概率论与数理统计习题二答案
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为
{}{}{}24
333555
C 1330.1,40.3,50.6C C C P X P X P X =========
故所求分布律为
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)1
33{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为
{}{}{}3122113213
213333151515C C C C C 221210,1,2.C 35C 35C 35
P X P X P X =========
X （2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤=
当01x ≤<时，{}{}22()035
F x P X x P X =≤===
当12x ≤<时，{}{}{}34()0135
F x P X x P X P X =≤==+==
当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数
0,
022
,0135
()34,12351,2x x F x x x
?≤
(3)
1122
()(),
2235333434
(1)()(1)0
223535
3312
(1)(1)(1)2235
341
(12)(2)(1)(2)10.
3535
P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=
<<=--==--=
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为
{}{}{}{}312
32
2
3
3
0(0.2)0.008,1C 0.8(0.2)0.096
2C (0.8)0.20.384,3(0.8)0.512
P X P X P X P X ============
X 分布函数
0,
00.008,01()0.104,120.488,231,
3x x F x x x x
=≤
≥??
3次射击中至少击中2次的概率为
{}{}{}2230.896P X P X P X ≥==+==
4.（1） 设随机变量X 的分布律为
{}!
k
P x k a
k λ==，
其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .
（2） 设随机变量X 的分布律为
{}a
P x k N
==
， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知
{}0
1e !
k
k k P X k a a k λλ∞∞
======∑∑
故 e a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
{}1
1
1N N
k k a
P X k a N
======∑∑
即 1a =.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b
(1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==
33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++222233
33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+
0.32076=
(2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== {}{}{}2,13,13,2P X Y P X Y P X Y +==+==+==
12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++332212
33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)+ 31232233
(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑
道，根据题意有
{}0.01P X N ><
即 200
200200
1
C
(0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑
利用泊松定理近似计算
2000.02 4.np λ==?=
{}44200
11
e 4e 40.01!!k k
k N k N P X N k k --∞
=+=+>≈≈<∑∑
查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）
(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=
0.1
0.11e
0.1e --=--?
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则
14223
55C (1)C (1)p p p p -=-
故 1
3
p =
所以 4
4
51210(4)C ()
3
3243
P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】设B 表示指示灯发出信号
（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则~(5,0.3)X B 。 所求概率为
5
553()(3)C (0.3)(0.7)0.16308k
k k k P B P X -==≥==∑
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则~(7,0.3)Y B ，所求概率为
7
773()(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P B P Y -==≥==∑
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为
2
t
的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】2
t λ=
（1）3 1.52λ== {}1.50
1.5e
,0,1,2,!k k P X k k k -∞
====∑
从而 32
(0)e
0.2231P X -
===
(2) 5 2.52λ== {}2.50
2.5e
,0,1,2,!k k P X k k k -∞
====∑ 2.5(1)1(0)1e 0.918P X P X -≥=-==-=
11.设 P {X =k }=k k k p p --22)
1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m
m m p p --44)
1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5
9
，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=
，所以 4(1)9
P X <=. 即 24
(0)(1
)9
P X p ==-= ，可得 1.3p = 从而 4
65
(1)1(0)1(1)0.8024781
P Y P Y p ≥=-==--=
≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松定理近似计算,
20000.0012np λ==?=
{}25554995
2000
e 25(0.001)(0.999)
0.00185!
