1
行列式的计算方法
摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法
行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则
对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法
根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．
例1 计算行列式
0040
03002001000
这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是
43214321j j j j a a a a ．
显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41
322314a a a a 这一项，而6)4321
(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以
原式=
2443210
00400300
2001
000=???=
3.化为三角形计算法
例2 计算行列式
2 10782
5
513315271391------- 解：
10
170
8
160017
251307
13
9
1
24
3926
263426017251307
13
9
1
10
78
2
55
133********--=
------=-------
31224
0021
0017
251307
13
911017002100172513071391-=-----=----=
这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．
3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数
适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式
n
n n n n
n y x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=
111111111212221212111 解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：
0)
()(1)
()(1)()(11121
121221
21112111=--+--+--+=
y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n
之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，
))((111112122
2122111y y x x y x y x y x y x --=++++
这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．
3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.
3
例4 计算行列式
a
b b b b b a b b b b a
=
? 解：把所有各列都加到第一列上去， 得：
1
)]()1([000
0001]
)1([111]
)1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=
?n b a b n a b
a b a b b b b n a a
b b b b a b
b b b n a a
b b b n a b b a b n a b b b b n a
3.3 逐行(或列)相加减
有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式
1
1
00000
1
011000001231000000023100000
0000023100000002312
----=+n D 解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，
得：
3
21
22222
1
62321222221011000000011
00000000110000000110000000
1112
3
2112322
+++++-----=---+--+n n n n n n n n n D
再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：
4 3
2122222
1
1
10
001011000000011000000001100000001100000001112
322
++-----=---+n n n n n D
按最后一列展开，得
)32(33
2
11111101000000001000000
00001000000001000000001)32(2+=+=+n n
n D
3.4 行(列)归一法
先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值． 例6 计算n 阶行列式
x
a a a
x a a
a x D =
解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出
x a n +-)1(，得
x
a a a
x a
x a n D
1
11]
)1[(+-=
将第一行乘a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则
1)]()1[(0
00111
]
)1[(--+-=--+-=n a x x a n a
x a x x a n D
4.特殊行列式
4.1 爪型行列式
形如：
5
1
2
11
22
21
112
222
1
1012
2
21
1210,
,,
a c c c
b a b a b a b b b a a
c a c a c c a c a c a a b b b a c a c a c b b b a n n n
n
n
n n
n
n n
n
n
的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算． 例7 计算行列式
)),2,1(0(2
2
1
1
210
n i a a c a c a c b b b a D i n
n
n
=≠=
解 当),,2,1(0n i a i =≠时，将第i+1列乘以),2,1)((n i a c i
i
=-后都加到第1列，得三角型行列式：
∑∏∑===-=-=
n
i a b c n j j n
n n
i a
b c i
i
i i
i
i a a a a b b a D 1
01211
0)(00
00
例8 计算行列式
y
y x x D -+-+=
22
2
2
222222222222
分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例
6结论计算其值． 解
2
21
)()(]})
()
(2)(2)()(2[)2{(0
2
0020022)1(y x y y x y x y x x x x y
y x x
x x x c c i =-??-?--?+-?+--?
