江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第4部分:数列 一、填空题：
11．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)设等差数列{}n a 的前n 项和
为
n S ,若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ；
11．[]12,42-【解析】由题知11144,253a d a d ≤+≤≤+≤
则
()()
611161515495S a d a d a d =+=+-+由不等式性质知
[]
612,42S ∈-或线性规划知识
可得11144253
a d a d ≤+≤??
≤+≤?，令
61615z S a d ==+同样得[]612,42S ∈-.
12. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)已知数列{}n a 满足
()*11513
2,37n n n a a a n N a +-==
∈-,
则数列
{}n a 的前100项的和为 ▲ .
12. 200【解析】由
()*11513
2,37n n n a a a n N a +-==
∈-得23521353133,1,327337a a ?-?-====?-?-
45113
2,317a ?-=
=?-则{}n a 是周期数列，()100231332200.S =++?+=
10. (江苏省南京市2011
届高三第一次模拟考试)已知正数数列{}n a 对任意,p q N *
∈，都有
p q p q
a a a +=?，若
24a =，则9a = .
10．512【解析】由
2,4
p q p q a a a a +==，可得
2
21142a a a ==?=， 则22
4
28491816,256,512a a a a a a a ====== 14. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则2010
1
1()2010i i i a b =+∑的值
是 ▲ ． 14．【解析】本题考查学生归纳推理能力。应当先把题目多读几遍，弄懂题意，紧紧抓住条件
“当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+”，反复运用它，求出数列{}n a ，{}n b 的前5项，11a =，22a =，33a =，44a =，55a =；12b =，23b =，34b =，45b =，56b =。归纳得n a n =，
1n b n =+；
设n n n c a b =+，121n n n c a b n n n =+=++=+，则数列{}n c 是首项为13c =，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{}n c 的前2010项和的平均数。 所以20101112010(34021)
()201020102i i i a b =?++=?∑=2012
10. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)数列
{}n a 为正项等比数列，若12=a ，且
116-+=+n n n a a a ()2,≥∈n N n ，则此数列的前4项和=4S 。
10.215
【解答】设等比数列的公比为q ，由116-+=+n n n
a a a 知，当2n =时2316a a a +=，再由数列{}n a 为正项等比数列，
12=a 得
2
61603,20
q q q q q q q
+=
+-==-=>
4115
212422q S ∴=∴=
+++=。
10. (江苏省南京市2011年3月高三第二次模拟考试)已知各项都为正数的等比数列{an}中，
a2*a4=4, a1+a2+a3=14, 则满足an+an+1+an+2>91
的最大正整数n 的值为________。4
7．(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）设等差数列
{}n a 的公差0d ≠，14a d =，若k a 是
1a 与2k a 的等比中项，则k 的值为 ▲ ．3
13．(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第 一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是 前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 ▲ ．4
8．(江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中,n S 是
{}n a 的前n 项和,
则数列
304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在
公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则
有 ．100
3040
20301020,,,q T T T T T T 且公比为也成等比数列
10．(江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表
1
3 5 7 9 11 17 19
示
ij a ),(**N j N i ∈∈，例如932
=a ，若2009ij a =，
则=+j i ．60
14、(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)已知等差数列{}n a 首项为a ，
公差为b ，
等比数列
{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于
任意的*
n N ∈，总存在*
m N ∈，使得
3m n a b +=成立，则n a =
53n -.
13．(江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等
比数列,其中
1122432,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正
整数n 都成立,则β
α= ▲ .
13.4【解析】设公差为d ，公比为q ，则()22223d q d q +=??+=?解得20q d =??=?（舍去）或4
2q d =??=?
，所以
1
2,4.n n n a n b -==若n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立，则满足12l o g 4n n αβ-=+，即()21log 4n n αβ=-+，因此只有当2,2αβ==时恒成立，即
4.βα=
二、解答题：
20．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)（16分）设数列
{}n a 是一个
无穷数列，记
2
12131
1
222n i n n i n i T a a a a +-++==+--∑，*
n N ∈．
⑴若{}n a 是等差数列，证明：对于任意的*n N ∈，0n
T =； ⑵对任意的*
n N ∈，若
0n T =，证明：{}n a 是等差数列；
⑶若0n T =，且10a =，21a =，数列{}n b 满足2n
a n
b =，由{}n b 构成一个新数列3，2b ，3b ，
设这个新数列的前n 项和为n S ，若n S 可以写成b a ，(,,a b N ∈1,a >1)b >，则称n S 为“好
和”．问1S ，2S ，3S ，
中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明
理由．
20．解⑴对于任意的正整数n ，
2
12131
1
222n i n n i n i T a a a a +-++==+--∑，
当
b 为偶数时，221112
b b b
n
a a a ????-=+-= ???????，因为21
b a +和2
1b a -都是大于1的正整数，
所以存在正整数,t s 使得2
2
12,12b
b s
t
a a +=-=，
()222,2212,22
s t t s t t --=-==且211,1,2,s t
t s --===相应的3n =，即有
2333,S S =为好和； 当b 为奇数时，
()()21111,
b b a a a a a --=-++++由于2
11b a a a -+++
+是b 个奇数之
和，仍为奇数，又1a -为正偶数，所以
()()
2
111b a a a a --++++不成立，这时没有好和.
