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高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1-1

1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式.

解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞),

A ?

B =[-10, -5),

A \

B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).

2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为

x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C .

3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B );

(2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为

y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y

?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )

? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为

y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ),

所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ).

4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.

证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元

素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.

又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2.

因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.

对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ;

(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .

证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))?A .

(2)由(1)知f -1(f (A ))?A .

另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))?A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;

解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,3

2[∞+-.

(2)211x

y -=;

解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)?(-1, 1)?(1, +∞). (3)211x x y --=;

解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)?(0, 1]. (4)2

41x y -=

; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;

解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);

解由2

1π≠+x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ? ?

?).

(7) y =arcsin(x -3);

解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)x

x y 1arctan 3+-=;

解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)?(0, 3). (9) y =ln(x +1);

解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)

x e y 1=.

解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)?(0, +∞).

7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;

(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .

(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.

(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.

8. 设????

?≥<=3||

03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, )4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x )的图形.

解 2

1|6sin |)6(==ππ?, 22|4sin |)4(==ππ?, 22|)4sin(|)4(=-=-ππ?, 0)2(=-?. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);

(2)y =x +ln x , (0, +∞).

证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1

1)(1(11212

1221121<---=---=

-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.

(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1

)()ln ()ln (2

21221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.

10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.

证明对于?x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以

f (-x 2)f (x 1),

这就证明了对于?x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设F (x )=f (x )?g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )?g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )?g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )?g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )?g (x )=-F (x ),

所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;

(3)2211x

x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;

(6)2

x a a y -+=.

解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.

(3)因为()

)(111)(1)(2

22x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.

(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.

(6)因为)(2

2)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.

13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);

解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;

解是周期函数, 周期为2π=l .

(3)y =1+sin πx ;

解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;

解不是周期函数.

(5)y =sin 2x .

解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:

(1)31+=x y 错误！未指定书签。错误！未指定书签。;

解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)x

x y +-=11错误！未指定书签。;

解由x x y +-=11得y y

x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x

x y +-=11.

(3)d

cx b ax y ++=(ad -bc ≠0);

解由d cx b ax y ++=得a cy b

dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为a

cx b dx y -+-=.

(4) y =2sin3x ;

解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y

x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.

(5) y =1+ln(x +2);

解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.

(6)1

22+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以1

22+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2.

15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条

件是它在X 上既有上界又有下界.

证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .

再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M , 即 |f (x )|≤M .

这就证明了f (x )在X 上有界.

16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值: (1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 3

2π=x ;

解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .

(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,4

2π=x ;

解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==?=ππy ,12sin )42sin(2==?=ππy .

(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;

解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;

解 2

x e y =, 12

01==e y , e e y ==2

12.

(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.

解 y =e 2x , y 1=e 2?1=e 2, y 2=e 2?(-1)=e -2.

17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);

解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );

解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2? ? ?), 所以函数f (sin x )的定义域为

[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2? ? ?) . (3) f (x +a )(a >0);

解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).

解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤

1)(x x x x f , g (x )=e x 错误！未指定书签。, 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.

解 ???

??>-=<=1|| 11||

01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即?????>-=<=0 10 00

1)]([x x x x g f . ??

??>=<==-1|| 1||

e 1|| )]([101)(x e x x e e x

g x f , 即?????>=<=-1|| 1|| 11

|| )]([1x e x x e x f g .

19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?=40?(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37

sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组

h >0, 040cot 0>?-h h S

确定, 定义域为

40cot 00S h <<.

20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.

令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100

p =90-(x -100)?0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到

??≥<<-≤≤=1600 751600100

01.0911000

90x x x x p . (2)??

≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .

(3) P =31?1000-0.01?10002=21000(元).

习题1-2

1. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)n

n x 21=;

解当n →∞时, n

n x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)n

x n n 1)1(-=;

解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→n

n n .

(3)212n

x n +=;

解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)1

1+-=n n x n ;

解当n →∞时, 1

2111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .

(5) x n =n (-1)n .

解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.

2. 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π

. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞

→n n x .

n n n x n 1

|2c o s ||0|≤=-π. ?ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε

1>n . 取]1[ε

=N ,

则?n >N , 有|x n -0|<ε .

当ε =0.001时, ]1[ε

=N =1000.

3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim 2

=∞→n n ;

分析要使ε<=

-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε

1>n . 证明因为?ε>0, ?]1[ε

=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)2

31213lim =++∞→n n n ;

分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε

41, 即ε41>n . 证明因为?ε>0, ?]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .

a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.

证明因为?ε>0, ?][2ε

a N =, 当?n >N 时, 有ε<-+|1|2

n n . 分析要使|0.99 ? ? ? 9-1|ε<=-110

1n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为?ε>0, ?]1lg 1[ε

+=N , 当?n >N 时, 有|0.99 ? ? ? 9-1|<ε , 所以

19 999.0lim =???∞→ 个

n n .

4. a u n n =∞

→lim , 证明||||lim a u n n =∞

→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列

{x n }未必有极限.

证明因为a u n n =∞

→lim , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而

||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .

这就证明了||||lim a u n n =∞

→.

数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞

→n n , 但n n )1(lim -∞

→不

存在.

5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞

→n n y , 证明: 0lim =∞

→n n n y x .

证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使?n ∈Z , 有|x n |≤M .

又0lim =∞→n n y , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有

εε=?<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,

所以0lim =∞

→n n n y x .

