35 5.916079783
35 51
2016年北师大新版八年级数学上册同步练习：2.2 平方根 一、选择题（共18小题） 1．16的平方根是（ ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 2．25的算术平方根是（ ） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 3．4的算术平方根是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 4．4的算术平方根是（ ） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 5．9的平方根是（ ） A．±3 B．± C．3 D．﹣3 6．下列说法正确的是（ ） A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3 7．±2是4的（ ） A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根 8．（﹣3）2的平方根是（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
9．a2的算术平方根一定是（ ） A．a B．|a| C． D．﹣a 10．数5的算术平方根为（ ） A． B．25 C．±25 D．± 11．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（ ） ①m是无理数； ②m是方程m2﹣12=0的解； ③m满足不等式组 ； ④m是12的算术平方根． A．①② B．①③ C．③ D．①②④ 12． 的算术平方根是（ ） A．﹣2 B．±2 C． D．2 13．己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为 （ ） A．1dm B． dm C．
dm D．3dm 14．9的算术平方根是（ ）A．﹣3 B．±3 C．3 D． 15．下列各式正确的是（ ）A．﹣22=4 B．20=0 C． =±2 D．|﹣ |= 16． 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C． D．± 17．8的平方根是（ ） A．4 B．±4 C．2 D． 18．） 的平方根是（ ） A．±3 B．3 C．±9 D．9 二、填空题（共12小题） 19．81的平方根为 ．20．4是 的算术平方根．21．实数4的平方根是 ．
第16章《数的开方》单元测试卷 一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ） A 、5 B 、–5 C 、5± D 、5± 2、2 )3(-的算术平方根是（ ） A 、9 B 、–3 C 、3± D 、3 3．-8的立方根是（ ） A ．±2 B ．-2 C ．2 D ．不存在 4、下列叙述正确的是（ ） A 、0.4的平方根是2.0± B 、3 2）（-- 的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 5、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=± B 、 15 11 225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=- 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥x B 、2 11．下列各数：3.141592 ，- 3 ，0.16 ，0.01 ，–π，0.1010010001…， 22 7， 3 5 ， 0.2 ，8 中无理数的个数是（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．a=15，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（） A． B． C． D． 13．一个正数的算术平方根是a，那么比这个正数大2的数的算术平方根是（） A．a2+2 B．±a2+2 C．a2+2 D．a+2 14．下列说法正确的是（） A．27的立方根是3，记作27=3 B．-25的算术平方根是5 C．a的立方根是± a D．正数a的算术平方根是 a 15．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17是17的平方根，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．把-1.6、- 2 π 、3 2、2 3、0从小到大排列（）． （A）-1.6＜- 2 π ＜0＜3 2＜2 3（B）-1.6＜- 2 π ＜0＜2 3＜3 2 （C）- 2 π ＜-1.6＜0＜2 3＜3 2（D）- 2 π ＜-1.6＜0＜3 2＜2 3 2．下列各式中错误的是（）． （A）6.0 36 .0± = ±（B）6.0 36 .0=（C）2.1 44 .1- = -（D）2.1 44 .1± = 3．若()2 27.0 - = x，则= x（）． （A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49 4．36的平方根是（）．（A）6 （B）±6 （C）6（D）6 ±5．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）． （A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或0 7．下列说法中，正确的是（）． （Ａ）27的立方根是3，记作27=3 （B）-25的算术平方根是5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 2.3平方根（2）教案 班级姓名学号 教学目标：了解数的算术平方根的概念．会用根号表示一个数的算术平方根。 能运用算术平方根解决实际问题。 重难点：根据一个数的算术平方根的意义解决有关问题。 教学过程： 一、情境创计 面积为15m2正方形的长是多少？等腰直角三角形的一直角长为5cm，则 二、课前预习与导学 正数a有2个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。 