1.2正、余弦定理应用举例导学案 高志国 【学习目标】（朝着目标大步迈进！）
能利用正、余弦定理解决各种实际应用问题；
【知识清单】（鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书！） 1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫 ，在水平线下方的角叫 ；(如下图)
2、方位角
北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如上图)
(1) 正南方向：指从原点O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依次可类推正北、正东和正西方向
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如下图)
(3)北α东，即北偏东α，方位角为 .(如上中图)
(4)南β西，即南偏西β，方位角为 .(如上右图)
3、坡度问题
(1)坡角：坡面与水平面的夹角，如右图. (2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，α 即)(tan 为坡角为坡比，ααi l
h i ==
【典例精析】（品出知识，品出题型，品出方法） (一) 测量距离问题
例1、在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在相距为2
3a
的军事基地C 和
D
测得蓝方两只部队分别在
A
处和
B 处，且
,45,60,30,30 =∠=∠=∠=∠ACB DCA BDC ADB 如右图.
求蓝方这两支军队的距
离.
例2、船A 和船B 在中午12时离开海港C ，两艘船的航行方向之间的夹角为 120，船A 的速度是25km/h ，B 的速度是15km/h ，下午2时两船之间相距多少千米？
方法总结：
(二) 测量高度问题
例3、某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进40m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高.
铅垂线
视线
水平线 视线 西 东 西 东 西 南 东 西 南 东
h
l l h
i =
D
A B
C
30
30
45
60
例4、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过100s 后又看到山顶的俯角为 75，求山顶的海拔高度.
方法总结：
(三) 角度问题
例5、海军某雷达发现在海岸A 处，北偏东 45方向，距离A 处)13(-km 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75方向，距离A 处2km 的C 处的缉私船奉命以310km 的速度追截走私船.此时，走私船正以10km 的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需时间.
方法总结：
(四) 其他实际应用问题
例6、在ABC ?中，求证：22)cos cos (b a A b B a c -=-
(选作)如图，两根不可伸长的轻绳吊住一个质量为G 的重物，开始时，轻绳OA 水平，不断改换轻绳OA ，使OA 的悬点不断上移，同时，保持轻绳OB 的位置不变，则轻绳OB 的拉力B A T T 和将如何变化？
【知能达标】（一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看，等啥？快练！）
1.在ABC ?中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，
302)cos(32cos ==+++b C A B ，，则为B b sin : ( )
A ．3：1
B ．3：1
C ．2：1
D ．2：1 2. 在ABC ?中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，,22cos 2
c
c a B +=则ABC ?的形状为( )
A ．直角三角形
B ．正三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
3.一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 60方向上，另一灯塔在南偏西
75方向上，则该船的速度应该是 ( ) A. 10海里/小时 B. 310海里/小时 C. 5海里/小时 D. 35海里/小时
4．在ABC ?中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，若bc c b a 3222=++，则角B 为( ) A ．
6π B ．3
π
C ．656ππ或
D ．323ππ或
5、在ABC ?中，若====?ABC S BC C A 则,1,150,3
1
tan
A ’
A
6、一架飞机在海拔8000m 的高空飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 4530和，计算这个海岛的宽度.
7、一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距700km.飞行员为避开一雷雨云层，起飞后就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞到中途，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞直到终点,这样飞机的飞行路程比原来的路程700km 远了多少？
8、求半径是R 的圆内接正n 边形的面积.
