机械振动习题集
同济大学机械设计研究所
2009.2
第一章概论
1-1概念
1.机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？
构造振动系统力学模型的元件，其典型元件有惯性元件、弹性元件、阻尼元件
2.机械振动研究哪三类基本问题？
振动分析：已知激励和系统求响应；系统识别：已知激励和响应求系统；载荷识别或环境预测：已知系统和响应求激励。
3.对机械振动进行分析的一般步骤是什么？
第一步：把工程实际问题简化为振动分析的力学模型；第二部：根据力学模型，运用力学原理导出数学模型（即系统的运动微分方程）；第三步：求解系统微分方程，得到系统响应；第四步：对求解的结果进行讨论分析，从中获得解决工程实际问题的有用信息；第五步：实验验证上述理论分析结果。
4.在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？
力学模型：对实际问题的近似，使用简化的、理想的元件和输入、输出元素构造的假象模型；数学模型：在力学模型的基础上建立的能够完全确定系统运动规律的数学方程式。
5.惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？
惯性元件的基本特性：在运动时将产生与加速度呈线性关系的惯性力（矩）；弹性元件的基本特性：在变形时将产生与变形相关、抵抗变形的弹性恢复力（矩）；阻尼元件的基本特性：在变形时将产生与变形速度相关、阻碍变性变化的阻尼力（矩）。
6.什么叫离散元件或集中参数元件？
只考虑惯性、弹性、阻尼中一种因素的元件。
7.什么叫连续体或分布参数元件？
同时考虑物理构件惯性、弹性和阻尼作用的模型元件。
8.建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？
1、等效性；
2、简易性；
3、逐步逼近。
9.建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模
型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。
建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题：
●预测振动的基本形态，了解分析的目的和要求；
●振动时构件的主要变形；
● 储存振动动能的主要惯性； ● 振动的主要激励； ● 振动的主要阻尼；
10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？
构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件 、以及连接元件都是线性元件 11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？
构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件 、以及连接元件的参数都是固定的 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？
1-2简谐运动及其运算
1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3
sin(2π
ω+
=t x （2）)4
10cos(4π
π+
=t x （3）)452cos(3?+=t x π
答案：（1）11
1,,2222
S B B X j X j X j +-==
-=+
（2）,,S B B X X X +-===
（3）,,224444
S B B X j X j X j +-=
+=+=-
2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核
（1）)3
sin(21π
ω+
=t x )3
2s i n (32π
ω+
=t x （2）t x π10sin 51=
)4
10cos(42π
π+
=t x
（3）)302sin(41?+=t x π )602sin(52?+=t x π )452cos(33?+=t x π
)382cos(74?+=t x π )722cos(25?+=t x π
答案：
（1）)6.6cos(359.412?+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312?-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345?+=t x π
3试计算题1中)(t x 的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程
4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++
。试计算下列问题 （1）已知 1.5,6,25,()10sin(1237)a b c x t t π====+，求)(t f （2）已知3,7,30,()25sin(764)a b c f t t π====+，求)(t x
答案：
（1） f(t)=85190.82cos(12πt+126.45°) （2） x(t)=0.018sin(7πt-109.81°)
5简述同向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点
6简述同向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点
1) 如果频率比值为无理数，则没有共同周期，叠加后为非周期振动。
2) 如果频率比值为有理数，叠加后的振动周期为他们周期的最小公共周期，如果比值接
近1，将出现“拍”现象，如果相差较大，出现“调制”现象。
3) 在“拍”和“调制”的情况下，幅值相差很大时，合成图形依然趋于正弦图形。 7简述垂直方向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点 答： 垂直方向同频简谐振动在
i. 同相时：不同幅值下为一条直线，直线的斜率等于y 方向上振动的幅值比x
方向上振动的幅值。 ii. 不同相时：为一椭圆，椭圆形状随相位和幅值的变化而变化。
8简述垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点？
