2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟
参考公式：
三角函数的积化和差公式
)]
cos()[cos(2
1
sin sin )]sin()[sin(21
sin cos )]
sin()[sin(21
cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=
正棱台、圆台的侧面积公式
l S )c c (2
1
+'=
台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式
h S S S V )S (3
1
+'+=台体
其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合],43,2,1[=A ，那么A 的真子集的个数是： （A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4
（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转
3
π
，所得向量对应的复数是： （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3
（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是： （A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知sin
α＞sin β，那么下列命题成立的是
（A ）若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角，则tg
α＞tg β
（C ）若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角，则tg
α＞tg β
（5）函数x x y cos -=的部分图象是
（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分
15% …
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若a ＞b ＞1，??
? ??+=+=
?=
2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则 （A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q
（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （A ）???
?
?-
=4cos 2πθρ （B ）??? ?
?
-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ
（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A ）
ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）π
π241+ （10）过原点的直线与圆2
x +2
y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=
（D ）x y 3
3
-= （11）过抛物线)0(2
a ax y =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
p 1+q
1
等于
（A ）a 2 （B ）
a 21 （C ）a 4 （D ）a
4 （12）如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分
成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为
（A ）3
2
1
（B ）
21
（C ）21 （D ）n
2
1
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）。
（14）椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
（15）设n a 是首项为1的正项数列，且（n+1）012
2
1=+-++n n n n a a na a (n=1，2，3，…)，则它的通项
公式是=n a 。
（16）如图，E 、F 分别为正方体面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的
射影可能是 。
（要求：把可能的图序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数R x x x y ∈+=,cos sin 3
（Ⅰ）当函数γ取得最大值时，求自变量x 的集合；
（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ （18）（本小题满分12分）
设{}n a 为等比数例，n n n a a a n na T ++-+=-1212)1( ，已知11=T ，42=T 。 （Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公式；
（Ⅱ）求数列{}n T 的通项公式。
（19）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 上菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ，
（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；
（Ⅱ）当
1
CC CD
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明。 （20）（本小题满分12分） 设函数ax x x f -+=
1)(2，其中0 a 。
（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；
（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数。
（21）（本小题满分12分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天） （22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为伪点，当
4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心率c 的取值范围。
2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
A 型卷答案
（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D B 型卷答案 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9）C （10）A （11）A （12）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
（13）252 （14）5
35
3
x -
（15）
n
1
（16）○2○3 三、解答题
（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。
解：（1）?
?? ?
?
+=???
?
??+=+=6sin cos 6cos sin 2 cos 21
sin 232 cos sin 3ππx x x x x
x y
R x x ∈??? ?
?
+=,6sin 2π。 …………3分
γ取得最大值必须且只需
即
,
,23
,
,22
6
Z k k x Z k k x ∈+=
∈+=
+
ππ
ππ
π
所以，使函数γ取得最大值的自变量x 的集合为
},,23
|{Z k k x x ∈+=
ππ
…………6分
（Ⅱ）变换的步骤是：
（1）把函数x y sin =的图象向左平移
,6
π
得到 …………9分 ??? ?
?
+=6sin πx y 的图象；
（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到
??? ?
?
