
内的图象是 D
22.（江西卷12）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是B
A
B
-C
D
-
A ． (0,2)
B ．(0,8)
C ．(2,8)
D ． (,0)-∞
23.（湖北卷4）函数1
()f x x
=
的定义域为D A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)- C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-
24.（湖北卷7）若21
()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值
范围是C
A. [1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. (,1)-∞-
25.（湖北卷13）已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 . ? 26.（湖南卷10）设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［5
4
］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1)
,(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=
--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32??
????
时，
函数x n C 的值域是( D )
A.16,283??
????
B.16,563??
????
C.284,3??
? ???
[)28,56 D.16284,,2833????? ??????
27.（陕西卷7）已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ A ） A ．2-
B ．1
C ．4
D ．10
28.（陕西卷11）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy
+=++（x y ∈R ，），(1)
2f =，则(3)f -等于（ C ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
29.（重庆卷4)已知函数M ,最小值为m ,则m
M
的值为（ C ）
A ．14
B ．
12
C ．
2
D ．
2
30.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有
f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是C A.f (x )为奇函数
B.f (x )为偶函数
C. f (x )+1为奇函数
D.f (x )+1为偶函数
31.（福建卷4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为B A.3
B.0
C.-1
D.-2
32.（福建卷12)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么
y =f (x ),y =g (x )的图象可能是D
33.（广东卷7）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3
a >-
D ．1
3
a <-
34.（辽宁卷6）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾
斜角的取值范围为04π??
????，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）
A ．112?
?--???
?，
B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．112??
????
，
35.（辽宁卷12）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满
足3()4x f x f x +??
= ?+??
的所有x 之和为（ C ）
A ．3-
B ．3
C ．8-
D ．8
二． 填空题：
1.（上海卷4）若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ 2
2.（上海卷8）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，
f (x )＝l
g x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 (－1,0)∪(1,+∞) 3.（上海卷11）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝
1
x
的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i
)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是
(－∞, －6)∪(6,+∞);
4.（全国二14）设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则
a = ．2
5.（北京卷12）如图，函数()f x 的图象是折线段
ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，
则((0))f f = 2 ；0
(1)(1)
lim x f x f x
?→+?-=? －
2 ．（用数字作答）
6.（北京卷13）已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22??
-????
，上的任意12x x ，，有如
下条件：①12x x >； ②22
12x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的
条件序号是 ② ．
7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ?????
??????
--?????=+- ? ???????
，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 (12)， ；第2018
棵树种植点的坐标应为 (3402)，
． 8.（安徽卷13）
函数2()f x =的定义域为 ．[3,)+∞
9.（江苏卷8）直线1
2
y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ．ln2－1．
10.（江苏卷14）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则
a = ．4
11.（湖南卷13）设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 . (-1,2) 12.（湖南卷14
）已知函数()1).f x a =
≠ （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ; 3,a ?
?-∞ ??
?
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
()(],01,3-∞?
13.（重庆卷13)已知1
2
4
9a =
(a>0) ，则23
log a = .3 14.（浙江卷15）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。1
15.（辽宁卷13）函数100x x x y e x +
x x y x x -
， ≥
三． 解答题：
1.（全国一19）．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???
，内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '=++ 当2
3a
≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增
当2
3a >，()0f x '=
求得两根为3
a x -±=
即()f x
在3a ?--∞ ???，
递增，33a a ?--+ ???，递减，
?
+∞????递增 （2
）2
31
3--，且2
3a
>解得：74
a ≥
2.（全国二22）．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos x
f x x
=
+．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围． 解：
（Ⅰ）22
(2cos )cos sin (sin )2cos 1
()(2cos )(2cos )
x x x x x f x x x +--+'=
=++． ····························· 2分 当2π2π2π2π33k x k -
<<+（k ∈Z ）时，1
cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2
x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ?
?-
+ ???
，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ?
?++ ??
?，（k ∈Z ）是减函数．
····························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则
2
2cos 1()(2cos )
x g x a x +'=-
+ 2
23
2cos (2cos )a x x =-
+++
2
11132cos 33a x ?
?=-+- ?+??
．
故当1
3
a ≥
时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ························ 9分 当1
03
a <<
时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >．
于是，当(0arccos3)x a ∈，
时，sin sin ()2cos 3
x x
f x ax x =>>+．
当0a ≤时，有π1
π022
2f a ??=>
?
?? ≥． 因此，a 的取值范围是1
3
??+∞????
，． ··································································· 12分 3.（北京卷18）．（本小题共13分） 已知函数2
2()(1)x b
f x x -=
-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．
解：24
2(1)(2)2(1)
()(1)x x b x f x x ----'=-
3222
(1)x b x -+-=
-
3
2[(1)]
(1)x b x --=-
-．
令()0f x '=，得1x b =-．
当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：
当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：
2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .
