内生生育率、资本存量结构与经济发展：一个分析框架及基于国际比较的实证检验
王争 史晋川
（浙江大学经济学院 310027）
提要：人力资本投资和生育率的决定是家庭经济决策的两个重要方面，它们影响到宏观经济的长期表现和人口变化的轨迹。本文的分析表明，人力资本/物质资本的存量结构以及无约束条件下的生育率将有一条效用最大化的均衡发展路径。计划生育会使经济体的发展轨道偏离最优路径，而社会经济政策有可能通过改变资本存量结构而具有路径纠偏作用。尽管人力资本存量的度量尚未有完善的方法，但即使以现有代理指标来看，简单的国际比较分析还是显示出了与模型预测相当程度的一致性。
关键词：生育率 人力资本 资本存量 计划生育
（注：本文拟投向第五届中国经济学年会“发展经济学”领域）
Endogenous Fertility, Structure of Capital Stock, and Economic Development: An Analytical Framework and
a Cross-Country Test Based on Multilateral
Comparisons
WANG Zheng and SHI Jinchuan
(College of Economics, Zhejiang University)
Abstract: Human capital investment and fertility choice are both important aspects in the household economic decision, simultaneously affecting the macro-economic performance and the demographic transition pattern. Our analysis indicates that, the stock structure of human capital versus physical capital and the unrestricted fertility may evolve along an equilibrium path that would maximize utility. Family planning could make the evolution path of the economy deviate from the optimal one, however, socioeconomic policies have the function of rectification for the path by properly adjusting the capital stock structure. In spite of the drawbacks in the existing human capital stock estimates, a simple cross-country empirical study still shows some kind of consistency with the model’s forecasts using the common proxy.
Keywords: fertility; human capital; capital stock; family planning
JEL Classification: J13; O11; O15: O40
一、引言
近几十年来，人力资本对经济增长的作用日益受到经济学家和政策制订者的重视。经合组织（OECD）最近发布的一项研究表明，在过去三十年中人力资本已经成为OECD国家经济增长最重要的“引擎”（OECD，2000）。在此之前，Barro（1991，1996）就已经利用面板数据通过对经济增长决定因素的回归分析，证实了人力资本对经济增长正的贡献。作为人力资本最重要的形态，教育水平（包括数量和质量）扮演着至关重要的角色，同时也是实证研究在测度人力资本时使用最频繁的代理变量1。如研究表明在OECD国家，年龄介于15－64岁的劳动人口每增加额外一年受教育年限，长期GDP就能平均增加6个百分点（OECD，2000）；对发展中国家的研究同样能够得出类似的偏效应（UNESCO/OECD，2003）。
在这些研究的背后，是经济学家们长久以来对知识和人力资本创造和积累过程中显著外部性的关注（例如Arrow（1962））。粗略地讲，知识是一种纯公共物品2；在人力资本创造和积累的过程中，作为个体教育和健康等投资结果的私人收益同时也伴随着正的溢出。就教育而言，个体知识的累积同时也增加了社会总体知识存量，而总体存量的增加又反过来促进了其他个体的知识积累；个人在改善饮食、医疗、卫生方面的支出和体育锻炼提高了个人的健康水平，其他个体就减少了被传染患病的几率，而其他人群健康状况的改善反过来对个人也有同样的效应。不同于一般外部性，以知识溢出为典型的这种个体和社会的互惠作用，形象地讲，是经由“知识池”（knowledge pool）来传导的。正是由于知识池的永不枯竭，才使得人力资本的外部性为长期经济增长提供持久驱动力成为可能。