+=6sin 2πx y 的图象；
经过这样的变换就得到函数x x y cos sin 3+=的图象。 …………12分 （18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。 （Ⅰ）解：设等比数列{}n a 以比为q ，则
)2(2,121211q a a a T a T +=+==。 …………2分
∵4,121==T T ，
∴2,11==q a 。 …………4分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知2,11==q a ，故11
12--==n n n q
a a ,
因此，1221222)1(1--?+?++?-+?=n n n n n T ， …………6分
∴2
2- 2
1222- 2222 ]
21222)1(1[- 21222)1(2 21121-n 212-+=?+
=+++++=?+?++?-+??+?++?-+?=-=+---n n
n
n n n n n
n n n ~-n -n n n n n T T T
12)2(+++-=n n 。 …………12分
解法二：设n n a a a S +++= 21。 由（Ⅰ）知1
2-=n n a 。
∴
1
2 2211-=+++=-n
n n S …………6分
∴分
分
12 22 2
1222 222121212 10 S )
()(a 2)1(121121211121 n n
)-n
( )
-()-()(S S a a a a a a a a a n na T n n n n n
n
n n n n
n n --=--?-=+++=++++=+++=++++++++=+++-+=+--
（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：连结1A 1C 、AC 和BD 交于O ，连结O C 1。 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BC =CD 。
又∵∠BC 1C =∠1DCC ，C C 1=C C 1， ∴DC C BC C 11???， ∴1C B=1C D ， ∵OB DO =
∴BD O C ⊥1， 3分 但O O C AC BD AC =⊥1, ， ∴⊥BD 平面1AC 。 又?C C 1平面1AC ，
∴⊥C C 1BD 。 …………6分 （Ⅱ）当
11
=CC CD
时，能使⊥C A 1平面BD C 1。 证明一： ∵
11
=CC CD
， ∴C C CD BC 1==，
又CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得D C B C BD 11==。
∴三棱锥BD C C 1-是正三棱锥。 …………9分 设C A 1与O C 1相交于G 。
∵AC C A //11，且11C A ：2=OC ：1， ∴G C 1：GO =2：1。
又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形BD C 1的中心，
∴⊥CG 平面BD C 1，
即⊥C A 1平面BD C 1。 …………12分 证明：
由（Ⅰ）知，⊥BC 平面1AC ，
∵?C A 1平面1AC ，∴C A BD 1⊥。 …………9分 当
11
=CC CD
时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同C A BD 1⊥的正法可得C A BC 11⊥。 又B BC BD =1 ，
∴⊥C A 1平面BD C 1。 …………12分
（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分。
（Ⅰ）解：不等式1)(≤x f 即
ax x +≤+112，
由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0 a 。 所以，原不等式等价于
?
?
?≥+≤+.0,
)1(122x ax x 即
???≥+-≥0
2)1(,
02
a x a x …………3分 所以，当10 a 时，所给不等式的解集为}120|{2
a a
x x -≤
≤； 当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x 。 …………6分 （Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取21,x x 使得21x x
分9 .11)( )
(1
1 )
(11)()(222121212122
212
2
21212
22121 ?
??
? ??-++++-=--+++-=
--+-+=-a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f
∵
1a ,11
122
21
21≥++++且 x x x x ，
∴
01
122
21
21 a x x x x -++++，
又021 x x -， ∴0)()(21 x f x f -， 即)()(21x f x f 。
所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数。 …………12分
（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
?
?
?≤-≤≤-= 300t 200 3002 200,t 0
,300)( t t t f 分2 由图二可得种植成本与时间的函数关系为
300t 0 ,100)150(20
1
)(2≤≤+-=
t t g 。 …………4分 （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为)(t h ，则由题意得
)(t h =)(t f )(t g -，
即
)(t h =???????≤-+≤≤++-300t 200 ,2102527200
1-200,t 0 ,217521200122 t t t t …………6分
当2000≤≤t 时，配方整理得
)(t h =100)50(200
1
2+--
t 。 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间[0，200]上的最大值100； 当300200≤t 时，配方整理得
)(t h =100)350(200
1
2+--
t ， 所以，当300=t 时，)(t h 取得区间（200，300）上的最大值87.5 …………10分
综上，由5.87100 可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 …………12分
（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数
学知识解决问题的能力，满分14分。
解：如图，以AB 的垂直平分线为γ轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系γxO ，则γ⊥CD 轴。 因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于γ轴对称，…………2分
依题意，记()),(,,),0,(002y x E h C c A c
-，其中||2
1
AB c =
为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得
.
