分式初步（一）
1.分式的概念，分式何时有意义，何时值为零
①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B≠0
（1）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况
（2）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a
是整式而不能当作分式.
（3）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如
2
x y
x
是分
式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即A
B
中B≠0 。
（1）分式有意义的条件：分母不等于零.
（2）分式无意义的条件：分母等于零.
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当 A＝0 且B≠0 时，A
B
＝0。
【例1】
⑴若分式2
x?5
有意义，则x的取值范围是( )
⑵分式x 2?1
x?1
的值为0，则x的值为（）【例2】
⑴下列式子1
x ，2a
a?3b
，x+y
3
，4?2a
π
，x2?x
x
，其中是分式的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（2）当x =()时，分式2
x+2
有意义；
当x =()时，分式1
x2+1
有意义；
（3）当x为何值是，下列分式的值为0？
①2x?1
x+3
; ②
|x|?6
x2?5x?6
③
x2?16
x2+3x?4
④
8x
x2+8
⑤
25?x2
(x?5)2
2.分式的基本性质，约分，通分
①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
A B =
A×M
B×M
=
A÷M
B÷M
(M≠0)
②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式．为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
3.分式的加、减、乘、除、乘方运算
分式的乘法a
b
?c
d
=a?c
b?d
分式的除法
a b
÷c d
=a b
?d c =
a?d b?c
分式的乘方 (a b
)n
=
a n
b n
同分分式相加减 a c ±b c
=a±b c
异分母分式相加减
a c
±b
c =
ad bd
±bc bd
=
ad±bc bd
0指数幂a 0=1(a ≠0) 负整数指数幂 a ?p =1
a p (a ≠0) 【例5】
化简
2x?6x ?9
+
x 2+2x+1x +x?6
÷
x+1x?2
【例6】 先化简再求值：a?1a+2
?
a 2?4a 2?2a+1
÷
1a 2?1
其中a 满足a 2?a =0
【例7】
已知 x 2?3x +1=0，求：x 2+1
x 2.
【例8】计算：
(1)(?a
)
2
?(?
a
)
3
÷(?a4b)(2)(
a2b
)
3
?(
c2
)
2
÷(
bc
)
4
(3)(3a3
x+y )
3
?(x2?y2)÷(
y?x
y+x
)
2
(4)(
x2?y2
xy
)
2
÷(x+y)?(
x
x?y
)
3
(5)m+2n
+
n
?
2m
(6)
2x
2
?
1
【例9】计算：
1 1?x ?
1
1+x
?
2x
1+x2
?
4x3
1+x4
?
8x7
1+x8
练习一
1．计算的结果是（ ） A ． B ． C ．
D ．
2．（为正整数）的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．
等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．1
4．的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．－n
5．下列各式中，正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
6．（1）
（2） 7．______；______． 8．______． 9.分式
与的最简公分母是_________. 10.一组按规律排列的式子：2
a ，?5
a ，10
a ，?17
a ，26
a ，?，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数） ?-
3
2)2(b a 2)2(a b 2()b a ÷-68b
a -638
b a -52
16b a 52
16b
a -n
a b 22)(-n n n
a
b 222+n n
a
b 24n n a
b 21
2+-n n
a
b 24-21111
x x x x n n n +-+-+1
1+n x
1
1-n x
2
1
x 22
222n
m m n m n ?÷-2n
m
-32
n
m -4
m n -
a m a
b m b +=+0a b
a b
+=+11
11
ab b ac c +-=--221
x y x y x y
-=-+22)(1y x y x -=+?-=--2
4)
(21y
y x 389()22x y
y x ?-==+-÷-x y x x xy x 33322=-÷-3
22
23)3()3(a
c b c ab 2214a b 3
6x
ab c
11．已知，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：M ＋N 、M －N 、N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中∶＝5∶2．
12．已知，求代数式的值．
13．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0，求当＝－7时分式的值．
14．在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再从﹣√2≤x≤√2的范围内选取合适的整数作为x 的值代入分式求值．
15.（（1）当x=﹣1时，求分式x?1
2x 2+1的值． 22
22222xy x y M N x y x y +==--、x y 2
20x -=22
2(1)11
x x x x -+-+,y a
y b
-+y y y
（2）已知a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数，求a?b
a+b 的值．
16.已知，求的值．
17.（1）阅读下面解题过程：已知求的值． 解：∵
即
（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：
已知求的值．
112x y -=373232x xy y
x xy y +---22
,15x x =+241
x x +22
,15
x x =+()0x ≠12
,15x x
=+∴152x x +=?2422221114115117
()2()22
x x x x x x ====?+++--∴22,31x
x x =-+2421x x x ++
分式初步二
学好分式方程要走四步：
1.方程的知识框架以及分式方程的概念
2.增根
3.会解可化成一元一次方程的分式方程
4.会列分式方程解应用题
学好分式方程要走四步：
1.方程的知识框架以及分式方程的概念
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是“1”的方程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是“1”的整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程。
2.增根：在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根。【例1】
(1)?3
1?x +2
x+1
=6
x2?1
有增根，则这个方程的增根是 .