-+=-----+-+
4.2 三对角线型行列式
D
6 形如：
n
n n n b c a b c a b c a b 1
132
2
2
111--- 的n 阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一
条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明． 例9 计算n 阶行列式
)(11
1
b a b
a ab
b a ab b a ab b a D n ≠++++=
解 按第一行展开得
212
11)(1
1
1
)1()(--+--+=+++-++=n n n n abD D b a b
a a
b b a ab b a ab ab D b a D
变形),(211----=-n n n n aD D b aD D 由于
22221)(,b ab a ab b a D b a D ++=-+=+=，
从而利用上述递推公式得
n
n n n n n n n b aD D b aD D b aD D b aD D =-==-=-=-------)()()(122322112
故有
n
n n n n n n n n n n n n n n n n b
ab
b a a b ab
b a
D a
b ab D a b b aD a b aD D +++=++++==++=++=+=----------1
11
2
211
122121 )(
例10 证明
na a
a
a
a a D n cos cos 21
1cos 211cos 211
cos 21
1
cos ==
解 按第n 行展开得
7
21)
1(1cos 21
10cos 21
1cos 21
1cos )1(cos 2---+--=-+=n n n n n n D aD a a a aD D
采用第二数学归纳法证明
1=n 时，a D cos 1=，结论成立．设k n ≤时，结论成立．则当1+=k n 时，有
,)1cos()1cos(cos cos 2cos 211a k a k ka a D aD D k k k +=--=-=-+
故有归纳假设知na D n cos = 4.3 Hessenberg 型行列式 形如：
n
n
n n
n
n n n
n
n
n
n c c c a a b a b a b b a b a b a a c c c a c c c b a b a b a a b a b a b c c c a
21
112
22
21
1012
1
2
1122
2
2
11210
,,,
的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg 型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶． 例11 计算n 阶行列式
1
2
1111a x a a a x
x
x D n n
n +---=
-
解 按第一列展开得
n n n n n n n n n n a xD a xD x
x
a xD D +=--+=----+=--+-+-11111
1)1()1(1
11
)1(
于是
n
n n n n n n n n n n n n n n n n a x a x
a x a x a x
a D x a x a D x a a xD a xD D ++++=+++==++=++=+=----------11
112
211
122121)(
例12 计算n 阶行列式
8 )
1(1
)
2(22
21
11321---------=
n n n n n
n D n
解 将第1,,2,1-n 列加到第n 列，得
1
)
2(2
1
1)1(2
)
1(0
1
)
2(222
1
11
32112
)1(-----+=
-------++n n n n n n n n n
n n
2)!1()1(1+-=+n n
4.4 两线形行列式
例13 计算行列式
n
n
n n a b b b a b a D
000000012211-=
解： 按第1列展开得
n n n n n n n
n n b b b a a a b b a b b a b b a a D
211211
2211
1221
)1(00
00)1(00
000+-+--+=-+=
结论对于形如：
n
n
n n n
n n n n n n n n b a a b a a b a b a a b a a b a a b b a a b b b a b a 00
0000000,0
00000000,0
00000000,000000000112
112
1
211112111
2211
------
9
等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶． 4.5 利用范德蒙行列式计算
范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果．
例14 设n n x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明，若是)(x f 有1+n 个不同的根，那么)(x f 为零多项式.
证明：设121,,+n a a a 为)(x f 的根，且)(j i a a j i ≠≠. 则将根代入多项式得到如下线性方程组：
??
????
?=++++=++++=+++++++0
0121
211022222101212110n n n n n n
n n n a c a c a c c a c a c a c c a c a c a c c 以n c c c c ,,,,210 为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：
0)(1111
11
2112
2221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j i n
n n n n
n
a a a a a a a a a a a
因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：
010====n c c c
所以)(x f 为零多项式. 5.降阶法
5.1 一般降阶法
根据行列式理论中的拉普拉斯定理, 行列式的计算可转化为k 阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和.但此方法计算量偏大, 仅适用于行列式中元素为0 较多的情形. 同时, 涉及一些比较复杂的、元素含文字或未知量的行列式, 仅用此方法是不够的. 例15 计算四阶行列式
2
1
4
365103107223
-----
解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将3-也化为
零，即
10 2
3
43917
83)1()1(2
3
1
4
39510
0107823
2
1
4
36510
31072232
2------?-=------=
-----+
35814
3916
19)1(14
39039116
19012-=----=---=+
5.2 利用公式降阶
公式1设A ，B 都是n 阶方阵，则有
B A B A A
B B
A -?+=
证明：由于
??
?
