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概率论与数理统计答案徐雅静版

1

习题答案

第1章 三、解答题

1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的? (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.

2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤,

又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P ==0.6.

(2)

1)(=B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.

3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P =,记P (A ) = p ,试求P (B ).

解:因为)()(B A P AB P =,

即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ,

所以

.1)(1)(p A P B P -=-=

4.已知P (A ) = 0.7,P (A – B ) = 0.3,试求)(AB P .

解:因为P (A – B ) = 0.3,所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7,所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4,6.0)(1)(=-=AB P AB P .

5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解:显然总取法有410C n

=种,以下求至少有两只配成一双的取法k : 法一:分两种情况考虑:15C k

=24C 212

)(C +25C 其中:2

122

41

5)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二:分两种情况考虑:!

21

61815

C C C k ??=+2

5C

2 其中:!

216

1815

C C C ??

为恰有1双配对的方法数

法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k -=+25C

其中:)(142

8

1

5C C C -为恰有1双配对的方法数

法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2

815C C k =-25C

法五:考虑对立事件:410C k =-45C 4

12)(C

其中:4

5

C 4

12)(C 为没有一双配对的方法数

法六:考虑对立事件:!

41

4

1618110410

C C C C C k ???-

=

其中:

!414

1618110C C C C ???为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

13

410=

=C k p 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.

解:(1) 法一:12131025==C C p ,法二:121

3

102513==A A C p (2) 法二:20

13102

4==C C p ,法二:201

3

102413==A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则

834

)(33

41==A M P , 1694)(324232=?=A C M P , 161

4)(3143

==C M P

8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?

解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则 3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2

512131==C C C M P ,1.0)(25

2

2

1==C C M P

9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.

解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则

φ==2121M M M M M 且.

所以.28

13

C C C C )()()()(282

328252121=+=+==M P M P M M P M P

10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.

解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ,y ):0 ≤ x ,y ≤ 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) ∈ Ω : x + y ≤ 6/5} 因此

3

25

17154211)(2

=

?

?

? ???-=Ω=的面积的面积A A P . 图?

11.随机地向半圆2

20x ax y -<<

(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求

原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标,θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ,y ):220,20x ax y a x -<<<<

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π” ={(x ,y ):4

0,20,202π

θ<

<-<<<

因此

2112

14121)(222+=+=Ω=πππa a

a A A P 的面积的面积.

12.已知2

1

)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,12

1

3141)()()(=?==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==

B A P AB P B P

.3

11216141)()()()(=-+=

-+=AB P B P A P B A P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?

解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,B=“两件均为不合格品”;

321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ,15

2

)(21024==C C B P ,

5

132/152)()()()()|(====

A P

B P A P AB P A B P

14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少?已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少?

解:设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则

52

)(,5

3)(151

2===A P C C A P ,由全概率公式得

4 ,45

23

5253)|()()|()()(191

41915=?+?=+=C C C C A B P A P A B P A P B P

由贝叶斯公式得

.23

15

4523/53)()|()()|(191

5=?==C C B P A B P A P B A P

15.将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少? 解:设M =“原发信息是A ”,N =“接收到的信息是A ”, 已知

,01.0)|(,02.0)|(==M N P M N P .3

2

)(=

M P 所以

,99.0)|(,98.0)|(==M N P M N P ,3

1

)(=M P

由贝叶斯公式得

.197

196

)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(=?+?÷?=+=

M N P M P M N P M P M N P M P N M P

16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为4

1

,31,51,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?

解:设A i =“第i 个人能破译密码”,i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)

(321===A P A P A P 所以,4

3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为

.5

3

4332541)()()(1)(1221321=??-=-=-A P A P A P A A A P

17.设事件A 与B 相互独立,已知P (A ) = 0.4,P (A ∪B ) = 0.7,求)(A B P .

解:由于A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B ),且

P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )

将P (A ) = 0.4,P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5,所以

.5.05.01)(1)

()

()(1)()(1)(1)(=-=-=-=-

=-=B P A P B P A P A P AB P A B P A B P

或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立,所以

.5.05.01)(1)()(=-=-==B P B P A B P

18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少? 解:设A =“甲射击目标”,B =“乙射击目标”,M =“命中目标”, 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A M

P 所以

).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P ++==

由于甲乙两人是独立射击目标,所以

.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(=?+?+?=++=B P A P B P A P B P A P M P

5

75.08

.06

.01)()|()()()()|(=?===

M P A M P A P M P AM P M A P

19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.1;第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些?