答：垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下的合成运动，一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。但是，当两个互相垂直的振动频率成整数比时，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。
9利用“振动计算实用工具”，通过输入具体参数，观察1-5题到1-8题振动合成的图形及其特点 答案：
（1）同向同频 幅值由两者的幅值和相位决定，频率不变。相位相同时，合成后的幅值为两者之和，相位相反时，合成后的幅值为两者之差。其它相位情况介于两者之间。
（2）同向异频
（3）垂直方向同频简谐振动椭圆 同幅值
不同幅值
（4）垂直方向异频简谐振动
合成振动的图形呈现李普里曲线的形式
10用一加速度计测得某结构按频率25Hz 作简谐振动时的最大加速度为5g （2
9.8/g m s =），求此结构的振幅，最大速度和周期 答案：2
1
,,1050025
m m g g x x T ππ=
== 11设有两个简谐振动，分别以(5)
3i t e π和(5)
2
5i t e
π
π+表示，试用旋转矢量合成，并写出在实轴
和虚轴上的投影
j X 53+=
12有两个垂直方向振动，cos ,cos()x a t y b t ωωθ==+，证明它们的合成运动是一个椭圆
答案：由cos ,cos()x a t y b t ωωθ==+消去t 得到
222
2
2)sin (b y b y a x cos 2a
x θθ=+???-
13如图2-1
第二章单自由度系统的振动理论
2-2单自由度系统振动
1 求图示系统的固有频率。
其中（a）（b）图中，不计杆的质量m和抗弯刚度EI；（c）（d）图中，简支梁的抗弯刚度为EI，质量不计。受力情况如图所示。
L
m
K
L/2L
m
K
L/2
EI
EI
(a)(b)
(c)(d)
图2-1
答案：（a）
n
ω=(b)
n
ω=
（c）m
k
l
EI
n
+
=3
48
ω；(d)
m
k
l
EIk
l
EIk
n
)
48
(
48
3
3
+
=
ω
2求图示系统固有频率。
（a）图为一单摆，摆球质量m，摆长L。
（b）图中两个弹簧在距单摆固定端a处连接。
（c）图为一倒立摆，两弹簧在距底端a处连接。
(a)
图2-2
答案：(a)
n
ω=；(b)
n
ω=(c)
n
ω=
3求图示系统固有频率。
（a）图中，水平方向的两杆视为弹性系数为k1，k2的弹簧，四个弹簧的连接关系为：k1与k2串联后与k3并联，再与k4串联。
（b）图中，滑轮和绳子的质量以及绳子的弹性略去不计。
k1
k3
k2
k4
m
x
m
k1
k2
x
(a)(b)
图2-3
答案：(a)
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
?
+
+
+
??
?
?
?
?+
+
=
)
(
4
3
2
1
2
1
4
3
2
1
2
1
ω；(b)
n
ω=
4图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量kg
m1
=时，测得振动频率为Hz
5.1。当带有质量
kg
m2
=时，测得振动频率为Hz
75
.0。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状
态时顶端质量
s
m为多少？
图2-4
答案：kg m s 3=
5 如图2-5
心C
答案：n ω=
6 以角速度ω转
答案：n ω=
7 确定图2-6所示系统的固有频率。圆盘质量为m 。
8
9 质量为m 半径为
答案：()
r R g
n -=
32ω
10用三根长度为l 的细线将一质量m 半径r 的刚性圆盘吊在天花板上，吊点三等分圆周 （1）求圆盘绕其垂直中心线作回转运动的固有频率 （2）求圆盘只作水平横向振动（不旋转）的固有频率
图2-9
答案：（1）
l g
2（2
）n ω=
11横截面为A 质量为m 的圆柱型浮子静止在比重为γ的液体中。设从平衡位置压低x ，然后无初速度释放，如不计阻尼，求浮子振动响应
图2-10
答案：m
gA
t x t x n n γωω=
=);cos()(
图2-15
12 各弹簧已预紧（受拉），求图示系统的固有频率。
图2-11
答案：
1M w K
==即12求等截面U 型管内液体振动周期，阻力不计，管内液柱总长度L
x
图2-12
答案：
T=213如图所示，两个滚轮以相反方向等速转动，两个滚轮中心距2a ，上面放置一块重量W 长度l 的棒，棒于滚轮的磨檫系数μ，现将棒的重心c 推出对称位置o,试证棒将作简谐运动，并请导出磨檫系数的表达式
图
2-16
解：设左轮支反力为F1,右轮支反力为F2，去水平x 为广义坐标，对某一偏离对称中
心可列平衡方程：
由于F1*2a=W*(a+x)
F2*2a=W*(a-x) F1+F2=W 可推得F1-F2=
x
综上可得：-x=0
由方程可知系统做简谐振动
14 如图2-13所示，一小车（重P ）自高h 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k ，斜面倾角为α，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小
答案：T =
15重物1
m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处在静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处由静止开始自由降落到
1m 上而无弹跳，求振动响应
图2-14
答案：212
()cos ;n n n n m g x t t k ωωω=-
+=
16 某仪器中一元件为一等截面的悬臂梁，质量可以忽略。在梁的自由端有两个集中质量
m1与m2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m2突然释放，试求m1的响应。
m1m2
图2-15
答案：132;3);cos(x(t)m K
L
EI K t K g m n n =
==
ωω
17 一均质半圆盘，质量为m,半径为r,自由地铰接于它的中心，如图所示。现以0θ初角度释放，求半圆盘在小摆角振荡的响应。
图2-16
解：转矩方程：
∑?