【高考链接】
1、设ABC ?的内角A 、B 、C 所对边长为a 、b 、c ，且.4sin ,3cos ==A b B a (1)求边长a ;
(2)若ABC ?的面积S =10，求ABC ?的周长l
2、甲船以230海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的1B 处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的2B 处，此时两船相距210海里，问乙船速度多少海里/小时？
正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算
五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π
三角恒等变换与解三角形 学习目标： 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题. 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 真 题 感 悟 1.若tan α＝2tan π5，则cos ? ??? ? α－3π10sin ? ??? ?α－π5＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. 3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________. 4.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1，sin α cos α ＝tan α. (2)诱导公式：在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象 限”. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β 1?tan αtan β . (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式
正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (侧角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平■视线和目标视线的火角，目标视线在水平■视线白勺角叫仰角，目标视线在水平■视线下方的角叫俯角(如图①). (2) 方向角：相对丁某正方向的水平■角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60等； (3) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平■角，如B点的方位角为g如图②). (4) 坡度：坡面与水平■面所成的二面角的度数. 【助学微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1) 阅读理解题意，弄活问题的实际背景，明确已知与未知，理活量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2汁艮据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3汁艮据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)#三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1. (2012江苏金陵中学)已知^ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等丁 - 解析记三角形三边长为a-4, a, a+ 4,则(a + 4)2 = (a-4)2 + a2— 2a(a-4)cos 1 120，解得a= 10,故S= 2 X 10x 6X sin 120 = 15寸3. 答案15 3 2. 若海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC= 60°, / ABC= 75°,则B, C问的距离是__________ 渔里. ................................ BC AB - 解析由正弦正理，知sin 60° = sin 1800-60°-75°.解侍BC= 5V6(海里)? 答案5 6
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视
正余弦定理的综合应用 1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ?的面积为 3 2 ，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ?中，点D 在AC 边上，且 3AD DC =，7AB =，3 ADB π ∠=，6 C π ∠= . （Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值. 【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 3.【海南省2018届二模】已知在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=. （1）求角A 的大小； （2）若3a =，12 B π = ，求ABC ?的面积. 4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在 中，角 对边分别为 ，已知 ． （1）求角的大小；（2）若 ，求 的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中, 分别为角 的对边，且 . （1）若，求及； （2）若 在线段 上，且 ，求的长. 7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ， C 的对边， cos 2cos C a c B b -=，且2a c +=．
正余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123 cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===???， 3 s i n B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得222 2cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在D 处距A 还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例2 在海岸A 处，发现北偏东45?方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75?方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时 A C D 31 21 20 35? 25? 东 北
正余弦定理的应用举例 正、余弦定理的应用举例 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决. 典例剖析 题型一距离问题 例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲
船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结，由已知， 又，是等边三角形， 由已知，，， 在中，由余弦定理，．． 因此，乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题 例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30，至点c处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：由已知可得在AcD中， Ac=Bc=30，AD=Dc=10，ADc=180-4， =。sin4=2sin2cos2 cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15 解法二：设DE=x，AE=h 在RtAcE中,+h=30在RtADE中,x+h= 两式相减，得x=5,h=15在RtAcE中,tan2== =30,=15
正余弦定理的应用 1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B =2 3 ，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线 段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径． 已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．
天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学0701 田承恩
一、教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品
质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计）
正余弦定理综合应用 学校: __________ 姓_名： ________ 班_级： _________ 考_号： ____________ 一、解答题 1 ． 已 知 的 内 切 圆 面 积 为 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 若 1）求角 ； 2）当 的值最小时，求 的面积 . 2 ．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 （ 1）求 的值； 3）若 ，求 面积的最大值 ，求 的值；
1）求； 2）若，求
4 ．已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. 1）当取得最大值时，求角的大小； 2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围 5．在△ ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断△ ABC 的形状； （2）若，求的取值范围．
6 ．如图：在中，，点在线段上，且 ．求的长； Ⅱ）若，求△ DBC 的面积最大值． 7 ．在中，角的对边分别为， （1）求角的大小； 2）若的外接圆直径为2，求的取值范围
8 ．在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）求的取值范围。 42 9．设函数 f x cos 2x 2cos2 x. 3 （1）求 f x 的最大值，并写出使 f x 取最大值时x 的集合； 3 （2）已知ABC 中,角A,B,C 的边分别为a, b, c ，若 f B C 2,b c 2，求 a 的最小
值. 2 10．在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且ACB 3 . 3 （1）若a, b,c依次成等差数列，且公差为 2 ，求c的值； （2）若 c 3, ABC ，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值
第一章 解三角形 1.2 正余弦定理应用举例 一、教学目标 1.核心素养 通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标 应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点 综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点 正余弦定理与三角函数知识的综合运用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P11－P16. 思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测 1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B. 2.已知ABC ?中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（ ）
A. 30 B. 150 30或 C. 60 D. 60或 120 答案:D. 3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45 CAB=?后,就可以计算出A、B两点 ACB=?,∠105 的距离为( ) A. B. C. m D. 2 答案:A. （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）正弦定理和余弦定理
（2）在ABC ?中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下: 2.问题探究 问题探究一 正弦定理与余弦定理 ●活动一 回顾正弦定理 任意三角形中,都有 sin a A ＝sin b B ＝sin c C . ●活动二 回顾正弦定理能解决的问题类型 一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? （1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三 余弦定理及其所能求解的问题类型 利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角; （2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二 掌握以下几个常用概念 坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.