答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得00， －2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ， f 3＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115， 解得a ＝2. 答案：C 7．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时， xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
2018年高考数学—导数专题
导数 (选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x x在x＝ π 2处的切线方程为() A.y＝0 B.y＝2π C.y＝－ 4 π2 x＋ 4 π D.y＝ 4 π2 x 解析∵y′＝x cos x－sin x x2，∴y′|x＝ π 2＝－ 4 π2 ， 当x＝π 2时，y＝ 2 π ， ∴切线方程为y－2 π ＝－ 4 π2? ? ? ? ? x－ π 2 ，即y＝－ 4 π2 x＋ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)＝(2x＋1)e x， 所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x， 所以f′(0)＝3e0＝3. (2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析y′＝a－ 1 x＋1 ，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2， 所以a＝3. (2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为() A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴?????y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1 x ，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由?????y ＝2x －1，y ＝ax 2 ＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1. 设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由?????2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得???x 0＝－12，a ＝8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12
由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =
高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。
2021年高考数学专题03 导数及其应用 (原卷版)
专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A ， B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图 所示，则一定有 A ．两机关单位节能效果一样好 B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好 C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大 D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． 【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B 1．平均变化率
函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --，若21x x x ?=-，2()y f x ?=-1()f x ，则平 均变化率可表示为y x ??. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在 t 到t t +?这段时间内，当t ?无限趋近于0时， s t ??无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】见解析. 【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001 5005 -=-， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15101 70504 -=-， ∴h BC >h AB ， ∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多． 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P (2,8)作曲线3 y x =的切线，则切线方程为 A ．12160x y --= B ．320x y -+=
最新高考文科数学导数全国卷(2012-2018年)
导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f(x)= e x－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间 (Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围.
5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数. （I ）当时，求曲线在处的切线方程； (II)若当时，，求的取值范围. ()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a
6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间； (Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 2017.（12分） 已知函数) f x （a e2x+(a﹣2) e x﹣x. f x的单调性； （1）讨论() （2）若() f x有两个零点，求a的取值范围.
2011年-2018年高考数学导数分类汇编(理)
2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围。 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知ln 1 1x x x ++，所以 22ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1) k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++= 。 (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2 1 ()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2 11 x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k . （ii ）设00,故h ’ （x ）>0,而h （1） =0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2 11 x -h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2 11 x - h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0）
2018年高考理科数学导数及应用100题(含答案解析)
2018年高考理科数学导数及应用模拟题100题（含答案解析） 1. 设函数f （x ）在R 上存在导函数f′（x ），对任意的实数x 都有f （x ）=2x 2﹣f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，f′（x ）+1＜2x ．若f （m+2）≤f （﹣m ）+4m+4，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣，+∞） B ．[﹣，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．[﹣2，+∞） 2. 已知函数f （x ）=ln （e x +e ﹣x ）+x 2 ，则使得f （2x ）＞f （x+3）成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C ．（﹣3，3） D ．（﹣∞，﹣1） ∪（3，+∞） 3. 若2n x x ? ?- ?? ?的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围成 的封闭区域的面积为（ ）． A ．223 B ．12 C ． 323 D ．36 4. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）． A ．3y x = B ．ln()y x =- C ．y D ．2y x x =+ 5. 已知函数f （x ）满足：f （x ）+2f′（x ）＞0，那么下列不等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．f （0）＞e 2f （4） 6. 已知函数f （x ）=x 2+2ax ，g （x ）=3a 2lnx+b ，设两曲线y=f （x ），y=g （x ）有公共点，且在该点处的切线相同，则a ∈（0，+∞）时，实数b 的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ．
2018年高考各地导数大题
（2018年新课标1理）已知函数()1ln f x x a x = -+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()() 12122f x f x a x x -<--． （2018年新课标1文）已知函数()ln 1x f x ae x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e ≥，()0f x ≥．（2018年新课标2理）已知函数()2x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在()0+∞，只有一个零点，求a ． （2018年新课标2文）已知函数()21x ax x f x e +-=．（1）求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥． （2018年新课标3文）已知函数()21x ax x f x e +-=．（1）求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥． （2018年新课标3理）已知函数()() ()22ln 12f x x ax x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
（2018年江苏）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值； （3）已知函数2 ()f x x a =-+，e ()x b g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．（2018年浙江）已知函数x x x f ln )(-=． （1）若)(x f 在)(,2121x x x x x ≠=处导数相等，证明：2ln 88)()(21->+x f x f ； （2）若2ln 43-≤a ，证明：对于任意0>k ，直线a kx y +=与曲线)(x f y =有唯一公共点． （2018年北京理）设函数x e a x a ax x f ]34)14([)(2+++-=． （1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若)(x f 在2=x 处取得极小值，求a 的取值范围．（2018年北京文）设函数x e a x a ax x f ]23)13([)(2+++-=． （1）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的斜率为0，求a ； （2）若)(x f 在1=x 处取得极小值，求a 的取值范围．