???-+=????????????????????-B A B B
A E E E A
B B A E E E n n n
n n
n 000 两边去行列式，得
B
A B
B
A E E E A
B B A E E E n n
n n n
n
-+=??-0
00
B A B A A
B B
A -?+=
例16 计算行列式
000a b a a a b b a a a b a
解 利用公式1
222)4(00
220
000b a b b b b a a b a b a a a b b a a a
b a -=--?=
公式2设A ，B ，C 均为n 阶方阵，则
B
C C B A n ??-=2
)1(0
证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r 行，在它的所有n 阶子式中，除C 外，其余至少包含一列零向量，从而值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行，
11
第n ,,2,1 列，因此
B C C B
A s ?-?=)1(0
其中
偶数
+=++++=+++++++++=22)21(2)21()()2()1(n n n n n n n n s
即有
B C C B A n ??-=2
)1(0
例17 计算行列式
000
0000000000000333231232221131211b
a b a b a a a a a a a a b a a a a
解 直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2
原式=33300000000
)1(2
a b a
a b
a b a b a b ?-=??- 5.3 利用拉普拉斯定理
定理1：设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．
证明：设D 中取定k 行后得到的子式为,,,,21t M M M 它们的代数余子式分别为,,,,21t A A A 定理要求证明
t t A M A M A M D +++= 2211
根据行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中每一项都是行列式D 展开式中的一项，而且符号也一致，所以i i A M 中每一项都是D 中一项而且符号相同，而且i i A M 和)(j i A M j j ≠无公共项．因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了．显然等式左边共有!n 项，为了计算右边的项数，首先来求出t ．根据子式的取法知道
)!
(!!
k n k n t C
k n
-=
=
．
因为i M 中共有!k 项，i A 中共有)!(k n -项．所以右边共有
!)!(!n k n k t =-??
项．定理得证．
12 例18求行列式
1
31
310112104121-=
D
解：在行列式D 中取定第一、二行．得到六个子式：
.
1
24
1,114
2,211
2,
1
04
1,201
1,102
1654321=-=-==
=
-=
M M M M M M
它们对应的代数余子式为
.)1(,)1(,)1(,)1(,)1(,)1(66
)43()21(655
)42()21(544
)32()21(433
)41()21(322
)31()21(211
)21()21(1M M A M M A M M A M M A M M A M M A '='-='-='-='='-='='-='-='-='='-=++++++++++++++++++ 根据拉普拉斯定理
.
771851681)7(3615)1(1)3(2)8()1(100
1124130111142103
1211
23
11
0104
1113
0201
113311
02
1
662211-=--+-+=?-+?-?+-?+-?--?-=?+?--?-+?
+
?
-
?
-=+++=A M A M A M D 从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的．这个定理主要是理论方面的应用． 6.析因子法
如果行列式有一些元素是变量x 的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式)(x f ，然后利用多项式理论，求出)(x f 的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”． 例19 计算行列式：
2
2913
2
51323
2213211x x --
解：可以把原式看成关于变量x 的4次多项式)(x f ．由
08132513232113
211)1(==
±f 及05
13251323
2213
211)2(=-=±f
13
知，)(x f 有因式1±x 、2±x ，且)(x f 关于x 的最高次数为4，故
)2)(2)(1)(1()(+-+-=x x x x k x f
又由原式知，)(x f 中含4
x 的项为)9()2(22x x -?-及)9()2(422x x -?--，故4
x 的系 数为3-．因此，3-=k ，从而原式)4()1(322-?--=x x ． 例20 计算行列式：
a
x n a x n a x n +++
3
2
1
2131321
解：可以把原式看成关于变量x 的1-n 次多项式)(x f ，由于
0)()3()2(=-==-=-a n f a f a f
故)(x f 有因式)2(a x --、)3(a x --、…、)(a n x --，且)(x f 关于x 的最高次数为1-n ，从而，
)()3)(2()(n a x a x a x k x f -+-+-+= ，由原式知，原行列式关于x 的最高次项的系数为1，故1=k ．因此，原式)()3)(2(n a x a x a x -+-+-+= ．
7.加边法