尽管从宏观视角来看，人力资本对经济发展具有日益突出的贡献已毋庸置疑，然而作为人力资本投资微观主体的家庭又是如何通过个体投资决策和预算配置来实现这一加总结果的？个体决策又如何影响到宏观经济表现？养育后代需要花费大量的时间和物质资源，Becker and Lewis（1973）以及De Tray（1973）最先注意到了孩子的数量和质量在家庭生育决策中的替代关系，外生条件的变化将左右数量－质量的决定，这体现于生育数量与教育投入的组合变化上。随后的研究开始把家庭的生育和教育投资决策与内生增长理论相结合，并用来解释人口－经济增长方式的转变（Barro and Becker，1989；Becker et al.，1990）。在他们的迭代模型（overlapping generations model）中，影响生育率（fertility）决策的最主要因1通常，更全面的实证研究还把健康、培训、劳动力流动、社会服务等因素纳入到人力资本估算体系中。
2 Pavitt（1987），Rosenberg（1990）和Arora（1991）等指出由于技术信息中“默会知识”（tacit knowledge）的存在，“编码知识”（codified knowledge）的获得不足以覆盖全部技术信息，因为默会知识的获得是需要较高的成本的。Nelson（1990）进一步指出编码知识是技术信息的一般（generic）构成，它能低成本地传播并进入公共域，而默会知识作为特殊构成通常是私有的。如果由默会知识造成的排他性较强，那么知识产品更接近于俱乐部产品。
素是父母时间的价值。技术进步一方面使得劳动更具生产性，从而提高了所有人类活动时间价值，包括抚养子女的机会成本，另一方面也增加了人力资本投资的回报，因为教育对掌握新技术起着关键性的作用3。因此，在作子女数量－质量决策时，父母选择生育更少的子女但同时增加对每个子女的教育投入。根据他们的模型，人均收入和生育率呈反向变化——随着经济发展，前者上升后者下降。在Barro（1991）的回归中，生育率和人均GDP之间的负相关关系证实了这一理论推论，我们的截面数据也验证了这一关系（见图1）4。
人力资本投资和生育率的内生化通过改变家庭经济决策的约束和效用构成而对投资路径和消费路径产生深刻影响。如果定义人力资本密度为人力资本与物质资本存量之比，那么可以想见用它来表征的资本存量结构和由生育率所代表的人口发展特征将随时间推移而发生变化。这种变化将反映出经济发展的阶段特征，同时政府的政策通过调整资本存量结构和生育率也会影响到发展路径的决定。经济学家曾经担忧人口快速增长会超过投资的增速以致人均收入下降（Coale and Hoover，1958），各国计划生育政策出台的初衷似乎就在于平衡这两者的关系。但是如果把人力资本——这一日渐重要的资本形态的投资引入到我们对投资和人口之间关系的思考中，也许我们将能够更全面地来看待这一困扰了自从Multhus以来无数经济学家和社会学家的古老话题。在一定范围内和假设条件下揭示出这些关系和特征正是本文的主旨所在。为此，本文将采取一个类似Issa（2003）的分析起点，通过一个简单的框架来把我们的思考引向深入。第二部分将会设定模型的基本结构，第三部分通过求解最优路径来对稳定状态作比较静态分析，人口政策以及资本存量结构调整对经济发展轨道产生的影响会在第四部分论述，之后是一个用现有的度量指标所做的简单的国际比较分析，最后是本文的结论。附录中列出的是本文实证分析所用到的原始数据。
3 Schultz（1964）通过对农业的观察最早阐明了技术进步对教育回报增加的根本性作用。
4原始数据见附录A，表A.1。
内生生育率、资本存量结构与经济发展
- 5 - 0
1
2
3
4
5
6
7
010,00020,00030,00040,00050,00060,000
Labour productivity per person engaged in 1990 US$
(converted at Geary Khamis PPPs)
T F R (b i r t h s p e r w o m a n ) 来源：GGDC （2005）；US Census Bureau （2004）
图1 2000年全球总和生育率（TFR ）与劳均产出
二、模型的基本结构
（一）偏好
我们假定家庭的决策者——父母的效用不仅来自自身的消费，也取决于子女的数量。更
进一步，子女的效用也会进入父母的效用函数。从这个意义上讲，父母可以被视为具有“利
他”（altruistic ）的倾向，尽管家庭本身仍然是个追求自身效用最大化的决策单位。根据Becker
and Barro （1988）“利他”效用函数的构造，后代消费的效用以贴现可加的形式进入当前决
策者的效用。效用函数的“递归”（recursive ）性质使得决策者的效用函数可以表示为无限
期贴现总和的形式：
0exp()((),()),U t u c t n t dt ρ∞
=?∫ 其中()u ?是当期效用函数，()c ?和()n ?分别是关于时间t 的消费函数和生育率函数5。ρ代表
常数贴现率。假定()u ?具有对数偏好形式，因此在对Momota and Futagami （2000）的Cobb-
-Douglas 效用函数作对数变换后，当期效用函数ln ln u c n ηε=+，其中常数η和ε分别是
当期消费c 和生育率n 在效用中的权重，并且01η<<，01ε<<。因此，决策者的目标
效用函数可以改写为：
exp()(ln ln ).U t c n dt ρηε∞=?+∫ (1) （二）技术与动态约束
在模型中，家庭生产需要两种投入：物质资本k 和有效人力资本=（即与劳动相结合投
入物质生产部门的人力资本）6，它具有规模报酬不变的Cobb-Douglas 技术。它生产的单一
产品既可用于投资（物质资本积累），又可用于消费。根据Mankiw et al .（1992）的扩展形
式Cobb-Douglas 总量生产函数，我们可以把家庭生产函数的具体形式写作：
