第3课时二次根式的混合运算
【知识与技能】
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.
【过程与方法】
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
【情感态度】
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想.
【教学重点】
混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.
【教学难点】
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便.
一、创设情境，导入新课
已知：矩形的长是.
你能求出这个矩形的面积吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.
【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望.
二、思考探究，获取新知
二次根式的混合运算
例1计算：
【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系.
注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议：
化简，其中a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流.
【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流.
【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算律的能力再次得到深化，达到事半功倍.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的.
【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引以为戒，互相取长补短，达到整体提高.
二次根式 （第 1课时） -大竹县双拱镇中心小学 张平 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习 了有理数的平方根、立方根，认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算 公式提供了知识基础?当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运 算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基 础情况，控制上课速度和题目的难度. 二、教材任务分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念， 探索 二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形 式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法 则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算， 发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活 性和解决问题的能力. 三、教学目标 1. 认识二次根式和最简二次根式的概念. 2. 探索二次根式的性质. 3. 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 四、教学重难点: 重点：二次根式的概念和性质。 难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 五、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质; 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节: 布置作业。 第一环节：明晰概念 式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数 介绍二次根式的概念。一般地，式子、.a （a_O ）叫做二次根式。a 叫做被开 问题 1 :' 5， 11 （其中b=24,c=25 ），上
知识点一：二次根式的概念
二次根式复习
………………………………………………最新资料推荐………………………………………
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
形如 （
）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因
注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以
为负数没有平方根，所以
是 为二次根式的前提条件，如 ，
，
等是 反过来应用：若
，则
，如：
，
.
二次根式，而 ，
等都不是二次根式。
知识点五：二次根式的性质
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没有意义。
注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本
知识点三：二次根式 （
）的非负性
身，即
；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即
；
2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；
（
）表示 a 的算术平方根，也就是说， （
）是一个非负数，即
0（
）。
注：因为二次根式 （
）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根
3、化简
时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
是 0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负数的 知识点六：
与 的异同点 1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
， 正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
中
表示一个 ，而
则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0。
中 a 可以是正实数，0，负实数。但
与 都是非负数，即
，
。因而它的
知识点四：二次根式（ ） 的性质
运算的结果是有差别的，
，而
1/3
北师大版八年级上册2.7二次根式专项训练 知识回顾 1．一般地，形如__________的式子叫做二次根式. 2．被开方数不含_________，也不含__________的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 3．积的算术平方根，等于_____________≥0，b≥0)；商的算术平 方根，等于_______________≥0，b＞0). 4．二次根式的运算乘法法则：=_________(a≥0，b≥0)；除法法则： =__________(a≥0，b＞0). 5．二次根式相加减，先化简每个二次根式，使其成为______二次根式，再把被开方数______的项合并. 智能训练 1．下列各式中，是最简二次根式的是（）. A B C D 2）. A B C D 3．下列各式计算正确的是（）. A．3=B．= C．D= 4．规定一种新运算“@”的运算法则为：a@b=则12@3的值为（）. A．3 B．4 C．6 D．8
