第2章 动量守恒定律与能量守恒定律
一 基本要求
1 理解冲量、动量等概念。掌握动量定理及动量守恒定律，能运用它们解简单系统在平面内运动的力学问题。
2 理解功的概念，能计算变力做功的问题 。
3 理解保守力做功的特点和势能的概念，会计算重力、弹性力和万有引力做的功及对应的势能 。
4 理解动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用守恒定律解问题 的思想和方法 。 二 基本概念 １ 质点的动量、冲量
质点的动量定义：m =p υ，p 为矢量，也是状态量。 质点的冲量定义 ：2
1t t dt =?I F ，它也是矢量，是过程量。
2 冲力 在解决冲击、碰撞问题时，将两个物体在碰撞瞬间的相互作用力称为冲力，冲力作用时间短，量值变化也很大，所以很难确定每一时刻的冲力，常用平均冲力的冲量来代替变力的冲量 。
3内力和外力 对于质点系，其内部各个质点之间的相互作用力称为内力，质点
系以外的其他物体对其中的任一质点的作用力称为外力。
4功 功率
（1）功 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
cos B B
A
A
W dW d F dr θ==?=???F r
(2) 功率 功随时间的变化率,反映的是做功的快慢。
dW P dt =
cos d d P F dt dt
υθ?==?=?=F r r F F υ
5动能 质量为m 的物体，当它具有速度υ时，定义21
2
m υ为质点在速度为υ时
的动能，用k E 表示。
6保守力和非保守力 如果力F 对物体做的功只与物体初、末位置有关而与物体所经过的路径无关，我们把具有这种特点的力称为保守力，否则称为非保力。
保守力做功
0l
d ?=?F l ，非保守力作功 0l
d ?≠?F l 。重力、弹性力、万有引力均
为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。
7势能 系统某点的势能等于在保守力作用下将物体从该点沿任意路径移动到零势能点保守力做的功，用p E 表示。
8机械能，系统的动能和势能统称为机械能，用E 表示。
三 基本规律
1 质点的动量定理 ：作用在质点上的合外力的冲量等于质点的动量的增量。即
2
1
t t dt d ==-?
?2
1
p 21p F p p p
分量形式 ：
2121
21212121t x x x x
t t y y y y
t t z z z z t I F dt mv mv
I F dt mv mv I F dt mv mv ?==-???==-??
?==-?????
2 质点系的动量定理 动量守恒定律
（１） 质点系的动量定理 ：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
即
2
21
1
21t ex
t dt ==-?
?
p p F p p p
（2）动量守恒定律：当质点系不受外力或所受合外力为零时，则质点系的总动量
保持不变。 即ex ∑F =0时 P =恒矢量
3质点的动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。即
221122
B A kB kA W m m E E υυ=
-=- 4质点系的动能定理 质点系各个质点的合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。即
2
2211111
1122n
n
n
n
ex
in
i i i i i i i i i i W W m m υυ====+=-∑∑∑∑ 1,2,i =???
5功能原理 合外力和非保守内力对系统所做的功等于系统机械能的增量。即
()()221121ex in
nc k p k p W W E E E E E E +=+-+=-
6机械能守恒定律 当作用于质点系的外力和非保守内力不做功或所做功的代数和为零时，质点系的机械能保持不变。即
当0ex in
nc W W +=，有2211k p k p E E E E +=+
7 能量守恒定律 对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。 四 难点解析与问题讨论 １ 关于动量定理的应用
在运用动量定理解题时，要注意以下几点：
（１） 动量定理是一个矢量式，在实际应用时要注意矢量性，即方向性，所以要选择合适的坐标轴，解出质点的始、末状态的动量，并进行投影，特别要注意动量在坐标轴上分量的正负号。
（２）在进行受力解时，如果是变力，则须明确力函数的形式，做好积分。 问题2.1如图2.1所示一圆锥摆，质量为ｍ的小球在水平面内以角速度ω匀速
转动。在小球转动一周的过程中： （１） 小球动量增量的大小等于多少？ （２） 小球所受重力的冲量的大小等于多少？ （３） 小球所受绳子拉力的冲量大小等于多少？
解 本题测试的是关于动量和冲量之间的概念。动量的变化：0m m ?=-p υυ；冲量的定义： 2
1
t t dt =?I F ；动量定理：2
1
t t dt d ==-??2
1
p 21p F p p p 本题中，小球转
动一周的过程中，速度没有变化，所以动量的变化为零，小球所受合力的冲量也为零；重力产生的冲量2G I mg π
ω
=?