例如，4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根 ?4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根，记作2 =2， ?2的平方根是“±2”，2叫做2的算术平方根， ?0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根， ?即±0 =0 三、新课 交流： 1． 16的算术平方根的平方根是什么？ 5的算术平方根是什么？ 2、 0的算术平方根是什么？ 0的算术平方根有几个？ 3、 -2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？ 例1：求下列各数的算术平方根： ?（1）625；（2）0.81； ?（3）6；（4）（-2）2 ? (5) (6) ? 应用： 例2：“欲穷千里目，更上一层楼”。说的是登的高看得远。若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d≈hR，其中R是地球半径（通常取6400km），小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20M，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多远？ 探究 正数a的算术平方根的取值范围？ （由学生交流讨论） 四、课堂巩固练习： 1、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是。 ?2、若x2=16，则5-x的算术平方根是。 ?3、若4a+1的平方根是±5，则a2的算术平方根是。 ?4、的平方根等于，算术平方根等于。 ? 5、若|a-9|+ =0，则的平方根是。 ?6、，算术平方根是。 ?7、已知△ABC的三边分别是a、b、c， ?且 b2-4b+4=0，求c的取值范围。 ? 8、已知y= + +3，求xy的算术平方根。 ?9、在△ABC中，∠C=90°. ?(1)如果AC=5,BC=12,求AB; ?(2)如果AC=2,BC=1,求AB; ?(3)如果AB=25,BC=24,求AC; ?(4)如果AC=5,AB=12,求BC; 五、小结与思考：平方根与算术平方根的区别与联系 六、作业布置：补充习题2.3 2 4 5 1．计算： 2．（8分）.计算：（1） （2） 3．计算： 4．计算（12分） （1）－26－（－5）2÷（－1）； （2）； （3）－2（－）＋│－7│ 5．（每小题4分，共12分） （1）； （2）； （3）． 6．（9分）如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的小正方形． （1）用、、表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长的值． 7．计算： 8．（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）计算：+－；（2）已知：(x－1)2＝9，求x的值． 9．（8分）（1）计算：．（2）已知，求的值． 10．计算： 11．用计算器计算，，，． (1)根据计算结果猜想(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)由此你可发现什么规律？把你所发现的规律用含n的式子(n为大于1的整数)表示出来． 12．如果a为正整数，为整数，求a可能的所有取值． 13．若△ABC的三边长分别是a、b、c，且a与b满足，求c的取值范围． 14．若（a－1）2＋|b－9|＝0，求的平方根． 15．求下列各式中x的值． （1）（x＋1）2＝49； （2）25x2－64＝0（x＜0）． 16．一个正数a的平方根是3x－4与2－x，则a是多少？ 17．如果一个正数的一个平方根是4，那么它的另一个平方根是多少？ 18．求下列各数的平方根． （1）6.25；（2）；（3）；（4）（－2）4． 19．求下列各式中x的值： (1)169x2＝100； (2)x2－3＝0； (3)(x＋1)2＝81． 20．已知，则的整数部分是多少？如果设的小数部分为b，那么b是多少？ 21．已知2a－1的算术平方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，求ab的值．22．如果，求x＋y的值． 23．如果9的算术平方根是a，b的绝对值是4，求a－b的值． 24．已知3x－4是25的算术平方根，求x的值． 25．物体从高处自由下落，下落的高度h与下落时间t之间的关系可用公式表示，其中g＝10米／秒2，若物体下落的高度是180米，则下落的时间是多少秒？ 26．用计算器计算：≈________．(结果保留三个有效数字) 平方、平方根 平方根平方 1.414 1.732 2.236 2.449 2.646 3.162 3.317 3.606 4.123 4.359 = = = = = = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11121 12144 13169 14196 15225 16256 17289 18324 19361 = = = = = = = = = ---------------------------------------------- 如何手动开平方 以1156为例，根据两数和的平方公式，可以得到： 222 22 1156(30)30230 115630230 256(203) a a a a a a a =+=+??+ -=??+ =?+? 这就是说，a是这样一个正整数，它与20×3的和， 再乘以它本身，等于256． 根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以 20×3，得4(如果未除尽则取整数位).由于4与20×3的 和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖 式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 2 115634 = 34 =. 