加边法是把原行列式添加一行一列, 且其值不变, 所得的新行列式反而容易求出其值．该方法主适用于除主对角线上元素外, 各行(列)对应的元素分别相同的题型．添加行与列的方式一般有五种: (1)首行首列(2)首行末列(3)末行首列(4)末行末列以及(5)一般行列的位置． (1) 添加在末行末列 例21 计算行列式
n
n n a a a a D ++++=
-11
1
1
111111*********
解:
11
1
11100010001
10001
11111111111
111111*********----=
++++=
--
n n n n n a a a a a a a a D
∑
∏∏=----=----=+
=
=
--n
i i
a a a a n
i i
a a a a n
i i
a a
a n
n n
n 1
11111
11111
1101
0010000010000011
11
101001
0010
100011
2
1
1
2
1
14 )1
1(1
1
∑∏==+=
n
i i
n i i
a a
（2）添加在一般位置 例 22计算行列式
n n
n n
n n n n n n
n x x x x x x x x x x x x D
2
122221222212
1
111---=
解：通过添加行列得：
n
n n
n n
n n n n n n n n
n n n n
y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x
2111121122
222
12
2
222
1211n 1111D --------+=
易见1+n D 是范德蒙行列式，则
∏∏≤≤=+--=n
k j j k
n
i i n x x
x y D 11
1)()
(
而行列式n D 的值为1+n D 按最后一列展开式1
-n y 项的系数乘以1
2)
1(+-n .
8.拆分法
本法主要依行列式的性质, 将给定的行列式表为几个行列式的和, 使新得的行列式便于计算．如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其中某列的每个元素的第1项（或第2项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例，则一般可考虑用“拆分法”． 例23 计算当3≥n 时
n
n n n n n
n n
n c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a D +++++++++= 121122221
211212111 解 按第一列之和分解为
n n n n n
n
n n n n n n n n
n n n c b a c b a b c b a c b a b c b a c b a b c c b a c b a c b a c b a c b a c b a a D +++++++++++++=
2222222121211
2
2222212
121
111
15
111222
211
22221211=+=n
n
n n
n
n n n n a a b a a b a a b c c b c b c b c b c b c b a
把某1行( 或列) 的元素写成两数和的形式, 再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式
的和, 使问题简化以利于计算. 例24 计算行列式
n
n n b b b a
b b a a b a
a a D ?=0
000
解：
n
n n n n
n n
n n
n n a b b b b b a b a a b b b b b a b a a a a
b b b b b a b a a a b b b a b b a a b a a a a a b b b a b b a a b a a a D ?????-?=-=-+++=
00000011
010100000000000
00000
对上面的第一个行列，将第n 列乘)(b -加到其余各列上，对第二个行列式按第n 列展开，最后可得
11)
1()1()(0
00001
001
00101
---?-?--=-------=n n n n n
n n aD b a b b b a
b a a b a a a b
b
a b b a b a b a D
这样，我们获得一个递推公式：11
)(----=n n n aD b a D
如果将n D 按下面方式拆项，又可得到
n
n n n n n n b b a b a a a a a b b b b a b b a a b a a a b b b b
a b b a a b a a a b b D ???-=-=
000000
000
00
16 类似于前面的方法可得另一个递推公式：11)(----=n n n bD a b D
联立上述两个递推关系式?????--=--=----1
1
1
1
)()(n n n n n n bD a b D aD b a D 当b a ≠时，解得
b
a b a ab
b
ab
b a
a
ab D n n n n n n n n n ---=++++-=--------1
11
2
3
3
2
1
)
1()()
1( 当b a ≡时，解得
n n n n n n n n a a a a a a D 1222221)1()()1(-------=+++-=
9.递推与归纳
这种方法是根据行列式性质, 把一个n 阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式, 再利用关系式推出这个n 阶行列式的值. 一般情况下, 主要方法有:
递推法1) 递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2阶, 1阶)行列式的值求出D 的值.该方法适用于行(列)中0较多的或主对角线上、下方元素相同的题型．
归纳法2) 当行列式已告诉其值, 且值与自然数有关时, 一般用数学归纳法证明结果的正确性. 如果未告诉结果, 也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值, 通过观察猜想原行列式的值. 然后用数学归纳法证明猜想的正确性.
