哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试
高三理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：每小题5分，共12小题 1.集合{}
24,031x y x Q x x x
P -==?
??
???>+-=,则=?Q P （ ）
A. (12]，
B. [12]，
C. ),1()3,(+∞?--∞
D. [12)， 2.已知复数531i
z i
+=
-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -
C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限 3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）cos 0α≠是2()2
k k Z π
απ≠+
∈的充分必要条件
（2）()sin cos f x x x =+则()f x 最小正周期是π
（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1
(10)2
P p ζ-<<=- A.4 B.3 C.2 D.1
4. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是2，该几何体的体积为 ( )
A ．43 B. 83
C.4
D. 16
3
5.函数12
log (sin 2cos
cos 2sin )44
y x x π
π
=-的单调递减区间为（ ） A.5(,)8
8k k π
πππ+
+
k Z ∈ B. 3(,)88k k ππ
ππ++
k Z ∈
正视图
俯视图
侧视图
C.
3
(,)
88
k k
ππ
ππ
-+k Z
∈ D. 35
(,)
88
k k
ππ
ππ
++k Z
∈
6．执行如图程序框图其输出结果是（）A．29 B．31
C．33 D．35
7.变量,x y满足条件
10
1
1
x y
y
x
-+≤
?
?
≤
?
?>-
?
，则22
(2)
x y
-+的最小值为（）
9
2
D. 5
8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四
班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且
在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )
A.484
B. 472
C.252
D.
9.设不等式组03
01
x
y
≤≤
?
?
≤≤
?
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）
B.
3
6
π-
4
π
10.若抛物线22(0)
y px p
=>的焦点为F，其准线经过双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且MF p
=，则双曲线的离心率为（）
A．
2
2
21
11.在平行四边形ABCD中，0
AC CB
?=
,
22
240
BC AC
+-=
,若将其沿AC折成直二面角D AC B
--,则三棱锥D AC B
--的外接球的表面积为（）
A．16π B.8π C. 4π D. 2π
12.已知函数()ln
f x x x k
=-+，在区间
1
[,]e
e
上任取三个数,,
a b c均存在以()
f a，()
f b，()
f c为边长的三角形，则k的取值范围是（）
A．(1)
-+∞
， B.(,1)
-∞-
C. (,3)e -∞-
D. (3)e -+∞，
二、填空题：每小题5分，共20分 13.
在*3)()n n N -∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1
x 的系数等于
14. AOB ?为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP OP ?
的
最小值为
15.椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --分别为其三个顶点. 直
线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率1
2
e =
，则tan BDC ∠= 16. 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且2,c b ==，则ABC ?的面积最大值为 三、解答题：共70分
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*∈+=N n S a n n 12
1
. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,1
1
+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.
18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：
（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预
选赛的概率为
3
2
，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.
附:2
K ＝2
()
n ad bc -
19.ABC ?为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ?沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH //BC ；
（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值；
20.已知椭圆14
:22
=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若?
=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;
(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=, 求λ的取值范围.
A
H
I
C
D
B
F
G
E
21.设函数2
1()ln .2
f x x ax bx =-- (1)当1
2
a b ==
时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a
F x f x ax bx x
=+++，（03x <≤）
其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤2
1
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当0a =，1b =-，方程2
2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．
选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点．
（Ⅰ）求ADF ∠的度数；（Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ
θ
=+??
=?(θ为参数)，若以该直角
坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为:
sin()4
πρθ+=（其中t 为常数）.
（Ⅰ）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ；
（Ⅱ）证明：c
b a
c b a 111++≤
++.
13.-270 14.81
-
15.33- 16.22
17.(1)当1n =时,11112a S =
+,解得12a = 当2n ≥时,111
12
n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ②-①得11
2
n n n a a a --= 即12n n a a -=
∴数列
{}
n a 是以2为首项,2
为公比的等比数列 ∴2n n a =
(2)
22log log 2n n n b a n ===11111
(1)1
n n n c b b n n n n +=
==-++ 11111111...223341n T n n =-+-+-++-
+=111n -+ n N *∈ 110,12n ??∴∈ ?+?? 1,12n T ??∴∈????