，由于小球仅受重力和绳子拉力的作用， 所
以拉力产生的冲量大小等于重力产生的冲量大小，两者的方向相反。
2功与能的关系
动能与速度有关，是速度的函数；势能是位置的函数，所以无论是动能还是势能都是物体运动状态的函数。
功是与物体在外力作用下位置移动的过程相联系的，所以功是过程量。 动能定理表达了力对物体的做功过程和对应的初、末两个状态动能增量之间的联系。功能原理表明合外力和非保守内力对系统所做的功等于系统机械能的增量。在物体的实际运动过程中，如果要直接求某个未知的变化的力作的功是很困难的，此时借助动能定理或是功能原理就能很轻易地求得。
问题2.2 一质量为1m 的机车，牵引着质量为2m 的车厢在平直的轨道上匀速前进。忽然车厢与机车脱钩，等司机发觉时立即关闭油门，此时机车已行驶了一段距离l 。求机车与车厢都停止时相距多远？设阻力与车重成正比，脱钩前后机车的牵引力不变。
图2.1
解 这是一个过程比较复杂的力学问题，如果用牛顿定律求解的话，运算过程恨繁琐，用动能定理求解则简单很多。 根据题意作示意图，如图2.2所示。
将机车和车厢均看作质点，对机车和车厢脱钩前，发觉脱钩前后做受力解，如图2.3所示。
机车和车厢脱钩前匀速前进，设机车和车厢与轨道的摩擦系数为μ，所受合外力为零，以向右为正，则有
12()0f f F F F -+=
得 12()F m m g μ=+ （1） 以机车为研究对象，在司机发觉脱钩前，机车所受合外力为1f F F -，发觉后所受外力为1f F -，故全过程中合外力对机车所做的功为
11121212
()()()f f W F F l F s l m m gl m gs μμ=---=+- （2）
设机车和车厢脱钩前匀速前进的速度为0υ，机车停止时的速度为10υ=。根据动能定理，有
1m 1m 1
m 脱钩
发觉
图
2.2
脱钩前
发觉前 发觉后
1m
1m
2f 1f
1
f 1
f F
图2.3
2221111010111222
W m m m υυυ=
-=- （3） 由式（2）和（3）得
2
012
212m m s l m g
υμ+=+
（4）
再以车厢为研究对象，脱钩后，车厢仅受摩擦力2f F 作用，外力的功为
22121f W F s m gs μ=-=-
（5） 车厢脱钩前速度为0υ，停止时速度为20υ=，根据动能定理，有
2222222020111222
W m m m υυυ=
-=- （6） 由式（5）和（6）得
2
012s g
υμ=
（7） 机车与车厢都停止时相距为21s s s ?=-，将式（4）和（7）代入，得
22001212
2111
22m m m m s s s l l m g g m υυμμ++?=-=+-=
（8）
习题
2.1一物体从某一确定高度以0υ的速度水平抛出，已知它落地时的速度为
t υ，忽略空气阻力
影响，那么它运动的时间是 ( ) (A)
0t -υυg ． (B) 0
2t -υυg
．
(C)
(D)
.
解 根据题意物体只受重力作用，由质点的动量定理
2
1
t t dt d ==-?
?2
1
p 21p F p p p ，有
0t t m m =-p υυ，所以0
t t -=
υυg
，故选A 。
2.2质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时， 作用于质点的冲量的大小为( )
(A) m v ．
υ
(C)
υ (D) 2m v ．
解 质点越过A 角前后的速度如下图所示，质点的冲量的大小,I m m υυ=-=υυ后后前前。
所以I υ=，故选C 。
2.3质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A υ和B υ (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 ( )
(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等． (D) A 、B 的速度增量相等． 解 根据质点的动量定理
2
1
t t dt d ==-?