5有意义，则x 的取值范围是_________. 6．下列计算：①=3＋4=7；②5×=；③==；④ 72=.正确的有__________.(填写序号即可) 7．一个等腰三角形的腰长为12，则这个三角形的周长为________. 8．计算下列各题： （12(1- （2 9．已知，. 求下列各式的值. （1）x 2－y 2 （2）x 2＋xy ＋y 2 1=成立的条件是（ ）. A ．a ≠6 B ．a ＞6 C ．a ≥4 D ．a ≥4且a ≠6 2．已知a =b =的值为（ ）. A B ． C ． D ． 3．观察并分析下列数据，寻找规律：03，，……那么第10个数据应是（ ）. A ． B ． C D ．
2.7二次根式 第1课时二次根式及其化简 1. 若-l
2.7二次根式 第1课时二次根式及其化简 1.化简辰=_. 2. J?"二 __________________________ . 3 '"∣d V —2时,化简11 — J(I + ")- I 得 4. 若三角形的三边“、b 、C 满足“2_4“+4+斫刁=0,则笫三边C 的取值范围是 ____________________ . 5. 判断题 (1)若 QF 则“一泄是正数?( ) (2)若 Q=",则“一建是负数.( ) ⑶ λ∕(π-3.14)~ =JT _3 14.() ⑷?.?(-5)2=52, /. Ji ，= y∣5~, 乂底=5,二 *-5)~ =~5( (5)A /(>/5-77)2 =-(√5-√7) = √7-√5.( ) ⑹当Q1 时,k∕-11+ Jl-2" + / =2<∕-2.( ) (7)若Λ=1,则2-3 -4x + 4 =2x-J(x-2)- =IY -(X -2)=A ?+2= 1+2=3.() ⑻若応I-;VyHo ,则x 、y 异号.( ) (10)2 ÷2x ÷1 =Λ?+1.( ) (12)当加>3时，V9-6∕Π + W 2 .W=.3.( ) 6?如果等式F =X 成立，贝Ib 的取值范围是 ______________ I 7. ________ 当 X 时，Jl-2x + F=ri 8 若 J-(x +2)2 =X+2,则X __________ . 9. ----------------------------------------------- 若m<0Mm?+ 府 +症= B. = 1.(
《二次根式》练习题 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数． 【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2，33，1x ，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y ，x ＋y . 解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y ，x ＋y . 析规律 二次根式的条件 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义． 解：由3x －1≥0，得x ≥13 . 因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内有意义． 点技巧 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空． 4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36. 根据上面的计算我们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0) 即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简： (1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)54＝9×6＝32×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式． 3．商的算术平方根 填空： (1)916 ＝__________，916＝__________；
专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） A.1 B.2 C. 23 D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+，验证：228222223333 ?+===． 333388+=，验证：2327333338888 ?+===． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2 +2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、 b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2； （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式22a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：2 22)(b a b a -+-． 答案： 1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210
2.6 二次根式 教学目标： (一)教学知识点 1.式子b a b a ?=? (a ≥0,b ≥0)； b a b a = (a ≥0, b ＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算. (二)能力训练要求 1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算. 2.让学生能根据实例进行探索，同学们互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力. (三)情感与价值观要求 1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的 确定性. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体 会数学的使用价值. 教学重点： 1.两个法则的逆运用. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题. 教学难点： 灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算. 教学方法： 指导探索法. 教学过程： Ⅰ.导入新课 请大家先回忆一下算术平方根的定义. 下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系. 设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果. ［生］由正方形面积公式得a 2=8,b 2=2.所以大正方形边长a =8，小正方形边长b = 2. ［师］那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线. ［生］大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以 8=22. ［师］非常棒，那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务. Ⅱ.新课讲解 ［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ ［生］b a b a ?=? (a ≥0,b ≥0)；b a b a = (a ≥0,b ＞0) ［师］请大家根据上面法则化简下列式子. (1) 33?； (2)42?； (3)273 ；(4)12 253?.