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时,情况又如何?

解:设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2,3; B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2. (1)根据题意,P (A 1)=0.7,P (A 2)=0.8,P (A 3)=0.9,P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=??

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=?

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

(2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=?

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1.设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件ABC = ?,,21

)()()(<

==C P B P A P 且已知16

9)(=

C B A P ,求P (A ).

解:因为ABC = ?,所以P (ABC ) =0, 因为A ,B ,C 两两相互独立,),()()

(C P B P A P ==所以

2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P =++=++

由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=

16

9

)]([3)(32=

-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)

(<

A P 得.4

1)(=A P 2.设事件A ,B ,C 的概率都是

2

1

,且)()(C B A P ABC P =,证明: 2

1)()()()(2-

++=BC P AC P AB P ABC P .

证明:因为)()(C B A P ABC P =,所以

)]

()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将

2

1

)()()(=

==C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(2

3

[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P +----=

整理得

.2

1

)()()()(2-++=AC P BC P AB P ABC P

3.设0 < P (A ) < 1,0 < P (B ) < 1,P (A |B ) +1)|(=B A

P ,试证A 与B 独立.

6 证明:因为P (A |B ) +1)|(=B A

P ,所以

,1)

(1)

(1)()()()()()(=--+=+B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P

将)()()()(AB P B P A P B A P -+=

代入上式得

,1)

(1)

()()(1)()(=-+--+B P AB P B P A P B P AB P

两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到

),()()(B P A P AB P =

所以A 与B 独立.

4.设A ,B 是任意两事件,其中A 的概率不等于0和1,证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件.

证明:充分性,由于)|()|

(A B P A B P =,所以

,)

()

()()(A P B A P A P AB P =即

,)

(1)()()()(A P AB P B P A P AB P --=

两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.

必要性:由于A 与B 独立,即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以

一方面

),()

()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

另一方面

),()

()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P =-=-==

所以).|()|

(A B P A B P =

5.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p ,若第一次及格则第二次及格的概率也为p ;若第一次不及格则第二次及格的概率为

2

p

.

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率. (2) 若已知他第二次及格了,求他第第一次及格的概率. 解:设A i =“第i 次及格”,i=1,2.已知,2)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P =

== 由全概率公式得

2

)

1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P -+=+= (1) 他取得该资格的概率为

.

2

32)1(),|()()()()()()()(22

2

12121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P -=--++=-+=-+=

(2) 若已知他第二次及格了,他第一次及格的概率为

.122

)1()()|()()()()|(2212122121+=-+?===

p p

p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P

7

6.每箱产品有10件,其中次品从0到2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为2%,一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率.

解:设A i =“一箱产品有i 件次品”,i=0,1,2.设M=“一件产品为正品”,N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3

1

)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P

由全概率公式

,10

9

)1081091(31)|()()|()()|()()(221100=++=++=A M P A P A M P A P A M P A P M P

,10

1

1091)(1)(=-=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P

由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

.892.01.010

1

98.0109)|()()|()()(=?+?=

+=M N P M P M N P M P N P 7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率. 解:A =“一产品真含有杂质”,B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”,i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质,一次认为不含有杂质,不妨假设前两次检验认为含有杂质,第三次认为检验不含有杂质,即B 1,B 2发生了,而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i

,4.0)(=A P 所以

,1.0)|(,2.0)|(==A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)(==A P A P

所求概率为,)

|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==

由于三次检验是独立进行的,所以

.

905.09

.01.01.06.02.08.08.04.02

.08.08.04.0)

|()|()|()()|()|()|()()

|()|()|()()|(321321321321=???+??????=

+=A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P

8.火炮与坦克对战,假设坦克与火炮依次发射,且由火炮先射击,并允许火炮与坦克各发射2发,已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变,它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少? (2) 都不被击毁的概率等于多少?