?2
1
p 21p F p p p ，
质点A 和B 受到相同的冲量作用，就有相等的动量增量．故选C 。
2.4在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮
车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）( ) (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒．
解 根据质点系的动量守恒定律，对于炮车和炮弹这一系统，在水平面上任意方向所受的合外力为零，竖直方向所受的合外力不为零，所以总动量在水平面上任意方向的分量守恒。 故选C 。
习题2.2图
前
2.5一个质点同时在几个力作用下的位移为456?=-+r i j k (SI)，其中一个力为恒力
359=--+F i j k (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为( )
(A) -67 J ． (B) 17 J ． (C) 67 J ． (D) 91 J ．
解 根据恒力作功的定义()()35945667W J =??--+?-+=F r =i j k i j k ，故选C 。 2.6对于一个物体系来说，在下列的哪种情况下系统的机械能守恒？( )
(A) 合外力为0． (B) 合外力不作功．
(C) 外力和非保守内力都不作功．
(D) 外力和保守内力都不作功．
解 对于一个物体系来说，机械能守恒的条件是作用于系统的外力和非保守内力不做功或所做功的代数和为零。故选C 。
2.7下列叙述中正确的是( ) (A)物体的动量不变，动能也不变． (B)物体的动能不变，动量也不变． (C)物体的动量变化，动能也一定变化．
(D)物体的动能变化，动量却不一定变化．
解 物体的动量不变，就意谓物体的速度不变，速度不变动能也不变；动能不变表明物体的速度大小不变，动量却不一定不变化．故选A 。
2.8如图所示，一个小球先后两次从P 点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面l 1和圆弧面l 2下滑．则小球滑到两面的底端Q 时的( )
(A) 动量相同，动能也相同． (B) 动量相同，动能不同． (C) 动量不同，动能也不同．
(D) 动量不同，动能相同．
解 小球先后两次从P 点由静止开始沿着光滑的固定斜面l 1和圆弧面l 2下滑，小球和固定斜面l 1、小球和圆弧面2l 组成的系统机械能守恒。小球两种情况下到达低端的速度大小相同，方向不同，所以动量不同，动能相同．故选D 。
2.9一光滑的圆弧形槽M 置于光滑水平面上，一滑块m 自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下，不计空气阻力．对于这一过程，以下哪种解是对的？( )
习题2.8图
(A) 由m 和M 组成的系统动量守恒． (B) 由m 和M 组成的系统机械能守恒． (C) 由m 、M 和地球组成的系统机械能守恒．
(D) M 对m 的正压力恒不作功．
解 由m 和M 组成的系统所受外力不等于零，所以动量不守恒．由m 、M 和地球组成的系统机械能守恒．
2.10 一质量为m 的小球A ，在距离地面某一高度处以速度υ水平抛出，触地后反跳．在抛出t 秒后小球A 跳回原高度，速度仍沿水平方向，速度大小也与抛出时相同，如图所示．则小球A 与地面碰撞过程中，地面给它的冲量的方向为
________________，冲量的大小为____________________．
解 根据题意，小球A 与地面碰撞前后在竖直方向的速度大小是相同的，等于2
gt
，方向相反。所以冲量的大小为mgt ，方向为竖直向上。
2.11 如图所示，质量为m 的子弹以水平速度0υ射入静止的木块并陷入木块内，设子弹入射过程中木块M 不反弹，则墙壁对木块的冲量=____________________.
解 根据动量定理，子弹的动量的改变为0m -υ，即为墙壁对木块的冲量。
2.12 一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于________________；若物体的初速度大小为10 m/s ，方向与力F 的方向相同，则在2s 末物体速度的大小等于___________________． 解 根据冲量的定义2
1
t t dt =?
I F ，物体在开始的两秒内，力F ＝30＋40t (SI) 的冲量大小
等于2
(3040)140I t dt N s =
+=??