1(,),0,0 1.f k Ak A ααα?=><<== (2) 其中h τ==, h 是人力资本总量；τ是把时间禀赋标准化为1后用于工作的时间，(1)τ?就
是人力资本积累所耗费的时间。A 是技术水平的度量，并且技术进步率为g ，即/,A
A g =
5
为方便起见，在不致混淆的情况下，时间变量t 将被省略。 6 也被称为“经人力资本调整后的劳动供给”（human capital adjusted labor supply ）（Duffy and Papageorgiou ，
2000）。
01g <<；常数α表示的是要素的产出弹性；易见()f ?服从二阶连续可微条件和Inada 条
件。
由于外部性的存在，人力资本积累（比如学校教育、在职培训等等）具有非凸性。在
Lucas （1988）的人力资本积累技术中，人力资本的增加不仅取决于投入的时间，也依赖于
原有人力资本存量，据此我们不妨假设：
(1),0.h
h βτβ=?> (3) 同时物质资本投资的动态约束是：
[(1)].k
f b n k c δ=?++? (4) 在（4）式中，b 表示抚养每个子女所花费的物质成本占物质资本存量的比例，01b <<；δ
代表物质资本折旧率，0.δ>
（三）均衡条件
根据以上假设及约束条件，可以写出现值汉密尔顿函数（current-value Hamiltonian ）：
12ln ln (1){[(1)]}.H c n h f b n k c ηελβτλδ=++?+?++? (5)
其一阶条件是：
2/,c ηλ= (6)
12(1)(),A k h ααλβλατ?=? (7)
2/(1),n b k ελ=+ (8)
1112[(1)(1)()],A k h ααλρλλβτλαττ?=??+? (9) 1122
{[()(1)]}.A k h b n ααλλρατδ??=??+? (10) 由于现值汉密尔顿乘子1()t λ和2()t λ度量的分别是状态变量()h t 和()k t 在时刻t 对最
大化了的总效用的边际贡献或“影子价格”，因此（6）式不外乎是要求在任何时刻消费的边
际效用等于物质资本的边际效用，（7）式表示在最优条件下时间禀赋的分配在人力资本积累
部门和物质资本生产部门具有相等的边际贡献，（8）式表明最优生育率的选择将依据每额外
生育一个孩子的边际效用等于用效用单位衡量的边际抚养成本的原则作出。而1λ和2λ在时
间维度上的变化路径服从（9）式和（10）式的约束。同时，横截条件是：
12lim exp()()()lim exp()()()0.t t t t h t t t k t ρλρλ→∞→∞?=?= (A.1)
易见，10λ>，20λ>，而u 和f 是凹的，因此以上一阶必要条件也是最优化的充分
条件。（3）、（4）以及（6）—（10）共同刻画了我们所要研究的动态系统。
三、稳定状态及比较静态分析
（一）演进过程
定义“人力资本密度”
/,p h k τ= (11) 它表示的是每单位物质资本所对应的人力资本存量（投入物质生产部门的人力资本）。这一
概念的引入有助于我们抛开对物质资本和人力资本绝对数量的考察而转向对相对存量变化
的研究，因而能够使我们在更宽泛的视域内和更弱的条件下探究资本存量结构、生育率及经
济发展之间的动态关系。
结合（6）、（10）和（11）可以得到消费的变动路径：
1/(1).c
c A p b n αραδ?=?+?+? (12) 显然消费水平的变动速度与人力资本密度正相关，而与生育率负相关。
根据（7）和（9）得到：
11/.λλρβ=? (13) 而根据（6）和（7）又有
11
/()//.p p c c g λλα=??+ (14) 结合（12）、（13）和（14）我们得到p 的增长方程：
1/(1/)[(1)].p
p A p b n g αααδβ?=?+++++ (15) （15）式表明p 的变化率与p 本身的大小正相关，而与生育率n 负相关。换言之，随着人
力资本密度的上升，其对人力资本相对积累速度的贡献将减小。而n 对/p
p 正的偏效应是通过“稀释”物质资本实现的，为了论证这一点只需对状态方程（4）式两边同除以k 即可。
n 与c 和k 的关系可以从（6）和（8）得出：
/(/)(1).n c b k εη=+ (16) 因为/n ε是额外生育一个孩子带来的效用，/c η是额外一单位消费的效用，而(1)b k +度
量的是多养育一个孩子所需开支的增加。因此（16）保证了最优生育率的选择能够使其边际
效用和以效用单位度量的边际机会成本恰好相等。最优路径要求这一等式在任何时刻都成
立。
由于（16）也同时给出了n 、c 和k 变动率之间的关系式：
///,n
n c c k k =? (17) 因此再借助于（4）和（12）就立刻得到关于n 和p 的内生生育率的变动率函数：
1/(1)[(1)/].n
n A p b n ααηερ?=??++? (18) （二）稳定状态及平衡增长路径
如果稳定状态存在，那么它满足
(,)0p p n = , (19) (,)0.n
p n = (20) 分别把（15）和（18）代入，联立两式，我们就不难得到均衡解：
*1/(1){[()]/[(1)]},p g A αερηβδηαεα?=+++?? (21)
*[(1)()]/(1)[(1)].n g b ερααβδηαεα=+?+++?? (22) 又因为*p 和*n 必须大于零，所以若稳定状态存在，必定要求
(1)0.ηαεα??> (A.2)
