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习题答案
第1章 三、解答题
1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的? (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.
2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤,
又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以
(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P ==0.6.
(2)
1)(=B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.
3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P =,记P (A ) = p ,试求P (B ).
解:因为)()(B A P AB P =,
即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ,
所以
.1)(1)(p A P B P -=-=
4.已知P (A ) = 0.7,P (A – B ) = 0.3,试求)(AB P .
解:因为P (A – B ) = 0.3,所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7,所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4,6.0)(1)(=-=AB P AB P .
5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解:显然总取法有410C n
=种,以下求至少有两只配成一双的取法k : 法一:分两种情况考虑:15C k
=24C 212
)(C +25C 其中:2
122
41
5)(C C C 为恰有1双配对的方法数
法二:分两种情况考虑:!
21
61815
C C C k ??=+2
5C
2 其中:!
216
1815
C C C ??
为恰有1双配对的方法数
法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k -=+25C
其中:)(142
8
1
5C C C -为恰有1双配对的方法数
法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2
815C C k =-25C
法五:考虑对立事件:410C k =-45C 4
12)(C
其中:4
5
C 4
12)(C 为没有一双配对的方法数
法六:考虑对立事件:!
41
4
1618110410
C C C C C k ???-
=
其中:
!414
1618110C C C C ???为没有一双配对的方法数
所求概率为.21
13
410=
=C k p 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.
解:(1) 法一:12131025==C C p ,法二:121
3
102513==A A C p (2) 法二:20
13102
4==C C p ,法二:201
3
102413==A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则
834
)(33
41==A M P , 1694)(324232=?=A C M P , 161
4)(3143
==C M P
8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?
解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则 3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2
512131==C C C M P ,1.0)(25
2
2
1==C C M P
9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.
解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则
φ==2121M M M M M 且.
所以.28
13
C C C C )()()()(282
328252121=+=+==M P M P M M P M P
10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.
解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ,y ):0 ≤ x ,y ≤ 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) ∈ Ω : x + y ≤ 6/5} 因此
3
25
17154211)(2
=
?
?
? ???-=Ω=的面积的面积A A P . 图?
11.随机地向半圆2
20x ax y -<<
(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求
原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标,θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ,y ):220,20x ax y a x -<<<<
}
事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π” ={(x ,y ):4
0,20,202π
θ<
<-<<< 因此 2112 14121)(222+=+=Ω=πππa a a A A P 的面积的面积. 12.已知2 1 )(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,12 1 3141)()()(=?==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷== B A P AB P B P .3 11216141)()()()(=-+= -+=AB P B P A P B A P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少? 解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。 设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,B=“两件均为不合格品”; 321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ,15 2 )(21024==C C B P , 5 132/152)()()()()|(==== A P B P A P AB P A B P 14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少?已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少? 解:设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则 52 )(,5 3)(151 2===A P C C A P ,由全概率公式得 4 ,45 23 5253)|()()|()()(191 41915=?+?=+=C C C C A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式得 .23 15 4523/53)()|()()|(191 5=?==C C B P A B P A P B A P 15.