1） 利用已给的行列式的特点，建立起n 阶行列式与1-n 阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶递推法，常见的有两类： （1）1-=n n lD D 型，此时根据递推关系有：11D l D n n -=
（2） )0,2(21≠>+=--q n qD pD D n n n 型，此时我们不妨设α，β是方程02
=--q px x 的根，则由根与系数的关系，得q p =-=+αββα,，将其带入21--+=n n n qD pD D 中，有：
)
2()
()()()1()()()(122
322
211122322211D D D D D D D D D D D D D D D D n n n n n n n n n n n n n n αβ
αβαβαβαβαβαβ-==-=-=--==-=-=-------------
下面分两种情况进行讨论：
)
(:21,:2)
()(:21,:11221121121D D D D Case D D D D D Case n n n n n n αααβαβααββαβα-+==----=
≠----）得）和（由（）得）和（由（
)()1()(21221112222D D n D D D D n n n n αααααα-++==-+=----
（1）利用1,-n n D D 进行递推 例25计算行列式
17
x
a a a a a a a a a x a a a a x D n n n n
321
32121
211=+ 解:
n
n
n n n n n n n n n a x a a a a a a a x a a a x a a a a a a a a a a x a a a a x a x a a a a a a a a a a x a a a a x D -+=-++++=+
32
1
32121
2132
1
321
212132
1
321
21
2110
00)(0
00
n
n n n n n D a x a a a x a a a a a x a D a x a a a a a a a x a a a x
a )(1
1000101
)(1
11
1322
3221132
1
321
21
21-+-----=-+=
n
n n
i i n D a x a x a )()(1
-+-=∏=
而 x D =1
))(()()(111112a x a x x a x a x a D +-=-+-=
)
)(()())()(())(()())((2121112212222123a x a x a a x a x a x a x a x a x a D a x a x a x a D --++=+--+--=-+--=
根据递推关系式可得
)())()((2121n n n a x a x a x a a a x D ---++++=
（2）利用 21,,--n n n D D D 进行递推 例26求行列式
2
100012000002100012100012
=
n D
18 解： 由于212---=n n n D D D ；则不妨设α，β是方程0122
=+-x x 的根，则：
1==βα
于是：
2112211)1()2()1(1)1(1D n D n D D n D D n n n -+-=--+=--
其中：
3142
11
2,2221=-==
==D D
所以：
1324)1()2(21+=+-=-+-=n n n D n D n D n
即
原行列式=
12
100012000002100
012100012+=n
2)归纳法
例27计算行列式
)(10
00
10001
000βαβ
αβααββ
ααββ
α≠++++=
n D
解：按一行展开得
1
1
-n 100000001-100
00
1
00-++++++=n n D βαβααβαβ
β
αβααββ
αβα ）
（
后一行列式按第一列展开，得递推公式
)1()3()(2
1≥-+=--n D D D n n n αββα
易于算出
β
αβαβ
αβα--=
--=
4
433
32D D 代入递推公式得
19
βαβαβαβααββαβαβα--=
+----+=5
533444)(D
于是自然猜想
β
αβα--=
++1
1n n n D 证实这个结论，可以利用第二归纳法．此处从略 10.作辅助行列式
例28 设)(,),(),(21x f x f x f n 为次数不超过2-n 的函数，设n ααα,,,21 为任意数，证明:
0)
()()
()
()()()()()(212221212111=n n n n n n f f f f f f f f f ααααααααα
解法一 设
1232211)(----++++=in in n i n i a x a x a x a x f
那么，由
)()()
()()()()()()(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f ααααααααα
11100
02
1
33
322
221
2
21
12222221112
11211
2
1
1n
n n
n n n n n nn nn n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a ααααααααα------------?