学生 学 校 年 级 教师 授课日期 授课时段 课题 第二章相关题型训练 重点 难点 教学步骤及教学内容 【错题再练】 1.已知13+= x ，13-=y ，求下列各式的值： （1）2 2 2y xy x ++， （2）2 2 y x -. 2.实数a 在数轴上的位置如图所示，化简 2|2|816a a a -+-+ 3.已知实数x,y 满足2104250x x y -+++=，则2011()x y + 的值是多少？ 4.设等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，底边上的高为h ． （1）如果a=6+，b=6+4，求h ； （2）如果b=2（2+1），h=2 ﹣1，求a ． 5.已知和 的小数部分别为a 、b ，求 的值 6. ．
估算法的基本是思路是设a.b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例 比较 8 313-与 8 1 的大小 方法五 平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0,b ＞0时，可由2 a ＞2 b 得到a ＞b,来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例 比较62+ 与53+的大小 方法六 移动因式法 移动因式法的基本是思路是,当a ＞0,b ＞0,若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较 例 比较27与33的大小 【练习】1）35与6；（2）51-+与2 2 -；（3）2005200620042005--与 四、实数的运算 【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b b a ++-. 【练习】1.|23- | + |23-|- |12- | 2.622136-+---
《二次根式》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1.理解二次根式的概念和性质， 2.最简二次根式的概念 3.会根据二次根式的性质进行二次根式的化简 过程与方法目标： 1.通过加深对概念的理解，提高对二次根式的性质和运算的认识。 2.利用二次根式的化简解决简单的数学问题，通过独立思考，能选择合理的方法解决 问题。 情感态度与价值观目标： 1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会二次根式的性质及运算，培养学生利用数 学解决问题的能力。 ●重点： 1.掌握二次根式的概念和性质，理解它们解的含义； 2.能利用二次根式的乘除法的法则进行二次根式的运算。 ●难点： 1.最简二次根式的概念 2.把根号内含字母的二次根式的化简。 ●教学流程： 一、课前回顾 1、 11的算术平方根是 2、面积为a（a 3、直角三角形的两直角边分别是1和2 二、情境引入 探究1： b=24，c=25） 上述式子有什么共同特征？ 共同特征:都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
1.二次根式的概念 一般地，形如(a ≥0)式子叫做二次根式． a 叫做被开方数． ＊一个式子是二次根式应满足几个条件？ 第二，被开方数a 是正数或0．（条件：a ≥0 ） 练习1 1、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式． 1 x ，1x y +x ≥0）,（x ≥0，y ≥0） （x ≥0）,x ≥0，y ≥0） ， 1 x ，1x y +， 2、当x 解：由x －1≥0 ，得x ≥1 3、a ≥0 解：a ≥00 (双重非负性) 探究2 1、二次根式性质 （1）计算下列式子，猜想你能得到什么结论？ 94?＝ 6 ，94?＝ 6 ； 2516?＝ 20 ，2516?＝ 20 ； 9 4＝ 23 ，9 4＝ 23 ； 25 16＝ 45 ，25 16＝ 4 5 ． 结论： 94?= 94?； 2516?=2516? 9 4= 9 4 25 16 = 25 16 （2）用计算器计算： 76?＝ 6.480，76?＝_6.480__； 7 6＝0.9255， 7 6 ＝0.9255 ．
2.7二次根式 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） ** B.2 C. D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+，验证：228222223333 ?+===． 333388+=，验证：2327333338888 ?+===． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2 +2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、 b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2； （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式2 2a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-． 答案：
知识点一： 二次根式的概念
二次根式复习
形如 （
）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以
为负数没有平方根，所以
是 为二次根式的前提条件，如 ，
，
等 反过来应用：若
，则
，如：
，
.