解:设A i =“第i 次射击目标被击毁”,i=1,2,3,4. 已知,3.0)()

(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以

,7.0)()(31==A P A P ,65.0)()(42==A P A P

(1) 火炮被击毁的概率为

356475

.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()

()()(432121432121432121=???+?=+=+=A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P

坦克被击毁的概率为

4365

.03.065.07.03.0)()()()()

()()(321132113211=??+=+=+=A P A P A P A P A A A P A P A A A A P

8 (2) 都不被击毁的概率为

.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321=???==A P A P A P A P A A A A P

9.甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直至有一人连胜两次为止,此人即为冠军,而每次比赛双方取胜的概率都是

2

1

,现假定甲乙两人先比,试求各人得冠军的概率. 解:A i =“甲第i 局获胜”, B i =“乙第i 局获胜”,B i =“丙第i 局获胜”,i=1,2,…., 已知,...2,1,2

1

)()()

(==

==i C P B P A P i i i ,由于各局比赛具有独立性,所以 在甲乙先比赛,且甲先胜第一局时,丙获胜的概率为

,

71...212121...)(9

6

3

987654321654321321=+??

?

??+??? ??+??? ??= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样,在甲乙先比赛,且乙先胜第一局时,丙获胜的概率也为,7

1

丙得冠军的概率为,7

2712=?

甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=-

第二章

2

一、填空题: 1. {}x X P ≤,)()(12x F x F -

2. ==}{k X P k n k

k n

p p C --)1(,k = 0,1,…,n 3.

0,!

}{>=

=-λλλe k k X P k

为参数,k = 0,1,…

4.

λ

+11

5. ?????<<-=其它

,0 ,1

)(b x a a b x f 6.

+∞<<-∞=

--

x e

x f x ,21)(2

22)(σμσ

π

7. +∞<<-∞=-x e x x ,21)(2

2

π?

8. )()(

σ

μ

σμ-Φ--Φa b 9.

10.

64

9

9

分析:每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4

1

2)(21

2

1

-=

=??

xdx dx x f ,而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验,所以

{}64

9

)411()41(223223=

-==-C Y P 11.

{}7257.0)212.2(

212.2212.2=-Φ=?

??

???-<-=

8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5(

218.521216.15.86.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=?

??

???-<-<--=<<-X P X P 同理,P {| X | ≤ 3.5} =0.8822. 12.

{})31(

3113)(-=????

??

-≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13.

48

13

,利用全概率公式来求解: {}{}{}{}{}

{}{}{}{}.48

13

414141314121410 442332 2221122=?+?+?+?

====+===+===+=====X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题:

1. B ,由概率密度是偶函数即关于纵轴对称,容易推导

F (-a)=

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a

a

?????

-==

=∞

--∞

-0

0a -0

a

-0)(21)(-21)(-)()( 2. B ,只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x

3. C ,根据分布函数和概率密度的性质容易验证

4. D ,?

?

?<≥=2,2

,2X X X Y

,可以看出Y 不超过2,所以 {}{}0,2,12

,12,12 ,12,2 ,1)(0>?????<-≥=?????<≥=???<≤≥=≤=--?θθ

θ?y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y , 可以看出,分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A (前三次独立重复射击命中一次)与事件B (第四次命中)同时发生的概率,即

p p p C B P A P AB P p ?-===-231

3)1()()()(.

三、解答题

(A )

1.(1)

10 分析:这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1

至6点均可,共有1-61

2

?C (这里1

2C 指任选某次点数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的

情形,因为612

?C 多算了一次)或151

2

+?C 种,故{}36

11

3615361-611212=+?=?=

=C C X P ,其他结果类似可

得.

(2)

???

???

??

???≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6

165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ,,,,,,,

?

???

?????????????≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 3632

43 3627323620

2136111 0 x x x x x x x ,

,,,,,, 2.

注意,这里X 指的是赢钱数,X 取0-1或100-1,显然{}12612995

10

==

=C X P

. 3.

1!0

==-

=∑λλae k a k k

,所以λ-

=e a .

4.(1)

????

?????≥<≤<≤-<=???????≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13243214

1-1

x 03

x 132}2{}1{21}1{-1

x 0)(,,,,,,,,x x x X P X P x X P x f ,

11

(2)

{}41121=-==??????≤X p X P 、 {}212252

3

===??????≤

{}{}{}{}{}{}4

3

323232=

=+=====≤≤X P X P X X P X P ; 5.(1)

{}3121121121lim 212121222242=????

?