我们假设其成立。在图2的相平面中，轨线0p
= 和0n = 的斜率之比对于任意p 值都恒为常数/(1)ηαεα?，因此从几何上看，（A.2）保证了轨线0p
= 的斜率大于轨线0n = 的斜率，否则它们在0p >的可行区域内就不可能相交。（A.2）又可写作/(1)/ηεαα>?，因
此这一不等式的经济学含义是：稳定状态的存在性要求在效用构成中消费的权重与子女数量
的权重之比必须大于人力资本产出弹性与物质资本产出弹性之比7，或者说效用赋予子女数
量的权重相对于消费的权重不能过大，否则人口和经济发展就一直处于失衡状态！
为了考察稳定状态的性质，我们用线性近似系统来研究稳定点附近的轨线性态。根据
（15）和（18），我们对(,)p
p n 和(,)n p n 作Taylor 展开，取其一次项，得到近似系统：
7 如果我们把效用函数作单调变换恢复成Cobb-Douglas 形式，那么消费和生育率的权重实际上就是效用关
于它们的弹性，于是不等式左边也可以如同右边作为相对弹性来理解。
*1***(1)()()[(1)/]()],p A p p p b p n n ααα?????++? (23)
2*****(1)()()[(1)/]().n
A n p p p b n n n ααηε?????++? (24) 其特征方程为 *1*
2***(1)()[(1)/]()0.(1)()[(1)/]A p b p D A n p b n αααααηε?????Λ+Λ==??+?Λ
设其特征根为1,2ΛΛ，易见在（A.1）成立的条件下
*1*12(1)(1)()[/(1)/]0,A b p n ααηεαα?ΛΛ=?+?+?<
所以稳定状态具有鞍点均衡（saddlepoint equilibrium ）的性质。
在近似系统中，p 和n 的收敛速度为
**22(),(),p
p p n n n =Λ?=Λ? 也即人力资本密度和生育率的收敛速度同他们与各自均衡水平偏离程度成比例：离均稳态越
远收敛越快，反之则越慢。
因为在稳定状态，///0p
p k k =?= ==，所以人力资本和物质资本具有相同的增长率，即 *****1**(,)(,)//()(1)(1/).p n p n k k A p b n g αηεδβργ?==?++?=+?≡ == (25)
同样地，因为
11,y Ak Akp ααα??=== (26) 所以人均产出（收入）也在自己的平衡增长路径上： ***(,)/2.p n y
y g g γβρ=+=+? (27) 可见外生技术进步率也对稳定状态的收入增长起着重要作用，能使之以比资本存量增速更快
的速率增长。
由于Inada 条件和横截条件保证了均衡路径的有界性，另外上文的论证也排除了极限环
存在的可能性，根据Palivos （1995）的命题，不收敛于稳定状态均衡点的轨线都不是最优
的。由此，在没有变量约束的情况下，我们的最优路径必定沿着鞍点路径收敛于稳定状态均
衡。
（三）比较静态分析
图2 鞍点均衡 在图2中鞍点路径（saddle path ）由带箭头的粗线条表示。由（15）、（18）、（21）、（22）
以及图2可以推断：
1. ,βδ和g 的增加将会使轨线0p
= 下移，从而使*n 和*p 上升。β的增加代表人力资本积累技术的进步，非凸性更加显著，而g 的增加代表外生技术进步率的加快，生产可能
性边界的拓展，因而这两个参数的增加都将促使代表性家庭更多地投资于人力资本，与此同
时一个处于稳定状态的经济体所能维持的最佳生育率也会上升。由（4）和（12）可知物质
资本折旧率δ的上升，将会抑制物质资本积累和消费，而更多的资源将被配置到人力资本积
累中去，这表现为图2中0p
= 轨线的下移；由于物质资本增长率同时伴随着消费增长率的下降，在生育率决定公式（17）和（18）中δ的增加对两者的负效应相互抵消，因此轨线0n
= 保持不变，于是*p 和*
n 同时上升。同时（25）式告诉我们β和g 的增加也将线性地提高稳
定状态资本存量的增长速度。
2. 效用函数中消费的权重η的增加，将会使家庭中的父母更加在意自身的消费，因而
若其他条件不变，父母将倾向于选择生育更少的孩子以便把更多的资源用于自身的消费，对消费偏好的增加也同时导致人力资本投入的相对减少，表现为轨线0n
= 斜率变小，从而*p
和*
n 同时下降。与此相对，效用函数中对子女数量偏好的权重ε的作用恰好相反，因此更
大的ε将导致更大的稳定状态*n 值和*p 值。η和ε值的趋异在很大程度上与社会文化、价
值观、宗教等非纯粹经济因素相关，而这些因素又会随着经济发展而发生潜移默化的变化。
3. 贴现率ρ表征时间偏好，ρ越大表示越“不耐”（impatient ），更注重当前。就消费
路径而言，更大的ρ意味着父母将更多地进行现期消费，因而未来的消费增长率将下降，
（12）式清楚地表明了这一点。考虑一个只有现期没有未来的单期经济决策的极端情形。此
时由于贴现率接近无穷大，未来的收益对当前决策者而言无足轻重，因而没有储蓄也没有投
资，但是由于对孩子数量及他们的效用的偏好没有变，决策者就可以腾出更多的当期资源来养育（包括生育和抚养）更多数量的孩子。从图2来看，这将使轨线0n
= 上移而轨线0p = 保持不变，从而在更高的生育率水平和人力资本密度上达到稳态均衡。但是根据（25）式，
稳定状态的资本增速也随之下降了。
4. 正如所预期的那样，抚养成本b 会影响均衡状态生育率水平的决定：b 越大，*
n 越小；b 越小，*
n 越大。由于b 同比例改变轨线0p