是二次根式，而 ，
等都不是二次根式。
知识点五：二次根式的性质
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没有意义。
注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，
知识点三：二次根式 （
）的非负性
即
；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即
；
2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；
（
）表示 a 的算术平方根，也就是说， （
）是一个非负数，即
0（
）。
注：因为二次根式 （
）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方
3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
根是 0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负 知识点六：
与 的异同点 1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
表示一个正
数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
， 数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
中
，而 中
则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0。
a 可以是正实数，0，负实数。但
与 都是非负数，即
，
。因而它的运算
知识点四：二次根式（ ） 的性质
的结果是有差别的，
，而
第二章 实数 二次根式（第1课时） 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材任务分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学过程设计 本节课设计了八个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：能力提高；第六环节：观察乐辅通教学平台测评练习，第七环节：阶段性总结二次根式的化简过程---观察微课，第八环节：知识拓展 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
《二次根式》（第1课时） 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、 立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表 示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。 【知识与能力目标】 了解二次根式的概念。 【过程与方法目标】 通过经历二次根式概念的发生过程，理解二次根式的含意。 【情感态度价值观目标】 培养学生观察、类比、讨论、合作的思想。
【教学重点】 理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。 【教学难点】 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。 学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，12149 ，))((b c b c -+（其中b=24,c=25） ，上述式 子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a 。 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题。 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础。 第二环节：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?=?， b a b a = ． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ；
《二次根式》测试题 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） A.1 B.2 C. 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+===． ====． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及次根式（为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用（为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．
3. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221） （+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + =（ ＋ （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式 ） --5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-．
-x - 2 x x 2+2 3m -1 x - x 2 a 2- 6a + 9 4 a 2+ b 2x 2+16 24n 11 330 二次根式提高题 1．二次根式中x 的取值范围是（）A．x＞3 B．x≤3且x≠0C．x≤3D．x＜3 且x≠0 2．若1≤x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A．=2 B．=C．=x D．=x 4．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 5.已知，ab＞0，化简二次根式a 的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣ 6.把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D． 7.如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥ 8.已知：a=，b=，则a 与b 的关系是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2 9.下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D． 10.若有意义，则m 能取的最小整数值是（）A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 11．若x<0，则的结果是（）A．0 B．—2 C．0 或—2 D．2 x 12.下列说法错误的是 ( ）A．是最简二次根式 B. 是二次根式 C．是一个非负数 D. 的最小值是4 13.是整数，则正整数n 的最小值是（） A.4 B.5 C.6 D.2 14.化简的结果为（）A．B．30 30 C．D．30 30 15.在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 16.观察下列等式：第1 个等式：a1== ﹣1，第2 个等式：a2== ﹣， 第3 个等式：a3==2﹣，第4 个等式：a4== ﹣2，按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n 个等式：a n= ； （2）a1+a2+a3+…+a n= ． 17.如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x 的取值范围是． x 2-2 1 + 1 5 6 330 11
2.7二次根式第一课时教学详案 一.教学目标 知识与技能：⑴认识二次根式和最简二次根式的概念，掌握二次根式双重非 负性的特点。 ⑵探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式 化简成最简二次根式的形式。 过程与方法：引导学生认识从特殊到一般的认知规律，大胆猜测结果。从例子中归纳出一般适用的方法。 情感态度与价值观：通过探索规律，培养学生学习的主动性，使学生敢于探 索，鼓励学生大胆猜想，积极与他人交流，增强学习数学的兴 趣的信心。 二．教学重难点 教学重点：探索二次根式的性质，总结出最简二次根式化简的一般步骤。 教学难点：引导学生归纳出二次根式的性质 三．新旧只是连接运用 二次根式是在平方根，立方根，实数的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。与已学内容实数，整式和勾股定理联系紧密，同时也是以后将要学习的锐角三角函数，一元二次方程和二次函数等内容的重要基础。本课时研究的内容是下一课时二次根式的运算的基础和依据。
计算下列各式，你能得到什么猜想？ = ?94_____ , = ?94_______ =9 4_______ ,=94________=49 25________ ,=49 25________ 66 3 27 5 3 27 5
根据上面的猜想，下面的式子是否相 等，并说出相等的理由？ . 7 6 767676与，与??