20．(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6
分，第3小题6分）
设函数()()2303x f x x x +=>，数列{}n a 满足()
*1111,,2n n a a f n N n a -??==∈≥ ???且．
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设
()
1
122334451
1n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+???+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实
数t 的取值范围；
⑶是否存在以1a 为首项，公比为
()*
05,q q q N <<∈的数列{}k
n a ，*
k N
∈，使得数列
{}
k
n a 中每一项都是数列
{}n a 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{}k n 的通项公式；若
不存在，说明理由．
20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：⑴因为()*1111
1
23
12,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----?
+??===+∈≥ ????
且，
所以
12
3n n a a --=
．…………………………………………………………………………2分
因为1
1a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2
3的等差数列． 所以
21
3n n a +=
．…………………………………………………………………………4分
⑵①当2,*n m m N =∈时，
()
21
212233445221
1m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+???+-
()()()
21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+???+-
()2424
3
m a a a =-+++()22241
812329m a a m m m +=-??=-+
()21
269n n =-
+．…………………………………………………………………………6分
②当21,*n m m N =-∈时，
()
21
212221
1m n m m m m T T T a a --+==--
()()2211
8121616399m m m m =-++++
()()2211
84326799m m n n =
++=++．…………………………………………8分
所以()()2
2126,912679n n n n T n n n ?-+??=?
?++??为偶数，，为奇数
要使2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，
只要使()221
26,(9n n tn n -
+≥为偶数)恒成立．
只要使162,9t n n ??
-+≥ ???对为偶数恒成立
，
故实数t 的取值范围为59?
?-∞- ???，．……………………………………………………10分
⑶由
21
3n n a +=
，知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数．
①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}
k n a ，*k N ∈，
此时
{}k
n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1
a 为首项，公比为偶数的数列
{}k
n a ．……………………………………………………………………………………12分
②当1q =时，显然不存在这样的数列{}
k
n a ．
当3q =时，若存在以
1a 为首项，公比为3的数列{}
k n a ，*k N ∈．
则
11
n a =，1
1n =，
1
213
3k k k n n a -+==，312k k n -=
．
所以满足条件的数列{}k n 的通项公式为
31
2k k n -=．……………………………………16分 19．(江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)（本题满分16分，第1问4分，第2问6
分，第3问6分）
已知数列{}n a 中，,11=a 且点
()()*
+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若函数(),2,1
111)(321≥∈++
++++++=
n N n a n a n a n a n n f n
且 求函数)(n f 的最小
值；
（3）设
n
n
n S a b ,1=
表示数列{}n b 的前项和。试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得
()()n g S S S S S n n ?-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？ 若存在，写出
()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
19．解：（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，
即
11=-+n n a a ，且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列
)2(1)1(1≥=?++=n n n a n ，11=a 同样满足，所
以
n a n = （2）
n n n n f 21
2111)(+++++=
221
121413121)1(++
+++++++=+n n n n n n f 0
11
22122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+n n n n n n n f n f 所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是
127
)2(=
f
（3）
n
b n 1
=
，可得
n
S n 131211++++
= ，
)2(1
1≥=
--n n S S n n
1)1(11+=----n n n S S n nS ， 1)2()1(221+=------n n n S S n S n 1112+=-S S S
113211-+++++=--n S S S S S nS n n
)1(1321-=-=++++-n n n S n n nS S S S S ，n ≥2 n n g =)(
故存在关于n 的整式g （x ）=n,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立
19、(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)已知数列
{}n a 首项
3
131
=
a ，公比为
3
31
的等比数列，又t a b n n =+3log 15，常数*∈N t ，数列{}n c 满足n n n b a c =，
（1）、求证{}n b 为等差数列；
（2）、若
{}n c 是递减数列，求t 的最小值；
（参考数据：
442.13=）
（3）、是否存在正整数k ，使21,,++k k k C C C 重新排列后成等比数列，若存在，求t k ,的值，
若不存在，说明理由。
②、若1k c +是等比中项，则由221k k k c c c ++?=得()2
22
2
(10)5k
k k x x x ++?+=+化简
得
()
2
(10)5x x x +=+，显然不成立．………………13分
③、若2k c +是等比中项，则由2
12k k k c c c ++?=
得(
)1
24
2
(5)10k
k k x x x ++?+=+
化简得2251000x x --=，因为2
5421002533?=+??=?不是完全不方数，因而，x 的值是无
理数，显然不成立．……15分
综上：存在5,1==t k 适合题意。………16分
19. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)（本小题满分16分）
设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n n n N S S S n ++???+=∈+.