(2)m为何值时，分式方程3
x +6
x?1
=x+m
x2?x
有增根？
（3）若方程6
(x+1)(x?1)?m
x?1
=1
x+1
有增根，则它的增根是（）
A.0
B.1
C.－1
D.1和－1 【例2】
（1）若分式方程1
x?2?4
x2?4
=k
x+2
有增根x=2，那么k=。
（2）若方程x?1
x?2=m
x?2
+2产生增根，那么m的值是。
【例3】
（1）
x
x?5
=
x?2
x+6
（2）
5x?4
2x?4
=
2x+5
3x?6
?
1
2
【例4】
（1）已知x+1
x?1=3与mx
x+2
=5的解相同，求m的值。
（2）已知分式方程x+a
x?2
=?1的根大于0，那么a的取值范围是。
（3）当m=时，方程mx
m+1?2
x?1
=1的解与方程x+4
x
=3的解互为相反数。
【例5】某数与1的差除以它与1的和的商等于1
2
，求这个数。
【例6】
（1）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克。设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）
A.
900
x+300
=
1500
x
B.
900
x
=
1500
x?300
90015009001500
（2）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台。设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）
A.66
x
=
60
x?2
B.
66
x?2
=
60
x
C.66
x
=
60
x+2
D.
66
x+2
=
60
x
（3）一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（）
A.20
x
?
20
x+10
=6 B.
20
x
?
20
x+10
=
1
10
C.
20
x+10
?
20
x
=6 D.
20
x+10
?
20
x
=
1
10
【例7】（1）甲乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度。
（2）甲乙两人分别加工1500个零件，由于乙采用新技术，在同一时间内，乙加工的零件数是甲加工零件数的3倍，因此，乙比甲少用20小时加工完，问他们每小时各加工多少个零件？
练习二
1．先化简，再求值：
（1）
其中
（2）其中＝－1．
2．已知求的值．
3.计算下列各题
（1） （2） ,144421422x x x x x ++÷--1
4x =-?,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--,21
=a b .0)255(|13|2
=-+-+b a b a 323232236(
).()()a ab b a b b a -÷--223215
233249
a a a a ++++--4
3
214121111x x x x x x +-++-+--
4．等式对于任何使分母不为0的均成立，求A 、B 的值．
5．阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：23=
3?13
=1?13；16=1
2×3=
1
2
?13；115=13×5=12(13?1
5)等等．解答下列问题： （1）已知a=2017
2018，b=2018
2019，c=2019
2020，比较a ，b ，c 的大小．
（2）求1
2+1
6+1
12+1
20+?+1
342+1
380的值．
（3）求1
4+1
12+1
24+1
40+?+1
2n (n?1)+1
2n (n+1)的值．
（4）求1
3+1
15+1
35+1
63+?+1
4n 2?1． ?-++=-++2
36982x B
x A x x x x
6．的结果是（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．0
7. 将这三个数按从小到大的顺序排列为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知：与互为相反数，则式子的值等于________.
9.若，则=___________.
10．近似数－1.25×有效数字的个数有______位． 11.
先化简，当结果等于时，求出相应的的值.
12．已知关于x 的方式方程x?3
x?2=2?m
2?x 会产生增根，则m= ．
13．关于x 的方程32
4+=-b x
a 的解为______．
14．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为
v 千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是______．
15．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度1v ，下山速度2v ，则这个人上山和下山的平均速度是______． 020*******)(0.125)8-+?323-201)3(,)2(,)6
1(---210)3()61()2(-<<--201)3()2()6
1
(-<-<-102)61()2()3(-<-<-120)6
1
()3()2(-<-<-244x x -+|1|y -()x y x y y x ??
-÷+ ???
30a b +=2222
2124b a ab b a b a b ++?
?-÷ ?+-??310-231312349223x x x x ??
÷?+ ?
+--??
23x
16.已知关于x 的方程233
x m
x x -=
--有一个正数解，求m 的取值范围．
17.高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km ，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h ，求高速铁路列车的平均速度．