将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少? 解:设M =“原发信息是A ”,N =“接收到的信息是A ”, 已知 ,01.0)|(,02.0)|(==M N P M N P .3 2 )(= M P 所以 ,99.0)|(,98.0)|(==M N P M N P ,3 1 )(=M P 由贝叶斯公式得 .197 196 )01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(=?+?÷?=+= M N P M P M N P M P M N P M P N M P 16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为4 1 ,31,51,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少? 解:设A i =“第i 个人能破译密码”,i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51) (321===A P A P A P 所以,4 3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为 .5 3 4332541)()()(1)(1221321=??-=-=-A P A P A P A A A P 17.设事件A 与B 相互独立,已知P (A ) = 0.4,P (A ∪B ) = 0.7,求)(A B P . 解:由于A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B ),且 P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B ) 将P (A ) = 0.4,P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5,所以 .5.05.01)(1) () ()(1)()(1)(1)(=-=-=-=- =-=B P A P B P A P A P AB P A B P A B P 或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立,所以 .5.05.01)(1)()(=-=-==B P B P A B P 18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少? 解:设A =“甲射击目标”,B =“乙射击目标”,M =“命中目标”, 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A M P 所以 ).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P ++== 由于甲乙两人是独立射击目标,所以 .8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(=?+?+?=++=B P A P B P A P B P A P M P 5 75.08 .06 .01)()|()()()()|(=?=== M P A M P A P M P AM P M A P 19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.1;第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些? (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时,情况又如何? 解:设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2,3; B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2. (1)根据题意,P (A 1)=0.7,P (A 2)=0.8,P (A 3)=0.9,P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为 P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=?? 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=? 可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。 (2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=? 可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1.设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件ABC = ?,,21 )()()(< ==C P B P A P 且已知16 9)(= C B A P ,求P (A ). 解:因为ABC = ?,所以P (ABC ) =0, 因为A ,B ,C 两两相互独立,),()() (C P B P A P ==所以 2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P =++=++ 由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 得 16 9 )]([3)(32= -A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21) (< A P 得.4 1)(=A P 2.设事件A ,B ,C 的概率都是 2 1 ,且)()(C B A P ABC P =,证明: 2 1)()()()(2- ++=BC P AC P AB P ABC P . 证明:因为)()(C B A P ABC P =,所以 )] ()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将 2 1 )()()(= ==C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(2 3 [1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P +----= 整理得 .2 1 )()()()(2-++=AC P BC P AB P ABC P 3.设0 < P (A ) < 1,0 < P (B ) < 1,P (A |B ) +1)|(=B A P ,试证A 与B 独立. 6 证明:因为P (A |B ) +1)|(=B A P ,所以 ,1) (1) (1)()()()()()(=--+=+B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P 将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得 ,1) (1) ()()(1)()(=-+--+B P AB P B P A P B P AB P 两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到 ),()()(B P A P AB P = 所以A 与B 独立. 4.设A ,B 是任意两事件,其中A 的概率不等于0和1,证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件. 证明:充分性,由于)|()| (A B P A B P =,所以 ,) () ()()(A P B A P A P AB P =即 ,) (1)()()()(A P AB P B P A P AB P --= 两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立. 