⑴求
1S ,2S 及n S ；
⑵设1,2n a
n b ??
= ???若对一切*
n N ∈均有
21116,63n
k k b m m m =??∈-+ ???∑，求实数m 的取值范围. 19.【解析】依题意，1n =时，
12S =;2n =时，26S =.
因为()*121111n n
n N S S S n ++???+=∈+， 2n ≥时1211111,n n S S S n --++???+= 所以()11,1.1n n n n S n n S n n -=-=++
上式对1n =也成立，所以
()()*1.
n S n n n N =+∈
（2）当1n =时，12a =,当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=,所以2n
a n =()*
.n N ∈ 14n n b ??= ???，114n n b b -=，数列{}n b 是等比数列，则11111144113414n n k n k b =??
- ?????==- ???-
∑。 因为11134n ??- ???随n 的增大而增大，所以
11143n k k b =≤<∑，
由2114
161633m m m ?
得0415m m m m <>??≤≥?或或，所以0m <或 5.m ≥ 19. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)（本题满分16分） 将数列
{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789
a a a a a a a a
a
已知表中的第一列数125,,,
a a a 构成一个等差数列，记为
{}n b ，且254,10b b ==.表中每一
行正中间一个数137,,,
a a a 构成数列
{}n c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列
{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一
个正数，且131a =.①求n S ；②记
{}|(1),n
M n n c n N λ*
=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
19．【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力. 解：（1）设数列
{}n b 的公差为d ，
则
114
410
b d b d +=??
+=?，解得12
2b d =??
=?，所以2n
b n =.…………………………………4分
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q
由于前n 行共有2135(21)n n ++++-=个数，且223134<<，
所以
1048a b ==．
所以
33
13108a a q q ==，又131a =，解得
12q =
因此
12
12()22n n n n
c n --==．………………7分
所以
123101
21232222n n n n S c c c c --=++++=
++++
01211121222
22n n n n n
S ---=+++
+
因此1012
12111111
112
442
22222222n n n n n n n n n S ------+=+++
+-
=--=-
解得
22
82n n n S -+=-
……………………………………………………………………10分
②由①知，
2
2n n n c -=
，不等式(1)n n c λ+≥，可化为2(1)
2n n n λ-+≥
设
2(1)
()2n n n f n -+=
，
计算得
15(1)4,(2)(3)6,(4)5,(5)4f f f f f =====
因为
1(1)(2)
(1)()2n n n f n f n -+-+-=
所以当3n ≥时，(1)()f n f n +<…………………14分 因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是
(]4,5………………………16分
23. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)已知等比数列
{}n a 的首项12a =，
公比3q =，
n S 是它的前n 项和.求证：131
n n S n S n ++≤
.
【解析】本题主要考查用数学归纳法证明数列问题，体现不等式放缩的数学思想，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力.
证明：由已知，得
31n
n S =-， 131n n S n S n ++≤等价于1313131n n n n +-+≤-，即32 1.()n
n ≥+*……………………………2分
（方法一）用数学归纳法证明．
①当1n =时，左边3=，右边3=，所以（*）成立…………………………………4分
②假设当n k =时，（*）成立，即321k
k ≥+
那么当1n k =+时，
3333(21)63232(1)1k k k k k k =?≥+=+≥+=++ 所以当1n k =+时，（*）成立…………………………………………………………8分 综合①②，得321n
n ≥+成立
所以131
n n
S n S n ++≤.…………………………………………………………………… 10分 （方法二）当1n =时，左边3=，右边3=，所以（*）成立……………………4分
当2n ≥时，
201223(12)222n n
n n n n n C C C C =+=+?+?++?
1212n n =++>+
所以131
n n
S n S n ++≤.…………………………………………………………………… 10分 19．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)（本小题满分16分） 已知数列{
}
n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S pa n =-，*
n N ∈，其中常数2p >．
（1）证明：数列{
}
1n a +为等比数列；
（2）若23a =，求数列{}n a
的通项公式；
（3）对于（2）中数列{
}
n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*
n N ∈），在k b 与1k b + 之间
插入1
2k -（*
k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m,使得数列{}n c 的
前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.