?

?

?-??? ??-=++++==∞→i i i

X P 偶数, (2)

{}{}16

1

16151415=-=≤-=≥X P X P ,

(3)

{}712

1121121lim 21

33

33

1

3=-??????????? ??-===∞

→∞

=∑i i i i X P 的倍数

.

6.(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P .

(2)

5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .

7.解:设射击的次数为X ,由题意知

().20400~,B X

{}{}k

k k k

C X P X P -=∑-=≤-=≥4001

040098.002.011129972.028.01!

818

1

0=-=-≈-=∑e k k K ,其中8=400×0.02.

8.解:设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,().305~,

B X 则指示灯发出信号的概率

{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********

55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=

1631.08369.01=-=;

9. 解:因为X 服从参数为5的指数分布,则5

1)

(x

e

x F --=,{}2)10(110-=-=>e F X P

,()2

5~-e B Y ,

则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k e e C k Y

P

0.5167

11}0{-1}1{5

2=--===≥-)(e Y P Y P

10. (1)、由归一性知:??

-∞

+∞

-===

22

2cos )(1π

πa xdx a dx x f ,所以2

1

=

a . (2)、4

2|sin 21cos 21}4

0{404

===<

π

π

x xdx X P . 11. 解 (1)由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim

11F x F x F x x ==-

→+

→,即A=1.

(2){}=<<7.03.0X P

4.0)3.0()7.0(=-F F .

(3)X 的概率密度

?

?

?<<='= ,010,2)()(x x x F x f .

12 12. 解 因为X 服从(0,5)上的均匀分布,所以

??

???<<=其他05051

)(x x f

若方程024422

=+++X Xx x 有实根,则03216)4(2≥--=?X X ,即

12-≤≥X X ,所以有实根的概率为

{}{}5

3

510511252

152==+=-≤+≥=??-∞-x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为

4)(3~,N X 所以

)2()5(}52{F F X P -=≤<

5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ=

{})4()10(104--=≤<-F F X P

996

.01998.021

)5.3(21)5.3()5.3(=-?=-Φ=--Φ-Φ=

{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P

[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-=

[])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0=

{}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=

(2)

{}{}c X P c X P ≤-=>1,则{}2

1=≤c X P 2

1)2

3()(=-Φ==c c F ,经查表得

21)0(=

Φ,即02

3=-c ,得3=c ;由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)2

3

(1≥-Φ-=d ,

则1.0)23(≤-Φd ,即9.0)23-(≥-Φd ,经查表知8997.0)28.1(=Φ,

故28.12

3-≥-d ,即44.0≤d ; 14. 解:{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ

σk

k -Φ+Φ-=

)(22σ

k

Φ-=1.0=

所以 95.0)(=Φσ

k

,}{95.0)()(=Φ==<σ

k k F k

X p ;由对称性更容易解出;

15. 解

),(~2σμN X 则

{}}{σ

μσμσμ+<<-=<-X P X P

)()(σμσμ--+=F F

)()(

σ

μ

σμσμσμ--Φ--+Φ=

)1()1(-Φ-Φ=

13

0.68261)1(2=-Φ=

上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,{}σμ<-X P 都不会改变;

16. 解:由X 的分布律知

所以 Y 的分布律是

Z 的分布律为

2

22)(21)(σμσ

π--

=

x e

x f ,

17. 解 因为服从正态分布),(2

σ

μN ,所以则dx e

x F x

x ?

---

=

2

22)(21)(σμσ

π ,{}y e p y F x Y ≤=)(,

当0≤y 时,0)(=y F Y ,则0)(=y f Y

0>y 时,{}{}y x p y e p y F x Y ln )(≤=≤=

2

2

2)(ln '

211))(ln ()()(σμσ

π--

=

'==y Y Y y

y F y F y f e

所以Y 的概率密度为

e

21

1)(2

2

2)(ln ≤>???

??=--

y y y

y f y Y σμσ

π;

18. 解

)

1

,0(~U X ,

100

1

)(<

?=x x f , {}{}y x p y Y p y F Y ≤

-=≤=1)()1(1y F --=,

14 所以

?

?

?<<=???<-<=-=其他其他)1()(0,1

01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解:)2,1(~U X ,则

其他

210

1)(<

?=x x f

{}{}y

e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)(

当0≤y 时,{}0)(2=≤=y e

P y F X

Y ,

0>y 时,

)(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X

=?