必要性:由于A 与B 独立,即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以 一方面 ),() () ()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P === 另一方面 ),() ()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P =-=-== 所以).|()| (A B P A B P = 5.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p ,若第一次及格则第二次及格的概率也为p ;若第一次不及格则第二次及格的概率为 2 p . (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率. (2) 若已知他第二次及格了,求他第第一次及格的概率. 解:设A i =“第i 次及格”,i=1,2.已知,2)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P = == 由全概率公式得 2 ) 1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P -+=+= (1) 他取得该资格的概率为 . 2 32)1(),|()()()()()()()(22 2 12121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P -=--++=-+=-+= (2) 若已知他第二次及格了,他第一次及格的概率为 .122 )1()()|()()()()|(2212122121+=-+?=== p p p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P 7 6.每箱产品有10件,其中次品从0到2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为2%,一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率. 解:设A i =“一箱产品有i 件次品”,i=0,1,2.设M=“一件产品为正品”,N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3 1 )()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P 由全概率公式 ,10 9 )1081091(31)|()()|()()|()()(221100=++=++=A M P A P A M P A P A M P A P M P ,10 1 1091)(1)(=-=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为 .892.01.010 1 98.0109)|()()|()()(=?+?= +=M N P M P M N P M P N P 7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率. 解:A =“一产品真含有杂质”,B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”,i=1,2,3. 已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质,一次认为不含有杂质,不妨假设前两次检验认为含有杂质,第三次认为检验不含有杂质,即B 1,B 2发生了,而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i ,4.0)(=A P 所以 ,1.0)|(,2.0)|(==A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)(==A P A P 所求概率为,) |()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +== 由于三次检验是独立进行的,所以 . 905.09 .01.01.06.02.08.08.04.02 .08.08.04.0) |()|()|()()|()|()|()() |()|()|()()|(321321321321=???+??????= +=A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P 8.火炮与坦克对战,假设坦克与火炮依次发射,且由火炮先射击,并允许火炮与坦克各发射2发,已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变,它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少? (2) 都不被击毁的概率等于多少? 解:设A i =“第i 次射击目标被击毁”,i=1,2,3,4. 已知,3.0)() (31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以 ,7.0)()(31==A P A P ,65.0)()(42==A P A P (1) 火炮被击毁的概率为 356475 .035.07.065.07.035.07.0)()()()()()() ()()(432121432121432121=???+?=+=+=A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P 坦克被击毁的概率为 4365 .03.065.07.03.0)()()()() ()()(321132113211=??+=+=+=A P A P A P A P A A A P A P A A A A P 8 (2) 都不被击毁的概率为 .207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321=???==A P A P A P A P A A A A P 9.甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直至有一人连胜两次为止,此人即为冠军,而每次比赛双方取胜的概率都是 2 1 ,现假定甲乙两人先比,试求各人得冠军的概率. 解:A i =“甲第i 局获胜”, B i =“乙第i 局获胜”,B i =“丙第i 局获胜”,i=1,2,…., 已知,...2,1,2 1 )()() (== ==i C P B P A P i i i ,由于各局比赛具有独立性,所以 在甲乙先比赛,且甲先胜第一局时,丙获胜的概率为 , 71...212121...)(9 6 3 987654321654321321=+?? ? ??+??? ??+??? ??= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样,在甲乙先比赛,且乙先胜第一局时,丙获胜的概率也为,7 1 丙得冠军的概率为,7 2712=? 甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=- 第二章 2 一、填空题: 1. {}x X P ≤,)()(12x F x F - 2. ==}{k X P k n k k n p p C --)1(,k = 0,1,…,n 3. 0,! }{>= =-λλλe k k X P k 为参数,k = 0,1,… 4. λ +11 5. ?????<<-=其它 ,0 ,1 )(b x a a b x f 6. +∞<<-∞= -- x e x f x ,21)(2 22)(σμσ π 7. +∞<<-∞=-x e x x ,21)(2 2 π? 8. )()( σ μ σμ-Φ--Φa b 9. 10. 