19．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论
证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
解：（1）∵22n n S pa n =-，∴1122(1)n n S pa n ++=-+，∴1122n n n a pa pa ++=--，
∴
12
22
n n p a a p p +=
+--，∴
11(1)2
n n p
a a p ++=
+-，…………………………………4分
∵1122a pa =-，∴
102
p
a p =
>-，∴110a +>
∴
11012
n n a p
a p ++=≠+-，∴数列{
}
1n a +为等比数列．
（2）由（1）知
1(
)2
n
n p a p +=-，∴
(
)12
n
n p a p =--……………………………8分
又∵23a =，∴
2
(
)132
p p -=-，∴4p =，∴21n
n a =-……………………………10分
（3）由（2）得2log 2n n b =，即
*
,()n b n n N =∈， 数列{C }n 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是：
122
(1)
123)
(2222)
222
2
k k
k k k -++++++++++
?=+-
（…………………12分
当k=10 时，其和是10
552210772011+-=< 当k=11 时，其和是11
662221122011+-=>
又因为2011-1077=934=467?2，是2的倍数 ………………………………14分
所以当2
810(1222)467988m =++++
++=时，T 2011m =，
所以存在m=988使得T 2011m = ……………………………………16分 17. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分14分）
在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2123a a =+，且23a ，4a ，35a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b
的前n 项和n S .
17．【解析】本题考查等差数列、等比数列的基础知识，第（1）问求数列的通项公式，主要是用解方程组的方法求出首项和公比，注意取舍；第（2）问，求数列的前n 项和，主要考查错位相减法。 （1）设
{}n a 公比为q ，由题意得0q >，
且2123423,352,a a a a a =+??+=?即
12(2)3,2530,a q q q -=??--=? ……………………………………………2分 解之得13,
3,a q =??
=?或16,512a q ?
=-????=-??（舍去），…………………………………………………4分
所以数列{}n a 的通项公式为1333n n n a -=?=，n *∈N .…………………………………6分
（2）由（1）可得3log n n b a n ==，所以3n
n n a b n =?.…………………………………8分 所以
23
1323333n n S n =?+?+?++?， 所以
234131323333n n S n +=?+?+?++?，
两式相减得，
23
123(333)3n n n S n +=--++++?…………………………………10分
231(3333)3n n n +=-+++
++?
11
3(13)3(21)33132n n n n n ++-+-?=-+?=
-，
所以数列{}n n a b 的前n 项和为1
3(21)34n n n S ++-?=. ………………………………14分
19. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟) (本小题满分16分)
已知在直角坐标系中，()()()
*
∈N n b B a A n n n n ,0,0,，其中数列{}{}n n
b a ,都是递增数列。 （1）若
13,12+=+=n b n a n n ，判断直线11B A 与22B A 是否平行；
（2）若数列{}{}n n b a ,都是正项等差数列，设四边形11++n n n n A B B A 的面积为
()*
∈N n S n . 求证：
{}n S 也是等差数列；
（3）若()Z b a b an b a n n
n
∈+==,,,2,121-≥b ，记直线n n B A 的斜率为n k ，数列{}n k 前8
项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数。
19. ⑴由题意
1(3,0)A 、1(0,4)B 、2(5,0)A 、2(0,7)B .
∴
11404033A B k -=
=--，22707
055A B k -==--. …………………………………（2分）
1122
A B A B k k ≠，∴
11A B 与22A B 不平行. ……………………………………（4分）
⑵
{}
n a 、
{}
n b 为等差数列，设它们的公差分别为
1d 和2d ，则
11121
1
1
1(1),(1),n n n
n a a n d b b n d a a n d b b n d
+=+-=+-=+
=+，，
由题意
11111
()2n n n n n OA B OA B n n n n S S S a b a b ++??++=-=
-.……………………………（6分）
∴
[]111211121
()()((1))((1))2n S a nd b nd a n d b n d =
++-+-+-
12121112
1(2)2
d d n a d b d d d =
++-，…………………………………………（8分）
∴
1121211121
(2)
2n S d d n a d b d d d +=
+++，∴1
12n n S S d d +-=是与n 无关的常数， ∴数列{}n S
是等差数列. ……………………………………………………………（10分）
⑶
(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，∴n k =002n n n
n n b b an b
a a -+=-=--.
又数列
{}n k 前8项依次递减，
∴
1n n k k +-=
11
(1)222n n n a n b an b an a b
+++++-+-
+=
0<对17()
n n Z ≤≤∈成
立
，
即
an a b -+<对
17()n n Z ≤≤∈成立.………………（12分）
又数列
{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即
760a a b a b -+=+<即可.
又112b a b =+≥-，联立不等式60
120
,a b a b a a b Z +
>??∈?，作出可行域（如右图所示），易得1a =或
2.…………（14分）
当1a =时，136b -≤<-，即13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解；
当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解.∴数列{}n b 共有9个. …（16分）
另解：也可直接由12,06-≥+<+b a b a 得
512
0<