上述求平方根的方法，称 为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术 平方根，它的计算步骤如下： 开方的计算步骤 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位 划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段， 表示所求平方根是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位 上的数（竖式中的3）； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们 的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的 256）； 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数， 所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大 整数是4，即试商是4）； 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试 商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的 第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试 （竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根 的第二位数）； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的 数． 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它 的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上 面右边的竖式，并根据这个竖式得到。 ------------------------------------------------- 手动开平方举例： 在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。 一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义 我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b的系数矩阵A是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义： 1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质： 1) 正定矩阵A是非奇异的 2) 正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵A的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A的特征值均大于零 5) 正定矩阵A的行列式必为正数 定义一线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么Ax=b是对称正定线性方程组。 定义二如果方阵A满足A=AT，那么A是对称阵。 2.1.4 平方根法和改进的平方根法 如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理： 定理2 若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：A＝LDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。 证明因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A＝LU 因为，所以可将 U分解为： 其中 D为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A＝LDU1＝L(DU1) 因为A为对称矩阵，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由 A的 LU分解的惟一性即得：L＝U1T，即U1＝LT，故A＝LDLT。 工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。 定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。 2 对称正定矩阵的三角分解 定理 (Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得：A＝LLT。 分解式A＝LLT称为正定矩阵的Cholesky分解，利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AX＝b的方法称为平方根法。 设A为4阶对称正定矩阵，则由定理 4知，A＝LLT，即： 将右端矩阵相乘，并令两端矩阵的元素相等，于是不难算得矩阵L的元素的计算公式为： 第二章实数 ２．平方根（二） 西南交大附中田晓红 一．学生起点分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习 中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方 根.本节也为后面学习“立方根”做基础. 二．教学任务分析 《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在 具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及 其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导--- 探索---类比----发现”中发展学习数学的能力. 三．学习目标 知识目标 1.了解平方根、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 能力目标 1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力. 2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力. 