64 9 9 分析:每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4 1 2)(21 2 1 -= =?? ∞ xdx dx x f ,而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验,所以 {}64 9 )411()41(223223= -==-C Y P 11. {}7257.0)212.2( 212.2212.2=-Φ=? ?? ???-<-= 8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5( 218.521216.15.86.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=? ?? ???-<-<--=<<-X P X P 同理,P {| X | ≤ 3.5} =0.8822. 12. {})31( 3113)(-=???? ?? -≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13. 48 13 ,利用全概率公式来求解: {}{}{}{}{} {}{}{}{}.48 13 414141314121410 442332 2221122=?+?+?+? ====+===+===+=====X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题: 1. B ,由概率密度是偶函数即关于纵轴对称,容易推导 F (-a)= dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a a ????? -== =∞ --∞ -0 0a -0 a -0)(21)(-21)(-)()( 2. B ,只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞ →x F F x 3. C ,根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4. D ,? ? ?<≥=2,2 ,2X X X Y ,可以看出Y 不超过2,所以 {}{}0,2,12 ,12,12 ,12,2 ,1)(0>?????<-≥=?????<≥=???<≤≥=≤=--?θθ θ?y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y , 可以看出,分布函数只有一个间断点. 5. C, 事件的概率可看作为事件A (前三次独立重复射击命中一次)与事件B (第四次命中)同时发生的概率,即 p p p C B P A P AB P p ?-===-231 3)1()()()(. 三、解答题 (A ) 1.(1) 10 分析:这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1 至6点均可,共有1-61 2 ?C (这里1 2C 指任选某次点数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的 情形,因为612 ?C 多算了一次)或151 2 +?C 种,故{}36 11 3615361-611212=+?=?= =C C X P ,其他结果类似可 得. (2) ??? ??? ?? ???≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6 165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ,,,,,,, ? ??? ?????????????≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 3632 43 3627323620 2136111 0 x x x x x x x , ,,,,,, 2. 注意,这里X 指的是赢钱数,X 取0-1或100-1,显然{}12612995 10 == =C X P . 3. 1!0 ==- ∞ =∑λλae k a k k ,所以λ- =e a . 4.(1) ???? ?????≥<≤<≤-<=???????≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13243214 1-1 x 03 x 132}2{}1{21}1{-1 x 0)(,,,,,,,,x x x X P X P x X P x f , 11 (2) {}41121=-==??????≤X p X P 、 {}212252 3 ===??????≤ {}{}{}{}{}{}4 3 323232= =+=====≤≤X P X P X X P X P ; 5.(1) {}3121121121lim 212121222242=???? ? ? ? ?-??? ??-=++++==∞→i i i X P 偶数, (2) {}{}16 1 16151415=-=≤-=≥X P X P , (3) {}712 1121121lim 21 33 33 1 3=-??????????? ??-===∞ →∞ =∑i i i i X P 的倍数 . 6.(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P . 7.解:设射击的次数为X ,由题意知 ().20400~,B X {}{}k k k k C X P X P -=∑-=≤-=≥4001 040098.002.011129972.028.01! 818 1 0=-=-≈-=∑e k k K ,其中8=400×0.02. 8.解:设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,().305~, B X 则指示灯发出信号的概率 {}{})7.03.07.03.07.03.0(131******** 55005C C C X P X P p ++-=<-=≥= 1631.08369.01=-=; 9. 解:因为X 服从参数为5的指数分布,则5 1) (x e x F --=,{}2)10(110-=-=>e F X P ,()2 5~-e B Y , 则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k e e C k Y P 0.5167 11}0{-1}1{5 2=--===≥-)(e Y P Y P 10. (1)、由归一性知:?? -∞ +∞ -=== 22 2cos )(1π πa xdx a dx x f ,所以2 1 = a . (2)、4 2|sin 21cos 21}4 0{404 ===< π π x xdx X P . 11. 解 (1)由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==- →+ →,即A=1. (2){}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F . (3)X 的概率密度 ? ? ?<<='= ,010,2)()(x x x F x f . 12 12. 解 因为X 服从(0,5)上的均匀分布,所以 ?? ???<<=其他05051 )(x x f 若方程024422 =+++X Xx x 有实根,则03216)4(2≥--=?X X ,即 12-≤≥X X ,所以有实根的概率为 {}{}5 3 510511252 152==+=-≤+≥=??-∞-x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为 4)(3~,N X 所以 )2()5(}52{F F X P -=≤< 5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ= {})4()10(104--=≤<-F F X P 996 .01998.021 )5.3(21)5.3()5.3(=-?