P X C
-==≈=
13.进行某种试验，成功的概率为
34，失败的概率为1
4
.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
【解】X 的可能取值为 1,2,3, ，X 的分布律为
{}113
(),1,2,3,44
k P X k k -===
X 取偶数的概率为
{}{}{}242p P X P X P X k ==+=++=+ 321131313()()444444k -=++++ 21
314145
1()4
==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X ，则~(2500,0.002)X b ，则所求概率为
{}200030000{15}1{14}P X P X P X >=>=-≤
由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松定理近似计算，有
514
e 5(15)10.000069!k
k P X k -=>≈-≈∑
(2) P (保险公司获利不少于10000)
(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤
510
e 50.986305!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤
55
e 50.615961!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X 的密度函数为
f (x )=A e -|x |, -∞ 求：（1）A 值；（2）P {0 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 得 ||0 1e d 2e d 2x x A x A x A ∞ ∞ ---∞ ===?? 故 1 2 A = . (2) 11 011(01)e d (1e )22 x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111 ()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+??? 11e 2 x -=- 故 1e ,0 2 ()11e 0 2 x x x F x x -? ?-≥?? 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为 2 100 ,100,()0, 100.x f x x x ?≥? =?? （1）电子管寿命小于150小时的概率为 150 2 1001001 (150)d 3 P X x x ≤= =? 150小时内没有电子管损坏的概率为 33128 [(150)]()327 p P X =>== (2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率为 1 223124 C ()339 p == (3) 当x <100时F （x ）=0 当x ≥100时()()d x F x f t t -∞= ? 100 100 ()d ()d x f t t f t t -∞=+? ? 2 100100100 d 1x t t x = =-? 故 100 1,100()0, 0x F x x x ?- ≥?=?? 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为 1 ,0()0, x a f x a ?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0 1()()d ()d d x x x x F x f t t f t t t a a -∞ ====??? 当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数 0,0(), 01, x x F x x a a x a ?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即 1 ,25 ()3 0, x f x ?≤≤?=???其他 53 12 (3)d 33 P X x >==? 故所求概率为 223333 21220C ()C ()33327 p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1 ()5 E .某顾客在窗口 等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5 X E ，即其密度函数为 5 1e ,0 ()5 0,x x f x -?>?=??≤? x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25 101(10)e d e 5 x P X x -∞ ->==? 2~(5,e )Y b -,即其分布律为 225525 ()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5 (1)1(0)1(1e )0.5167 k k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--= 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.9772710 10x P X P Φ--?? <=<== ??? 若走第二条路，X~N （50，42），则 506050(60)(2.5)0.99384 4X P X P Φ--?? <=<== ??? 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.691510 10X P X P Φ--?? <=<== ??? 若X~N （50，42），则 504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--?? <=<=- ??? 1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2 <≤=<≤ ??? 11(1)(1)1220.841310.69150.5328 ΦΦΦΦ????=--=-+ ? ? ????=-+= 433103(410)2 22X P X P ----?? -<≤=<≤ ??? 770.999622ΦΦ???? =--= ? ????? (||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<- 323323222215151122220.691510.99380.6977 X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ? ???????????? =--+-=+- ? ? ? ?????????=+-= 333 (3)( )1(0)0.522 X P X P Φ->=>=-=- (2) 由()()P X c P X c >=≤ 得 3333222 2X c X c P P ----???? >=≤ ? ????? 即 33122c c ΦΦ--????-= ? ????? ，30.52c Φ-??= ???，故3c =. 22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品, 求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-? ->=> ??? 1(2)(2)2[1(2)]0.0456 ΦΦΦ=-+-=-= 23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200} ≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---?? <≤=<≤ ??? 404040210.8ΦΦΦσσσ-??????=-=-≥ ? ? ??????? 故 40 31.251.29 σ≤ = 24.设随机变量X 分布函数为 F （x ）=e ,0, (0),00.xt A B x , x λ-?+≥>? （1） 求常数A ，B ； （2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）. 【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞ →+ →-=???=??得11A B =??=-? （2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==- 33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--= (3) e ,0 ()()0, 0x x f x F x x λλ-?≥'==? 25.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??<≤-<≤. ,0,21, 2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）. 【解】当x <0时F （x ）=0 当0≤x <1时 0 ()()d ()d ()d x x F x f t t f t t f t t -∞ -∞ = =+? ? ? 2 0d 2 x x t t ==? 