6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).

证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以?ε>0, ?K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ?K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .

取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).

习题1-3

1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3

=-→x x ;

分析因为

|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3

|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .

证明因为?ε >0, ?εδ5

1=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2

|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使

ε<--+-)4(2

42x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有

--=--=-+-x x x x , 所以要使

ε<-+-212413

x x , 只须ε2

1|)21(|<--x . 证明因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)2

→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:

(1)2

121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为

333333|

|21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133

x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε

>x . 证明因为?ε >0, ?321ε

=X , 当|x |>X 时, 有

ε<-+212133x x , 所以2

121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→x

x x .

分析因为

x x x x 1|s i n |0s i n ≤=-.

所以要使ε<-0sin x x , 只须ε

4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1

|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05

001.0|2|=<-x .

取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.

4. 当x →∞时, 13

122

→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?

解要使01.03

4131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .

5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.

证明因为

|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.

因为对?ε>0, ?δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0

=→x x .

6. 求,)(x

x x f = x x x |

|)(=?当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极

限是否存在. 证明因为

11lim lim )(lim 0

00===---→→→x x x x x x f ,

11l i m l i m

)(l i m 000===+

++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0

|lim )(lim 000-=-==--

-→→→x

x x x x x x x ?,

1l i m

||l i m )(l i m 000===+++→→→x x x x x x x x ?, )(lim )(lim 0

x x x x ??+→→≠-,

所以极限)(lim 0

x x ?→不存在.

7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则

?X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ?X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .

取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞

→)(lim .

8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有

|f (x )-A |<ε .

因此当x 0-δ

这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则?ε>0, ?δ1>0, 使当x 0-δ10, 使当x 0

取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1

即f (x )→A (x →x 0).

9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ?X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.

这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.

例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )

92+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x

x y 1sin =当x →0时为无穷小.

证明 (1)当x ≠3时|3|3

9||2-=+-=

x x x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有

92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x

x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有

εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x

x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,

能使|y |>104？

证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2|

M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,

所以当x →0时, 函数x

x y 21+=是无穷大.

取M =104, 则21014+=δ. 当2

101|0|04+<-104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)x

x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .

(2)因为x x

x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .

5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: f (x )→A

f (x )→∞

f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0

?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.

x →x 0+ x →x 0-

x →∞

?ε>0, ?X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M . x →+∞ x →-∞

解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0

?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε. ?M >0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M . ?M >0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M . ?M >0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M . x →x 0+

?ε>0, ?δ>0, 使当00, ?δ>0, 使当0M . ?M >0, ?δ>0, 使当0M . ?M >0, ?δ>0, 使当0

?ε>0, ?X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε. ?ε>0, ?X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .

?ε>0, ?X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .

?ε>0, ?X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .

x →+∞

?ε>0, ?X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε. ?ε>0, ?X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .

?ε>0, ?X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .

?ε>0, ?X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .

x →-∞

?ε>0, ?X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.

?ε>0, ?X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .

?ε>0, ?X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .

?ε>0, ?X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .

6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？

解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.

这是因为?M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如

y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .

当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.

这是因为?M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如

0)2

2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ? ? ?),

对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=2

2ππ, 但|y (x )|=0

7. 证明: 函数x

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷

大.

证明函数x

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为

?M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当

21ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ? ? ?)

时, 有

2)(ππ+=k x y k ,

当k 充分大时, y (x k )>M .

当x →0+ 时, 函数x

x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为

?M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0

k x k 21=(k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0

习题1-5

1. 计算下列极限:

(1)3

5lim 22-+→x x x ; 解 93

3+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1

12lim 221-+-→x x x x ;

解 02011lim )1)(1()1(lim 1

12lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x

x x x x x 2324lim

30++-→; 解 2

123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)h

x h x h 2

20)(lim -+→;

解 x h x h

x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x

x x +-∞→; 解 21lim 1lim

2)112(lim 22

=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)1

21lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222

42--+∞→x x x x x ; 解 01

3lim 2

42=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 01211

1lim 13lim 42322

-+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4

586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 3

142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .

(10))12)(11(lim 2

x x x -+∞→;

解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 2

2=?=-?+

=-+∞→∞→∞→x x x x x x x .

(11))2

1 41211(lim n n +???+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1

=--=+???++++∞→∞→n n n n . (12)2

)

1( 321lim

n n n -+???+++∞→;

解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 2

2=-=-=-+???+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)3

=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为

最高次项系数之比).

或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3

=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;

解 )

1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(

lim 2122

131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim

1-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2

232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为016

02)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim

x x x (因为分子次数高于分母次数).

(3))12(lim 3+-∞

→x x x .

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4 适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。（三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。【教学重点与难点】本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。【教学内容】第一节映射与函数一、映射 1.映射概念

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(- , -5) (5, + ), B =[-10, 3), 写出A B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A B =(- , 3) (5, + ), A B =[-10, -5), A \ B =(- , -10) (5, + ), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B )C =A C B C . 证明因为 x (A B )C x A B x A 或x B x A C 或x B C x A C B C , 所以 (A B )C =A C B C . 3. 设映射f : X Y , A X , B X . 证明 (1)f (A B )=f (A ) f (B ); (2)f (A B ) f (A ) f (B ). 证明因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B )=f (A ) f (B ). (2)因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B ) f (A ) f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中 I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.