;9 5. 3;625.26481.1??；化简：
；；31.7;72.450.1;3.0.9;944.6); 0(.32>b ab ;5 1.8;71 2.5;300.2化简下面的二次根式
第二章实数测试卷 一、精心选一选（每小题3分，共24分） 1、在()02-，38,0,9,34，0.0……，2 π ，－0.333…，5， 3.1415，2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ） A.2个 B.3个 C .4个 D.5个 2、下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7 ，③ 271的立方根是31 ④161的平方根是41 其中正确说法的个数是 （ ） A.1 B.2 C .3 D.4 3、下列运算中错误的有（ ）个 ①416= ②49 36=±76 ③332-=- ④3)3(2=- ⑤±332= A ． ４ B ．３ C ．２ D ．１ 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、41- D 、1 5、下列各组数中互为相反数的是（ ） Ａ、－２与2)2(- Ｂ、－２与38- Ｃ、－２与21- Ｄ、2-与2 6、边长为2的正方形的对角线长是（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 4 7、满足73<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、3,2,1,0,1- 8、若 2(a +与|b +1|互为相反数,则的值为b-a=（ ） 11 D.1- 二、耐心填一填（每小题3分共24分） 9、比较下列实数的大小（在 填上 > 、< 或 ＝）
①3- 2-； ②215- 21； ③112 53 10、平方根等于本身的实数是 11、16的算术平方根是 ；1的立方根是 ；5的平方根是 。 12、如图，在网格图中的小正方形边长为1，则图中的ABC ?的面积等于 。 13、估算56的值（误差小于1 ）应为 14、.写一个无理数，使它与2的积是有理数 15、化简：=-2)3(π 16、我们知道53432=+，冯老师又用计算器求得：、55334432=+、55533344432=+、55553333444432=+、…， 则计算2333444)32008(2 )42008( 个个+= 三、计算下列各题(每小题5分,共40分) 17、10253? 18、 25520-+ 19、2)525(- 20、483250-? 21、 22、216 3)1526(-?- 23、6142216432+- 24、5145203- - 25、． 26、3235)21 ()1(20----+--π 27、 28、 29、求x 值： 25)1(2=-x 30、求x 值：1623=x 四、解答下列各题（每小题5分，共25分） 31、已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求13+++-d c ab 的值。 32、已知2b+1的平方根为±3,3a+2b-1的算术平方根为4,求a+2b 的平方根。
第二章实数 2.7 ?二次根式(第1课时) 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础?当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度. 二、教材任务分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力. 为此，确定本节课教学目标是： 1. 认识二次根式和最简二次根式的概念. 2. 探索二次根式的性质. 3利」用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质; 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 A B A 问题1 : W'5，^'，八，”，—E，Jg b)(c b)(其中b=24,c=25 )，上述 C——D 式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子?、a(a 0)叫做二次根式。a叫做被开 方数.强调条件：a 0 . 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题. 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础. 第二环节：探究性质
深圳龙文教育个性化辅导教学案 教师：丰成学生：年级：_初中_学科：数学日期：星期：时段：一、课题二次根式 二、教学目标1、了解根式的基本概念 2、掌握根式的乘法和除法 3、掌握根式的加减 三、教学重难点1、了解根式的基本概念及如何化简 2、掌握根式的乘法和除法 3、掌握根式的加减和混合运算 四、教学课时1课时 五、教学方法讲授法、练习法、讨论法 六、教学过程 1、二次根式 式子)0 (≥ a a叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 （1）)0 ( ) (2≥ =a a a )0 (≥ a a （2）= =a a2 )0 (< -a a
教学过程 （3）)0 ,0 (≥ ≥ ? =b a b a ab （4）)0 ,0 ( b a b a b a ≥ = 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 基础训练 二次根式 1. 使式子4 x-有意义的条件是。 2. 当__________时，212 x x ++-有意义。 3. 若 1 1 m m -+ + 有意义，则m的取值范围是。 4. 当__________ x时，()2 1x -是二次根式。 5. 若2 42 x x =，则x的取值范围是。 6. 已知()222 x x -=-，则x的取值范围是。 7. 化简：() 221<1 x x x -+的结果是。 8. 当1<5 x ≤时，()215_____________ x x -+-=。 9. 使等式()() 1111 x x x x +-=-+成立的条件是。 10. 若1 a b -+与24 a b ++互为相反数，则()2005_____________ a b -=。 11. 下列各式一定是二次根式的是（） A. 7 - B. 32m C. 21 a+ D. a b 12. 若()4 24 A a =+，则A=（） A. 24 a+ B. 22 a+ C. ()2 22 a+ D. ()2 24 a+ 13. 若1 a≤，则()3 1a -化简后为（） A. ()11 a a -- B. () 11 a a -- C. ()11 a a -- D. () 11 a a --