情感目标 1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神. 2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度. 四.教学重点: 1.了解平方根开、平方根的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点: 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 3. 五．教学方法 实数单元知识点复习 1算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。 a 的算术平方根记为a ，其中a 叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0 只有正数和0才有算术平方根。 0的算术平方根是0；1的算术平方根是1 题型 1求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）6449 （3）0?0025 （4）32 （5）56 2求下列各式的值： （1）1 （2）259 （3） 22 3比较下列各组数的大小 （1）50-与-7 （2）502 15?-与 4有意义 当x 21-有意义时，x 的取值范围是______ 5估计与40最接近的两个整数是多少？ 6 倍数关系 1 100 10000 7 已知._______19191=-+-x x x 有意义，则 8．若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A a 2- B )1(2+-a C )1(+--a D a 2- 2平方根 如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根。 正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 a 的平方根记为a ±， 求一个数a 的平方根运算，叫做开平方 两个公式 a a =2 a a =)(2 三个非负数a 、 a 2、a 题型 1求下列各数的平方根 （1）100 （2）6449 （3）0。0025 （4）32 （5）10 61 2求下列各式的值： （1）144 （2）81.0- （3）196121± 3求下列各题中x 的值 （1） 0812=-x （2）25)12(2=-x 4 81的平方根是 ( ) A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3 5若3+x 是4的平方根，则x =______ 。 6一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 。 7一个正数的平方根是13+a 和a +7，则这个正数是 。 3立方根 如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根 一个数a 的立方根记为3a ， §5 平方根法 一、教学设计 1．教学内容：对称正定矩阵的Cholesky 分解法、三对角线矩阵分解的追赶法。 2．重点难点：Cholesky 分解法、追赶法。 3．教学目标：掌握对称正定矩阵的Cholesky 分解的计算过程，掌握三对角线矩阵分解的追赶法。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 §5 平方根法 在工程计算中，常遇到求解解对称再正定线性方程组问题，如应用有限元法解结构力学问题，应用差分方法解椭圆型偏微分方程等，最后都归结为求解系数矩阵为对称正定阵的线性方程组。根据系数矩阵的特殊性，是否有更好的解决方案（在存贮空间上的好处是显而易见的），算法上是否有所简化？ 5－0对称正定矩阵及性质复习 定义：设n n R A ?∈，如果A 满足条件 （1）A A T =；（2）对任意非零向量n R ∈x ，有0>x x A T ，则称A 为对称正定矩阵。 定理1 （对称正定矩阵的性质）如果n n R A ?∈为对称正定矩阵，则 （1）A 为非奇异阵，且1-A 亦是对称正定阵； （2）记k A 为A 的顺序主子阵，则k A 亦是对称正定阵),,2,1(n k =； （3）A 的特征值),,2,1(0)(n i A i =>λ； （4）A 的顺序主子式都大于零，即),,2,1(0)det(n k A k =>。 定理2 设n n R A ?∈为对称矩阵（判据） （1）若A 的特征值),,2,1(0)(n i A i =>λ，则A 为对称正定矩阵； （2）若A 的顺序主子式都大于零，即),,2,1(0)det(n k A k =>，则A 为对称正定阵。 5－1 对称正定矩阵的三角分解 由前述定理 3.1知，若n 阶方阵A 的顺序主子式)1,,2,1 ()d e t (-=n k A k 均不为零，则A 有唯一的三角分解LU A =，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。n 阶对称正定阵A 的顺序主子式都大于零，当然有LU 分解，进一步地，此时U L ,之间有什么关系？这对解方程组有用处。由LU A L U A T T T ===及分解的唯一性，想到若U 的主对角元素皆为1，就有可能获得一些结果。为此，再将U 分解 DR u u u u u u u u u u u u u u u U n n nn nn n n ≡??? ?????? ???????? ?????? ??? ? ? ? ?=????????? ?? ?=111222********* 11222 11211 易知),,2,1(0n i u ii => （用k k k U L A ,,分别记矩阵U L A ,,的k 阶 顺序主子阵，容易验证k k k U L A =于是 ii k i i ii k i k k k k k k u a U U L U L A ∏∏ =======1 )(1det det det )det(det ） 于是LDR LU A ==，所以 A DR L LU DL R LDR A T T T T =====)()()(， 即 )()(DR L DL R A T T == 由分解的唯一性知：T R L =，R L T =，于是T LDL A = 自然地，若记 平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（） A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 笔算开平方方法 一． 