；根据动量定理2
1
t t dt d ==-??2
1
p 21p F p p p ，物体在2s
习题2.9图
υ 习题2.10图
习题2.11图
末物体速度的大小等于11401010
2410
m s υ-+?=
=?。
2.13两个相互作用的物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动．物体A 的动量是时间的函数，表达式为A P = P 0 – b t ，式中P 0 、b 分别为正值常量，t 是时间．在下列两种情况下，写出物体B 的动量作为时间函数的表达式：
（1）开始时，若B 静止，则 1B P ＝______________________； （2）开始时，若Ｂ的动量为 – P 0，则2B P = _____________．
解 两物体A 和B 所组成的系统无摩擦地在一条水平直线上运动．所受合外力为零。系统动量守恒，
=∑p 恒量
。开始时，若
B 静止，00;00A B p p p ==，则
100()B A B A p p p p bt =+-=；开始时，若Ｂ的动量为 – P 0，则2000()B p p bt bt p =--=-。
2.14 光滑水平面上有一质量为m 的物体，在恒力F 作用下由静止开始运动，则在时间t 内，力F 做的功为____________．设一观察者B 相对地面以恒定的速度0υ运动，0υ的方向与F 方向相反，则他测出力F 在同一时间t 内做的功为______________． 解 物体在恒力F 作用，m =
F a ，则在时间t 内产生的位移是
2
2t m
F ，根据功的定义cos B
B
A A W dW d F dr θ==?=???F r ，力F 在时间t 内做的功为
22
2F t m 。物体相对观察者B 产生的位移是202t t m -F υ，力F 在时间t 内做的功为2
02F t F t m
υ-2。 2.15 质量为m 1和m 2的两个物体，具有相同的动量．欲使它们停下来，外力对它们做的功
之比W 1∶W 2 =__________；若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，外力的冲量之比I 1∶I 2 =__________．
解 根据动量和动能的定义2
1,2k m E m υ==p υ，有22k p E m
=。若它们具有相同的动量，
欲使它们停下来，外力对它们做的功12k1221W:W =::k E E m m =；若它们具有相同的动能，
欲使它们停下来，外力的冲量之比1212::I I p p ==。
2.16 如图所示，一物体放在水平传送带上，物体与传送带间无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物体作功为__________；当传送带作加速运动时，静摩擦力对物体作功为__________；当传送带作减速运动时，静摩擦力对物体作功为__________．（仅填“正”，
“负”或“零”）
解 当传送带作匀速运动时，静摩擦力等于零；当传送带作加速运动时，静摩擦力与物体运动方向相同，对物体作正功；当传送带作减速运动时，静摩擦力与物体运动方向相反，对物体作负功。
2.17劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长x 0，重物在O 处达到平衡，现取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为____________；系统的弹性势能为________；系统的总 势能为____________． （答案用k 和x 0表示）
解 重物在O 处时重力等于弹力，有00,mg
mg kx x k
==
。取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为2
00p E mgx kx ==；系统的弹性势能为
2
p E kx =-；系统的总势能为零。 3 计算题
2.18如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。
解（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12=υυ，由m =?I υ， ∴旋转一周合外力的冲量0=I ；
（2）如图该质点受的外力只有重力和拉力，旋转一周合外力的冲量0=I ∴张力T 旋转一周的冲量：
习题2.18图 习题2.16图
习题2.17图
2T mg π
ω
=?
I j
所以拉力产生的冲量为2mg
πω
，方向竖直向上。
2.19质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin a t b t ωω=+r i j ，求：
（1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到2t π
ω
=
的时间内质点受到的冲量。
解（1）根据动量的定义：m =p υ，而d dt
=
=r
υsin cos a t b t ωωωω-+i j ， ∴()(sin cos )t m a t b t ωωω=--p i j ； （2）由2(
)(0)0m m b m b π
ωωω
=?=-=-=I υP P j j ，
所以冲量为零。
2.20 质量为m ，速率为v 的小球，以入射角α 斜向与墙壁相碰，又以原速率沿反射角α方向从墙壁弹回．设碰撞时间为t ?，求墙壁受到的平均冲力．
解 设小球与墙壁碰撞时受到的平均冲力为F
由题意解，小球与与墙壁碰撞前后在竖直方向的动量没有变化。 根据动量定律
cos (cos )F t m m υαυα?=--
2cos m F t
υα
=
? 方向水平向左。
根据牛顿第三定律
墙壁受到的平均冲力为'
2cos m F t
υα
=? 方向水平向右。
2.21如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力对小球的冲量． 解 方法一：利用冲量公式．
根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，
习题2.20图
积分得冲量为
/20
(cos )d I kA t t
ω
ω=-?