= 和0n = 的斜率，因此尽管b 的外生变动会引起均衡生育率的变动，但对均衡人力资本密度*p 的决定却不起作用。
5. 通过求导可以发现，物质资本产出弹性α或人力资本产出弹性1α?的变化所引起的技术变迁，会引起轨线0n
= 的斜率的变动，但是对0p = 轨线的影响却是不确定的。例如α减小代表的是人力资本节约型技术进步，它会使任意p 所对应的0n
= 轨线更加陡峭，同时n 值也上升，但是它对轨线0p
= 变动方向的影响除了取决于α自身大小外也受其他参数值的影响，因此均衡的生育率水平和人力资本密度往任何方向改变都有可能。
由此可见，尽管我们的模型分析得出了长期收敛的结论，但是稳定状态的决定强烈地依
赖于外生参数值的大小及其变化，不同的经济、政治、历史、文化甚至自然环境都有可能对
稳定状态的均衡值产生影响。因而人力资本密度所刻画的以及生育率所表征的人口变迁模式
的收敛是一种经济增长文献中所称的“条件收敛（趋同）”（conditional convergence ）。
四、人口政策与经济发展
虽然鞍点路径给出了无人口政策约束条件下不同初始人力资本密度所对应的最佳生育
率及二者的均衡发展路径，但是要判断一个经济体的经济发展所处阶段在我们的相图中的位置以实证研究的标准来讲并非易事。最主要的困难来自于对人力资本密度p值的判断。从实证研究的现状来看，虽然对于物质资本存量的估算已有比较成熟的方法8，然而关于人力资本存量的估算至今仍然没有一种被普遍接受的方法，现有的一些方法也存在很大争议9。首先，作为一种“不可触知”（intangible）的资产，关于人力资本种类和形式的定义可大可小、难以有定论；其次，用量化的方法来测度人力资本，不可避免地会存在偏差。然而这些实证研究中方法论的问题，并不妨碍我们作理论上的思考。直觉和经验告诉我们，发展中国家在工业化的初期总是面临物质资本的匮乏的窘境，虽然人均人力资本（从教育和健康角度来看的话）存量与发达国家相比仍存不小差距，人均物质资本存量的差距更加悬殊，物质资本相对稀缺的约束是发展的最主要的瓶颈，此时国际资本援助和吸引外资显得格外重要。因此从经验上以及从生育率和经济发展的负相关关系讲，我们的判断跟Issa（2003）一致，即认为由于发展中国家物质资本相对更加稀缺，人均人力资本存量与人均物质资本存量之比会比发达国家更高，即发展阶段在图3中处于*p的右边10。
8目前在国内外已被普遍采用的估算物质资本存量的方法是“永续盘存法”（perpetual inventory method）。其一般的计算步骤是：先估计出一个基准年的资本存量，然后依据较为合理的折旧率，把基准年存量与随后若干年的投资量的时间序列数据进行折旧后的加总；初始存量及其后的投资价值都按照基准年的不变价格计算。比如，就最新的研究而言，张军和章元（2003），张军等（2004）就曾用此方法分别对中国全国以及不同省份的物质资本存量进行了估算；而收入世界银行（World Bank）数据库的Nehru and Dhareshwar （1993）国际物质资本存量比较数据集也是依据这一原理进行计算的。
9Mulligan and Sala-i-Martin（2000）对此有个很好的综述。
10也许物质资本和人力资本不同的流动性（mobility）可以在一定程度上支持经济发展过程中物质资本比人力资本积累速度更快的观点。Barro et al.（1995）指出，由于相对人力资本来说物质资本更具流动性，因此发展中的经济体能够通过对外融资迅速缓减物质资本积累不足的问题，而人力资本的积累则基本上需要依赖于内部资源——它难以通过国际转移来实现。
图3 人口政策、资本存量结构与发展路径
（一）发展中国家的计划生育政策与经济均衡
接下来我们考虑人口政策——计划生育对发展路径的影响。设想在一个物质资本相对贫
乏的发展中国家，在没有生育率约束的情况下，居民能够实现最优人力资本密度－生育率组
合的选择11(,)p n ，显然1n 和1p 都大于稳定状态的值，那么从长期来看，它将会自发地沿着
发展路径收敛于自己的稳态均衡值。假设由于该国政府决策者认为该国居民过高的生育率抑
制了人均物质资本的快速增加以便早日实现高发展水平的均衡，开始推行较紧的计划生育政
策11——实施生育率的上限1n ，11n n <。这样，家庭就不得不调整生育计划，在给定1p 的
情况下转而选择路径1。沿着路径1，尽管生育率和人力资本密度将单调递减，但是不再趋
向稳定状态。在极端状况下，经济发展最终会运行到0(,0)p 点。在该点，生育率降为零，
而人力资本密度维持在0p 水平。关于0(,0)p 的性质，我们有如下命题。
命题1 （i）当经济体的初始人力资本密度大于稳态均衡人力资本密度*p 时，计划生育政
策将使经济沿着生育率n 和人力资本密度p 同时单调递减的路径发展；
（ii）在这一路径的
11 对于发展中国家，我们不考虑比自然状态下的生育率更宽松的计划生育政策，因为这不符合实际情况。
n
n* n 2 n’2
终点，生育率n 降为0，人力资本密度p 小于稳态均衡值*
p ；（iii）在终点，人均收入增
长率高于稳定状态时的人均增长率，但是经济体由此得到的总效用水平却低于鞍点路径的效
用水平。
证明：
（i ）由（15）、（17）可知，当*11,p p n n n >=<时，/0,/0p p n n << ，所以（i ）成立。 （ii ）从相图（图3）可以判断，路径1最终趋向于点0(,0).p 根据（15）解0(,0)0p
p = 得
10()/.p g A αβδα?=++
又由于
1*10()(1/){()/[()]/[(1)]}(1/){()/[/()]/[(1)/]}0.