拿出一个数，以小数点为分界，两位为一节，从最高位开始开平方。 我们就拿256吧 两位一节，先看最高的是2,那最大开平方就是1，写下1,剩余1。 第二步就是重点了！ 再取两个下来，也就是56。前面还有1,组合成156。 将第一次的开平方数1,先扩大20倍，得到２０,加上可以取的最大值，这个最大值是什么最大呢？也就是x*(20+x)<=156的最大x,可以取６,也正好是６,所以开平方的结果是１６。 再拿个比较大的数：15625 这个数，我们还是两位一节，看最高位１，那就写１，没剩余。 第二步：再取两个下来，也就是５６,我们先将１扩大２０倍，再用刚才的方法，取最大的x，可以取２，那就写２,剩余56-2*(20+2)=56-44=12 第三步：再取两个下来，也就是２５,和刚才剩余的12组成1225,那我们再对刚才的开平方数12，再扩大20倍，得到240,再求最大的开平方数，正好是５,没有剩余。 所以结果是125 如果有剩余，那小数点后也是两位两位地加，也就是一次加两个0,方法和前面一样，对前面已开出来的先扩大20倍，再取最大开方数，一直到你所要的准确度。 二． 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）； 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是4，即试商是4）； 5．用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数． 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值． 例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 实例 例如，A=5：5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。 第三步： 2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位数。每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值， 第四章实数（单元备课） 单元要点分析 1.教材的地位与作用 本课在学生学习了平方根以后，通过学生合作探究，揭示出中像2、π这种无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，另外，无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想 2、教科书内容 本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念。 二、教学目标 1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根； 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根； 3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；4．能用有理数估计一个无理数的大致范围。 三、教学重点和难点 本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。 无理数的概念比较抽象,如2等无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。 四、本章知识结构框图1．本章知识的内在结构如下图所示： 四、教学方法和手段 本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，并结合计算器、多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。 学法指导：学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。 五、本章教学建议 一.加强与实际的联系二.加强知识间的纵向联系三.留给学生探索交流的空间 六、几个值得关注的问题 （一）把握教学要求教学时要注意把握教学要求，以一种发展的、动态的观点看待教学要求，不能要求一次到位。 （二）发挥计算器的作用，加强估算能力的培养（三）重视人文教育 课时划分 4．1 无理数 2课时 4. 2 平方根 1课时 4．3 立方根 1课时 4. 4 估算 1课时 4．5 用计算器开方 1课时 4．6 实数 2课时 回顾与思考 1课时 笔算开平方法的计算步骤如下： 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值． 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍． 手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方. 因为网上写不出样式复杂的计算式,所以只能尽量书写,然后通过口述来解释: 假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下: 解法中需要说明的几个问题: 1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的 2,为了区别小数点，所以小数点用。表示，而所有的.都是为了排版需要 3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响 ...........1..2..0..6。8 .........----------------------- .....1../..1'45'64'56.00.. (1) (1) ............-------- .......22..|.45.. (2) (44) ..............-------- ........240.|.1'64.. (3) 手动开平方方法（最新方案） 虽然现在开方可以直接用符号表示，但考试中如果出一道开方让你写数值的题目怎么办呢？在最新的数学研究中，有一种最新的开平方法。 