π，
/20
sin kA
kA
t
ω
ωω
ω
=-
=-
π
方法二：利用动量定理． 小球的速度为sin dx
A t dt
υωω=
=- 设小球的质量为m 其初动量为110p m υ== 末动量为22p m m A υω==-
小球获得的冲量为21I p p m A ω=-=-
可以证明2
k m ω=，因此kA
I ω
=-
2.22质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0υ=6001
m s -?的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小υ=301
m s -?，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：01m m M υυυ=+
∴01 5.7m m M
υυ
υ-=
=1m s -?
根据圆周运动的规律：2
1T Mg M
l
υ-=，有：2
184.6T Mg M
N l
υ=+=；
（2）根据冲量定理可得：00.0257011.4I m m N s υυ=-=-?=-?
2.23 高空走钢丝演员的质量为
，为安全起见,演员腰上系一根
长的弹性的安
全带，弹性缓冲时间为
，当演员不慎跌下时，在缓冲时间内安全带给演员的平均作用
力有多大？若缓冲时间为
,平均作用力为多大？
X
习题2.21图
解 该题分两个过程讨论，演员先从高度为
处作自由落体运动，由
求出安
全带刚拉直时演员的速度
，再由动量定理t ?=?F P 求出演员所受的合力，注
意，此时演员受向上的拉力N F 和向下的重力m g 作用，以速度的方向为正方向，合力
，所以
，题中要求的平均作用力仅为安全带给演员
的平均拉力为
。
109.9m s υ-===?
当弹性缓冲时间为1.0s 时，2509.9
509.89.85101.0
F N ?=?+
=? 当弹性缓冲时间为0.05s 时，4509.9
509.8 1.04100.05
F N ?=?+
=?
可见，当弹性缓冲时间为0.05s 时，重力可以忽略，当弹性缓冲时间为1.0s 时，重力是不可以忽略的。
2.24两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。 解 解题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度υ时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。
（1）
22
22002201211
22
m kx m m m υυυ
==+（） 所以：υ=
= （2）
22222012111
222
m kx m m υυ=++（） 那么计算可得：02
1
x x =
2.25 如图，光滑斜面与水平面的夹角为
30=α，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 1.0M kg =的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑
30x cm =时，恰好有一质量0.01m kg =的子弹，沿水平方向以速度1200m s υ-=?射中木
块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为25/k N m =。求子弹打入木块后它们的共同速度。
习题2.24图
解 由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
22111
sin 22
M kx Mgx υα+= 110.83m s υ-?
=? (碰撞前木快的速度)
再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：
'1cos M m m M υυαυ-=+（）
'10.89m s υ-=-?。
2.26如图2.26所示，炮车以仰角α发射炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M 和m ，炮弹相对于地面的出口速度为υ，试求炮车反冲速度V 。 解 解题意，将炮车和炮弹视为一个系统。解系统受力：重力、支持力和摩擦力。在炮弹发射过程中，系统在竖直方向所受合外力不为零(因为重力和支持力由于地面反抗炮身反坐的冲击，不是平衡力)，因而系统的总动量不守恒。在水平方向，炮弹发射时的冲力远远大于摩擦力，因而水平方向可视为合外力为零，动量守恒。 由动量守恒定律分量表示得 cos MV m υα= 所以 cos m
V M
υα=
V 的方向与炮弹飞行的正方向相反。注意，例中的V 和υ均是绝对速度，如果要求相对速
度，用动量守恒定律的数学表达式时，一定要将相对速度用绝对速度表示出来。
2.27 质量为'm 的人手里拿着一个质量为m 的物体，此人用以与水平方向成α角的速率υ向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）
解 如图，设P 为抛出物体时人达到的最高点，1x 、2x 分别为抛球前后跳跃的距离。
以人、物体组成的系统为研究对象 ∵ 该系统在水平方向上合外力=0，
习题2.25图
习题2.26图
∴ 在水平方向上系统的动量分量守恒。