?=θ0J M ; 2
02
1mr J =
；质心与盘中心距离π34R R =;
运动方程：θθsin 0mgR J -=?
?；响应：t n ωθθcos 0=；π
ωR g n 38=
。 18重2Q =吨的重物在吊索上以匀速5/min v m =下降，由于吊索嵌入滑轮卡子，突然停止，重物作上下自由振动。已知吊索在2吨重物静载作用下伸长5mm ，吊索自重不计，求重物振动频率和吊索中的最大张力
答案：s /44.72rad =ω N T 4m a x 104?=
19如图，1000,200/,W N k N cm ==已知图示状态，弹簧已有初压力0100,F N =如平台撤除，求重块下落距离
k1k2
k3
k4
m
图2-17
答案：5.4cm
2.3 简谐激励下的强迫振动
1. )(t p kx x c x m =++
（1） 已知m=3, c=1, k=12, t t p 3sin 24)(=, 求解稳态响应。
答案：)7.1683sin(5689.1)(?-=t t x
（2） 已知m=5, c=8, k=20, )603sin(10)(?+=t t p , 求解稳态响应。 答案：)2.763sin(2886.0)(?-=t t x
（3） 已知m=10, c=15, k=18, t t p 5cos 15)(=, 求解稳态响应。 答案：)1.1625cos(0615.0)(?-=t t x
（4） 已知m=12, c=15, k=20, )452cos(10)(?+=t t p , 求解稳态响应。 答案：)882cos(2437.0)(?-=t t x
（5） 已知m=600, k=1176000, 1.0=ξ, t t p π16sin 3000)(=, 求解稳态响应。 答案：)8.5116sin(0069.0)(?-=t t x π
（6） 已知m=6, c=25, k=800, t t t p 18cos 37sin 2)(-=, 求解稳态响应。
答案：)5.15818(cos 00244.0)1.197sin(003735
.0)(?--?-=t s t t x （7） 已知m=10, c=15, k=40, t t t p 3cos 2sin )(+=, 求解稳态响应。 答案：)13818(cos 0297.0)6.26sin(0298.0)(?--?-=t s t t x （8） 已知m=10, c=15, k=40, t t t p 3cos 2sin )(+=, 求解稳态响应。 答案：)13818(cos 0297.0)6.26sin(0298.0)(?--?-=t s t t x
2. )(t p kx x c x m =++ ，p(t)的大小如下图的所示，求其稳态响应。（取一项即可）
答案：()∑-∞
=-??
????
-=
5,3,12
2
2
1
2
1sin 8)1(n n n n n
F t n K
x λω , 取第一项λω2
20
1sin 8-=t K x n F
3．已知频响函数曲线
()1
H =，当=0.10.30.50.7ξ，，，时，分别画出幅频曲线幅频H 0u
相频θ0
4. 已知频响函数曲线()2
j
H 12j
λλξλ=-+，当=0.20.51ξ，
，时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。 答：