如有下题： 1522756=（） 开方步骤如下： （一）分位 把一个平方数分为几段。 1.从最低位（个位）开始。 2.每两个数为一位。 3.最高位可以是一位数。 1522756分为：1|52|27|56 分位后，1522756被分为了4段，开方结果为四位数（这里是完全平方数，没有小数）（二）开方 开方运算和除法类似，每运算1次都有一个递减过程。运算时也是从高位至低位。 如1|52|27|56先算1，再算52…… 格式如下： 平方根 52 | |1 56 | 27 运算过程 和除法类似，平方根写在横线上面，运算过程写在下面。 平方定义，12=1 所以如下： 1 52 | |1 56 | 27 1 ——————— 5 2 这第一步与除法佷像，但是是一次落2位，也就是1段。 下面的运算就与除法有些差别了，这是计算中非常麻烦的部分。 这一步骤叫：造数 首先，将已开出的平方根部分×2，得到1×2=2 然后，我们须要假设下一个我们要开出的平方根是A，A的范围是0~9中任何一个自然数。下面就需要我们去试一试了，我们要在0~9中找出一个数作为A的值，前提是：要使前面一步算出的2与A合为一个新数，就是以A为个位，2为十位，合成2A（注意：这里不指2和A相乘，如果A=6，那么这个数为26），并且2A×A最接近而不超过前面落下的52。下一步就是试数，经试验A=2合适，也就得到22×2=44。 这一步的44就是结果了，下一位平方根为A，也就是2，得到： 平方根表（一） 一、教学目标 1．使学生了解平方根表的构造。 2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。 3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。 4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。 二、教学重点和难点 1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。 2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。 三、教学过程 由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精 确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。我们看下面的计算： 由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以 得以更为精确的的近似值。用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值， 但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。 我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。表中间最头 部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。 这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。我们下面就来具体看看如何查一个数的平方根。 例1 查表求、的值。 解：我们先在“N”的直列中找到1.3，再在“N”的横列中找到5，1.3所在横行与5 所在直列的交叉处得到1.162，这就是1.35的算术平方根。∴。 再看，虽然13.5与1.35有效数字相同，但由于小数点位置不同，查表时所取得的横行就不同。所以在查的值时，应先在“N”的直列中找到13.再从“N”所在横 行中找到5，13所在横行与5所在直列的相交处是3.764，∴。 这两个小题，可以看到对于三个有效数字的数，关键看小数点的位置，再决定在“N”所在的直列中找哪一个数值。另外就是在找横行与竖列交叉点时，要对齐，不可看串行或 列，而造成结果错误，下面做书上练习：练习1、2。 练习1.（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）。 在做（1）�（6）小题时，让学生注意对比，可让学生上黑板作。 练习2。查表求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； 在做这三道小题时，由于被开方数为整数，学生在“N”所在直列中找到数后，在“N”的横行中不知应找何数，这时应告诉学生应在“N”的横列中找0，因为2、60、95均可看作2.0、60.0、95.0。 （4）； 此题，提醒学生先查表求的值，再添上负号即可。 （5）； 解：由图可知a<0，b>0，a-b<0 ∴ () 2a b a b a b a b a =----=---+=- 其实平方根与立方根是可以笔算算出来的，当你身边没有计算机的时候，掌握此类的算法十分有用。 至于怎样算，可以归纳为如下两条公式：平方根，20m+n ；立方根， 300m^2+30mn+n^2。 怎样去理解呢，很简单。模板是按除法的模式。以开平方为例，譬如要求72162的平方根，先要从个位开始将它分块，每两位一块，即7，21，62这样分。然后开始试商，从最高为试起，先来7，什么数的平方小于7的呢？明显是2。然后用7减去2的平方，得出的数字3为余数，将要在下一步与后两位数字合起来用来进行下一步运算。第二步，此时被除的变成了321，此时公式开始派上用场，上一步试出来的商2即为m ，至于n 呢，当然是第二步要试的商啦，而除数就是公式20m+n ，切记商与除数的积不要大过被除数。具体到刚才的数字，除数是321，而被除数则是20×2+n，即40几，要n×（20×2＋n ）小于等于321，最合适的就是n=6，即46×6=276，再用321减去276得出结果45用于第三步的试商。第三步，也像第二步一样试商，只不过此时的被除数变成4562，除数m=20×26+n，n 是第三步要试的商。由n×（20×26+n）小于等于4562得出第三步的试商n=8，第四步开始棘手了，因为个位之前的已经试完了，此时，应从小数点之后的十分位开始，如一开始一样，每两位分成一块，这之后，就可以按前面的方法一直试下去了。 至于立方根，也是与平方根一样的思路，只不过比平方根复杂一点。