18. (I) 2
2
110(40302020)60506050
K ?-?=
???27.822K ≈ 27.822 6.635K ≈> ∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.
(II)
X 的可能取值为0,1,2,3
271)31()0(3===X P 92)31)(32()1(213===C X P 94)32)(31()2(223===C X P 278)32()3(3===X P
()2E X =
19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为?BC 平面BCH ，?
ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH 因为?ED 平面BCH ，HI AED =所以HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC A
(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，
)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，
)2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=EF ，)1,2,0(-=CH ，)0,0,1(2
1
==
HI ， 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则?????=?=?0011n EB n ，????
?=+=+-0
01111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，
11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则
?????=?=?0022n n CH ，?
???
?
==+-002221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15
155
321,cos 21=
?->=
20.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则14212 1=+y x .由?=∠90ADC 得1-=?CD AD k k , 11 21111-=-?+∴x y x y ,()()124112*********-=-+-=-?+∴ x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221= ∴y , 233 2 221=??=S . (2)设()22,y x D , 动点P 在圆42 2=+y x 上, ∴1-=?PA PB k k . 又21k k λ=, ∴ 1212222-?=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()4 11222 22x x x - -+- =()()() 2 22244 112x x x --+- =2 1422--?x x =??? ? ? ? -+ 21142x .又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈?? ? ?? -+ =x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数, ∴函数()x f 的值域为()()3,00,?∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,?∞- 21解: （1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞）， 当21= =b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，x x x x x x f 2) 1)(2(21211)('-+-=--=令)('x f =0，解得1=x ． （∵0>x ），当10< 所以)(x f 的极大值为43)1(- =f ，此即为最大值 (2）x a x x F +=ln )(，]3,0(∈x ，则有2 00)('x a x x F k -= =≤21，在]3,0(0∈x 上恒成立，所以a ≥max 02 0)21(x x +-，]3,0(0∈x 当10=x 时，02021x x +- 取得最大值21，所以a ≥2 1 (3)因为方程2 )(2x x mf =有唯一实数解，所以02ln 22=--mx x m x 有唯一实数解， 设mx x m x x g 2ln 2)(2 --=，则x m mx x x g 222)('2--=．令0)('=x g ，02 =--m mx x ． 因为0>m ，0>x ，所以02 421<+-=m m m x （舍去） ，2x = 当),0(2x x ∈时，0)(' 当2x x =时，)('2x g =0，)(x g 取最小值)(2x g ．因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g 则???==,0)(',0)(22x g x g 既?????=--=--. 0,02ln 2222222 2m m x x m x x m x 所以0ln 222=-+m mx x m ，因为0>m ，所以01ln 222=-+x x （*）设函数1ln 2)(-+=x x x h ，因为当0>x 时， )(x h 是增函数，所以0)(=x h 至多有一解． 因为0)1(=h ，所以方程（*）的解为21x = 1=，解得21=m 22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠ 因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠， 所以?=∠90DAE 所以?=∠-?= ∠45)180(2 1 DAE ADF . （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ?∽BCA ?， 所以 AB AE BC AC = ，在ABC ?中，又因为AC AB =，所以?=∠∠=∠30ACB B ， ABE Rt ?中，3 3 30tan tan =?===B AB AE BC AC 23. （Ⅰ）由已知[] 2,2,1:2-∈-=x x y M ；t y x N =+: 联立方程有一个解，可得 11t <≤或54 t =- （Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，0 x ≤，则 82 32 43)21(212002 0≥++=++=x x x d ，当01 2x =-时取等号，满足0x ≤小距离为 8 2 3 24.(1) c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证 （2） ac bc ab c b a ++=++1 11 b c ab bc ab 222=≥+，a c b a ac ab 222=≥+， c c ab ac bc 222=≥+ 相加得证
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