1.2正弦定理余弦定理的应用举例 教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤
(二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维 品质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计）
人教版必修五《1.2应用举例》教学设计 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标设置 根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标： 知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系， 过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。 ②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用 情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、学生学情分析 本节课的教学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生． 1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。 2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。 难点： 1．实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 2. 根据题意建立数学模型，画出示意图 突破策略：
1) 在三角形ABC中，已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数 思路：先证c＞a,c＞b,说明求角C即可 依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4 再由余弦定理得cosC=（a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2，即得角C=120度 2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合 a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。 原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2) 2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项) (a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组) (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0 因为一个数的平方为非负数 所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0 即a-b=0 b-c=0 c-a=0 所以此三角形为等边三角形 3）在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a 因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理） 所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2 又因为（b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA（余弦定理） 所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3（b^2+c^2-a^2）/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bc cosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3 又因为b^2+c^2>=2bc（基本不等式） 所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。解得bc<=9/4
正余弦定理的应用 1、【优质试题年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【优质试题年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =， 点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =___________， cos ABD ∠=___________． 3、【优质试题年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b cos B =2 3 ，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 4、【优质试题年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下， P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【优质试题年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求 B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 6、【优质试题年高考北京卷文数】在△ABC 中， a =3，–2 b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 7、【优质试题年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别
《正余弦定理应用举例---测算距离》教 学实录 一、教学目标 1.引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，形成一定的数学视野，提高学生学数学的兴趣. 2.提高学生数学的提出、分析和解决实际问题的能力，加强数学表达和交流的能力. 3.通过对实际问题解决方案的自主探究，达到准确熟练应用正余弦定理的目的. 4.培养学生的数学应用意识和创新意识，发展自己的想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度. 二、学法与教法 本节是一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，再给出要解决的实际问题，让学生利用手中的测量工具，在现有的认识范畴内，通过想象，设计解决方案(个别学生提议).再组织学生探讨方案的实效性(集体协作).最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程. 要“测量”不可直接到达的距离，常放到三角形中通过解三角形来求解，变“不可测”为“可以算”.所以要利用手中的测量工具，设计有关能测量的数据(边、角)，利用正、余弦定理，通过求三角形的一边来解决. 三、重点、难点、疑点、及关键 1.教学重点：应用正余弦定理解决实际中的距离测算问题. 2.教学难点：找到解决实际问题实施方案. 3.教学疑点：方案设计的实效性与最优化. 4.教学关键：做出正确的图形. 5.教学手段：圆规、米尺、彩粉笔. 四、教学过程 (一)复习导入 师：正余弦定理内容及应用是什么？
生：正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R． 余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc cosA. 师：板书 师：数学源于实践，又反作用于实践，学数学的最终目的就是应用数学知识解决生产生活中的实际问题.本节课我们去郊游，看看实际生活中有哪些问题可以利用正余弦定理来解决。 师：介绍测量工具：米尺：可以测长度；经纬仪：可以得到在一点看另两点的视角；水平尺：测量俯角、仰角 (二)研讨新课 师：让我们走出教室，看到楼西侧旗台东侧工厂，两地被楼隔离开，如何能知道它们之间的距离？谁能设计一个解决方案？ (学生在思考讨论中) 生A：在操场上选能看到两地的某一点为测量点，可以利用米尺测出该点到两地的距离，再利用经纬仪测出该点与两地的视角，利用余弦定理直接可以求出两地的距离. 师：把你的想法编写成具体的数学问题. 生A：△ABC中，已知∠C=α AC=b BC=a，求AB. (学生中传出了一阵掌声) 师：我们走出校门，到了小凌河岸边.河水东岸是望河小区，西岸是绿景湾小区，两个小区的正门距离怎么能知道？请同学们思考后编成一道数学问题. (学生再一次在思考讨论中) 生B：在河一侧(例如B侧)选一点C，用米尺测BC=a ，用经纬仪测∠B=α，∠C=β，求AB. 求解思路是：α，β(内角和)→∠A ，∠C，B C(正弦定理)→AB. (学生中又传出了一阵掌声)
知识点：正余弦定理及三角形面积公式的应用 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题. (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. 这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。 (1)A 为锐角 (2)A 为直角或钝角 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2 2 2 a b c +=，则90C = ； ②若2 2 2 a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． 余弦定理的应用.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形问题. (1)已知三边，求其它三角. (2)已知两边和其中夹角，求另一边及其它角. (3)已知两边和其中一边的对角，求其它边、角
正弦定理、余弦定理应用举例 1．用正弦定理和余弦定理,面积公式 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等． 【例题分析】 一、基础理解 1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10° 3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 二、测量距离问题 例1、如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )． A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m 例2、 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．
正余弦定理的应用举例 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学 070
1 田 承 恩 一、教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。
二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维 品质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计）