1,
)
1(2)2(1020λ
λγλλλλ+=+-=++-=h c c x c
设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率a c e =，由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 坐标和a
c
e =代
入双曲线的方程，得
1422
2=-b
h e ， ○1 11124
22
2
22=??? ??+-??? ??+-b
h
e λλλλ. ○
2 …………7分 由○1式得142
22-=e b
h ， ○3 将○3式代入○2式，整理得
λλ21)44(4
2
+=-e ， 故23
12
+-
=e λ …………10分 由题设4332≤≤λ得，4
3
231322
≤+-≤e 。 解得107≤≤e ，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[10,7]， …………14分
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的) 1．不等式
3
1--x
x
A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝
B ．｛ｘ｜ｘ
C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝
D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜
３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3
π Ｂ．３3π 6π Ｄ．９π
3．极坐标方程ρ２
ｃｏｓ２θ
A B C ．椭圆 D
4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ
A ．（０，2
1
） 21] 2
1，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ
1
是
A ．3π Ｂ．35π
Ｃ．6
π 611π
6．函数ｙ＝２
－ｘ
＋１（ｘ＞０）
A ．ｙ＝ｌｏｇ２
11-x ，ｘ∈（１，２）； ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ
Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11
-x ，ｘ∈（１，２]
7．若０＜α＜β＜4
π
，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则
A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１
ａｂ＞2
8．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ
A ．60° 4５° 120°
9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是
①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ
A ． ①③
10．对于抛物线ｙ２
＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a
A ．（－∞,０）
B ．（－∞,２）
C ．［０,２］
D ．（０,
11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜
别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １
12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为
A Ｂ．２４
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)
14．双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为
15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２
ｘ的最小正周期．
18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０．
(Ⅰ)求ａ及ｋ的值； (Ⅱ)求)111(
lim 21n
n S S S +++∞
→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝
2
1
． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；
(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２
，画面的宽与
高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]4
3,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?
21．(本小题满分14分)已知椭圆12
22
=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘｘ１，ｘ２∈
［０，
2
1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n
21
），求)(ln lim n n a ∞→．
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案
一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.
5
16
15.1 16.2n (n -1) 三、解答题
17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２
ｘ
＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)4
2sin(2++
π
x 8分
所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，
则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，
公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋
d k k ?-2)1(得255022
)
1(2=?-+?k k k ∴ｋ２
＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)
∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ?-+
?=2
)
1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， 12111111111111
(-)(-)(-)1223(1)12231
n S S S n n n n +++=+++=+++??++111+-
=n 1)11
1(lim )111(lim 21
=+-=+++∴∞→∞→n S
S S n n n 12分
19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是
M 底面=AB AD BC ?+)(21=
4
3
125.01=?+ 2分 ∴四棱锥S —ABCD 的体积是
4
1
4313131=??=??=底面M SA V 4分
(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.
又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝
2
2
=SB BC 即所求二面角的正切值为
2
2
12分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２
＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有
Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２
＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝
λ
10
22代入上式得
Ｓ＝５０００＋４４)5
8(10λ
λ+
5分
当８5
55
,(1)88λλλ
=
=<即时，S 取得最小值，
此时，高：ｘ＝
884840
=λ
c ｍ，宽：λｘ＝558885
=?ｃｍ 8分
如果λ∈［4
3
,32］，可设122334λλ≤<≤，则由S 的表达式得
Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102
211λλλλ--+ =)5
8)((104421121λλλλ--
由于1212
255
,8038λλλλ≥
>->故 因此Ｓ（λ
１
）－Ｓ（λ２
）＜０，所以S （λ）在区间［
4
3
,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝3
2
时，S （λ）取得最小值 答：画面高为88
λ∈［
43,32］,当λ＝3
2
时，所用纸张面积最小. 12分
21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (
2
3
，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (
2
3
，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．
记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程
1)1(2
222
=-+x k x
即（１＋２ｋ２
）ｘ２
－４ｋ２
ｘ＋２（ｋ２
－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝2
2212221)
1(2,214k
k x x k k +-=+ １０分 又ｘ２１＝２－２ｙ２
１＜２，得ｘ１－2
3≠０，
故直线AN ，CN 的斜率分别为
ｋ１＝
32)
1(22
31111
--=
-
x x k x y )1(2232222-=-=
x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·3
2)
32)(1()1(1121-----x x x x
∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝
0)]21(4)1(412[2112
222
=+---+k k k k
∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.