与平方根的区别主要有三点，一、分块变为每三位一块，如刚才的72162，要分为72，162；二、除数变成300m^2+30mn+n^2；三、余数的区别，平方根的余数肯定要比除数小的，不然说明试的商不合适，例如上面的题目，第二步余数45小于除数46，第三步余数338小于除数528；而立方根就有点不同，它在第二步开始试商的时候，得出来的余数是有可能比除数大的，而且经实践得出，这可能性不低，至于到了第三步，余数又开始回归正常了，即必定小于除数，否则试商有误。 平方根（2） 班级姓名学号 教学目标：了解数的算术平方根的概念．会用根号表示一个数的算术平方根。 能运用算术平方根解决实际问题。 重难点：根据一个数的算术平方根的意义解决有关问题。 教学过程： 一、情境创计 面积为15m2正方形的长是多少？等腰直角三角形的一直角长为5cm，则 二、课前预习与导学 正数a有2个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。 例如，4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根 ?4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根，记作2 =2， ?2的平方根是“±2”，2叫做2的算术平方根， ?0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根， ?即±0 =0 三、新课 交流： 1． 16的算术平方根的平方根是什么？ 5的算术平方根是什么？ 2、 0的算术平方根是什么？ 0的算术平方根有几个？ 3、 -2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？ 例1：求下列各数的算术平方根： ?（1）625；（2）0.81； ?（3）6；（4）（-2）2 ? (5) (6) ? 应用： 例2：“欲穷千里目，更上一层楼”。说的是登的高看得远。若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d≈hR，其中R是地球半径（通常取6400km），小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20M，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多远？ 探究 正数a的算术平方根的取值范围？ （由学生交流讨论） 四、课堂巩固练习： 1、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是。 ?2、若x2=16，则5-x的算术平方根是。 ?3、若4a+1的平方根是±5，则a2的算术平方根是。 ?4、的平方根等于，算术平方根等于。 ? 5、若|a-9|+ =0，则的平方根是。 ?6、，算术平方根是。 ?7、已知△ABC的三边分别是a、b、c， ?且 b2-4b+4=0，求c的取值范围。 ? 8、已知y= + +3，求xy的算术平方根。 ?9、在△ABC中，∠C=90°. ?(1)如果AC=5,BC=12,求AB; ?(2)如果AC=2,BC=1,求AB; ?(3)如果AB=25,BC=24,求AC; ?(4)如果AC=5,AB=12,求BC; 五、小结与思考：平方根与算术平方根的区别与联系 六、作业布置：补充习题2.3 2 4 5 可编辑 平方根1 练习一概念练习：1判断下列说法正确的是____ (1)-5是-25的算术平方根；(2)6是()26-的算术平方根； (3)0的算术平方根是0；(4)0.01是0.1的算术平方根； (5)一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． 1．下列计算正确的是（ ） A ±2 B C.636=± D.992-=- 2．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即 749±= 3、下列叙述错误的是（ ）A 、-4是16的平根 B 、17是2(17)-的算术 平方根C 、1 64 的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 4 2=，则2(2)m +的平方根为（ ） A 、16 B 、16± C 、4± D 、2± 5 、 ） A 、4 B 、4± C 、2 D 、2± 6、36的算术平方根是___ 的算术平方根是_____； 7、若2x =3，则x=____；a a -=-11，则a=_____ 8、36的平方根是____；(-3)2的平方根是_________ 2 )2(-的平方根是__;9的平方根是__化简=-2)3(π 9、若数a 的平方根只有一个，那么a=____;10、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是___ 1、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 12、若a是2 (2) -的平方根，b 2 a+2b的值 13 的平方根等于±2，那么a= 练习二估算比较：1、比较大小：(1)12和4 (2)2 1 3- 和2 1 2、估计20的算术平分根的大小在（） A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5和6之间 32的值在( ) A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．在4到5之间 练习三有意义：1、下列各式中，有意义的是（） A、3- B、a C、23- D、2a 2、若式子 3 3 1 1 2x x- + - 有意义，则x得取值范围是（） A．2≥x B.3≤x C.3 2≤ ≤x D.以上都不对 3、x为何值时下列各式有意义： （1）3+x（2）（3）1 1 - x x x+ - 1 )1( 4x的取值范围是_____，若a≥00 5、．一个正数的两个平方根的和是______，商是________． 6、. 若a和a-都有意义，则a的值是（） A.0 ≥ a B.0 ≤ a C.0 = a D.0 ≠ a 7、.若2x a=，则（）A.0 x> B. 0 x≥ C. 0 a> D. 0 a≥ 8、．当≥ m0时，m表示（） A．m的平方根B．一个有理数C．m的算术平方根D．一个正数 9、如果5 3-x有意义，则x可以取的最小整数为_____ 可编辑平方根(2)
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