2018年高考数学导数小题练习集(一)
2018年高考数学导数小题练习集(一)
2018年高考数学导数小题练习集（一） 1.已知f′（x ）是函数f （x ），（x ∈R ）的导数，满足f′（x ）=﹣f （x ），且f （0）=2，设函数g （x ）=f （x ）﹣lnf 3（x ）的一个零点为x 0，则以下正确的是（ ） A ．x 0∈（﹣4，﹣3） B ．x 0∈（﹣3，﹣2） C ．x 0∈（﹣2，﹣1） D ．x 0∈（﹣1，0） 2.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>， 对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) (0)f f ' 的最小值为 （ ）． A ．3 B ．5 2 C ．2 D ．32 3.函数12 )(,1)(-=+=x e ex x g x x e x f ，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式（k+1）g （x 1）≤kf （x 2）（k ＞0）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．[1,+∞] B．[2,+∞] C．（0，2）D．（0，1] 4.已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f （﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（） A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 5.若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，则k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2] B．C．[2，+∞） D． 6.已知函数f（x）=e x﹣ln（x+a）（a∈R）有唯
2018年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用
专题1 导数 1．（2018全国卷Ⅰ理5）设函数f （x ）=x 3+（a -1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0,0）处的切线方程为（ ） A ．y =-2x B ．y=-x C ．y =2x D ．y=x 2．（2018全国卷Ⅲ理7）函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为（ ） 3．（2018全国卷Ⅱ理10）若f （x ）=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ． π 4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 4．（2018全国卷Ⅲ理14）曲线y =（ax +1）e x 在点（0,1）处的切线的斜率为-2，则a =________． 5．（2018全国卷Ⅱ理13）曲线y =2ln （x +1）在点（0,0）处的切线方程为__________． 6.（2018江苏卷11）若函数f （x ）=2x 3-ax 2+1（a ∈R ）在（0,+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 ． 7．（2018全国卷Ⅰ理16）已知函数f （x ）=2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是_____________． 8．（2018北京文19）设函数f （x ）=[ax 2-（4a +1）x +4a +3]e x . ⑴若曲线y = f （x ）在点（1, f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； ⑵若f （x ）在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 9．（2018全国卷Ⅰ理21）已知函数f （x ）=x 1 -x +alnx ． 图 1 图 2
2019年高考数学全国一卷导数
已知函数f(x)sin x ln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：（1）f(x)在区间(1,) 2 存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 分析：（1）设g(x)f'(x)，则()co s1 g x x 1 ，g(x)在1,存在唯一x2 极大值点的问题就转化为g'(x)在1,有唯一零点，而唯一零点问题 2 经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。 （2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 sin x ln(1x) 。 首先来画一下函数图象。
从图象上可以大致确定零点一个为0 一个在区间, 2 上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：（1）设g( x) f '( x) ，则( ) cos 1 g x x 1 x ， 1 g x . '() sin x 2 (1 x) 当x 1, 时，g' (x) 单调递减，而g' (0) 0, g' ( ) 0 ，可得g' ( x) 在 1, 2 2 2 有唯一零点，设为. x 时，g' (x) 0 . 则当x ( 1, ) 时，g'( x) 0；当, 2 所以g( x) 在( 1, ) 单调递增，在, 单调递减，故g (x) 在1, 存在 2 2 唯一极大值点，即 f '( x) 在1, 存在唯一极大值点. 2 （2）f (x) 的定义域为( 1, ) . （i）当x ( 1,0]时，由（1）知，f ' (x) 在( 1,0) 单调递增，而f ' (0) 0 ，所以当x ( 1,0) 时， f '( x) 0，故 f (x) 在( 1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ， 从而x 0是f (x) 在( 1,0] 的唯一零点. （ii）当x 0, 时，由（1）知， f '(x) 在(0, ) 单调递增，在, 2 2 单 调递减，而 f ' (0)=0 ，0 f ' ，所以存在, 2 ，使得 f '( ) 0 ，
圆锥曲线、导数2018全国高考数学分类真题(含答案)
圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案） 一．选择题（共7小题） 1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线 交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（） A．B．2 C．D． 4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D． 5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线 的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（） A．B．3 C．2 D．4 7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 二．填空题（共6小题）
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为． 9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为． 10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大． 11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= ． 12．曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=． 13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为． 三．解答题（共13小题） 14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程． 16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B
2018年广东高考数学-导数
2018年广东高考数学-导数 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0） ，比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限， 我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，
2018年全国高考卷数学导数解答题含答案
2018年全国I-III 文理数学卷导数解答题 1、(2018年全国I 理）已知函数1()ln f x x a x x = -+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()1212 2f x f x a x x -<-- 解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222 11()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,) +∞单调递减. （ii ）若2a >，令()0f x '= 得，x = 或x =. 当)x ∈+∞U 时，()0f x '<； 当(22a a x ∈时，()f x '>.所以()f x 在)+∞ 单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >. 由于()f x 的两个极值点12,x x 满足2 10x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于 12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于222 12ln 0x x x -+<. 设函数1()2ln g x x x x = -+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从
而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x -+<，即1212 ()()2f x f x a x x -<--. 2、(2018年全国I 文）已知函数()e ln 1x f x a x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1e a ≥时，()0f x ≥． 解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x ． 由题设知，f ′（2）=0，所以a = 212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x -． 当02时，f ′（x ）>0． 所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --． 设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x '=-． 当01时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1e a ≥时，()0f x ≥． 3、(2018年全国II 理）已知函数2()e x f x ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤． 设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．