所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，
2
1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以 2
2)]4
1([)41()41()4141()21()]2
1
([)21()21()2121()1(]
1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x x
f x f x x f x f =?=+==?=+=∈≥?=+=
ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分
∴41
21)4
1
(,)21(a f a f == 6分
(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，
将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ
这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(n n n f n n f f ?-+=?
=11
()[(1)]22f f n n n =?-?
=
1111()()()[()]2222n f f f f n n n n
=???=
21
)21(a f = ∴n a n
f 21)21
(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2
∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n
21）,因此a n =n a 21
0)ln 21
(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a n
a n n n 14分 2002年高考数学广东卷（理科）
第1卷(选择题 60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 （1）函数x
x
x f 2cos 2sin )(=的最小正周期是
（A ）
2
π （B ）π （C ）2π （D ）4π
（2）圆(x －1)2＋y 2=1的圆心到直线y=3
3
x 的距离是
（A ）
2
1 （B ）
2
3 （C ）1 （D ）3
（3）不等式(1＋x )(1－x )＞0的解集是 （A ）｛x 0≤x ≤1｝
（B ）｛x x ＜0 且x ≠－1｝
（C ）｛x －1＜x ＜1｝
（D ）｛x x ＜1且x ≠－1｝
（4）在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为 （A ）(4π，2π)∪(π，45π
) （B ）(4
π
，π)
（C ）(
4π，4
5π)
（D ）(
4π，π)∪(45π，2
3π) （5）设集合M =??????∈+=z k k x x ,412，N=?
??
???∈+=z k k x x ,214，则
（A ）M =N （B ）M ?N （C ）M ?N （D ）M ∩N =φ
（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角
的余弦值是
（A ）
4
3
（B ）
54 （C ）53
（D ）－5
3
（7）函数f (x )=x a x +＋b 是奇函数的充要条件是
（A ）ab =0
（B ）a ＋b=0
（C ）a =b
（D ）a 2＋b 2=0
（8）已知0＜x ＜y ＜a ＜1则有 （A ）log a (xy )＜0 （B ）0＜log a (xy )＜1
（C ）1＜log a (xy )＜2
（D ）log a (xy )＞2
（9）函数1
11--=x y （A ）在(－1，＋∞)内单调递增 （B ）在(－1，＋∞)内单调递减
（C ）在(1，＋∞)内单调递增
（D ）在(1，＋∞)内单调递减
（10）极坐标方程ρ=com θ与ρ com=
2
1
的图形是
（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
（A ）8种
（B ）12种
（C ）16种
（D ）20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议（政府工作报告）：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上
年增长7.3%．”如果“十五”期间（2001—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值为 （A ）115000亿 （B ）120000亿 （C ）127000亿 （D ）135000亿
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）椭圆5x 2＋ky 2=5的一个焦点是（0，2），那么k =_________． （14）(x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是_____________． （15）已知sin α=cos2α (α∈ (2
π
，π))，则tg α=_______ （16）已知f (x )=
2
21x x +，那么f (1)＋f (2)＋f (21)＋f (3)＋f (3
1
)＋f (4)＋f (41)=_____．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知复数z =1＋i ，求实数a ，b 使az ＋2b z =(a ＋2z )2．
（18）（本小题满分12分）
设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝不等比数列，a 1= b 1=1，a 2＋a 4= b 3，b 2 b 4= a 3，分别求出｛a n ｝及｛b n ｝的前
10项的和S 10及T 10 （19）（本小题满分12分） 四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABC （D ） （I ）若面P AD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（II ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面P AD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．
（20）（本小题满分12分） 设A 、B 是双曲线12
2
2
=-y x 上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点．
（I ）求直线AB 的方程
（II ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
（21）（本小题满分12分，附加题4分）
（I ）给出两块面积相同的正三角形纸面（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另
一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小；
（III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的
三角形的面积相等，主设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
（22）（本小题满分14分） 已知a ＞0，函数f (x )=ax －bx 2
（I ）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；
（II ）当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件是b －1≤a ≤b 2；
（III ）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件．
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 （13）1 （14）1008 （15）33
- （16）2
7 三、解答题 （17）满分12分
解：∵ z =1＋i ，
∴ i b a b a z b az )2()2(2-++=+ )2(44)2()2(22++-+=+a a z a
i a a a )2(4)4(2+++=
因为a ，b 都是实数， 所以由 2)2(2z a z b az +=+ 得 ??