??

???≤=, 其他其他424

2'

21

)ln 2

1(0

21))ln 21(()()(e x e y

e x e y

f y F y F y f X Y Y <

??=<

20. 解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11

?

?????

≤=y X P 31)31(y F X = )3

1(31))31(()()('

11y f y F y F y f X Y Y ='==

因为其他1

10

23)(2<<-?????=x x x f X

所以

)31(31)(1y f y f X Y =其他,13

11,01812<<-?????=y y 其他,3

3,0

1812<<-?????=y y (2)

{}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=, )3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--==

因为

其他

1

10

2

3)(2<<-?????=x x

x f X ,

所以

)3()(2y f y f X Y -=?????<-<--=其他0,131,)3(232y y ?????<<-=其他

0,4

2,)3(23

2y y

(3){}{}y X P y Y P y F Y

≤=≤=2

3)(3

当0≤y 时,{}0)(23=≤=y X P y F Y ,0)()('

3

3==x F y f Y Y 当

0>y 时,{

}

())()(3y F y F y X y P y F X X

Y --=≤

≤-=,

()())]([21

)]([)()('

'33y f y f y

y F y F

x F y f X

X

Y Y -

+=-

-==

15

所以

()0

,

0,

)]([21

)(3≤>???

??-+=y y y f

y f y y f X

X

Y ,

因为

其他

1

10

2

3)(2<<-?????=x x

x f X ,

所以

其他,1

0,0

2

3)(3<

1.解:设X 为同时打电话的用户数,由题意知

().20,10~ B X

设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则

99.0!

8

.02.0}{0

1010

=≈=≤∑

∑=-=-k

i i

k

i i

i

i e i C k X P λλ,其中,2=λ

查表得k=5.

2.解:该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4

.0-e

,记

X 为10块组件中不能正常工作的个数,则

)1,10(~4.0--e B X ,

5小时后系统不能正常工作,即

{}2≥X ,其概率为

{}{}

.

8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.01

10104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P

3.解:因为)40,20(~2

N X ,所以

)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P

31

49.018944.05187.01)25.1()25.0()40

20

30()402030(

=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=

设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则)4931.0,3(~B X ,

(1)

8698

.00.5069

-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3

300

3==--==-=≥C Y P Y P .

(2)

3801.05069.04931.0}1{211

3=?==C Y P .

4.解:

当0

当20<≤y 时,Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布,知5

5

15

1)(y y x

e dx e y F ---==?

2≥y 时,}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ,

因此,Y 的分布函数为

16 ???????≥<≤<=-2,120e -10 , 0)(5

y y y y F y

,;

5.解:(1) 挑选成功的概率70

1

148==C p ;

(2) 设10随机挑选成功的次数为X ,则该??

? ??

70110~,B X ,

设10随机挑选成功三次的概率为:

0.00036)70

1

1()701(

}3{73

10≈-==k C X P , 以上概率为随机挑选下的概率,远远小于该人成功的概率3/10=0.3,因此,可以断定他确有区分能力。

(B )

1. 解:由概率密度可得分布函数???????????>≤≤-+<<≤≤<=6

,163),3(923131,3

1

10,31

,0)(x x x x x x x x F

{}32=

≥k X P 由于,即3

1

)(=k F ,易知31≤≤k ; 2. 解: X 服从)

(2,1-的均匀分布,其他,,2

10

31)(<<-?????=x x f ,又,,0011<≥???-=X X Y ,,

则{}3

23

1

)(}0{120

2

=

==≥==?x

dx x f X P Y P

, 3

1}0{-1}0{}1{=

≥=<=-=X P X P Y P 所以Y 的分布律为

3. 解:])1[(1})1({]1[)

(333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=,

[]{}[][][]

3

233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='

=[]

R y y y ∈-+-=,)

1(1)1(362

π; 4. 证明:因

)(x f x 是偶函数,故)()(x f x f x x =-,

17

}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)

(1y F x --=所以

)()()()('

y f y f y F y f x x Y Y =-==.

5. 解:随机变量X 的分布函数为

??

?

