第二十五章概率初步
25．1随机事件与概率
25．1.1随机事件
1．了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．
2．能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件．
3．有对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素．
重点：对生活中的随机事件作出准确判断，对随机事件发生的可能性大小作定性分析．难点：对生活中的随机事件作出准确判断，理解大量重复试验的必要性．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P127～129.
归纳：在一定条件下必然发生的事件，叫做__必然事件__；在一定条件下不可能发生的事件，叫做__不可能事件__；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做__随机事件__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
(1)太阳从西边落下；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(4)自然条件下，水往低处流；
(5)三个人性别各不相同；
(6)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解．
解：(1)(4)(6)是必然发生的；(2)(3)(5)是不可能发生的．
2．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中随机摸出1个小球，请你写出这个摸球活动中的一个随机事件：__摸出红球__．
3．一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的可能性__>__摸到J，Q，K的可能性．(填“＞”“＜”或“＝”)
4．从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是(D)
A．抽出一张红桃B．抽出一张红桃K
C．抽出一张梅花J D．抽出一张不是Q的牌
5．某学校的七年级(1)班，有男生23人，女生23人．其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则：a.抽到一名住宿女生；b.抽到一名住宿男生；c.抽到一名男生．其中可能性由大到小排列正确的是(A)
A．cab B．acb C．bca D．cba
点拨精讲：一般的，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数．请考
虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：
(1)出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
(2)出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
(3)出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
(4)你能列举与事件(3)相似的事件吗？
点拨精讲：必然事件和不可能事件统称为确定事件．事先不能确定发生与否的事件为随机事件．
2．袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球．我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B.
(1)事件A和事件B是随机事件吗？哪个事件发生的可能性大？
(2)20个小组进行“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大约有几组？“20次摸球”的试验中呢？你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？
(3)如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这样做会不会影响试验的正确性？
(4)通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生的可能性较大、必须怎么做？
点拨精讲：(4)进行大量的、重复的试验．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．下列事件中是必然事件的是(A)
A．早晨的太阳一定从东方升起
B．中秋节晚上一定能看到月亮
C．打开电视机正在播少儿节目
D．小红今年14岁了，她一定是初中生
2．一个鸡蛋在没有任何防护的情况下，从六层楼的阳台上掉下来砸在水泥地面上没摔破(B)
A．可能性很小B．绝对不可能
C．有可能D．不太可能
3．下列说法正确的是(C)
A．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
B．可能性很小的事件在一次试验中一定发生
C．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
D．不可能事件在一次试验中也可能发生
4．20张卡片分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽出一张，号码是2的倍数与号码是3的倍数的可能性哪个大？
解：号码是2的倍数的可能性大．
5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)刘翔再次打破110米跨栏的世界纪录；
(3)打靶命中靶心；
(4)掷一次骰子，向上一面是3点；
(5)13个人中，至少有两个人出生的月份相同；
(6)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
(7)在装有3个球的布袋里摸出4个球；
(8)物体在重力的作用下自由下落； (9)抛掷一千枚硬币，全部正面朝上．
解：必然事件：(1)(5)；随机事件：(2)(3)(4)(6)(8)(9)；不可能事件：(7)． 6．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比值为3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
解：“落在海洋里”可能性更大．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．必然事件、随机事件、不可能事件的特点．
2．对随机事件发生的可能性大小进行定性分析． 3．理解大量重复试验的必要性．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．1.2 概率(1)
1．了解从数量上刻画一个事件发生的可能性的大小．
2．理解P(A)＝m
n
(在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种)的意义．
重点：对概率意义的正确理解．
难点：对P(A)＝m
n
(在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种)的正确理解．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材第130至132页． 归纳：
1．当A 是必然事件时，P(A)＝__1__；当A 是不可能事件时，P(A)＝__0__；任一事件A 的概率P(A)的范围是__0≤P(A)≤1__．
2．事件发生的可能性越大，则它的概率越接近__1__；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近__0__．
3．一般地，在一次试验中，如果事件A 发生的可能性大小为__m n __，那么这个常数m
n 就
叫做事件A 的概率，记作__P(A)__．
4．在上面的定义中，m ，n 各代表什么含义？m
n
的范围如何？为什么？
点拨精讲：(1)刻画事件A 发生的可能性大小的数值称为事件A 的概率．
(2)__必然__事件的概率为1，__不可能__事件的概率为0，如果A 为__随机__事件，那么0＜P(A)＜1.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．在抛掷一枚普通正六面体骰子的过程中，出现点数为2的概率是__1
6
__．
2．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯恰是黄灯亮的概率为__1
12__．
3．袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，它们除颜色外，其余都相同．摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为__1
5
__．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
1．掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： (1)点数为2；(2)点数为奇数； (3)点数大于2小于5. 解：(1)16；(2)12；(3)1
3
.
2．一个桶里有60个弹珠，其中一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的．拿出红
色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%.桶里每种颜色的弹珠各有多少？ 解：红：21；蓝：15；白：24.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟) 1．袋子中装有24个和黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，摸到黑球的概率大，还是摸到白球的概率大一些呢？说明理由，并说明你能得到什么结论？
解：摸到黑球的概率大．摸到黑球的可能性为1213，摸到白球的可能性为113，1213>1
13，故
摸到黑球的概率大．(结论略)
点拨精讲：要判断哪一个概率大，只要看哪一个可能性大．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P(A)＝__m
n
__且 __0__≤P(A)≤__1__．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．1.2 概率(2)
1. 进一步在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法计算简单事件发生的概率，并阐明理由．
2．运用P(A)＝m
n
解决一些实际问题．
重点：运用P(A)＝m
n
解决实际问题．
难点：运用列举法计算简单事件发生的概率．
一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 133.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？
抽到1的概率为多少？
解：5种；1
5
.