=-Φ=--Φ-Φ= {}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P [])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0= {}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0= (2) {}{}c X P c X P ≤-=>1,则{}2 1=≤c X P 2 1)2 3()(=-Φ==c c F ,经查表得 21)0(= Φ,即02 3=-c ,得3=c ;由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)2 3 (1≥-Φ-=d , 则1.0)23(≤-Φd ,即9.0)23-(≥-Φd ,经查表知8997.0)28.1(=Φ, 故28.12 3-≥-d ,即44.0≤d ; 14. 解:{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ σk k -Φ+Φ-= )(22σ k Φ-=1.0= 所以 95.0)(=Φσ k ,}{95.0)()(=Φ==<σ k k F k X p ;由对称性更容易解出; 15. 解 ),(~2σμN X 则 {}}{σ μσμσμ+<<-=<-X P X P )()(σμσμ--+=F F )()( σ μ σμσμσμ--Φ--+Φ= )1()1(-Φ-Φ= 13 0.68261)1(2=-Φ= 上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,{}σμ<-X P 都不会改变; 16. 解:由X 的分布律知 所以 Y 的分布律是 Z 的分布律为 2 22)(21)(σμσ π-- = x e x f , 17. 解 因为服从正态分布),(2 σ μN ,所以则dx e x F x x ? ∞ --- = 2 22)(21)(σμσ π ,{}y e p y F x Y ≤=)(, 当0≤y 时,0)(=y F Y ,则0)(=y f Y 当 0>y 时,{}{}y x p y e p y F x Y ln )(≤=≤= 2 2 2)(ln ' 211))(ln ()()(σμσ π-- = '==y Y Y y y F y F y f e 所以Y 的概率密度为 e 21 1)(2 2 2)(ln ≤>??? ??=-- y y y y f y Y σμσ π; 18. 解 ) 1 ,0(~U X , 100 1 )(<? ?=x x f , {}{}y x p y Y p y F Y ≤ -=≤=1)()1(1y F --=, 14 所以 ? ? ?<<=???<-<=-=其他其他)1()(0,1 01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解:)2,1(~U X ,则 其他 210 1)(<? ?=x x f {}{}y e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)( 当0≤y 时,{}0)(2=≤=y e P y F X Y , 当 0>y 时, )(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =? ?? ???≤=, 其他其他424 2' 21 )ln 2 1(0 21))ln 21(()()(e x e y e x e y f y F y F y f X Y Y <?? ??=<????='== 20. 解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11 ? ????? ≤=y X P 31)31(y F X = )3 1(31))31(()()(' 11y f y F y F y f X Y Y ='== 因为其他1 10 23)(2<<-?????=x x x f X 所以 )31(31)(1y f y f X Y =其他,13 11,01812<<-?????=y y 其他,3 3,0 1812<<-?????=y y (2) {}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=, )3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--== 因为 其他 1 10 2 3)(2<<-?????=x x x f X , 所以 )3()(2y f y f X Y -=?????<-<--=其他0,131,)3(232y y ?????<<-=其他 0,4 2,)3(23 2y y (3){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=2 3)(3 当0≤y 时,{}0)(23=≤=y X P y F Y ,0)()(' 3 3==x F y f Y Y 当 0>y 时,{ } ())()(3y F y F y X y P y F X X Y --=≤ ≤-=, ()())]([21 )]([)()(' '33y f y f y y F y F x F y f X X Y Y - +=- -== 15 所以 ()0 , 0, )]([21 )(3≤>??? ??-+=y y y f y f y y f X X Y , 因为 其他 1 10 2 3)(2<<-?????=x x x f X , 所以 其他,1 0,0 2 3)(3<????=y y y f Y 四.应用题 1.解:设X 为同时打电话的用户数,由题意知 ().20,10~ B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则 99.0! 8 .02.0}{0 1010 =≈=≤∑ ∑=-=-k i i k i i i i e i C k X P λλ,其中,2=λ 查表得k=5. 2.解:该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4 .0-e ,记 X 为10块组件中不能正常工作的个数,则 )1,10(~4.0--e B X , 5小时后系统不能正常工作,即 {}2≥X ,其概率为 {}{} . 8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.01 10104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P 3.解:因为)40,20(~2 N X ,所以 )30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P 31 49.018944.05187.01)25.1()25.0()40 20 30()402030( =-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ= 设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则)4931.0,3(~B X , (1) 8698 .00.5069 -1)4931.01(4931.01}0{1}1{3 300 3==--==-=≥C Y P Y P . (2) 3801.05069.04931.0}1{211 3=?==C Y P . 4.解: 当0 当20<≤y 时,Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布,知5 5 15 1)(y y x e dx e y F ---==? , 当 2≥y 时,}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F , 因此,Y 的分布函数为 16 ???????≥<≤<=-2,120e -10 , 0)(5 y y y y F y ,; 5.解:(1) 挑选成功的概率70 1 148==C p ; (2) 设10随机挑选成功的次数为X ,则该?? ? ?? 70110~,B X , 设10随机挑选成功三次的概率为: 0.00036)70 1 1()701( }3{73 10≈-==k C X P , 以上概率为随机挑选下的概率,远远小于该人成功的概率3/10=0.3,因此,可以断定他确有区分能力。 (B ) 1. 解:由概率密度可得分布函数???????????>≤≤-+<<≤≤<=6 ,163),3(923131,3 1 10,31 ,0)(x x x x x x x x F {}32= ≥k X P 由于,即3 1 )(=k F ,易知31≤≤k ; 2. 解: X 服从) (2,1-的均匀分布,其他,,2 10 31)(<<-?????=x x f ,又,,0011<≥???-=X X Y ,, 则{}3 23 1 )(}0{120 2 = ==≥==?x dx x f X P Y P , 3 1}0{-1}0{}1{= ≥=<=-=X P X P Y P 所以Y 的分布律为 3. 解:])1[(1})1({]1[) (333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=, []{}[][][] 3 233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--=' =[] R y y y ∈-+-=,) 1(1)1(362 π; 4. 证明:因 )(x f x 是偶函数,故)()(x f x f x x =-, 17 }{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=) (1y F x --=所以 )()()()(' y f y f y F y f x x Y Y =-==. 5. 解:随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??≥<<≤=8 ,181 ,1-1 , 0)(3x x x x x F ,显然]1,0[)(∈x F , })({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=, 当0 当10<≤y 时,y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33, 当 1≥y 时,})({y X F ≤是必然事件,知1)(=y F Y , 即 ?? ? ??≥<≤<=1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。 6. (1)}2 1 -{}12{}{)(11 y X P y X P y Y P y F Y ≤=≤+=≤= 当 02 1 ≤-y 时,即1≤y 时,00}21-{)(21 -1==≤ =?-∞dx y X P y F y Y , 当02 1 >-y 时,即y >1时,2 121 0-1}21-{)(1y y x Y e dx e y X P y F ---==≤ =?, 所以 其他,, 11 ,021)(211>?????≤=- y y e y f y Y ; (2)}{}{)(22 y e P y Y P y F X Y ≤=≤=, 当 0≤y 时,}{y e X ≤为不可能事件,则0}{)(2=≤=y e P y F X Y , 当10≤ ∞ -dx y X P y e P y F y X Y , 当 1>y 时,0ln >y ,则{}y dx e y X P y F y x Y 11ln )(ln 0 2- ==≤=?-, 根据 )()(22y F y f Y Y '=得 ??? ??>≤=1,11 ,0)(22y y y y f Y ; (3)}{}{)(2 33 y X P y Y P y F Y ≤=≤=, 当0≤y 时,0}{)(23=≤=y X P y F Y , 当 0>y 时,{ } y y x Y e dx e y X y P y X P y F - --==≤ ≤-=≤=?1}{)(0 23, 18 所以 ?? ???>≤=-0,20 ,0)(3y y e y y f y Y ; 7. (1) 证明:由题意知 00 ,,0 2)(2≤>?? ?=-x x e x f x 。 }{}{21211 y e P y Y P y F e Y X Y x ≤=≤==--)(,, 当 0≤y 时,01=)(y F Y 即01 =)(y f Y , 当10<< y 时,y dx e y X P y e P y F y x X Y ==?????? -≥ =≤=?∞+---2 ln 2222ln }{)(1, 当 1≥y 时,122ln )(021==???? ??-≥=?∞+-dx e y X P y F x Y , 故有 1 0,,01)(1< ? ?=y y f Y ,可以看出1Y 服从区间(0,1)均匀分布; (2) }-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ≥=≤=≤==---, 当01≤- y 时,1}-1{)(22=≥=-y e P y F x Y , 当110<- y dx e y X P y e P y F y x X Y ==? ????? --≤=≥=?----2 ) 1ln(0 2222)1ln(}-1{)(2 )(, 当11≥- y 时,002)1ln(}-1{)(2 ) 1ln(22==? ????? --≤=≥=?--∞ --dx y X P y e P y F y X Y , 由以上结果,易知 1 0, ,01)(2<? ?=y y f Y ,可以看出2Y 服从区间(0,1)均匀分布。 第三章 1解:(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式: P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下: 2 解:X ,Y 所有可能取到的值是0, 1, 2 19 (1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |= , i ,j =0,1,2, i +j ≤2 或者用表格表示如下: (2)P{(X,Y)∈A}=P{X+Y ≤1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解:P(A)=1/4, 由P(B|A)= 2/14 /1) ()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8 由P(A|B)= 2/1) () (=B P AB P 得P(B)=1/4 (X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=)) (B A P =P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解:(1)由归一性知: 1= , 故A=4 (2)P{X=Y}=0 (3)P{X (4) 20 F(x,y)= 即F(x,y)= 5.解:P{X+Y ≥1}= 72 65 )3(),(102 121 = + =? ? ??-≥+dydx xy x dxdy y x f x y x 6 解:X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=25.05.05 .02 1 2=?C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.021 2=?C P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下: 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25 0.5 2 0 0.125 0.125 0.25 P .j 0.125 0.375 0.375 0.125 1 7. 解: ???<<=-其它, 00,),(y x e y x f y ?? ?<≥=?????<≥==-+∞-∞ +∞-??0,00 ,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X ?? ?<≥=?? ???<≥==--∞ +∞-??0 , 00 ,0, 00 , ),()(0 y y ye y y dx e dx y x f y f y y y Y