??≥<<≤=8 ,181 ,1-1

, 0)(3x x x x x F ,显然]1,0[)(∈x F ,

})({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=,

当0

当10<≤y 时,y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33,

1≥y 时,})({y X F ≤是必然事件,知1)(=y F Y ,

??

?

??≥<≤<=1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。

6. (1)}2

1

-{}12{}{)(11

y X P y X P y Y P y F Y

≤=≤+=≤= 当

02

1

≤-y 时,即1≤y 时,00}21-{)(21

-1==≤

=?-∞dx y X P y F y Y , 当02

1

>-y 时,即y >1时,2

121

0-1}21-{)(1y

y x Y e dx e y X P y F ---==≤

=?,

所以

其他,,

11

,021)(211>?????≤=-

y y e y f y

Y ;

(2)}{}{)(22

y e P y Y P y F X

Y ≤=≤=, 当

0≤y 时,}{y e X ≤为不可能事件,则0}{)(2=≤=y e P y F X Y ,

当10≤

-dx y X P y e P y F y X

Y ,

1>y 时,0ln >y ,则{}y

dx e y X P y F y

x Y 11ln )(ln 0

2-

==≤=?-, 根据

)()(22y F y f Y Y '=得

???

??>≤=1,11 ,0)(22y y

y y f Y ;

(3)}{}{)(2

33

y X P y Y P y F Y

≤=≤=, 当0≤y 时,0}{)(23=≤=y X P y F Y ,

0>y 时,{

}

y

y

x Y e dx e y X y P y X P y F -

--==≤

≤-=≤=?1}{)(0

23,

18 所以

??

???>≤=-0,20 ,0)(3y y e y y f y

Y ;

7. (1) 证明:由题意知

00

,,0

2)(2≤>??

?=-x x e x f x 。 }{}{21211

y e P y Y P y F e Y X

Y x ≤=≤==--)(,, 当

0≤y 时,01=)(y F Y 即01

=)(y f Y , 当10<<

y 时,y dx e y X P y e P y F y x

X Y ==??????

-≥

=≤=?∞+---2

ln 2222ln }{)(1, 当

1≥y 时,122ln )(021==????

??-≥=?∞+-dx e y X P y F x

Y , 故有

1

0,,01)(1<

?

?=y y f Y ,可以看出1Y 服从区间(0,1)均匀分布; (2)

}-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ≥=≤=≤==---,

当01≤-

y 时,1}-1{)(22=≥=-y e P y F x Y ,

当110<-

y dx e y X P y e P y F y x X

Y ==?

?????

--≤=≥=?----2

)

1ln(0

2222)1ln(}-1{)(2

)(,

当11≥-

y 时,002)1ln(}-1{)(2

)

1ln(22==?

?????

--≤=≥=?--∞

--dx y X P y e

P y F y X

Y ,

由以上结果,易知 1

0,

,01)(2<

?=y y f Y ,可以看出2Y 服从区间(0,1)均匀分布。

第三章

1解:(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式:

P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下:

2 解:X ,Y 所有可能取到的值是0, 1, 2

19

(1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i

|=

, i ,j =0,1,2, i +j ≤2

或者用表格表示如下:

(2)P{(X,Y)∈A}=P{X+Y ≤1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解:P(A)=1/4, 由P(B|A)=

2/14

/1)

()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8

由P(A|B)=

2/1)

()

(=B P AB P 得P(B)=1/4

(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=))

(B A

P =P(

(A)-P(B)+P(AB)=5/8

P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8

P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解:(1)由归一性知: 1=

, 故A=4

(2)P{X=Y}=0 (3)P{X

(4)

20 F(x,y)=

即F(x,y)=

5.解:P{X+Y ≥1}=

72

65

)3(),(102

121

=

+

=?

?

??-≥+dydx xy x dxdy y x f x

y x

6 解:X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=25.05.05

.02

1

2=?C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.021

2=?C

P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下:

0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25

0.5

2 0

0.125 0.125 0.25

P .j

0.125 0.375 0.375 0.125 1

7. 解:

???<<=-其它,

00,),(y

x e y x f y

??

?<≥=?????<≥==-+∞-∞

+∞-??0,00

,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x

x

y X ??

?<≥=??

???<≥==--∞

+∞-??0

,

00

,0,

00

,

),()(0

y y ye y y dx e dx y x f y f y y y

Y

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