=
马上得证．
解法二 刚才是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式
)
()()()
()()
()()()()(222222
1211n n n n n n f f x f f f x f f f x f x D αααααα
= 由题设不难得知n D 是x 的不超过2-n 次的一个多项式，然而它有1-n 个根n ααα ,,32
20 所以：0)(=x D n ．特别有
0)
()()
()
()()
()()()()(2122212121111==
n n n n n n n f f f f f f f f f D αααααααααα
证毕．
11.滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫作滚动消去法．一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便利用降级法来做．
例 29 计算行列式
122123123
12
2121321
-------=n n n n n n n n n D
解：从第二行开始每行减去上一行，有
1
1
1
1
1
11111
111111
3
21
1
2
2123123
122121321---------=-------=
n n n n n
n n n n n n D 2
12
2
)1()1(0
1
000000100
0001132121
1
11120022200021321-+-+-=-=----=n n n n n n n n
12.特征值法
设n λλλ,,,21 是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式n A λλλ 21=．故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可计算出A 的行列式．
例30若n λλλ,,,21 是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全部为零． 证明： 因为n A λλλ 21=，
则 A 是可逆的 ),,1(00021n i A i n =≠?≠?≠?λλλλ 13.微积分法
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 1112111121111211122121 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
四阶行列式的一种展开法正文 四阶行列式的一种展开法 笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。 四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下： 四阶行列式： a11 D4 a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)： a11a12a21a31a41a42a13a43 a14 44 a11a12224142a13a23a33（图表一） 作乘积关系，可得如下八项： a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a 11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。 a11a12a21a31a41a42aa43 （图表二） a44a11a12224142a13a23a3343 同前理可得如下八项： a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a 11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。 第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三： a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1 四阶行列式的一种展开法正文
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
专题讲座五行列式的计算方法 1.递推法 例1求行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方 第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是 另一项是 上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （2） 移项，提取公因子β： 类似地： （递推计算） 直接计算
若；否则，除以后移项： 再一次用递推计算： ∴，当β≠α（3） 当β = α，从 从而。 由（3）式，若。 ∴ 注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3） 和三对角线型行列式 （4） 有相同的递推关系式 （5） （6） 注意 两个序列 和 的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有 由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故 例2 计算n阶范德蒙行列式行列式 解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积 2．拆元法 例3：计算行列式 解
①×（x + a） ②×（x – a）
3．加边法 例4计算行列式 分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法 例5计算行列式 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k– 1 时命题成立,考察n=k的情形：
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
四阶行列式的一种展开法 笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。 四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下： 四阶行列式： 44 43 42 413433323124 23222114131211 4a a a a a a a a a a a a a a a a D 第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)： （图表一） 作乘积关系，可得如下八项： a 11a 22a 33a 44,a 12a 23a 34a 41,a 13a 24a 31a 42,a 14a 21a 32a 43,a 41a 32a 23a 14,a 42a 33a 24a 11,a 43a 34a 21a 12,a 44a 31a 22a 13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。 （图表二） 同前理可得如下八项： a 11a 23a 34a 42,a 13a 24a 32a 41,a 14a 22a 31a 43,a 12a 21a 33a 44,a 41a 33a 24a 12,a 43a 34a 22a 11,a 14a 32a 21a 13,a 42a 31a 23a 14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。 第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三： 43 42 4144 43 42 413332 31 343332 312322212423222113121114131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 43 42 4144 43 42 413332 31 343332 31 2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 42 4144 43 42 413332 31 343332 31 2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11)
n阶行列式的计算方法 学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导老师:王改霞职称：讲师 摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言 行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义：
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-1213112 2321323312300(1) 00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式1231 231 231 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]() ()()()()()1223231223231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110 100 111 . 001000 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
行列式的计算方法 摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=∑ -n n n j j j nj j j j j j a a a 212 1 2121) () 1(τ 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=nn n n n n a a a a a a a a a 2122212121 11； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D= d c b a =ad-b c , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ?,交换i,j 两列记作 C i ? C j 。 32 2311332112312213a a a a a a a a a ---3221133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1