当1≤x<2时 ()()d x F x f t t -∞ = ? 01 1 1 1 22 ()d ()d ()d d (2)d 13222221 2 x x f t t f t t f t t t t t t x x x x -∞ ==+=+-=+--=-+-? ???? 当x ≥2时 ()()d 1x F x f t t -∞ = =? 故 22 0,0,01 2 ()21,1221, 2 x x x F x x x x x 26.设随机变量X 的密度函数为 （1）(),0x f x ae λλ-=> f (x )=a e - |x |,λ>0; (2) 2, 011(), 120, bx x f x x x < =≤ 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 知 || 21e d 2 e d x x a a x a x λλλ ∞ ∞ ---∞=== ?? 故 2 a λ = 即密度函数为 e ,02 ()e 02 x x x f x x λλλλ-?>??=??≤?? 当x ≤0时 1 ()()d e d e 22 x x x x F x f x x x λλλ -∞ -∞===? ? 当x >0时 0 ()()d e d e d 2 2 x x x x F x f x x x x λλλ λ --∞ -∞ = =+? ? ? 11e 2 x λ-=- 故其分布函数 11e ,02 ()1e ,02 x x x F x x λλ-?->??=??≤?? (2) 由12 20 1 11 1()d d d 22 b f x x bx x x x ∞ -∞ = =+=+? ?? 得 b =1 即X 的密度函数为 2,011(),120, x x f x x x < =≤ 当x ≤0时F （x ）=0 当0 ()()d ()d ()d x x F x f x x f x x f x x -∞-∞ = =+? ? ? 2 d 2 x x x x = =? 当1≤x <2时012 1 1()()d 0d d d x x F x f x x x x x x x -∞ -∞ ==++???? 312x = - 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为 20,0,01 2 ()31,1221,2 x x x F x x x x ≤???< 27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） 由 (),0.01P X z ααα>== 可得 0.011()0.01z Φ-= 即 0.01()0.99z Φ= 故 0.01 2.33z = （2）由 (),0.003P X z ααα>== 可得 0.0031()0.003z Φ-= 即 0.003()0.997z Φ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得 /21()0.0015z α-Φ= 即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 【解】Y 可取的值为0，1，4，9 1(0)(0)5 117(1)(1)(1)61530 1(4)(2)511 (9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X === = ===-+==+====-= ==== 29.设P {X =k }=( 2 )k , k =1,2,…,令 1,1,. X Y X ?=? -?当取偶数时 当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】随机变量Y 的可能取值为 1,1-，其分布律为 (1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+ 2 4 2111111 ()()()()/(1)222 443 k =++++=-= 2 (1)1(1)3 P Y P Y =-=-== 30.设X ~N （0，1）. （1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度. 【解】因为~(0,1)X N ,所以X 的密度函数为 2 2 (),x X f x x -=-∞<<+∞ （1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ ln ()d y X f x x -∞ = ? 故 2 ln 2d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -= ==> (2)由 2 211Y X =+≥可知 当y ≤1时，()()0Y F y P Y y =≤= 当y >1时，2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤ 2 12y P X P X ?-??=≤=≤ ? ? ?? ()d X f x x = 故 d ()()d Y Y X X f y F y f f y ? ?==+? ??? (1)/4 ,1y y --= > (3) 由Y =｜X ｜可知 (0)1P Y ≥= 当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y X y f x x -= ? 故d ()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y = =+- 2/2 ,0y y -= > 31.设随机变量X ~U （0,1），试求： （1） X Y e =的分布函数及密度函数； （2） 2ln Z X =-的分布函数及密度函数. 【解】X 的概率密度为 1,01 ()0,X x f x < ?其它 （1） 由 (01)1P X <<=,X Y e =,得 (1e)1P Y <<= 当1y ≤时 ，()()0Y F y P Y y =≤= 当1 ln 0 d ln y x y ==? 当y ≥e 时，()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数 0, 1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤?? =< 故Y 的密度函数为 1 1e , ()0,Y y y f y ?< =??? 其他 （2） 由P （0 当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤= 当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤ /2 (ln )(e )2 z z P X P X -=≤-=≥ /21 /2e d 1 e z z x --==-? 即分布函数 -/2 0, 0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>? 0 故Z 的密度函数为 /2 1e ,0 ()20, z Z z f z z -?>?=??≤?0 32.设随机变量X 的密度函数为 2 2,0π ()π0, x x f x ?< 【解】因为(0)1P X π<<=,由 Y =sin X 可知 (01)1P Y <<= ， 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当0 (0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π2 20πarcsin 22d d ππy y x x x x -=+?? 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（） 2 arcsin π y = 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为 201π()0,Y y f y ?< 其他 33.设随机变量X 的分布函数如下： ??? ??≥ <+=. )3(, )2(, )1(,11 )(2 x x x x F 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞ =知②填1。 由右连续性+ 0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。 从而③亦为0。即 2 1 ,0()11, 0x F x x x ? =+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )= 1 6 .且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则 121212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+- 111111666636 = +-?= X 可能的取值为1,2,3 ，分布律为{}1 2511,1,2,3,3636k P x k k -???? === ? ??? ?? 故抛掷次数X 服从参数为 11 36 的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则 X~b (n ,0.1) 00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n n P X P X ≥=-==-≥ 即 (0.9)0.1n ≤ 解得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F （x ）=???? ? ????