设在P 点，人抛出物体前、后相对地的速度分别为υ、
1υ，在P 点抛出物体后物体相对地速度为2υ，有 12(')'m m m m +=+υυυ
标量式： 11(')'()m m m m u υυυ+=+- 即 01(')cos (')m m m m mu υαυ+=+- 得： 10cos 'm
u m m
υυα=+
+
002110sin sin (cos )'(')mu m
x x x t u m m g m m g
υαυαυυα?=-=-=
?=++
强调：21=+υυu ，2≠+υυu 。因为u 是与1υ同时产生的，而人速度为υ时，u 还没产生。
2.28一质量为M 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k 。一质量为m 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L 。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s ，求子弹所受的平均阻力。 解 解，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。 （1）相碰后，压缩前：0m m M υυ=+'（），
压缩了L 时，有：2
2
1
12
2
m M kL υ+='（），
计算得到：0υ=
0'm m M υυ=
=
+
（2）设子弹射入木快所受的阻力为f ，阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加。
22'2'2
01112222M k L f s m m M m
υυυ=-=-
∴2
2M k L f ms
=
习题2.28图
x
图 3-5
习题2.27图
2.29弹簧下面悬挂质量分别为
和
的两个物体。最初，它们处于静止状态，突然剪
断
和
之间的连线，使
脱落。试用动能定理或功能原理计算，
的最大速率
是多少？已知
，
，
。
解先建坐标，若以弹簧的原长端点的位置为坐标原点，
向下为轴正向，
的初始位置为
，
剪断后，
到达新的平衡位置1
m
m g
x
k
=时速度最大，
受力
，
由动能定理
22
120
11
()
22
m
x
x
A kx mg dx m m
υυ
=-+=-
?，
可得
max2
m
υ=。
2.30水平路面上有一质量
1
5
m kg
=的无动力小车以匀速率1
2m s
υ-
=?运动。小车由不可伸
长的轻绳与另一质量为
2
25
m kg
=的车厢连接，车厢前端有一质量为
3
20
m kg
=的物体，
物体与车厢间摩擦系数为2.0
=
μ。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。(车与路面间摩擦不计，取g=10m/s2)
解（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：
10123
m m m m
υυ
=++'
（）'0.2
υ
?=1
m s-
?，
再将
1
m与
2
m看成一个系统，由动量守恒有：
1012
()
m m m
υυ
=+1
1
12
521
5253
m
m s
m m
υυ-
?
===?
++
，
习题2.30图
习题2.29图
对3m ，由功能原理有：
2'23121231
1()22
m gs m m m m m μυυ=+-++（）
212123311()12
260
m m m m m s m m g υυμ+-++=='（） ； （2）由'
33m m gt υμ=，有：'0.2
0.10.210
t s g υμ===?。
2.31 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m/s kg 102.122??-，中微子的动量为236.410kg m/s -??，两动量方向彼此垂直。
（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526-?，求其反冲动能。 解 由碰撞时，动量守恒，解示意图，有： （1
）22
10
P -=
=核 221.3610/kgm s -=?
又∵0.64tan 1.2P P α==中微子电子
，∴0
28.1α= ，
所以221.410/P kgm s -=?核 ，
9.151=-=απθ ； （2）反冲的动能为：2
180.17102k P E J m -==?核
核
。
2.32 一静止物体，由于内部作用而炸裂成三块，其中两块质量相等，并以相同的速率
沿互相垂直的方向分开，第三块的质量
倍于其他任一块的质量。求第三块的速
度大小。
解 物体炸裂时的内力远大于物体所受的外力重力， 所以系统动量守恒。三块的动量和为
。 设第一块的速度大小1υ，第二块的速度大小2υ， 第三块的速度大小υ。
有123cos45cos45m m m υυυ=+ 又12υυ=
所以1s υ-===? 4 开放性习题
2.33 以“中国探月”为关键词，在互联网上查阅“嫦娥二号”与“嫦娥一号”比较有几大技术突破？
2m υ3m υ
习题2.32图
习题2.31图
2.34全球性的能源短缺是影响当今世界各国社会经济发展的因素之一，以“能源短缺”和“节约能源”为关键词，在互联网上查阅资料简述人类高效地利用和节约能源的方式和途径。