p p A g g A g g ααβδαερηβδηαεαβδαερηβδαεαη???=++?+++??=++?+++??<
所以（ii ）得证。
（iii ）据（4）和（16）得到 000(,0)(,0)//()/0,p p k k g βδαδγ==++?≡> ==
并代入（26）所对应的增长方程，有
0(,0)/()/0.p y y g g g γβδαδ=+=++?+> 因为 *0[(1)/]()0.g γγρααβδ?=???++< 所以
**0
*0(,0)(,)//.p p n y y g y y g γγ=+>=+ 由于动态系统的目标函数是效用的贴现和，根据Palivos （1995），偏离鞍点路径的轨线均非
最优路径。由此（iii ）得证。证毕。
由于在我们的模型中没有死亡率（mortality ）和人口迁移（migration ），因此模型中的
生育率可以理解为给定死亡率和对外净移民后的生育率，它的变动衡量的是对人口增长率的
偏效应。命题1的核心实际上和判断最优增长路径的价值标准有关。如果一个经济体以最大
化物质财富增长率为最终目标，那么对于具有较高初始生育率和人力资本密度的发展中国家
来说，计划生育政策一方面可以有效降低生育率，另外一方面也许可以最终实现物质收入的
高增长，尽管要实现这一目的可能需要很长时间。但是如果像传统的最优经济增长文献那样
以最大化效用为目标（例如Cass （1965），Koopmans （1965）），那么显然追求最大化收入的
将是以效用的牺牲为代价的。在我们的效用函数构建中，除了个人消费外，还以孩子数量为
重要效用来源，倘若采用更为现实的效用函数形式，比如把环境、健康、快乐程度、对未来
可持续发展的关心等等其他重要因素包括进来，也许物质收入增长对一个社会的重要程度会
减小更多。另外一个被忽略的重要因素有关人口结构的变化。如果以低生育率为直接政策目
标的计划生育的推行的确间接实现了人均收入的更快增长，那么决策者也必须充分预料到它
对人口均衡发展本身带来的负效应：（1）人口政策的强制推行会改变人口的年龄比例，（2）
生活水平提高，以及饮食、医疗、卫生、社会对突发事件的处理能力等方面的进步会显著提
高预期寿命，从而降低死亡率，由此带来人口的老龄化问题。老龄化会提高劳动人口的负担，
也给公共财政提出了挑战。在发达国家人口老龄化是较为普遍的现象，在发展中国家这一问
题也正在变得日益严峻，尤其是对像中国这样的人口基数庞大的国家而言12。为了弥补过于
严苛的计划生育政策所可能带来的社会效用损失、缓解随之而来的人口结构矛盾，决策者需
要凭借其他经济社会政策手段来努力使经济体朝向的均衡路径发展。在图3中伴随着计划生育的有效的社会经济政策将使11(,)p n 移回到均衡路径上的点11(,)p n ，
这表明如果在工业化发展的早期，在计划生育成功降低了生育率后，合理调整物质资本和人力资本存量关系将会
使经济驶上均衡发展的路径，且更接近均衡点。
（二）发达国家的鼓励生育政策与经济均衡
与“发展中”国家相对的是“发达”国家。所谓的“发达”国家，并不是一个有绝对标
准的概念，它仅仅表明与“发展中”国家相比在某些指标上显示出更高的发展水平，如果认
为后者位于均衡点以右，我们没有理由就此推断前者会处在相反的位置，即均衡点的左侧。
因为稳态均衡描述的是依据一定的外生参数经济发展收敛的长期方向，是一种条件收敛。不
同国家的参数不同，各自的稳态均衡点也不尽相同，因此不能把不同发展水平的国家放到一
个框图中来比较和解释。就现在那些公认的发达国家而言，它们也仍然处于经济和社会的发
展上升过程中——五十年前的美国被认为是当时的发达国家，但依据现在的标准，也许最多
只能算是中等发展水平的国家而已！另外从当今人们所称呼的“发达国家”的发展指标来看，
12 根据《中国统计年鉴2004》的数据计算，2003年中国60周岁以上人口占总人口比例已达11.96%，65
周岁以上人口的比例已达8.34%，两个指标均表明我国已经进入了人口老龄化阶段，并且比发达国家少花
了几十年的时间完成了老龄化进程。
它们的总和生育率（total fertility rate ，TFR ）13一直呈现出下降的趋势，而依据人口预测指
标来判断，目前其TFR 水平正达到（如英国、芬兰）或接近于（如法国）历史最低水平，
其中西欧和北美许多国家的总和生育率将在未来几十年内保持稳定甚至略微上升（US
Census Bureau ，2004）。尽管概念上和统计上的困难导致我们仍然无法确知当今发达国家人
力资本存量与物质资本存量的对比关系，但据以上分析，我们有理由推断，从长期的视角来
看现今大部分发达国家很可能同样处于自身稳定状态均衡附近的右侧发展轨道上，当然一般
而言比发展中国家更接近均衡水平。至于那些少数生育率已经低到人口自然增长率为负数的
国家，它可能处在均衡点邻近的左侧，并在维持一段时间后生育率上升到均衡水平14；与发
展中国家的计划生育政策刚好相反，这些国家推行的是鼓励生育的人口政策以缓解青壮年劳
动人口不足的难题。此外，理论也不排除自左向右收敛的可能性，因此作为命题2的镜像我
们给出命题2。