≥<≤+<. 2 1,1,21 0, 21,0,0x x x x 则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数. （A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型. 【解】因为F （x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞ = lim ()1x F x →+∞ =,所以F （x ）是一个分布函数。 但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ） 37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，则区间 [a ,b ] 等于（ ） (A ) [0,π/2]; (B ) [0,π]; (C ) [-π/2,0]; (D) [0, π2 3]. 【解】在π [0,]2 上sin x ≥0，且π/20sin d 1x x =?.故f (x )是密度函数。 在[0,π]上π sin d 21x x =≠? .故f (x )不是密度函数。 在π [,0]2- 上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。 在3[0,π]2上，当3 ππ2 x <≤时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。 故选（A ）。 38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为2 1 3 ~(0,),(13)( )X X N P X P σσ σ σ <<=< < 3 1 ()()()g σσσ =Φ-Φ=令 利用微积分中求极值的方法，有 22 3 311 ()()()()g σσ σσσ '''=- Φ+Φ 22 2 2 9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----== -=令 得2 04ln 3σ= ,则 0σ= 又 0()0g σ''< 故0σ= 故当σ= X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每个顾客购买某种物 品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律. 【解】e (),0,1,2,! m P X m m m λλ-== = 设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即 (|)C (1) ,0,1,,k k m k m P Y k X m p p k m -===-= 由全概率公式有 ()()(|)m k P Y k P X m P Y k X m ∞ ======∑ (1)e C (1)!e (1)!()!()[(1)]e ! ()!()e e ! ()e ,0,1,2,! m k k m k m m k m k m k m k k m k m k k p k p p p m p p k m k p p k m k p k p k k λλ λ λλλλλλλλλ-∞ -=∞ --=-∞ -=---=-=---=-===∑∑∑ 此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为 22e ,0 ()0, 0x X x f x x -?>=? ≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0 当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1 当0 1 ln(1)220 1 (ln(1)) 22e d y x P X y x y ---=≤--==? 即Y 的密度函数为 1,01 ()0,Y y f y < ?其他 即Y~U （0，1） 41.设随机变量X 的密度函数为 f (x )=???? ?????≤≤≤≤., 0,63,9 2 ,10,31 其他x x 若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考) 【解】由P （X ≥k ）= 23知P （X 3 若k <0,P (X 若0≤k <1,P (X d 333k k x = 3 若1≤k ≤3时P （X d 0d 33k x x +=?? 若3 d d 39933 k x x k +=->?? 若k >6,则P （X 故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=2 3 . 42.设随机变量X 的分布函数为 F (x )=???????≥<≤<≤--<.3, 1,31,8.0,11,4.0,1, 0x x x x 求X 的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 4习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[( )]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ）， D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠?? 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计习题二答案 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)1 33{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为 （2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤= 当01x ≤<时，{}{}22()035 F x P X x P X =≤=== 当12x ≤<时，{}{}{}34()0135 F x P X x P X P X =≤==+== 当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为 分布函数 3次射击中至少击中2次的概率为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 {}! k P x k a k λ==， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 {}a P x k N == ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b (1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++222233 33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ (2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== 312322 33(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑 道，根据题意有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松定理近似计算 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 13 p = 所以 4 451210 (4)C () 33243 P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 概率论 习题四 答案 1.设随机变量X 的分布律为 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P 5905100 C 0.583C = 14 1090 5 100 C C 0.340C = 231090 5 100 C C 0.070C = 321090 5 100 C C 0.007C = 4110905100 C C 0C = 510 5 100 C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?=L 3.设随机变量X -1 0 1 P p 1 p 2 p 3 且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①, 又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=g g ……②, 222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=g g g ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p === 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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