2．掷一个骰子，向上一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？ 解：6种；1
6
.
3．如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．指针恰好指向其中的某个扇形(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求下列事件的概率．
(1)指针指向绿色；(2)指针指向红色或黄色；(3)指针不指向红色． 解：(1)14；(2)34；(3)1
2
.
点拨精讲：转一次转盘，它的可能结果有4种——有限个，并且各种结果发生的可能性相等．因此，它可以运用“P(A)＝m
n
”，即“列举法”求概率．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
1．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A 区域(划线部分)，A 区域外的部分记为B 区域，数字3表示在A 区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A 区域还是B 区域？
思考：如果小王在游戏开始时踩中的第一个方格上出现了标号1，则下一步踩在哪个区域比较安全？
2．(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？由此怎样确定“正面朝上”的概率？
(2)掷两枚硬币，求下列事件的概率： A ．两枚硬币全部正面朝上； B ．两枚硬币全部反面朝上；
C ．一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上．
思考：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
点拨精讲：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，两种试验的所有可能结果一样．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子
反面朝上放在棋盘中，任取一个不是兵和帅的概率是( D )
A .116
B .516
C .38
D .58
2．冰柜中装有4瓶饮料、5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜中随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( D )
A .536
B .38
C .1536
D .1736
3．从8，12，18，32中随机抽取一个，与2是同类二次根式的概率为__3
4__．
4．小李手里有红桃1，2，3，4，5，6，从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下列事件的概率：(1)牌上的数字为3；(2)牌上的数字为奇数；(3)牌上的数字大于3且小于6.
解：(1)16；(2)12；(3)1
3
.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏的列出所有可
能的结果，通常采用列举法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．2 用列举法求概率
1. 会用列表法求出简单事件的概率．
2. 会用树状图法求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
重点：运用列表法或树状图法计算简单事件的概率． 难点：用树状图法求出所有可能的结果．
一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 136～139.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？
解：两种结果：白球、黄球．
2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共
有几种可能的结果？
解：三种结果：两白球、一白一黄两球、两黄球．
3．一个盒子里有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，一个红色，一个绿色，两个白色，现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是__1
6
__．
4．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是__1
6
__．
点拨精讲：这里2，3，4题均为两次试验(或一次两项)，可直接采用树状图法或列表法．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
1．同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子点数的和是9； (3)至少有一个骰子的点数为2.
讨论：(1)上述问题中一次试验涉及到几个因素？你是用什么方法不重不漏地列出了所有可能的结果，从而解决了上述问题？
(2)能找到一种将所有可能的结果不重不漏地列举出来的方法吗？(介绍列表法求概率，让学生重新利用此法做上题)．
(3)如果把上例中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？
点拨精讲：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是将两个步骤分别列在表头中，所有可能性写在表格中，再把组合情况填在表内各空格中．
2．甲口袋中装有2个相同的小球，他们分别写有A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，分别写有C ，D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，他们分别写有H 和I .从3个口袋中各随机取出1个小球．
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？ (2)取出3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
点拨：A ，E ，I 是元音字母；B ，C ，D ，H 是辅音字母．
分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？打算用什么方法求得？
点拨精讲：第一步可能产生的结果会是什么？——(A 和B )，两者出现的可能性相同吗？分不分先后？写在第一行．
第二步可能产生的结果是什么？——(C ，D 和E )，三者出现的可能性相同吗？分不分先后？从A 和B 分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C ，D 和E .
第三步可能产生的结果有几个？——是什么？——(H 和I )，两者出现的可能性相同吗？分不分先后？从C ，D 和E 分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H 和I .
(如果有更多的步骤可依上继续)第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数．再找出符合要求的种数，就可计算概率了．
合作完成树状图．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．将一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次能
配成“紫色”(提示：只有红色和蓝色可配成紫色)的概率是__1
18
__．
2．抛掷两枚普通的骰子，出现数字之积为奇数的概率是__1
4__，出现数字之积为偶数的
概率是__3
4
__．
3．第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒中随机的取出一个球，求下列事件的概率：
(1)取出的两个球都是黄球；
(2)取出的两个球中有一个白球一个黄球． 解：16；12
.
4．在六张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机的抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
解：718
.
点拨精讲：这里第4题中如果抽取一张后不放回，则第二次的结果不再是6，而是5. 5．小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由；若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
解：P(积为奇数)＝13，P(积为偶数)＝2
3
.
1 2 3 1 1 2 3 2
2
4
6
13×2＝1×2
3
.∴这个游戏对双方公平． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1. 一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的．通常可用列表法和树状图法求得各种可能的结果． 2．注意第二次放回与不放回的区别．
3．一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．3用频率估计概率
1. 理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2. 了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率．
重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性．
难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解．
一、自学指导．(20分钟)
自学：阅读教材P142～146.
归纳：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．
当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)
1．小强连续投篮75次，共投进45个球，则小强进球的频率是__0.6__．
2．抛掷两枚硬币，当抛掷次数很多以后，出现“一正一反”这个不确定事件的频率值将稳定在__0.5左右．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数：千克)频率分布如下，其中数据不在分点上.
组别频数频率
46 ～50 40 0.1
51 ～55 80 0.2
56 ～60 160 0.4
61 ～65 80 0.2
66 ～70 30 0.075
71～75 10 0.025
从中任选一头猪，__0.1 .
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)
某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率错误!0.68 0.74 0.68 0.69 0.6825 0.701
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)
【答案】：(2)0.69；(3)0.69；(4)0.69×360°≈248°.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但只要保持试验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)