??
?+=-+=+)2(42422a b a a
a b a 两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8=0
解得 a 1=－2，a 2=－4 对应得 b 1=－1，b 2=2
所以，所求实数为 a =－2，b =－1或a =－4，b =2 （18）满分12分
解：∵ {a n }为等差数列，{b n }为等比数列，
∴ a 2＋a 4=2a 3，2342b b b =
已知 a 2＋a 4=b 3，b 2b 4=a 3，
∴ b 3=2a 3，233b a = 得 2332b b =
∵ b 3≠0 ∴ 4
1,2133==a b
由a 1=1，413=
a 知{a n }的公差为 8
3-=d ∴ 8
55
291010110-=?+
=d a S
由b 1=1，2
1
3=b 知{b n }的公比为 22=
q 或2
2-=q 。 当 22
=q 时，)22(32311)1(10110+=--=
q q b T ， 当 2
2
-=q 时，)22(32311)1(10110-=--=
q q b T 。
（19）满分12分。
（I ）解：∵ PB ⊥面ABCD ， ∴ BA 是P A 在面ABCD 上的射影， 又 DA ⊥AB ， ∴ P A ⊥DA ，
∴ ∠P AB 是面P AD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∴ ∠P AB=60°
而PB 是四棱锥P －ABCD 的高，PB =AB ·a tg 360= ∴ 3
23
3331a a a V =?=
锥 （II ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面P AD 与PCD 恒为全等三角形。 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ?△CDE ，
∴ AE =CE ，∠CED =90°，故∠CEA 是面P AD 与面PCD 所成的二面角的平面角。 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，
∴
a AD AE OA a == 2
2
在△AEC 中，0)
2)(2(2)2(cos 2
222 AE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC -+=??-+=
∠ 所以，面PAD 与PCD 所成的二面角恒大于90°。 （20）满分12分。
解：（I ）依题意，可设直线AB 的方程为 y =k (x －1)＋2， 代入 12
2
2
=-y x ，整理得
02)2()2(2)2(222=------k x k k x k
①
记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1，x 2则是方程①的两个不同的根，所以2－k 2≠0，且 2
212)2(2k k k x x --=
+，
由N (1，2)是AB 的中点得 1)(2
1
21=+x x ， ∴ k (2－k )=2－k 2，
解得k =1，所以直线AB 的方程为 y =x ＋1
（II ）将k =1代入方程①得x 2－2x －3=0 解出 x 1=－1，x 2=3 由 y =x ＋1得 y 1=0，y 2=4。
即A 、B 的坐标分别为(－1，0)和(3，4)。 由CD 垂直平分AB ，得直线CD 的方程为 y =－(x －1)＋2， 即 y =3－x 。
代入双曲线方程，整理得 x 2＋6x －11=0。
②
记C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，以及CD 的中点为M (x 0，y 0)，则x 3，x 4是方程②的两个根。所以x 3＋x 4=－6，x 3x 4=－11。
从而 63,3)(2
1
00430=-=-=+=
x y x x x 243243243)(2)()(x x y y x x CD -=-+-= []
1044)(243243=-+=x x x x
∴ 1022
1
==
=CD MD MC 又 102364)()(210210=+=-+-==y y x x MB MA
即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆。 （21）满分12分，附加题4分。
解：（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱椎。
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
4
1
，有一组对角为直角。余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
（II ）依上面剪拼的方法，有V 柱＞V 锥。 推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为