命题2 （i）当经济体的初始人力资本密度小于稳态均衡人力资本密度*
p 时，鼓励生育的
政策将使经济沿着生育率n 和人力资本密度p 同时单调递增的路径发展；
（ii）这一路径并非最优路径；（iii）资本存量结构的合理改变将使发展路径回到均衡轨道上来。
证明：仿照命题2及依据相图判断。
从图3我们可以看到，对于初始点22(,)p n ，如果鼓励生育的人口政策成功地使生育率2n 上升到了2
n ′的位置，如果没有其他政策相辅，n 和p 将继续单调递增；当p 达到原先应该达到的均衡水平*
p 时，生育率却高于均衡值，且(,)p n 组合将继续偏离稳态均衡。由此
我们看到了社会经济政策的重要性：在鼓励生育的政策成功实现了生育率目标后，如果社会
经济政策使得该经济体的资本存量结构回复到合理水平，经济体仍有可能回到趋向稳态均衡
的最佳路径。从经验来看，这些国家的人均物质资本存量已经相当高且比较稳定，p 的上
升主要依靠人力资本存量的积累。
结合命题1和命题2，这一部分的分析主要表明：（1）发展中国家（尤其是高生育率和
人口基数庞大的国家）的政府因为倾向于认为过高的人口增长会抑制人均收入的增长从而推
行计划生育政策；而我们发现若计划生育的确能够显著降低生育率，在我们的简化框架中经
13 “总和生育率”（TFR ）是指“所有妇女在育龄期结束前根据一定的年龄组别生育率（age-specific fertility
rates ）所生育的孩子平均数量”（US Census Bureau ，2004）。
14 如根据联合国最近发表的人口项目预测，德国人口在本世纪头50年的年平均增长率是-0.08%，后50年
是-0.16%，2100后开始回复缓慢的正增长。见UNPD （2004）。
济的发展最终会朝向高物质收入增长的方向发展，但是却是以比物质收入更重要的效用的损失为代价的，并且如果考虑伴随着计划生育而来的人口结构矛盾和社会问题的话，高物质收入增长率也很值得怀疑。（2）如果抛开对资本存量结构的判断，仅从生育率数据看，当今相对意义上的发达国家大都处于相对于发展中国家更接近于稳态均衡点的右侧轨道上；而部分人口负增长的发达国家则有可能居于毗邻均衡点的左侧，它们实施鼓励生育的人口政策以增加劳动力。（3）仅仅倚靠人口政策以期实现均衡增长并不可行，它将使经济偏离最佳轨道——在实现生育率目标的同时却伴随着其他方面的失衡，而资本存量结构的调整有助于纠正发展偏误的作用，政府的社会经济政策（比如基础设施投资、教育、社会性公益事业等）因而就显得尤为重要。
五、一个简单的国际比较
在实证研究中检验我们的理论最大的困难，正如前文所述，在于如何合理地测度资本存量尤其是人力资本存量。早期的研究常用入学率（enrollment）和成人识字率（adult literacy）作为指标来测度人力资本存量。但是这两个指标的适用性备受质疑，它们的主要缺陷在于：（1）只反映初始水平人力资本投资的成果，（2）无法反映数字背后教育质量的差异，（3）入学率是个流量，正如UNESCO/OECD（2003）所指出的那样，整个劳动人口的技能水平（如果能用入学率来衡量的话）还取决于过去的入学率指标，因此入学率指标只适合于以年轻劳动力人群为对象的研究。为了克服这些缺陷，Barro and Lee（1993）采用平均受教育年限这一指标来测度人力资本存量，随后的一些重要研究，如Nehru and Dhareshwar（1993），Nehru et al.（1995），Cohen and Soto（2001）等都使用了这一指标作为人力资本存量的代理变量。当然，对于本质上“不可测”的人力资本来说，这一指标显然仍存在很多问题，比如Barro and Lee在最近的一项研究（Barro and Lee，2000）中就指出出，平均受教育年限的指标没能反映通过非正规教育途径（如经验积累）获得的技能和知识，也无法把教育质量国别差异的信息包括进来。不少研究者试图通过更细致的统计方法、利用更多的数据源来对统计指标加以修正或重新构建，并取得了一些进展（如Mulligan and Sala-i-Martin（2000），Barro and Lee（2000）等）15。但是，由于目前尚无应用新方法进行重新计算的人力资本存量数据集可资利用，而已有的根据平均受教育年限指标所得到的面板数据样本丰富，且有时间上与
15就纯粹的人力资本存量估计手段而言，还有未来收益法和累计成本法等，但是我们认为这些估计方法的提出并没有和经济增长理论很好地结合起来，尤其是在生产函数形式的估计和经济增长因素的回归分析中难以适用，因而尽管这些方法也产生了一些实证研究成果（如Kendrick et al.（1976），张帆（2000）等），但却很少被增长理论所广泛采纳。
之相匹配的物质资本存量数据集可供比照，因此我们依旧采用现有人力资本存量国际数据集。只要记住指标的主要缺陷和应用于研究可能导致的偏误，对这些数据的利用并不妨碍我们对此作出独立的判断。
关于样本的选取，我们将以中国、日本、韩国和印度作为比较研究的对象。其原因在于：（1）这四个亚洲国家已经或正在经历快速的经济成长过程，具有鲜明的发展轨迹，（2）中国和印度作为世界上人口最多的两个国家，同时也正处于经济和社会状况迅速上升的时期，有利于我们借此考察人口相关特征、人口政策和经济发展之间的动态关系。在计算劳均物质资本存量时，劳动力的数据来自Groningen Growth and Development Centre and The Conference Board（GGDC，2005）的数据库；样本对象的物质资本总体存量数据来自世界银行STARS数据库收录的Nehru and Dhareshwar（1993）的面板数据集，但是由于它们的原始数据是以样本国家1987年的本国货币单位来计算的，为了便于国际比较我们将依据经购买力评价（PPP）转换的1987年美元进行重新计算，PPP数据来源是Heston et al.（2002）创建的PWT6.1数据库。由于物质资本存量数据集的时间跨度是1950－1990年，而同期的平均受教育年限和总和生育率（TFR）数据比较分散，根据可获得的数据，我们将取其相互有交集的主要年份1960、1970、1980和1990年。在此情况下，15－64岁劳动人口平均受教育年限的数据来自Cohen and Soto（2001）。总体生育率（TFR）的来源比较分散：（1）中国（CHN）1960、1970和1980年的TFR数据来自Coale（1984），1990年的数据来自US Census Bureau（2004）；（2）日本（JPN）1960年的TFR由UNPD（2004）提供的1950－1960平均数据来替代，1970年数据来自UNPD（2003），1980年数据来自Takahashi（2004），1990年数据来自US Census Bureau（2004）；（3）韩国（KOR）1960、1970和1980年的TFR数据全部来自KIHASA历年National Fertility and Family Health Survey数据；（4）印度（IND）1960、1970和1980年的数据分别由Kulkarni and Rani（1995）提供的1961、1971、1972年数据替代，1990年数据同样由US Census Bureau（2004）提供16。
图4描绘了这些数据分布。图中横轴表示15－64岁劳动人口平均受教育年限与劳均物质资本存量之比，纵轴度量平均每个妇女所生育的孩子个数。观察序列的走势可以发现，在1960－1990这30年间，四个国家的TFR都经历了下降的过程，但是下降的程度具有明显差异：日本的下降幅度最小（从1960年的2.08到1990年的1.5），而韩国的降幅最大（从1960年的平均6个孩子到1990年的平均1.6个孩子）。对比日本和韩国的发展轨迹，可以看
16这部分的原始数据见附录A，表A.2。
到日本的初始点生育率比韩国小且差距很大，附录的详细数据显示，造成这一位置关系的主要原因是日本在20世纪60年代初经济开始起飞时，人均受教育水平和人均物质资本拥有量几乎都是韩国的两倍，因而在60年代日本处在比韩国更高的经济发展水平上。60年代到70年代是日本经济高速发展的黄金时期，人均物质资本迅速增加，且增速远远超过了教育年限的增速，在图4中表现为横轴坐标在十年间往左跃迁了一大段。这和我们的模型推断是一致的。有点意外的是，这段时间经济的高速成长并没有使日本的TFR降低，绝对数值反而还上升了0.02。但是如果熟悉历史的话，就不难解释日本生育率反常变化的特殊原因：二战使得日本人口锐减，经济、社会状况陷入最低谷，而60年代日本的经济腾飞使得日本开始摆脱战后经济和社会的萧条、国民的悲观情绪，因而随着经济成长生育率不但没有下降反而还有略微上升代表的是社会生产力的恢复。而韩国的经济在80年代达到了高峰，人均物质资本存量增长了84.4%，按照我们的模型判断这一时期应是韩国人力资本密度快速下降的时期，虽然用教育年限来度量人力资本会有失偏颇，但是在图4中80年代韩国发展轨迹还是与我们的预期吻合的。
再来看中国和印度的发展轨迹。最不寻常的特征是中国的发展路径从60到80年代拐了一大弯。50年代末和60年代初的自然灾害使得中国人口锐减，人均物质资本存量急剧下跌，1962－1965年萧条过后的补偿性生育却使得生育率猛增，而66年以后的“文革”又使整个社会处于无政府状态，人口工作无法展开，以致生育率再攀高峰，而人均物质资本下降至谷底（刘岳，1991）。70年代开始实施的计划生育在80年代成为基本国策，严格的计划生育使得生育率显著下降，同时经济上的“改革开放”使得人均物质资本存量快速增加（80－90年增加了82.9%），平均教育年限虽也从4.1年上升到了5.06年，但是指标上看不及前者增幅快。80年代以后的轨迹颇似日本，从资本存量结构和生育率的角度看，经济发展快速平稳，如果我们相信这是一条均衡发展路径的话，那么计划生育的确功不可没；但是我们不能忘了“改革”这一划时代的经济社会制度变革所带来的在更广更深层面上对发展路径的影响力17。
17Poston and Gu（1987）曾用计量方法研究过中国80年代生育率降低的决定因素。他们发现计划生育的表现对中国生育率的确有很强的负影响，但是结构发展变量和生活质量变量等社会经济发展变量也对生育率有直接的和间接的负效应。